Ces exercices types sont à travailler pendant les vacances.
Les thèmes traités dans ce cahier de vacances font partie de ceux que vous retrouverez dans les devoirs sur table de la rentrée.
Un corrigé détaillé accompagne ces exercices : vous le retrouverez dans la playlist Cahier de vacances de la chaîne YouTube Maths en tête.
Exercice 1 : SUITES
On considère la suite (𝑢") définie par 𝑢# = 0,5 et, pour tout entier naturel n, 𝑢"() = 𝑢"*− 𝑢"+ 1.
a) Calculer 𝑢) et 𝑢*.
b) Démontrer que la suite (𝑢") est croissante.
c) Conjecturer lim
"⟶(2𝑢", si elle existe.
1ère Spé maths / Cahier de vacances Noël
Exercice 2 : SECOND DEGRE On considère un segment [𝐴𝐵] de longueur 1 et un point 𝑀 variant sur [𝐴𝐵].
On note 𝐴𝑀 = 𝑥. Le triangle 𝐴𝑀𝑃 est équilatéral et 𝑀𝐵𝑄𝑅 est un carré.
1) On note 𝐻 le milieu du segment [𝐴𝑃].
Calculer 𝐻𝑀 puis l’aire du triangle 𝐴𝑀𝑃.
2) Notons 𝑆(𝑥) la somme des aires de AMP et MBQR Montrer que 𝑆(𝑥) =√C(DD 𝑥*− 2𝑥 + 1.
3) La fonction 𝑆 admet-elle un extremum ?
Si oui, préciser sa nature, sa valeur et où placer 𝑀 pour atteindre cet extremum.
Exercice 3 : NOMBRE DERIVE
Soient 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥* et 𝑔 la fonction définie sur ℝ∗ par 𝑔(𝑥) =)J. On notera 𝐶L et 𝐶M leurs courbes représentatives respectives dans un repère du plan.
Objectif : montrer que 𝐶L et 𝐶M admettent une tangente en commun, dont on déterminera l’équation réduite.
1) Soit 𝑎 un réel. Déterminer l’équation réduite de la tangente 𝑇P à 𝐶L au point d’abscisse 𝑎.
2) Soit 𝑏 un réel non-nul. Montrer que l’équation réduite de la tangente 𝑇R à 𝐶M au point d’abscisse 𝑏 est : 𝑦 = −R)T𝑥 +*R.
3) Démontrer que l’existence d’une tangente commune aux deux courbes revient à résoudre le système (𝑆) suivant : U2𝑎 = −R)T
−𝑎* = *
R
4) a) Montrer que (𝑆) ⟺ U𝑎 = −*R)T
−DR)W =R* b) Conclure.
JOYEUSES FÊTES !
A M B
H P
R Q
