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Inéquations
Les savoir-faire du chapitre
◮ 060. Utiliser la notion d’inégalités.
◮ 061. Caractériser l’intervalle[a−r;a+r]avec une valeur absolue.
◮ 062. Résoudre une inéquation du premier degré.
◮ 063. Modéliser un problème par une inéquation.
◮ 064. Déterminer le tableau de signes d’une fonction affine.
◮ 065. Dresser le tableau de signes d’un produit ou d’un quo-
tient.
◮ 066. Résoudre une inéquation produit ou quotient.
Un peu de calcul mental
1 On donne la représentation graphique d’une
fonction fdéfinie sur[−4 ; 4].
+1 + + 2
−1
−+2 1+ 2+
Cf
0
1)Résoudref(x)>0 ...
2)Dresser le tableau de signes de f.
2
+ + + + + + + + + +
0 +
1 A
B C D
En utilisant la droite graduée ci-dessus, déterminer :
1)AB=... 4)DB=...
2)BC=... 5)BA=...
3)AD=... 6)CD=...
3 SoitA=2x−8. CalculerApour :
1)x=5, A=... 3)x=−3, A=...
2)x=−4, A=... 4)x=9, A=...
4 Donner les solutions des équations suivantes :
1)x+8=5, x=... 4)5x=0, x=...
2)3x−6=0, x=... 5)x
5 =1, x=...
3)4x+1=0, x=... 6)8−2x=0, x=...
Savoir-faire - Méthodes
060 Utiliser la notion d’inégalités.
1)Sachant que 1, 414<√
2<1, 415 et 1, 732<√
3<1, 733,
a)donner un encadrement à 10−3près de√
2+√
3 et en déduire un encadrement de√
2+√
3 à 10−1près.
. . . . . . . .
b)donner un encadrement à 10−3près de 4√
2−1.
. . . . . . . .
2)Sachant que−4<x<−1 et 3<y<8, donner un encadrement de :
a)x+y b)x−y c)2x−3y
. . . . . . . . . . . .
3)Dans chacun des cas suivants, donner un encadrement dex:
a)−7<x+6<4 b)−6<4−2x<2
. . . . . . . . . . . . . . . .
061 Caractériser l’intervalle[a−r; a+r]avec une valeur absolue.
1)Caractériser les intervalles suivants avec une inégalité de la forme|x−a|6r:
a) I= [2 ; 8] . . . .
b)J= [−6 ; −2] . . . .
c) 0 1
K
. . . .
2)Caractériser par un intervalle l’ensembleLdes réelsxtels que|x+3|62.
. . . . . . . .
062 Résoudre une inéquation du premier degré.
Résoudre dansRles inéquations suivantes :
1)3x+6<0 2)1−5x>3x+4 3)2x+6<5 4)−6x+4>4x−3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
063 Modéliser un problème par une inéquation.
Un cinéma propose deux tarifs :
• Tarif 1 : 8,25e la place.
• Tarif 2 : 4,75e la place sur présentation d’une carte d’abonnement de 27e valable 1 an.
A partir de combien de places a-t-on intérêt à s’abonner ?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
063 Modéliser un problème par une inéquation.
Pour transporter des enseignes, une société souhaite comparer les tarifs de deux entreprises : l’entreprise « Vitli-
vré » propose une somme de 3,20epar kilomètre parcouru, tandis que l’entreprise « Rapido » propose un forfait
de 180e puis une somme de 2epar kilomètre parcouru.
A partir de quel kilométrage l’entreprise « Rapido » est-elle plus intéressante ?
. . . . . . . . . . . . . . . .
063 Modéliser un problème par une inéquation.
Un pré rectangulaire a pour longueur 80 m. Le cultivateur doit encore décider de sa largeurx, exprimée en mètres.
Il souhaite que le périmètre de ce pré soit inférieur à 240 m. En même temps, il voudrait que son aire soit supérieure à 3 000 m2.
1)Traduire ces deux informations par deux inéquations.
2)Résoudre ces inéquations et donner les valeurs possible de la largeurxde ce pré.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
064 Déterminer le tableau de signes d’une fonction affine.
Représenter les fonctions, puis dresser le tableau de signes des fonctions affines suivantes :
• f1(x) =2x−4 • f2(x) =4−x • f3(x) = 1
3x−1
. . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 0
x f1(x)
−∞ . . . +∞
1 1 0
x f2(x)
−∞ . . . +∞
1 1 0
x f3(x)
−∞ . . . +∞
065 Dresser le tableau de signes d’un produit ou d’un quotient.
Pour étudier le signe d’un produit ou d’un quotient, on étudie le signe de chaque facteur de ce produit ou du
numérateur et du dénominateur s’il s’agit d’un quotient, puis on applique larègle des signes. On utilise un
tableau pour cela.
Attention aux valeurs interdites dans le cas d’un quotient.
Dresser les tableaux de signes de chacune des fonctions suivantes : 1)f(x) = (2x+4)(1−x) 2)g(x) =1−4x
x+2 3)h(x) =x(x+1)(−2x+10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
065 Dresser le tableau de signes d’un produit ou d’un quotient.
Si l’expression n’est pas sous la forme d’un produit ou d’un quotient, on la transforme pour qu’elle le devienne....
à moins que cela ne soit pas possible.... dans ce dernier on regarde d’un peu plus près.
Dresser les tableaux de signes de chacune des fonctions suivantes :
1)f(x) =x2+x(factorise) 3)h(x) =x2+8 (on regarde) 2)g(x) =1− 1
x(mise au même dénominateur) 4)u(x) = (x+2)2−9 (on factorise)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
066 Résoudre une inéquation produit ou quotient.
SiA(x)est un produit ou un quotient, pour résoudre des inéquations du typeA(x)>0,A(x)<0,A(x)>0 ou
A(x)60, il faut d’abord étudier le signe deA(x).
Résoudre les inéquations :
1)(−3x+4)(2x+3)<0 2)x+1
4−x >0 3)x2+x>0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
