1. RELATION D’ÉQUIVALENCE,RELATION D’ORDRE
1.1. Définitions.
Définition 1.1. SoitEun ensemble etE×Ele produit cartésien. Une relation binaire (ou corres- pondance binaire)RsurE est la donnée d’une partie (non vide)G⊂E×E. On dit quexest en relation avecy(xetyétant des éléments deE), ce qui s’écritxRy, si et seulement si (x,y)∈G. L’ensembleG s’appelle le graphe de la relationR.
Dans la pratique, les relations binaires sont définies par une propriété caractérisant les élé- ments en relation. SiP(x,y) est une proposition relativement à (x,y) on définit par exemple la relationRpar
xRy⇔P(x,y) est vraie.
Dans ce cas le graphe deRest défini parG={(x,y)∈E×E;P(x,y) est vraie}.
Remarque 1.2. L’écriture «P(x,y) est vraie » n’est pas la plus appropriée. En généralP(x,y) (ou P) est une proposition mathématique qui est vraie ou fausse, le mot « vraie » est donc redondant.
On notera donc plutôt
xRy⇔P(x,y).
Exemple 1.3.
(1) SiE=N, on vérifie queb−aest multiple de 5 définit une relation surE. (2) SiE=R, soitRla relation définie parxRysi et seulement six2>y2.
(3) Dans l’ensemble des droites du plan, une droite∆est en relation avec une droite∆0 si on a∆⊥∆0.
1.2. Relation d’équivalence.
Définition 1.4. Une relation binaire sur un ensembleE est une relation d’équivalence si –∀x∈E, on axRx(réflexivité) ;
–∀x,y∈EsixRy alorsyRx(symétrie) ;
–∀x,y,z∈E, sixRy etyRzalors on axRz(transitivité).
On trouve souvent les notations suivantes, xRy, x∼ y, x≡ y(modR1) et on dit que x est équivalent ày.
Définition 1.5. SoitE un ensemble etRune relation d’équivalence surE. Pour tout élémenta deE, on appelle classe d’équivalence dea, l’ensemble des éléments équivalents àa. On note cl(a) ou ˙aou encore ¯a.
cl(a)={x∈E;aRx}.
Remarque 1.6. Par définition, une classe d’équivalence n’est pas vide (a∈cl(a)). De plus siaet bsont deux éléments deE alors
b∈cl(a)⇔bRa.
Proposition 1.7. Pour touta,b dansEon a : –aRb⇔cl(a)=cl(b)
–cl(a)=cl(b)ou biencl(a)∩cl(b)= ;(deux classes sont égales ou bien disjointes).
1
Démonstration. Montrons la première assertion. Supposons queaRb. Soitx∈cl(a). Par défini- tion nous avonsaRx, ce qui entraîne par symétrie et transitivité quebRx, d’oùx∈cl(b). Ainsi nous avonscl(a)⊂cl(b) et en inversant les rôles dea etbon obtientcl(a)=cl(b). Réciproque- ment, sicl(a)=cl(b), il est clair queb∈cl(a) ce qui donneaRb.
Pour la deuxième assertion, sicl(a)∩cl(b)6= ;, montrons quecl(a)=cl(b). Dans ce cas, soitxun élément deEtel quex∈cl(a) etx∈cl(b). L’élémentxest tel queaRxetbRx, d’où (par symétrie et transitivité)aRb, soitcl(a)=cl(b). En conclusion, soitcl(a)∩cl(b)= ;soit
cl(a)∩cl(b)6= ;ce qui entraînecl(a)=cl(b).
Rappelons la définition d’une partition et d’un recouvrement.
Définition 1.8. Soient (Ai)i∈I une famille indexée par l’ensembleI (non vide) de sous-ensembles deE etF un sous-ensemble non vide deE.
— la famille (Ai)i∈I est appelée recouvrement deF si F⊂[
i∈I
Ai
— la famille (Ai)i∈I est appelée partition deFsi
∀i∈I, Ai6= ;
∀i,j∈I, (i6=j)⇒Ai∩Aj= ; F=[
i∈I
Ai
Le lien entre classes d’équivalence et partition est l’objet de la proposition suivante.
Proposition 1.9. Les classes d’équivalence distinctes constituent une partition deE, c’est à dire, –∀a∈E,∃cl(x)tel quea∈cl(x);
– deux classes distinctes sont disjointes.
Démonstration. Comme pour touta∈E on sait quea∈cl(a) alors pour touta dansEon peut trouver au moins une classe contenanta. De plus si deux classes sont distinctes, alors elles ne sont pas égales et d’après la proposition précédente on en conclut qu’elles sont disjointes.
Définition 1.10. On noteE/R l’ensemble des classes d’équivalence des éléments deE, c’est l’ensemble quotient.
Exercice 1.11. Des trois exemples de relation, quelles sont les relations d’équivalence ?
Exemple 1.12. DansZ, on définit la relationR paraRb si et seulement sia−b est pair. On vérifie que c’est une relation d’équivalence et quecl(0) est l’ensemble des entiers pairs etcl(1) l’ensemble des entiers impairs. AinsiZ/Rpossède deux éléments.
Exercice 1.13. On définit surR2la relation suivante :
(x0,y0)R(x1,y1) si et seulement siy0−x20=y1−x12. Montrer que c’est une relation d’équivalence. Décrire les classes d’équivalence.
1.3. Relation d’ordre.
Définition 1.14. SoitE un ensemble etR une relation binaire sur E. On dit queR est une relation d’ordre surEsi
–∀x∈E, on axRx(réflexivité) ;
–∀x,y∈E sixRy etyRxalorsx=y (antisymétrie) ; –∀x,y,z∈E, sixRy etyRz alors on axRz (transitivité).
On trouve souvent les notations suivantes,x≤y,x≺y. SiE est muni d’une relation d’ordre≺ on dit queEest un ensemble ordonné par≺.
Exemple 1.15.
(1) P(E) muni de l’inclusion.
(2) Nmuni de l’inégalité≤(inégalité usuelle).
(3) N∗muni de la relationaDbsi et seulement siadiviseb.
Définition 1.16. SoitEun ensemble muni d’une relation d’ordre notée≤.
– (E,≤) est dit totalement ordonné (ou que l’ordre est total) si deux éléments quelconques de E sont comparables, c’est à dire si
∀(x,y)∈E2, x≤y ou y≤x est vérifiée.
– (E,≤) est partiellement ordonné (ou que l’ordre est partiel) si il existexety éléments deE tel quex≤y ety≤xne soient ni l’une ni l’autre vérifiées.
Exemple 1.17. Reprenons les trois exemples précédents. On démontre que (P(E),⊂) et (N∗,D) sont partiellement ordonnés. Clairement (N,≤) (l’inégalité usuelle) est totalement ordonné.
Exercice 1.18. On définit surR2la relation suivante : (a1,b1)≤P(a2,b2) si et seulement si
b1−a21<b2−a22, oub1−a21=b2−a22eta1≤a2.
Montrer que c’est une relation d’ordre. Essayer de donner une interprétation géométrique de cette relation. Est-ce une relation d’ordre total ?
1.4. Éléments remarquables dans un ensemble ordonné. Dans la suiteEest ensemble,≤est une relation d’ordre surEet Aest une partie non vide deE.
1.4.1. Majorant, minorant. S’il existea∈Etel que∀x∈A on ax≤a,aest appelé majorant de A.
S’il existea∈E tel que∀x∈Aon aa≤x,a est appelé minorant deA.
Un ensembleAqui admet au moins un majorant (resp. minorant) est dit majoré (resp. minoré).
SiA est majoré et minoré,Aest dit borné.
1.4.2. Plus grand élément, plus petit élément. S’il existea0tel quea0∈A eta0 majorant de A, alorsa0est unique et est appelé plus grand élément de A(ou élément maximum deA).
a0plus grand élément deA⇔(a0∈A) et (∀x∈A,x≤a0).
S’il existea00 tel que a00∈A et a00 minorant de A, alors a00 est unique et est appelé plus petit élément deA(ou élément minimum deA).
a00 plus petit élément deA⇔(a00 ∈A) et (∀x∈A,a00≤x).
Montrons que le plus grand élément deA(s’il existe) est unique. Soienta etb«deux» plus grands éléments deA. Commeb∈Aon ab≤a, et commea∈Aon aa≤b. Comme≤est une relation d’ordre, l’antisymétrie nous donnea=b, d’où l’unicité du plus grand élément quand celui-ci existe.
Exemple 1.19. Dans (R,≤) (l’inégalité usuelle), l’ensemble [0, 1[ possède un plus petit élément (0) mais pas de plus grand élément.
1.4.3. Borne supérieure, borne inférieure. Supposons que la partie Aadmette au moins un majo- rant, soitMl’ensemble des majorants deA(M6= ;etM⊂E). SiM admet un plus petit élément, il est unique et est appelé borne supérieure de A. La borne supérieure deA est le plus petit des majorants de Aou encore
m0borne supérieure deA ⇔
½m0majorant deA, ( i.e.∀x∈A, x≤m0) et∀m∈M, m0≤m.
Remarque 1.20(exercice). SiA possède un plus grand élément alors ce plus grand élément est la borne supérieure de A. D’où
— sia est le plus grand élément deA alorsa est la borne supérieure deA
— sia est la borne supérieure deAalorsaest un majorant deA.
De la même façon, on définit la borne inférieure de A.
Supposons que la partieAadmette au moins un minorant, soitN l’ensemble des minorants de A (N 6= ;etN ⊂E). SiN admet un plus grand élément, il est unique et est appelé borne inférieure deA. La borne inférieure de Aest le plus grand des minorants deA ou encore
n0borne inférieure deA ⇔
½n0minorant deA, ( i.e.∀x∈A, n0≤x) et∀n∈N, n≤n0.
On notem0=supAetn0=infA.
Exercice 1.21. Montrer que sup[0, 1[=1 et inf[0, 1[=0. Que vaut inf{x+11/x;x∈]1;+∞[} ? 1.4.4. Élément maximal, élément minimal.
On dit quemest un élément maximal deEsim∈E et si∀x∈E, (m≤x)⇒(m=x). La partie {m} n’admet pas de majorant strict.
On dit quem0 est un élément minimal deE sim0∈E et si∀x∈E, (x≤m0)⇒(m0=x). La partie {m0} n’admet pas de minorant strict.
Exemple 1.22. Dans (N\ {1},D), on démontre que tout nombre premier est élément minimal.
1.5. Un exercice (pour informaticien). Monoïde libre, monoïde plaxique. SoitA un alphabet.
On appelle monoïde libre surA le monoïde formé de l’ensemble des mots surA muni du produit de la concaténation [un monoïde est un magma unifère associatif ]. Cet ensemble est notéA∗. Plus précisément :
— un mot sur un alphabetA est une suitea1a2. . .an(éventuellement vide) de lettres deA; lorsque cette suite est vide, le mot correspondant est noté 1 et est appelé mot vide ;
— la loi interne sur l’ensemble des mots est la concaténation, définie par : siu=a1. . .an et v=b1. . .bm sont deux mots deA∗la concaténation deuetv est le motuv défini par
uv=a1. . .anb1. . .bm.
— clairement le mot vide est l’élément neutre de l’ensembleA∗muni de la concaténation qui est aussi clairement une loi associative.
Considérons l’alphabetA composé des deux lettresaetb et le monoïde libreA∗engendré par l’alphabetA. Ajoutons deux règles qui sont
½aba=baa, bba=bab,
ce qui revient à dire que le motbacommute avec les lettresaetb. Définissons la relationR1sur A∗par la liste des ses seuls éléments en relation :
abaR1baaetbbaR1bab,
ce qui donne que la graphe deR1est égal à {(aba,baa), (bba,bab)}. Définissons alors la relation R2 surA∗ paru1R2u2 si et seulement siu1 etu2 peuvent s’écrire sous la formeu1=xv1y et u2=xv2y avec des motsx,y,v1,v2 deA∗ tels que v1R1v2 ou v2R1v1. Définissons (enfin) la relationRsurA∗paruRvsi et seulement si il existen∈Net une suite de mots (u0,u1, . . . ,un) tels que
u=u0R2u1R2u2· · ·un−1R2un=v,
ce qui veut direin extensoqueu=u0,un=vet que pour touti∈{0,n−1} on auiR2ui+1. (a) Constater que
-i- ababRbaab
-ii- bbaabaRbababa=(ba)3 -iii- baaabaR(ba)2a2
-iv- ababababR(ba)3ab.
(b) Montrer queRest une relation d’équivalence surA∗.
(c) Montrer pour tout motudansA∗il existe un unique triplet (i,j,k) tel queuR(ba)iajbk. Ceci définit donc une applicationϕdeA∗dansN3avec la conventionϕ(1)=(0, 0, 0).
(d) L’applicationϕpermet de définir surN3une loi de composition interne : si (i1,j1,k1)∈N3 et (i2,j2,k2)∈N3on a
(i,j,k)=(i1,j1,k1)∗(i2,j2,k2) si et seulement si
(ba)iajbkR(ab)i1aj1bk1(ab)i2aj2bk2 ou encore (i,j,k)=ϕ((ab)i1aj1bk1(ab)i2aj2bk2).
Montrer que (i,j,k)=(i1,j1,k1)∗(i2,j2,k2) est tel que (i,j,k)=
½(i1+i2+j2,j1,k1−j2+k2) si j2<k1, (i1+i2+k1,j1+j2−k1,k2) sinon.
2. L’ENSEMBLEN
Tout le monde manipule l’ensemble des entiers naturels depuis son enfance ! Comme le métier de mathématicien est de construire de façon rigoureuse les objets qu’il manipule, comment construireN, l’addition, la relation d’ordre ? Dans une première lecture il est possible de survoler le début et de lire très sérieusement à partir du théoréme 2.5 qui est fondamental.
2.1. Définition axiomatique de l’ensembleNdes entiers naturels. On peut définirNau moyen des cinq axiomes suivants, appelés axiomes de Peano (mathématicien italien, 1858–1932), Axiome 1. Il existe un ensemble notéNdont les éléments sont appelés entiers naturels et auquel 0
appartient.
Axiome 2. Tout entier naturelnpossède un successeur, qui est un entier naturel, provisoirement notén+. Le successeur de 0 est noté 1, celui de 1 est noté 2, etc.
Axiome 3. 0 n’est le successeur d’aucun entier naturel.
Axiome 4. Deux entiers naturels distincts ont nécessairement des successeurs distincts.
Axiome 5. Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 ainsi que le successeur de tout entier lui appartenant, alors il est confondu avecN.
Exercice 2.1.
(a) Démontrer que tout entier naturel non nul est le successeur d’un entier naturel. [indi- cation : considérer l’ensembleAégal à la réunion de {0} et de l’ensemble des successeurs d’entiers naturels]
(b) Démontrer le principe du raisonnement par récurrence.
2.2. Lois de composition interne surN. On définit l’addition et la multiplication par les for- mules suivantes
∀n,p∈N, n+0=n, n+p+=(n+p)+, n×0=0, n×p+=n×p+n.
Exercice 2.2(propriétés usuelles). Vérifier que ces formules ont bien un sens et définissent l’addition et la soustraction sur tout l’ensemble des entiers naturels, puis établir les propriétés suivantes (∀n,p,q∈N) :
(1) 0+n=n+0=nou encore 0 est élément neutre pour l’addition (2) n+=n+1
(3) (n+p)+q=n+(p+q) ou encore l’associativité de l’addition (4) n+p=p+nou encore la commutativité de l’addition (5) n+p=0 ⇔ n=p=0
(6) n+p=n+q ⇒ p=q
(7) n×0=0×n=0 ou encore 0 est élément absorbant pour la multiplication (8) n×1=1×n=nou encore 1 est élément neutre pour la multiplication (9) (n×p)×q=n×(p×q) ou encore l’associativité de la multiplication (10) n×p=p×nou encore la commutativité de la multiplication
(11) n×(p+q)=(n×p)+(n×q) ou encore la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
(12) n×p=1 ⇔ n=p=1 (13) n×p=0 ⇔ (n=0 oup=0)
(14) Sin6=0 alors (n×p=n×q⇐p=q)
2.3. Relation d’ordre surN. On définit surNla relation binaire :∀n,p∈N, on dit quen≤p, ou encorep≥n, s’il existe un entier naturelutel quen+u=p. On posen<p si et seulement si (n≤petn6=p) si et seulement sip>n.
Exercice 2.3. Montrer que,∀n,p∈ N, (a) n<n+1
(b) n≤p⇔n<p+1
(c) sin≤p, alors l’entier naturelu tel quen+u =p est unique. On le note p−n (la différence entrepetn).
(d) sip6=0, alors il existe un entier naturelq tel queq+1=p. On le noteq=p−1 et on l’appelle le prédécesseur dep.
Exercice 2.4. Montrer que
(a) ≤est une relation d’ordre
(b) (N,≤) est ensemble totalement ordonné.
(c) 0 est le plus petit élément deN
(d) Nn’a pas de plus grand élément (raisonner par l’absurde) (e) ∀n,p,q∈N: n≤p⇔n+p≤q+p
(f ) ∀n∈N\ {0}, ∀p,q∈N : q≤p⇔n×q≤n×p
Le théorème suivant est fondamental et est équivalent au principe de récurrence.
Théorème 2.5. Toute partie non vide deNpossède un plus petit élément.
Démonstration. La preuve se fait par l’absurde. SoitAune partie non vide deNet supposons que Ane possède pas de plus petit élément. L’élément 0 n’appartient pas àA, car d’après l’exercice précédent 0 est le plus petit élément deN. Considérons donc la partie non videBdéfinie par {n∈N;n<a, ∀a∈A} (Bnon vide car 0∈B).
Montrons queBcontient le successeur de chacun de ses éléments, ce qui entraînera d’après le 5ème axiome de Peano queB=N. Soitnun élément deBet soitaélément deA(a−1 désigne le prédécesseur dea). Nous avonsn<aet commea=(a−1)+1 il vient (voir exercice 2.3) que n<(a−1)+1 d’oùn≤a−1 soit (d’après l’exercice 2.4)n+1≤(a−1)+1=a. Donc pour tout a∈Anous avonsn+1≤a. Sin+1 est élément de Aalorsn+1 est le plus petit élément deA, ce qui est contradictoire. Doncn+1 n’est pas élément deAet pour touta∈Anous avonsn+1<a. Finalement sin∈Balorsn+1 est élément deB. Le cinquième axiome de Peano implique que B=N.Aest donc une partie vide. En effet si ce n’est pas la cas il existerait un élémenta∈A tel que pour toutn∈B=Non aitn<aou encore il existerait un majorant deN.Ane peut être que
la partie vide, ce qui contredit l’hypothèse de départ.
Corollaire 2.6. Toute partie non vide deN, majorée, possède un plus grand élément.
2.4. Division euclidienne dansN.
Théorème 2.7. Pour tout couple d’entiers naturels(a,b)avecb6=0il existe un unique couple d’entiers naturels(q,r)tel quea=bq+r et0≤r<b. L’entierq est appelé le quotient, l’entierr le reste de la division euclidienne dea parb.
Démonstration. Considérons l’ensemble A={q∈N;a<b(q+1)}. On montre successivement que A est une partie non vide deN, possède un plus petit élément noté q et que le couple (q,r=a−bq) convient. L’unicité se démontre aisément.
3. UN PEU DEZ
Naïvement définir les entiers relatifs consiste à ajouter les entiers négatifs. . . Plus précisément on définit surN2la relation binaire suivante
(a,b)R(c,d)⇔a+d=b+c.
La relationRest une relation d’équivalence (le vérifier). Notons (a,b) la classe du couple (a,b) pour la relationR et appelons la a−b (lire “a moins b”). On définit alors l’ensembleZpar l’ensemble quotientN2/R. Un entier relatif est donc une classe d’équivalencea−b,a etbétant des entiers naturels. Un entier relatif est aussi appelé un entier.
On définit surZles deux opérations suivantes
(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d), (a,b)⊗(c,d)=(ac+bd,ad+bc) ce qui s’écrit avec la notation (a−b)
(a−b)⊕(c−d)=(a+c)−(b+d), (a−b)⊗(c−d)=(ac+bd)−(ad+bc)
Pour que les deux expressions précédentes aient un sens il est nécessaire de démontrer que le résultat ne dépend pas du choix des représentants de chaque classe d’équivalence. Ensuite on montre que l’addition et la multiplication dansZpossèdent les mêmes propriétés générales que celles deN. Montrer que l’application qui à chaque entier naturelnassocie l’entier relatif (n−0) est injective. On identifie ainsinet (n−0), ce qui nous donne, pour simplifier,N⊂Z. On retrouve ainsi les conventions et les règles usuelles (et connues) de calcul dansZet bien sûr⊕et
⊗deviennent nos addition et multiplication préférées usuelles. . .
3.1. Division euclidienne dansZ. Sia∈Ron note|a|le plus grand des entiersa et−a.
Théorème 3.1. Pour tout couple d’entiers(a,b)avecb6=0il existe un unique couple(q,r)∈Z×Z tel que
a=bq+r et 0≤r< |b|
L’entierqest appelé le quotient, l’entierr le reste de la division euclidienne dea parb.
Démonstration. Considérons l’ensembleA={a−bk;k∈Z}∩N. Il faut tout d’abord montrer que A est non vide. Sia≥0, c’est immédiat en considéranta−b×0=a∈A. Sia<0 etb>1 alors l’entiera(1−b) est positif et ainsia−b×a∈A. Sia<0 etb< −1 alors l’entiera(1+b) est positif et ainsia−b×(−a)∈A.
L’ensemble Aest donc une partie non vide deN. D’après la propriété fondamentale deN,A possède un plus petit élément, que nous noteronsr. Par définition de A,r∈Net, soitq∈Ztel quea=bq+r. Pour montrer quer< |b|raisonnons par contradiction. Sir≥ |b|alors
0≤r− |b| ≤a−bq+ |b| =a−b(q+ε)∈A avec ε= ±1.
Commer− |b| <r, le caractère minimal der est contredit, ce qui permet de conclure quant à l’existence du couple (q,r).
Pour l’unicité, il suffit de supposer qu’il y a un deuxième couple (q0,r0) vérifiant les hypothèses.
Nous avonsa=bq+r=bq0+r0 soit
|b| × |q−q0| = |r0−r|.
Comme 0≤r< |b|et 0≤r0< |b|, on a−|b| <r0−r< |b|, soit|r0−r| < |b|. Il résulte donc des deux inégalités précédentes que|q−q0| <1. Or|q−q0|est un entier naturel, d’oùq=q0. Par suite on
ar=r0.
3.2. Arithmétique dansZ. Voici quelques définitions :
(1) un entier non nuladivise un entierbs’il existeq∈Ztel queb=aq
(2) un nombre premier est un entier naturel supérieur à 2 tel que l’ensemble des entiers naturels qui le divisent soit réduit à 1 et lui-même
(3) tout entiern≥2 est produit de nombres premiers (4) l’ensemble des nombres premiers est infini
(5) deux entiersaetb sont premiers entre eux si les seuls diviseurs communs sont 1 et−1.
Pour démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini, on procède par contradiction.
Soitp1, . . . ,pnl’ensemble des nombres premiers. Considéronsn=1+p1×p2× · · ·pn, qui n’est pas premier (car non égal àp1,p2, . . . oupn). Commen est nécessairement un produit d’entiers premiers, soitp un nombre premier divisantn. Orp divisep1×p2× · · ·pn, doncp divisen− p1×p2× · · ·pn=1, ce qui entraîne une contradiction.
Exercice 3.2. Soitnun entier naturel non nul. Montrer que l’intervalle des entiers compris entre n!+2 etn!+nne contient aucun nombre premier.
Théorème 3.3(Lemme d’Euclide). Soienta etb deux entiers relatifs etp un nombre premier divisantab. Alorspdivise l’un des entiersa oub.
Démonstration. Supposons quepne divise pasaet montrons quepdiviseb. Pour cela considé- rons l’ensemble
A={n≥1 ;pdivisean}.
Aest une partie non vide deN(p∈Apar exemple). D’après la propriété fondamentale deN, soit mle plus petit élément deA. Comme nous avons supposé quepne divise pasa, alorsm≥2.
Soitn ∈A et montrons quem divise n. La division euclidienne de n par m nous donne n=mq+r avec 0≤r<m. Commep diviseanetam alorsp diviseanetamqdoncpdivise r a=na−amq. Sir est non nul, on a alorsr∈Aetr<mce qui contredit le caractère minimal dem. Doncr est nul etn=mq soitmdivisen.
L’entierpétant dansA, on amdivisep. Commem≥2 etppremier on obtientm=p. Pour
conclure il suffit de constater que|b|est dans A.
Remarque 3.4. En TD une autre preuve sera présentée.
Le Lemme d’Euclide se généralise pour un produit d’entiers.
Corollaire 3.5. Si un nombre premier divise un produits d’entiers relatifs alors il divise au moins un de ses entiers relatifs. En particulier si un nombre premier divise un produit de nombre premier il est égal à l’un d’eux.
La conséquence est la décomposition (unique à l’ordre près) d’un entier en puissance entière de nombres premiers.
Théorème 3.6. Tout entiern≥2s’écrit de façon unique n=p1r1×pr22× · · ·prqq,
oùri≥1pour tout1≤i≤q et oùp1,p2, . . . ,pq sont des nombres premiers vérifiantpi<pi+1
pour tout1≤i≤q−1.
3.2.1. PGCD.
Définition 3.7. Soientaetbdeux entiers non nuls. Considérons l’ensemble des diviseurs non nuls positifs communs. Cet ensemble admet un plus grand élément, appelé plus grand commun diviseur deaetb, noté encore pgcd(a,b).
Remarque 3.8. L’ensemble des diviseurs communs est nécessairement borné, d’où l’existence d’un plus grand élément.
Théorème 3.9(Identité de Bezout). Soienta etbdeux entiers non nuls. Alors il existeuetv tels queau+bv=pgcd(a,b). De plus tout diviseur commun àaetb divisepgcd(a,b).
Démonstration. SoitH l’ensemble défini par
H={an+bm;n,m∈ Z}.
Alors il existe un unique entier natureld tel queH=dZ={d n;n∈Z} et on montre qued= pgcd(a,b).
SoitH+\{0} la partie strictement positive deH. Commea2+b2>0 l’ensembleH+\{0} est une partie non vide deN. D’apès un théorème fondamental concernantN, soitdle plus petit élément deH+\ {0}. Montrons que H=dZ. Il est clair quedZ⊂H carH est stable par multiplication et addition. Pour l’autre inclusion soitpun élément deHet montrons qued divisep. La division euclidienne deppard nous donne un couple (q,r) tel quep=qd+r et 0≤r<d. Or commep
etdsont éléments deHil est facile de voir quer=p−qdest aussi élément deH. Par définition d est le plus petit élément deH+\ {0},r ne peut être que nul (en particulier commea etbsont éléments deH nous avons démontré queddiviseaetb). Finalement nous avons démontré que H=dZ.
Le fait qu’il existeuetv dansZtels qued=au+bv vient de la définition deH.
Soitpun diviseur commun àaetb. Clairementpdiviseau+bvdonc divised. Sipest positif
alorsp≤d, doncd=pgcd(a,b).
Nous en déduisons le théorème de Bezout et le théorème de Gauss
Théorème 3.10. Deux entiersaetbsont premiers entre eux si et seulement si il existeuetv dansZtels queau+bv=1.
Démonstration. Soienta etb deux entiers. D’après ce qui précède nous savons que sia etb sont premiers entre eux alorsd=pgcd(a,b)=1, d’où l’existence du couple (u,v).
Réciproquement, supposons qu’il existeu etvdansZtels queau+bv=1. Soitpun diviseur commun àa etb. Clairementpdiviseauetpdivisebv doncpdiviseau+bv=1. Ainsipdivise
1 nous donnep= ±1.
Théorème 3.11(Théorème de Gauss). Soient a, b etc trois entiers. Si a divise bc et si a est premier avecb alorsa divisec.
Démonstration. exercice
3.2.2. PPCM.
Définition 3.12. Soientaetbdeux entiers non nuls. L’ensemble des multiples communs positifs àaetbadmet un plus petit élément, appelé plus petit commun multiple et noté ppcm(a,b).
Théorème 3.13. Soientaetbdeux entiers non nuls. Alors tout multiple commun àaetbest divisible parppcm(a,b). De plus|ab| =pgcd(a,b)×ppcm(a,b).
Démonstration. Considérons l’ensembleA des multiples positifs et communs àa etb.A étant non vide (|ab| ∈A), par définition soit ppcm(a,b) le plus petit élément. Soit p∈ A et mon- trons que ppcm(a,b) divise p. La division euclidienne dep par ppcm(a,b) nous donne p= qppcm(a,b)+r avec 0≤r <ppcm(a,b). En écrivantr =p−qppcm(a,b) on voit que sir 6=0 alors r est un multiple commun positif à a et b, ce qui contredit le caractère minimal de ppcm(a,b). Doncr=0 et ppcm(a,b) divisep.
Notonsd=pgcd(a,b) et soientk etk0 tels quea=d ket b=d k0. Les entiersk etk0 sont premiers entre eux car sipdivisek etk0 alorsd p divised k=a etd k0=b ce qui entraîned p diviseur commun àaetb. Constatons qued|kk0|est un multiple deaetb. Soientq etq0tels que ppcm(a,b)=aqet ppcm(a,b)=bq0. Commeaq=bq0 on obtientd kq=d k0q0 d’oùkq=k0q0. Les entiersk etk0étant premiers entre eux etk divisantk0q0on en déduit quek diviseq0. Donc
|q0| ≥ |k|soit ppcm(a,b)= |bq0| ≥ |d kk0|. Par définition du ppcm on obtient ppcm(a,b)=d|kk0|
d’où le résultat.
3.2.3. Algorithme d’Euclide. Comment calculer le pgcd de deux entiers (et aussi les entiersuet vintervenant dans l’identité de Bezout) ? C’est l’objet de l’algorithme ou comment les divisions euclidiennes successives mènent au pgcd.
En effet soient a et b deux entiers naturels non nuls aveca >b. Posonsr0=a,r1=b et supposons construits les entiers r0, r1,. . . , ri. Si ri 6=0 on définitri+1 comme le reste de la division euclidienne de ri−1 par ri. Si ri =0 alors le procédé s’arrête. On construit ainsi la suiteri.
Le procédé s’arrête nécessairement. En effet par définition de la division euclidienne on a ri+1<ri, la suite d’entiers naturelsriétant strictement décroissante il existe un entierntel que
0<rn<rn−1<rn−2< · · · <r1≤r0 et rn+1=0.
Dans la suite nous aurons aussi besoin des quotients, notésq1,q2, etc définis par ri−1=qiri+ri+1, ∀1≤i≤n.
Proposition 3.14. On apgcd(a,b)=rn ou encore le pgcd deaetbest égal au dernier reste non nul du procédé des divisions successives.
Démonstration. Pour tout 1≤i≤n, l’égalitéri−1=qiri+ri+1 entraîne que les diviseurs com- muns àri−1etrisont les diviseurs communs àrietri+1. Les diviseurs communs étant identiques on a pgcd(ri−1,ri)=pgcd(ri,ri+1). Ainsi
pgcd(a,b)=pgcd(r0,r1)=pgcd(r1,r2)= · · · =pgcd(rn−1,rn)
et commern+1=0 (ou encorern divisern−1) on déduit que pgcd(rn−1,rn)=rn, d’où le résultat.
Par l’identité de Bezout soientuetvtel que au+bv=rn
Pour calculer explicitement les entiersu et v, on peut « remonter » le procédé des divisions successives ou encore ajouter un calcul de suite à l’algorithme (c’est alors l’algorithme étendu d’Euclide).
On définit les suitesu0, . . . ,un etv0, . . . ,vn par
u0=1, u1=0, v0=0, v1=1 et par la relation de récurrence, pour tout 1≤i≤n−1
ui+1=ui−1−uiqi
vi+1=vi−1−viqi. On démontre alors
Proposition 3.15. On arn=aun+bvn
Démonstration. Montrons que pour 0≤i≤nl’égalitéri=aui+bvi est vérifiée. Pouri=0 on a bienr0=a=a×1+b×0 et pouri=1 on a bienr1=b=a×0+b×1 ! Supposons que pour k∈{1, . . . ,n−1} on ait la propriétéri=aui+bvi vérifiée pour 0≤i≤k. Par définition deri+1, a ri+1=ri−1−qiri=aui−1+bvi−1−qi(aui+bvi)=a(ui−1−qiui)+b(vi−1−qivi)=aui+1+bvi+1.
Par récurrence on a donc démontré le résultat désiré.
On choisit l’algorithme d’Euclide ou l’algorithme d’Euclide étendu selon la question posée.
Dans la pratique on peut présenter l’algorithme d’Euclide étendu sous forme de tableau ou du moins en présentant à chaque étape le calcul de la division euclidienne et les résultats (qi,ri,ui,vi).
3.2.4. Congruences.
Définition 3.16. Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dit queaetbsont congrus modulon, notéa≡b[n] ou encorea≡b(modn) sindivisea−b (ce qui s’écrit encorea=b+kn, k∈Z).
On démontre les propriétés suivantes
• a≡a[n] (réflexivité)
• a≡b[n] équivalent àb≡a[n] (symétrie)
• sia≡b[n] etb≡c[n] alorsa≡c[n] (transitivité)
Proposition 3.17. Soientnun entier supérieur ou égal à2eta1,a2,b1etb2tels que a1≡b1[n] a2≡b2[n].
Alors
• a1+a2≡b1+b2[n]
• a1a2≡b1b2[n]
• a1q≡bq1[n]pour toutq≥1.
4. UN PEU DE RATIONNELS
Pour définir l’ensembleQdes rationnels on considère surZ×Z∗(Z∗désigneZ\{0}) la relation d’équivalence
(a,b)R(c,d)⇔(ad=bc), l’ensemble quotientZ×Z∗/Rque l’on munit de deux opérations
(a,b)⊕(c,d)=(ad+cb,bd) (a,b)⊗(c,d)=(ac,bd) et l’on démontre que tout se passe bien. . .
5. NOTION DE CARDINAL
Un ensembleE est dit fini s’il est soit vide soit en bijection avec l’ensemble des entiers naturels compris entre 1 etn, pour un certain entier naturel non nuln. Dans ce dernier cas, l’entiern est unique et il est appelé le cardinal deE. SiE est vide on dit que son cardinal est nul. On a utilisé ici le fait apparemment évident mais long à démontrerin extensoque sinetpsont deux entiers naturels distincts alors il n’existe pas de bijection entre {1, . . . ,n} et {1, . . . ,p} – l’écrire. Un ensembleE est dit infini s’il n’est pas fini. Deux ensembles infinis ne sont pas en général en bijection (NetRne sont pas en bijection).
Quand deux ensembles sont finis et ont même cardinal il découle immédiatement que ces deux ensembles sont en bijection. Plus généralement (même si les ensembles sont de cardi- nal infini) deux ensembles sont même cardinal s’ils sont en bijection. Un ensemble qui a le même cardinal que N est dit dénombrable. L’ensemble Zet l’ensemble des rationnels sont dénombrables mais l’ensemble des réels n’est pas dénombrable.
SoientE etF deux ensembles quelconques. On dit que le cardinal deEest inférieur (au sens large) à celui deF s’il existe une application injective deE dansF et on écrit|E| ≤ |F|. On a le théorème de Cantor–Bernstein que nous admettrons
Théorème 5.1. SoientE etF deux ensembles tels que|E| ≤ |F|et|F| ≤ |E|. Alors on a|E| = |F|et il existe une bijection deE dansF.
