On en déduit (en utilisant la notation puissance) :

Problème 1.

1. Le point important dans cette question est de montrer que l'on sait que l'on ne sait rien ou presque des fonctions d'une variable complexe.

Les seuls points au programme sur ce thème portent sur les fonctions rationnelles et la fonction exponentielle complexe.

a. On utilise des propriétés de la fonction exponentielle complexe. L'ensemble des z ∈ C pour lesquels exp(z) = 1 est 2iπ Z, on connait quelques valeurs particulères dont exp(iπ) = −1 . Voir la présentation axiomatique de la fonction exponentielle.

On en déduit (en utilisant la notation puissance) :

z ∈ Z ⇔ e ^iz + e ^−iz = 0 ⇔ e ^2iz = −1 = e ^iπ ⇔ e ^2iz−iπ = 1 ⇔ z ∈ π 2 + π Z d'où

Z = π 2 + π Z

b. Les arcs sont réguliers car les dérivées de γ 1 et γ 2 ne s'annulent pas et les fonctions γ ₁ et γ ₂ prennent leurs valeurs dans Z ce qui entraine que les Cos sont non nuls.

c. L'angle orienté ( − → g 1 0 (t \ 0 ), − → g 2 0 (t 0 )) est un argument du quotient complexe γ ⁰ ₂ (t 0 )

γ ⁰ ₁ (t 0 ) De même l'angle orienté ( − → \

f 1 0 (t 0 ), − →

f 2 0 (t 0 )) est un argument du quotient complexe ( Sin ◦ γ 2 ) ⁰ (t 0 )

( Sin ◦ γ 1 ) ⁰ (t 0 ) = Cos (γ 2 (t 0 ))γ ₂ ⁰ (t 0 )

Cos (γ 1 (t 0 ))γ ₁ ⁰ (t 0 ) = γ ₂ ⁰ (t 0 ) γ ₁ ⁰ (t 0 ) car γ 1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) . Les angles sont donc égaux modulo 2π .

2. Les dénitions de l'énoncé montrent bien que Ox est l'axe focal et O le centre dans les deux cas. Les relations entre l'équation réduite et la distance centre-foyer sont des formules du cours sur les coniques.

F et F ⁰ foyers de H a,b ⇔ a ² + b ² = 1 F et F ⁰ foyers de E a,b ⇔ a ² − b ² = 1

3. On paramètre la droite d'équation y = y 0 par t 7→ t + iy 0 avec t ∈ R. On a alors pour t ∈ R

Sin (t + iy ₀ ) = 1

2i (e ^it−y

− e ^−it+y

)

= 1

2i e ^−y

(cos t + i sin t) − e ^y

(cos t − i sin t)

= i

2 cos t(e ^y

− e ^−y

) + i

2i sin t(e ^y

+ e ^−y

) = a sin t + ib cos t avec

a = e ^y

+ e ^−y

2 = ch(y 0 ) et b = e ^y

− e ^−y

2 = sh(y 0 ) On reconnaît la forme complexe d'un paramétrage de l'ellipse d'équation

x ² a ² + y ²

b ² = 1

(Poser t = u − π/2 pour retrouver (a cos u, b sin u) .) Comme a > b > 0 , il s'agit bien de l'ellipse E _a,b , ses foyers sont bien F et F ⁰ car

a ² − b ² = ch(y 0 ) ² − sh(y 0 ) ² = 1

4. Remarquons que x ² = x ² ₀ équivaut à x = x ₀ ou x = −x ₀ . Déterminons l'image par Sin de ces deux droites. On paramètre la droite d'équation x = x ₀ par t 7→ x ₀ + it avec t ∈ R. Alors pour t ∈ R

Sin (x 0 + it) = 1

2i (e ^ix

^−t − e ^−ix

^+t )

= 1

2i (e ^−t (cos x 0 + i sin x 0 ) − e ^t (cos x 0 − i sin x 0 ))

= sin x ₀ e ^t + e ^−t

2 + i cos x ₀ e ^t − e ^−t 2 .

En posant a = sin x ₀ et b = cos x ₀ , on reconnaît un paramétrage d'une branche de l'hyperbole d'équation ^x _a

− ^y _b

= 1 . En changeant x 0 en −x 0 , on change le signe de sin x 0 et on obtient ainsi les deux branches de l'hyperbole.

Les foyers sont F et F ⁰ car c = √

a ² + b ² = 1 .

5. Soient H et E respectivement une hyperbole et une ellipse de foyers F, F ⁰ . Alors ces

coniques sont centrées en O , milieu de [F, F ⁰ ] , d'axe focal (F F ⁰ ) = Ox , donc sont

respectivement de la forme H a,b et E a

,b

avec a ² + b ² = 1 et a ⁰² − b ⁰² = 1 . On choisit

x 0 ∈]0, π/2[ de sorte que a = sin x 0 et b = cos x 0 . L'hyperbole H est alors l'image par Sin des deux droites d'équations x = ±x 0 d'après la question précédente.

On choisit aussi y ₀ > 0 tel que a ⁰ = ^e

^+e ₂

et b ⁰ = ^e

^−e ₂

. C'est possible en posant y ₀ = ln(a ⁰ + b ⁰ ) . On a bien

e ^y

+ e ^−y

= a ⁰ + b ⁰ + 1

a ⁰ + b ⁰ = a ⁰ + b ⁰ + a ⁰ − b ⁰

a ⁰² − b ⁰² = 2a ⁰ .

De même e ^y

−e ^−y

= 2b ⁰ . On a alors que E est l'image par Sin de la droite d'équation y = y 0 . Or les courbes paramétrées t 7→ γ 1 (t) = x 0 +it (ou x 0 −it ) et t 7→ γ 2 (t) = t+iy 0

sont orthogonales en tout point, donc leur image par Sin le sont aussi d'après la question 1.

Problème 2

Dans tout le corrigé, on désignera par − → e θ le vecteur dont les coordonnées sont (cos θ, sin θ) dans la base − →

i , − →

j attachée au repère xé.

PARTIE I. Étude de la strophoïde droite

1. Les coordonnées du centre du cercle sont (−2a, 0) , son rayon est 2a . On en déduit l'équation cartésienne. On obtient l'expression en coordonnées polaires de cette équa- tion cartésienne en remplaçant x par ρ cos θ et y par ρ sin θ .

(x + 2a) ² + y ² = 4a ² ⇔ x ² + y ² + 4ax = 0 ⇔ ρ ² + 4aρ cos θ = 0 ⇔ ρ(ρ + 4a cos θ) = 0 Il est utile de remarquer que l'équation polaire du cercle privé de O est :

ρ + 4a cos θ = 0

2. Comme le point M (θ) est sur le cercle C et la droite passant par l'origine dirigée par

−

→ e θ , on obtient immédiatement :

M (θ) = O + ρ − → e θ = O − 4a cos θ − → e θ

De même, on forme l'équation cartésienne puis l'expression en coordonnées polaires de l'équation de la droite :

x = 2a ⇔ ρ cos θ = 2a On en déduit H (θ)

H(θ) = O + ρ − → e θ = O + 2a cos θ

−

→ e θ

C

O I(θ)

H(θ)

M(θ)

D

Fig. 1: Strophoïde droite

puis le point I(θ) milieu des deux précédents.

I(θ) = O + a

cos θ − 2a cos θ − → e _θ = O + a 1 − 2 cos ² θ cos θ

−

→ e _θ = O − a cos 2θ cos θ

−

→ e _θ

3. L'expression de r conduit à :

r(θ + 2π) = r(θ) I(θ + 2π) = I(θ) r(θ + π) = −r(θ) I(θ + π) = I(θ)

r(−θ) = r(θ) I(−θ) = s Ox (I(θ)) avec s Ox symétrie par rapport à Ox

La fonction I étant π -périodique, on peut se limiter à [− ^π ₂ + ^π ₂ ] . L'image de [− ^π ₂ , 0]

s'obtient par symétrie par rapport à Ox à partir de l'image de [0, ^π ₂ ] . On étudiera la courbe sur E = [0, ^π ₂ ] .

4. Il est évident que, au voisinage de ^π ₂ , r(θ) sin(θ − π

2 ) = −r(θ) cos θ = a cos 2θ → −a

On en déduit x(I(θ)) = r(θ) cos θ → a . La courbe admet donc comme asymptote la droite d'équation x = a .

5. Le signe de r est donné dans le tableau suivant :

0 π

4

π 2 r(θ) −a − 0 + k

Ce tableau montre que pour θ entre 0 et ^π ₄ , le point I(θ) est dans le secteur angulaire symétrique de − → e θ par rapport au point O . La gure 1 présente le cercle C , la droite D et le support de I .

6. Notons (abusivement) x = x(I(θ)) et y = y(I(θ)) . On peut alors écrire : x = −a cos 2θ = a − 2a cos ² θ ⇒ cos ² θ = a − 2x

2a y = −a cos 2θ

cos θ sin θ = x tan θ ⇒ tan θ = y x 1 + tan ² θ = 1

cos ² θ ⇒ y x

²

= 2a

a − x − 1 = a + x a − x

On en déduit que le suppoort de la courbe paramétrée I est inclus dans la courbe d'équation cartésienne

(a − x)y ² = x ² (a + x)

PARTIE II. Étude de la cissoïde droite

1. L'équation cartésienne du cercle S est immédiate :

(x + a) ² + y ² = a ² ⇔ x ² + 2ax + y ² = 0

D C

H(t)

J(t)

M (t)

Fig. 2: Cissoïde droite

2. Pour calculer les coordonnées de M (t) et H(t) , on remplace y par tx dans les équations cartésiennes du cercle C et de la droite D . On obtient :

coordonnées de M (t) : ( −2a 1 + t ² , −2a

1 + t ² ) coordonnées de H(t) : (2a, 2at)

Les coordonnées de J(t) se calculent en prenant la moyenne des précédentes. Après calcul :

coordonnées de J (t) : ( at ² 1 + t ² , at ³

1 + t ² )

3. Le calcul de la dérivée de J (t) est plus commode en utilisant une forme vectorielle : J (t) = O + at ²

1 + t ² − →

i + t − →

j

Comme souvent dans un calcul de dérivée, il est utile de factoriser le résultat. Il vient nalement :

−

→ J ⁰ (t) = at ² (1 + t ² ) ²

2 − →

i + t(3 + t ² ) − → j

D'après l'expression précédente, seul J (0) est un point stationnaire. Comme _x(t) ^y(t) = t tend vers 0 en 0 . La tangente est horizontale, avec un point de rebroussement de première espèce car le y(t) change de signe et pas le x(t) .

Soit t ₀ 6= 0 . Pour former la tangente en J (t ₀ ) , on n'utilise que la direction de la vitesse sans le facteur scalaire. L'équation est un déterminant :

x − at ² ₀

1 + t ² ₀ 2 y − at ³ ₀

1 + t ² ₀ t 0 (3 + t ² ₀ )

= 0 ⇔

(1 + t ² ₀ )x − at ² ₀ 2 (1 + t ² ₀ )y − at ³ ₀ t ₀ (3 + t ² ₀ )

= 0

⇔ t ₀ (3 + t ² ₀ )x − 2y = at ³ ₀ 4. La fonction x est paire, la fonction y est impaire. On en déduit J(−t) = s Ox (J (t)) . La

courbe est symétrique par rapport à l'axe des x . Dans l'intervalle [0, +∞[ , la fonction x est croissante de 0 à a , la fonction y est croissante de 0 à +∞ . La droite d'équation x = a est asymptote. La courbe est tracée en gure 2.

5. Pour obtenir l'équation cartésienne x = at ²

1 + t ² ⇒ t ² = x a − x y = at ³

1 + t ² ⇒ t = y x



 



 



⇒ y x

²

= x

a − x

Le support de J est inclus dans la courbe d'équation cartésienne y ² (a − x) = x ³

PARTIE III. Étude générale des cubiques circulaires

1. Les coordonnées de H (t) découlent des dénitions : (2a, 2at) .

Pour obtenir celles de M (t) , on forme d'abord l'équation cartésienne de C : x ² − 2x ₀ x + y ² − 2y ₀ y = 0

Pour M

dans cette zone : O est dans le support

la courbe a un point double ( O )

O n'est pas dans le support Pour M

dans cette zone

la courbe a un point stationnaire ( O ) Pour M

sur la parabole

Fig. 3: Conditions sur M 0 .

Dans laquelle on remplace y par tx puis on simplie par x : x − 2x 0 t + xt ² − 2y 0 t = 0 On en déduit l'expression de x en fonction de t puis :

Coordonnées de H (t) : (2 y 0 t + x 0

1 + t ² , 2t y 0 t + x 0

1 + t ² ) Les coordonnées de K(t) sont les moyennes des deux précédentes :

Coordonnées de K(t) : ( y 0 t + x 0

1 + t ² + a, t

y 0 t + x 0

1 + t ² + a

)

2. Pour la courbe K(t) , les seules branches innies se produisent lorsque t tend vers +∞

ou −∞ . La droite d'équation x = a est asymptote à la courbe.

en + ∞ : x(K(t)) = at ² + y 0 t + x 0 + a

1 + t ² → a, y(t) = tx(t) → +∞

en − ∞ : x(K(t)) = at ² + y ₀ t + x ₀ + a

1 + t ² → a, y(t) = tx(t) → −∞

3. D'après l'expression des coordonnées de K , le point O est dans le support de K si et seulement si ol existe un t réel tel que

x(t) = 0 ⇔ at ² + y 0 t + x 0 + a = 0

La condition est donc que le discriminant soit positif ou nul c'est à dire y ₀ ² − 4(x 0 + a)a ≥ 0 ⇔ y ₀ ² ≥ 4(x 0 + a)a

Le point M 0 doit donc se trouver "à l'extérieur (au sens large)" d'une certaine parabole (voir gure 3). Lorsque M 0 est à l'extérieur au sens strict, l'origine est atteinte pour deux valeurs distinctes de t c'est donc un point double. Lorsque M 0 est sur la parabole, l'origine n'est atteinte que pour une valeur de t .

4. On a déjà vu sous quelle condition l'origine était un point double. En fait, l'origine est le seul point double possible. En eet, pour un point K(t) de la courbe, y(K(t)) = tx(K(t)) . Si K n'est pas l'origine, la seule valeur possible du paramètre t est ^y(K) _x(K) ce qui interdit à K d'être un point multiple. La courbe admet donc un point double si et seulement si l'origine appartient à la courbe (voir gure 3).

5. Pour une certaine fonction λ , la fonction K(t) est de la forme : K(t) = 0 + λ(t) − →

i + t − → j On en déduit :

− →

K ⁰ (t) = λ ⁰ (t) − → i + t − →

j

+ λ(t) − →

j = λ ⁰ (t) − →

i + (tλ ⁰ (t) + λ(t)) − → j Par conséquent, si K(t ₀ ) est stationnaire :

λ ⁰ (t 0 ) = 0 tλ ⁰ (t ₀ ) + λ(t ₀ ) = 0 )

⇒ λ(t ₀ ) = λ ⁰ (t ₀ ) = 0

Le seul point stationnaire possible est donc l'origine. La condition annulant le λ ⁰ est la

même que celle annulant le discriminant de la question 3.. La courbe admet donc un

point stationnaire si et seulement si M 0 est sur la parabole (voir gure 3) et ce point

stationnaire est l'origine.