Joyeuses fˆ etes de No¨ el ` a tous ! (ceci est un sapin de Sierpinski )

Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR MAISON n^◦5 (pour le 05/01/2021) Les Ulis

PROBL` EME

QUELQUES SPOILS SUR DES SOMMES REMARQUABLES

Pour (a, b)∈R^+∗×R⁺, on consid`ere la suite (u_n) d´efinie pourn∈Npar : u_n=

n

X

k=0

(−1)^k ak+b+ 1

Le but de ce probl`eme est l’´etude de la convergence de la suite (u<sub>n</sub>) et l’obtention d’une expression de sa limite`(a, b) lorsque celle-ci existe.

Partie A - Preuve de la convergence de (u_n) Soient les suites (vn) et (wn) d´efinies pour toutn∈Nparvn=u2n etwn=u2n+1.

1. Calculeru₀,u₁, ainsi que v₀,v₁ etw₀,w₁.

2. Montrer que les suites (v_n) et (w_n) sont adjacentes.

3. Montrer que la suite (u_n) converge vers une limite `(a, b).

Partie B - Expression int´egrale de la limite `(a, b)

Pour n∈N, on d´efinit la fonctionf_n sur [0,1] par : f_n(x) =

n

X

k=0

(−1)^kx^ak+b

4. Prouver que pour toutn∈N, Z ₁

0

f_n(t) dt=u_n.

5. Prouver que pour toutn∈Netx dans [0,1], on afn(x) = x^b−(−1)ⁿ⁺¹x^a(n+1)+b

1 +x^a .

6. En d´eduire que pour tout n∈N, u_n=

Z 1 0

t^b

1 +t^a dt+ (−1)ⁿ Z 1

0

g_n(t) dt o`ug<sub>n</sub> est une fonction `a pr´eciser.

7. En majorantg_n(t) sur [0,1], en d´eduire que pour toutn∈N, 06

Z 1 0

g_n(t) dt6 1

a(n+ 1) +b+ 1. 8. En d´eduire que `(a, b) =

Z 1 0

t^b 1 +t^a dt.

Partie C - Calculs num´eriques

On notera de fa¸con«condens´ee»: lim

n→+∞un=

+∞

X

k=0

(−1)^k

ak+b+ 1 =`(a, b).

9. En choisissant les bonnes valeurs deaetb, calculer

+∞

X

k=0

(−1)^k k+ 1. 10. En choisissant les bonnes valeurs deaetb, calculer

+∞

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1.

Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 1 PCSI 2020-2021

Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR MAISON n^◦5 (pour le 05/01/2021) Les Ulis

EXERCICE 1

Une poign´ee de questions abordables 1. Calculer lim

x→+∞

px+√ x−√

x.

2. Soit (zn) une suite de complexes telle que pour toutndansN : z_n+1= 1

5(3z_n−2z_n+ 1).

En ´etudiant les suites des parties r´eelles et imaginaire de zn (not´eesxn et yn), ´etudier la convergence de la suite (zn).

EXERCICE 2 (Facultatif )

Une ribambelle de questions plus difficiles 1. Soit (un) une suite de r´eels convergente. La suite (bu_nc) est-elle convergente ? 2. D´eterminer, si elle existe, lim

x→+∞

x^x [x]^[x]. 3. D´eterminer, si elle existe, lim

x→+∞sin√

x+ 1−sin√ x.

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Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 2 PCSI 2020-2021