Corrigé Devoir maison n°2 I
1. lim
x−∞
x2−2x3 x−1 =lim
x−∞x=−∞; lim
x∞
x2−2x3 x−1 =lim
x∞ x=∞
lim
x1-x−1=0-, lim
x1+x−1=0+ et lim
x1 x2−2x3=2, d'où lim
x1-
f x=−∞ et lim
x1+
f x=∞
2. La courbe représentative de f posséde une tangente parallèle à la droite d'équation y=−x si et seulement si f 'x=−1, or f 'x= 2x−2x−1−x2−2x3
x−12 =x2−2x−1
x−12 . d'où f 'x=−1⇔x2−2x−1
x−12 =−1⇔x2−2x−1=−x−12⇔2x2−4x=0⇔2xx−2=0 donc la courbe représentative de f posséde une tangente parallèle à la droite d'équation y=−x si et seulement si x=0 ou x=2.
On déduit de la formule de la tangente y=faf 'ax−a l'équation de chacune des tangentes : en 0 ( y=−x−3) et en 2 ( y=−x5)
3. a . x−1 2
x−1=x−1x−12
x−1 =x2−2x3
x−1 = fx d'où le résultat.
b . On a lim
x1-
f x=−∞ et lim
x1+
f x=∞ entraîne que la droite d'équation x=1 est une asymptote à la courbe représentative de f .
limx∞ f x−x−1=lim
x∞x−1 2
x−1−x−1=lim
x∞
2
x−1=0 d'où la droite D d'équation y=x−1 est une asymptote oblique à la courbe représentative C de f en −∞et en ∞. c. f x−x−1=x−1 2
x−1−x−1= 2
x−1 du signe de x−1. On en déduit le tableau suivant:
x −∞ 1 −∞
f x−x−1 — +
Position de C par rapport à D
C est en dessous de D C est au dessus de D 4. f 1hf 1−h=1h−12
h1−h−1−2
h=0=2×0, d'où I (1 ; 0) est un centre de symétrie de C.
II - u1=1;un1=2un1.
1. u1=1;u2=3;u3=7;u4=15. 2. Voir annexe.
3. Notons Pn:un=2n−1
• P1 est vraie car 21−1=1=u1
• Supposons la propriété vraie à un certain rang n, alors
un1=2un1=2×2n−11=2n1−21=2n1−1 donc Pn1 est vraie.
Conclusion : par récurrence sur n , on a pour tout n1,un=2n−1 . III – Notons, pour x−1 , Pn:1xn1n x
• P0 est vraie car 1x0=1=10×x
• Supposons la propriété vraie à un certain rang n, alors
1xn1=1xn×1x1n x1x d'après l'hypothèse de récurrence et 1x0 . or 1n x1x=1n1xn x21n1x car n x20 ,
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d'où 1xn11n x1x1n1x, et donc Pp1 est vraie.
Conclusion : Par récurrence, Pnest vraie pour tout n0. ANNEXE
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