Ces exercices types sont à travailler pendant les vacances.
Les thèmes traités dans ce cahier de vacances font partie de ceux que vous retrouverez dans les devoirs sur table de la rentrée.
Un corrigé détaillé accompagne ces exercices : vous le retrouverez dans la playlist Cahier de vacances de la chaîne YouTube Maths en tête.
Exercice 1 : SUITES On considère la suite ( un ) définie par u0=0,5 et, pour tout entier naturel n,
un+1=un2−un+1 .
a) Calculer u1 et u2 .
b) Démontrer que la suite ( un ) est croissante.
c) Conjecturer lim
n⟶+∞un , si elle existe.
1ère Spé maths / Cahier de vacances Noël
Exercice 2 : SECOND DEGRE On considère un segment [AB] de longueur 1 et un point M variant sur [AB].
On note AM=x . Le triangle AMP est équilatéral et MBQR est un carré.
1) On note H le milieu du segment [AP] . Calculer HM puis l’aire du triangle AMP . 2) Notons S(x) la somme des aires de AMP et MBQR
Montrer que S(x)=
√
3+44 x2−2x+1 . 3) La fonction S admet-elle un extremum ?
Si oui, préciser sa nature, sa valeur et où placer M pour atteindre cet extremum.
Exercice 3 : NOMBRE DERIVE Soient f la fonction définie sur R par f(x)=x2 et g la fonction définie sur R¿ par g(x)=1
x . On notera Cf et Cg leurs courbes représentatives respectives dans un repère du plan.
Objectif : montrer que Cf et Cg admettent une tangente en commun, dont on déterminera l’équation réduite.
1) Soit a un réel. Déterminer l’équation réduite de la tangente Ta à Cf au point d’abscisse a .
2) Soit b un réel non-nul. Montrer que l’équation réduite de la tangente Tb à Cg au point d’abscisse b est : y=−1
b2 x+2 b .
3) Démontrer que l’existence d’une tangente commune aux deux courbes revient à résoudre le système
(S) suivant :
{
2a=−a2=−1b2b24) a) Montrer que (S)⟺
{
a=4−1b4−12b=2b2b) Conclure.
A M B
H P
R Q
