Le barème tient compte du soin (respect des consignes, propreté et qualité de la relecture) et de la rigueur (écriture mathématique, définition des objets, vérification des hypothèses etc

Vous pouvez admettre des résultats des questions précédentes en le signalant.

Si vous détectez ce que vous pensez être une erreur d’énoncé, signalez-le et indiquez ce que vous avez été amené(e) à faire.

Enfin, les résultats doivent être encadrés ou soulignés. Merci de soigner la rédaction.

Le barème tient compte du soin (respect des consignes, propreté et qualité de la relecture) et de la rigueur (écriture mathématique, définition des objets, vérification des hypothèses etc.).

LES CALCULATRICES SONT INTERDITES Problème 1

Dans tout le problème, l’espace vectoriel R³ est muni de sa structure euclidienne orientée usuelle et rapporté à sa base canonique (orthonormée directe) notée(e1, e2, e3).

On note L(R³) la R-algèbre des endomorphismes de R³, Id l’endomorphisme identique, M₃(R) la R-algèbre des matrices d’ordre 3à coefficients réels etI3 la matrice identité.

Il est demandé de faire figurer tous les calculs sur la copie.

Partie I

Soitsl’endomorphisme de R³ de matrice S= 1 3





5 −1 −1

−1 5 −1

−1 −1 5



 dans la base canonique.

1. (a) Montrer quesest un automorphisme de R³.

(b) Déterminer une équation cartésienne deKer(s−2Id) et donner sa dimension.

(c) Montrer queKer(s−Id)etKer(s−2Id) sont en somme directe et sont orthogonaux.

2. Soiente⁰₁= (1,1,1),e⁰₂= (1,−1,0)ete⁰₃ = (1,0,−1).

(a) Montrer que(e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃) est une base deR³.

(b) Déterminer la matriceS⁰ des dans la base(e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃).

(c) Calculer(S⁰)ⁿet donner une méthode de calcul deSⁿ(on ne demande pas d’effectuer lesdits calculs).

3. (a) La famille(I₃, S) est-elle libre dansM₃(R)?

(b) Montrer queS² peut s’exprimer sous forme de combinaison linéaire de I₃ etS.

(c) En déduire que pour toutn∈ N, il existe un unique couple (a_n, b_n) de réels tel queSⁿ = anI3+bnS (on convient que : ∀M ∈ M₃(R) M⁰ =I3).

(d) Donner les valeurs dea0,b0,a1,b1.

(e) Exprimer, pourn∈N, a_n+1 etb_n+1 en fonction de a_n etb_n, puis montrer que(a_n)n∈N et (bn)n∈N satisfont à une même équation de récurrence linéaire d’ordre 2, que l’on explicitera.

(f) En déduire l’expression dean etbn pour toutn∈N.

4. SoitB =S−2I3.

(a) CalculerBⁿ pourn∈N.

(b) En déduire l’expression de Sⁿ en fonction deI₃ etB pourn∈N (on pourra, après justifi- cation, utiliser la formule du binôme de Newton).

(c) Comparer avec le résultat de la question 3).

5. L’expression deSⁿ obtenue aux questions 3) et 4) est-elle valable pour n∈Z?

Partie II

Soitf l’endomorphisme deR³ de matriceA= 1 3





−1 −1 5 5 −1 −1

−1 5 −1



dans la base canonique. On pose : u=f◦s⁻¹ et on note U la matrice de u dans la base canonique.

1. CalculerU; vérifier queu est une rotation vectorielle et queu◦s=s◦u=f.

2. SoitE⁰⁰ = (e⁰⁰₁, e⁰⁰₂, e⁰⁰₃) la famille obtenue par orthonormalisation de Gram-Schmidt à partir de la famille (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃)de la question 2) de la première partie.

(a) Expliciter(e⁰⁰₁, e⁰⁰₂, e⁰⁰₃) et montrer que c’est une base orthonormale directe.

(b) Écrire la matrice U⁰ de u dans cette base et caractériser géométriquementu.

3. Exprimer, en fonction deS⁰, la matrice desdans la base E⁰⁰. En déduire celle de f.

4. (a) Quel est l’ensemble des vecteurs invariants parf?

(b) SoitP = Vect(e⁰⁰₂, e⁰⁰₃). Montrerf(P) =P. On notef|P la restriction def àP.

(c) Montrer quef_|P est la composée de deux applications linéaires simples que l’on reconnaîtra.

5. On note C(f) l’ensemble des endomorphismes de R³ commutant avec f, c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismesg tels quef◦g=g◦f.

(a) Montrer queC(f) est une sous-algèbre deL(R³).

(b) Soitg∈ C(f). Montrer que le vecteurg(e⁰⁰₁) est invariant par f. Que peut-on en déduire ? (c) SoitM la matrice de g dans la base(e⁰⁰₁, e⁰⁰₂, e⁰⁰₃). Montrer queM commute avec(S⁰)³. (d) En déduire la forme générale de la matrice d’un endomorphisme deC(f) dans la baseE⁰⁰.

(e) Quelle est la dimension de l’espace vectorielC(f)? Problème 2

Partie I

Pourα∈R^∗₊, on considère l’applicationfα, définie surR+ parfα(x) = 1 (1 +x³)^α. 1. Soitα∈R^∗₊, justifier que fα admet des primitives sur[0,+∞[.

On noteF_α la primitive de f_α qui s’annule en 0.

2. Dans cette question, on supposeα= 1.

(a) Décomposer en éléments simples surRla fraction rationnelle 1 X³+ 1. (b) DéterminerF1 puis, si elle existe, la limite de F1 en +∞.

3. Dans cette question, on supposeα= 4/3.

(a) Déterminer F⁴

3

.On pourra effectuer le changement de variables u = _x¹ en apportant toutes les justifications nécessaires.

(b) Déterminer si elle existe la limite deF⁴

3

en +∞.

4. Soitα >0.

(a) Montrer que l’applicationF_α est strictement croissante.

(b) Montrer que pour toutt∈[1,+∞[, on a 1

(2t³)^α ≤ 1

(1 +t³)^α ≤ 1 (t³)^α.

(c) En déduire queFα admet une limite en+∞ si et seulement siα > 1 3. (d) Donner un développement asymptotique en1/xde f¹

3

en +∞à la précision 1/x⁷. (e) Donner un équivalent simple en+∞ de F¹

3

. Partie II

On pose I =]1/3; +∞[. Pour α dans I, on note Z +∞

0

1

(1 +x³)^α dx la limite lim

t→+∞F_α(t). Enfin on considère l’applicationΦ définie surI parΦ(α) =

Z +∞

0

1

(1 +x³)^α dx.

1. Soit la suite(u_n)n≥2 définie paru_n= Φn 3

. (a) Montrer queΦest décroissante.

(b) Montrer que pour tout élémentα de I, on a3αΦ(α+ 1) = (3α−1)Φ(α).

(c) En déduireun∼un+1. 2. SoitA un réel strictement positif.

(a) Montrer que, pourα dansI, la limite de Z t

A

1

(1 +x³)^α dxexiste lorsque ttend vers l’infini et l’exprimer à l’aide deΦetF_α. On note cette limite

Z +∞

A

1

(1 +x³)^α dx.

(b) Montrer lim

α→+∞

Z +∞

A

1

(1 +x³)^α dx= 0.

(c) En déduire∃α₀∈I,∀α∈I,α≥α0 ⇒ Z +∞

0

1

(1 +x³)^α dx≤2A.

(d) Déterminer alors lim

α→+∞Φ(α).

3. Pourα >0, on poseΨ(α) =αΦ(α+ 1)Φ(α+¹₃)Φ(α+²₃).

(a) Pourα >0, montrer Ψ(α) = Ψ α+¹₃ . (b) Montrer n

3u³_n∼Ψ 1

3

. (c) Déduire de ce qui précède lim

α→+∞α(Φ(α))³ = Ψ 1

3

.

4. Montrer la continuité de ΦsurI et trouver un équivalent deΦ(α) quandα tend vers 1

3 +

. Question subsidiaire : qui sont ces quatre personnes ? (Ordonnez vos réponses !)

Problème 1 Partie I

Soitsl’endomorphisme de R³ de matrice S= 1 3





5 −1 −1

−1 5 −1

−1 −1 5



 dans la base canonique.

1. (a) Montrer quesest un automorphisme de R³.

(b) Déterminer une équation cartésienne deKer(s−2Id) et donner sa dimension.

(c) Montrer queKer(s−Id)etKer(s−2Id) sont en somme directe et sont orthogonaux.

2. Soiente⁰₁= (1,1,1),e⁰₂= (1,−1,0)ete⁰₃ = (1,0,−1).

(a) Montrer que(e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃) est une base deR³.

(b) Déterminer la matriceS⁰ des dans la base(e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃).

(c) Calculer(S⁰)ⁿet donner une méthode de calcul deSⁿ(on ne demande pas d’effectuer lesdits calculs).

3. (a) La famille(I₃, S) est-elle libre dansM₃(R)?

(b) Montrer queS² peut s’exprimer sous forme de combinaison linéaire de I₃ etS.

(c) En déduire que pour toutn∈ N, il existe un unique couple (a_n, b_n) de réels tel queSⁿ = anI3+bnS (on convient que : ∀M ∈ M₃(R) M⁰ =I3).

(d) Donner les valeurs dea₀,b₀,a₁,b₁.

(e) Exprimer, pourn∈N, a_n+1 etb_n+1 en fonction de a_n etb_n, puis montrer que(a_n)n∈N et (bn)n∈N satisfont à une même équation de récurrence linéaire d’ordre 2, que l’on explicitera.

(f) En déduire l’expression dean etbn pour toutn∈N.

4. SoitB =S−2I3.

(a) CalculerBⁿ pourn∈N.

(b) En déduire l’expression de Sⁿ en fonction deI3 etB pourn∈N (on pourra, après justifi- cation, utiliser la formule du binôme de Newton).

(c) Comparer avec le résultat de la question 3).

5. L’expression deSⁿ obtenue aux questions 3) et 4) est-elle valable pour n∈Z? Partie II

Soitf l’endomorphisme deR³ de matriceA= 1 3





−1 −1 5 5 −1 −1

−1 5 −1



dans la base canonique. On pose : u=f◦s⁻¹ et on note U la matrice de u dans la base canonique.

1. CalculerU; vérifier queu est une rotation vectorielle et queu◦s=s◦u=f.

2. SoitE⁰⁰ = (e⁰⁰₁, e⁰⁰₂, e⁰⁰₃) la famille obtenue par orthonormalisation de Gram-Schmidt à partir de la famille (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃)de la question 2) de la première partie.

(a) Expliciter(e⁰⁰₁, e⁰⁰₂, e⁰⁰₃) et montrer que c’est une base orthonormale directe.

(b) Écrire la matrice U⁰ de u dans cette base et caractériser géométriquementu.

3. Exprimer, en fonction deS⁰, la matrice desdans la base E⁰⁰. En déduire celle de f.

4. (a) Quel est l’ensemble des vecteurs invariants parf?

(b) SoitP = Vect(e⁰⁰₂, e⁰⁰₃). Montrerf(P) =P. On notef_|P la restriction def àP.

(c) Montrer quef_|P est la composée de deux applications linéaires simples que l’on reconnaîtra.

5. On note C(f) l’ensemble des endomorphismes de R³ commutant avec f, c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismesg tels quef◦g=g◦f.

(a) Montrer queC(f) est une sous-algèbre deL(R³).

(b) Soitg∈ C(f). Montrer que le vecteurg(e⁰⁰₁) est invariant par f. Que peut-on en déduire ? (c) SoitM la matrice de g dans la base(e⁰⁰₁, e⁰⁰₂, e⁰⁰₃). Montrer queM commute avec(S⁰)³. (d) En déduire la forme générale de la matrice d’un endomorphisme deC(f) dans la baseE⁰⁰.

(e) Quelle est la dimension de l’espace vectorielC(f)? Problème 2

Partie I

Pourα∈R^∗₊, on considère l’applicationf_α, définie surR₊ parf_α(x) = 1 (1 +x³)^α.

1. Par définition defα, elle est la composée de la fonction polynomialex7→1+x³définie et continue surR+ et à valeurs strictement positives, suivie du logarithme népérien, de la multiplication par le scalaireαet enfin de l’exponentielle. C’est donc la composée de fonctions continues (et même de classe C^∞) et est donc elle-même continue. Elle admet donc des primitives sur R₊∗ d’après le théorème de Newton-Leibniz.

Pourα∈R^∗₊,f_α admet des primitives sur[0,+∞[.

2. (a) La décomposition en facteurs irréductibles de X³+ 1 est X³+ 1 = (X+ 1)(X² −X+ 1) et le degré de la fraction rationnelle 1

X³+ 1 est strictement négatif, elle admet donc une décomposition de la forme la fraction rationnelle 1

X³+ 1 = a

X+ 1+ bX+c

X²−X+ 1 avec a, b et c réels. En multipliant par X + 1 et en spécialisant X en −1, il vient a = 1/3. En multipliant parXet en prenant la limite en+∞, il vienta+b= 0et doncb=−1/3. Enfin en spécialisant en0, on aa+c= 1et donc

la décomposition en éléments simples sur R de la fraction rationnelle 1

X³+ 1 est 1

3(X+ 1)+ 2−X 3(X²−X+ 1). (b) On aX²−X+ 1 =

X−1

2 2

+3 4 = 3

4

2X−1

√ 3

2

+ 1

!

et 2−X

3 =− 1 2√

3

2X−1

√

3 +1 2 et donc, pourtdansR₊ et en effectuant le changement de variables affineu= (2x−1)/√

3, on a :

Z dx

1 +x³ = 1 3

Z dx 1 +x −1

3

Z u

u²+ 1du+

√ 3 4

Z du u²+ 1

= 1

3ln(1 +x)−1

6ln(1 +u²) +

√ 3

4 arctan(1 +u²) +C et donc DéterminerF₁ puis, si elle existe, la limite de F₁ en+∞.

3. Dans cette question, on supposeα= 4/3.

(a) Déterminer F⁴

3.On pourra effectuer le changement de variables u = _x¹ en apportant toutes les justifications nécessaires.

(b) Déterminer si elle existe la limite deF⁴

3

en +∞.

4. Soitα >0.

(a) Montrer que l’applicationF_α est strictement croissante.

(b) Montrer que pour toutt∈[1,+∞[, on a 1

(2t³)^α ≤ 1

(1 +t³)^α ≤ 1 (t³)^α. (c) En déduire queF_α admet une limite en+∞ si et seulement siα > 1 3. (d) Donner un développement asymptotique en1/xde f¹

3

en +∞à la précision 1/x⁷. (e) Donner un équivalent simple en+∞ de F¹

3

. Partie II

On pose I =]1/3; +∞[. Pour α dans I, on note Z +∞

0

1

(1 +x³)^α dx la limite lim

t→+∞Fα(t). Enfin on considère l’applicationΦ définie surI parΦ(α) =

Z +∞

0

1

(1 +x³)^α dx.

1. Soit la suite(u_n)n≥2 définie paru_n= Φn 3

. (a) Montrer queΦest décroissante.

(b) Montrer que pour tout élémentα de I, on a3αΦ(α+ 1) = (3α−1)Φ(α).

(c) En déduireun∼un+1. 2. SoitA un réel strictement positif.

(a) Montrer que, pourα dansI, la limite de Z t

A

1

(1 +x³)^α dxexiste lorsque ttend vers l’infini et l’exprimer à l’aide deΦetFα. On note cette limite

Z +∞

A

1

(1 +x³)^α dx.

(b) Montrer lim

α→+∞

Z +∞

A

1

(1 +x³)^α dx= 0.

(c) En déduire∃α₀∈I,∀α∈I,α≥α0 ⇒ Z +∞

0

1

(1 +x³)^α dx≤2A.

(d) Déterminer alors lim

α→+∞Φ(α).

3. Pourα >0, on poseΨ(α) =αΦ(α+ 1)Φ(α+¹₃)Φ(α+²₃).

(a) Pourα >0, montrer Ψ(α) = Ψ α+¹₃ . (b) Montrer n

3u³_n∼Ψ 1

3

. (c) Déduire de ce qui précède lim

α→+∞α(Φ(α))³ = Ψ 1

3

.

4. Montrer la continuité de ΦsurI et trouver un équivalent deΦ(α) quandα tend vers 1

3 +

. Question subsidiaire : qui sont ces quatre personnes ? (Ordonnez vos réponses !)