UTC PS91
Examen Partiel P14
Dur´ee : 1h, documents autoris´es : AUCUN
Exercice 1. Questions de cours
Etant donn´es deux vecteurs A~ et B~ faisant un angleθ.
a.D´efinir le produit scalaire de ces deux vecteurs.
b. D´efinir le produit vectoriel de ces deux vecteurs.
R´eponse :voir la note Cin´ematique.pdf
Dans le rep`ere cart´esien(O, ~ex, ~ey, ~ez), on poseA~ = 1~ex+ 2~ey+ 3~ez etB~ = 3~ex+ 2~ey+ 1~ez. c.Calculez le produit scalaire et vectoriel.
R´eponse :A~·B~ = 10et A~∧B~ =−4~ex+ 8~ey −4~ez.
Exercice 2. Etude d’une trajectoire
SoitRun r´ef´erentiel et(O, ~ex, ~ey, ~ez) le rep`ere cart´esien associ´e. On s’int´eresse `a la trajectoire d’un point M d´ecrit par ses coordonn´ees cylindriques (ρ, θ, z) et on note~eρ,~eθ et ~ez les vecteurs de la base associ´ee. Les coordonn´ees sont fonctions du temps et sont donn´ees par :
ρ(t) = 1 +t, θ(t) =t, et z(t) =t, t≥0.
a.D´eterminer l’expression du vecteur vitesse en coordonn´ees polaires.
R´eponse :~v=~eρ+ (1 +t)~eθ+~ez et v=√
t2+ 2t+ 3
b. D´eterminer l’expression du vecteur acc´el´eration en coordonn´ees polaires.
R´eponse :~a=−(1 +t)~eρ+ 2~eθ
c.D´eterminer l’acc´el´eration tangentielle `a partir du vecteur tangent unitaire T.~ R´eponse :aT =~a·T~ =~av·~v = √ 1+t
t2+2t+3
d. D´eterminer l’acc´el´eration tangentielle `a partir de la norme de la vitesse.
R´eponse :aT = dvdt = d(
√t2+2t+3)
dt = √ 1+t
t2+2t+3
e. D´eterminer l’acc´el´eration normale. Comment obtenir le rayon de courbure ? R´eponse :aN =
q
||~a||2−a2T = √t4+4t√3t+11t2+2t+32+14t+14 et R=v2/aN
f.Indiquer comment calculer la longueur de la trajectoire det= 0 `at= 1s.
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R´eponse :L=R1 0
√t2+ 2t+ 3 dt
Exercice 3. Travers´ ee d’une rivi` ere
Un bateau veut traverser une rivi`ere de largeur L. Sa vitesse par rapport `a l’eau est de norme constante v, la vitesse du courant est une constante V. On consid`ere deux trajectoires possibles : la premi`ere correspond au chemin le plus court (segment AB), la deuxi`eme correspond au temps le plus court (segment AC).
V
A
B C
α
Figure1 – Travers´ee d’une rivi`ere.
a.D´eterminer le temps du trajetAB.
R´eponse :Le diagramme des vitesses s’´ecrit ~va=~vr+V~ et k~vrk=v.
V~
~va ~vr
Figure2 – Diagramme des vitesses pour le trajet le plus court en distance, cad~va estvertical.
On trouveva=k~vak=√
v2−V2 et donctAB =L/va.
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b. D´eterminer le temps du trajetAC.
R´eponse :Dans ce cas il faut que~vr soit vertical.
V~
~va
~vr
α
Figure3 – Diagramme des vitesses pour le trajet le plus court en temps.
On trouve directement tAC =L/v.
c. Dans ce dernier cas, combien de temps faut-il au bateau pour remonter la rivi`ere et revenir au point B?
R´eponse :On voit que
tanα= BC L = V
v D’o`u
tCB = BC
v−V =L V v(v−V)
d. Que se passe t-il lorsqueV est plus grand quev?
Dans ce cas, il est impossible d’effectuer le trajetAB et le bateau ne peut pas remonter la rivi`ere.
Par contre il peut quand mˆeme traverser la rivi`ere.
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