1 Section 182 des Recherches arithmétiques de Gauss∗
182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remarquables au- tant à cause de leur élégance, que par l’assiduité avec laquelle Euler s’en est occupé.
1◦. Aucun nombre, à moins que son résidu quadratique ne soit -1, ne peut être représenté par la forme x2 +y2, dans laquelle x et y sont pre- miers entre eux, ou sont décomposables en deux nombres quarrés premiers entre eux ; mais tous les nombres qui jouiront de cette propriété pourront se décomposer en deux quarrés. Soit M un de ces nombres et ±N, ±N0,
±N00, etc. les valeurs de l’expression √
−1 (mod M) ; alors par le n◦ 176, la forme M, N,N2+ 1
M
!
sera proprement équivalente à la forme (1,0,1) ; soit x=αx0+βy0, y =γx0+δy0 une transformation propre de la forme (1,0,1) en la forme M, N,N2+ 1
2
!
; on aura les quatre représentations suivantes du nombre M par la forme x2+y2, savoir, x =±α, y =±γ;x =∓γ, y=±α.† (2◦. -n◦180).
Comme la forme (1,0,1) est ambiguë, il est évident que la forme M,−N,N2+ 1
M
!
lui est aussi proprement équivalente, et que la première se change en la seconde par la transformation propre x=αx0−βy0, y =−γx0+δy0, d’où naissent quatre représentations de M appartenantes à
−N,x=±α, y =∓γ;x=±γ, y=∓α. Il suit de là qu’il y a huit représenta- tions du nombre M, dont quatre appartiennent à la valeur N, et quatre à la valeur −N. Mais toutes ces représentations donnent la même décomposition du nombre M en deux quarrés, M = α2 +γ2, tant qu’on ne considère que les quarrés et non l’ordre et les signes des racines.
∗. (mise au format LaTex D.Vella-Chemla, 7.5.2019)
†. ∓plutôt que±pour le second y ?
2
Si donc il n’y a pas d’autres valeurs que N et −N pour l’expression
√−1 (mod M), ce qui arrive, par exemple, toutes les fois que M est un nombre premier, M ne pourra être décomposé que d’une manière en deux quarrés. Or comme −1 est résidu de tous les nombres premiers de la forme 4n+ 1 (n◦108), et qu’un nombre premier ne peut évidemment se partager en deux quarrés non premiers entre eux, nous aurons le théorème suivant.
Tout nombre premier de la forme 4n+ 1 peut être décomposé en deux quarrés, et ne peut l’être que d’une seule manière.
Ainsi :
1 = 0 + 1 5 = 1 + 4 13 = 4 + 9 17 = 1 + 16 29 = 4 + 25 37 = 1 + 36 41 = 16 + 25 53 = 4 + 49 61 = 25 + 36 73 = 9 + 64 89 = 25 + 64 97 = 16 + 81
etc.
Ce théorème élégant a été donné par Fermat, mais Euler est le premier qui l’ait démontré,Comm. nov. Petr. T. V. ann. 1754 et 1755. p. 3. Dans le T. IV, il existe une dissertation sur le même sujet, p. 8 ; mais alors il n’était pas parvenu à son but.
Si donc un nombre de la forme 4n + 1 ne peut pas être décomposé en deux quarrés, ou peut l’être de plusieurs manières, on sera sûr que ce n’est pas un nombre premier.
Mais réciproquement, si l’expression √
−1 (mod M) a encore d’autres valeurs que N et −N, il y aura d’autres représentations de M. Ainsi, dans ce cas, M peut se décomposer en deux quarrés de plusieurs manières ; par exemple : 65 = 1 + 64 = 16 + 49,221 = 25 + 196 = 100 + 121.
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Les autres représentations dans lesquelles xetyprennent des valeurs non premières entre elles, se trouvent facilement par notre méthode. Observons seulement que si le nombre M renferme des facteurs de la forme 4n + 3, dont on ne puisse pas le délivrer en le divisant par un quarré, ce qui arrivera toutes les fois que le nombre M renfermera des puissances impaires de ces facteurs, il ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés (**).
(**) Soit le nombreM = 2µ.S.aαbβcγ, etc., ensorte quea, b, c, etc. soient des facteurs premiers inégaux de la forme 4m+ 1, etSle produit de tous les facteurs premiers de la forme 4n+ 3 ; cette forme donnée au nombreMconvient dans tous les cas ; pourM impair, il suffit de faireµ= 0 ; siMne renferme aucun facteur de la forme 4n+ 3, on feraS= 1 : siSn’est pas un quarré,Mne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés ; mais siSest un quarré, il y aura12(α+1)(β+1)(γ+1), etc. décompositions deM, lorsque quelqu’un des nombresα, β, γ, etc. sont impairs, et il y en aura 12(α+ 1)(β+ 1)(γ+ 1), etc.+12, quand tous les nombresα, β, γ, etc. seront pairs, tant qu’on ne fait attention qu’aux carrés eux- mêmes. Ceux qui ont quelque habitude du calcul des combinaisons, déduiront sans peine de notre théorie générale la démonstration de ce théorème, auquel nous ne pouvons nous arrêter, non plus qu’à d’autres particuliers (Voyez n◦105).
