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èmeDM n°4 : Angles
CORRECTION
1) Triangles iso-zigzags
Un triangle iso-zigzag est un triangle isocèle dans lequel ont peut construire un zigzag, c'est-à-dire une ligne brisée faite de segments de même longueur, partant du côté principal, passant alternativement par les côtés égaux et se terminant sur le sommet principal.
L'illustration montre un triangle iso-zigzag ABS contenant le zigzag ABCDEFGH constitué de huit segments de même longueur. Pour réaliser un tel triangle l'angle principal ASB doit mesurer 12°
(180÷15=12). Les autres valeurs de l'angle principal pour obtenir des triangles iso-zigzags sont données dans le tableau ci-dessous.
Nombre de segments dans le zigzag 2 3 4 5 6 7 8
Angle principal (en °) : la formule 180÷3 180÷5 180÷7 180÷9 180÷11 180÷13 180÷15
Angle principal calculé (en °) 60 36 ≈ 25,72 20 ≈ 16,36 ≈ 13,85 12
a) Construire deux triangles iso-zigzags différents dont un comporte 4 segments dans le zigzag. Les segments des zigzags doivent avoir une longueur de 5 cm.
La construction de ces triangles iso-n-zigzag (nous ajoutons le nombre n de segments identiques du zigzag dans le nom pour que ce soit plus clair) est très simple dés lors que l'on connaît l'angle principal du triangle isocèle, ce qui était donné. J'ai effectué le calcul pour être encore plus clair.
Le premier de ces triangles, le triangle iso-2-zigzag est un triangle équilatéral (ses trois angles sont égaux à 60°). Le second, le triangle iso-3-zigzag, est un triangle d'or (ses côtés sont dans le rapport du nombre d'or φ≈1,618 et ses angles sont 36° et 2×36=72°). Celui qui était obligatoirement demandé est le triangle iso-4-zigzag dont l'angle principal ne tombe pas juste (180÷7≈ 25,72°). L'autre était à choisir parmi toutes les autres possibilités.
Le principe de la construction est montré pour le triangle iso-6-zigzag (encadré sur l'llustration) : on commence par construire les côtés de l'angle principal du triangle isocèle connaissant la mesure de cet angle (donné par le tableau). Ensuite, on place un point sur un côté à une distance du sommet égale à la longueur d'un segment du zigzag (ce sera celle de la base principale du triangle) : 5 cm d'après l'énoncé. Pour obtenir l'extrémité du 2ème segment du zigzag, on reporte la longueur à partir du point d'intersection qui a été créé à l'étape précédente. Le dernier segment est la base principale du triangle : si la construction est précise, celle-ci doit être perpendiculiare à l'axe de symétrie du triangle. Pour le triangle iso-6-zigzag, il faut tracer 4 cercles. Pour le triangle iso-8-zigzag de l'énoncé, il faut en tracer 6. J'ai effectué les constructions avec GeoGebra pour une meilleure précision mais on peut arriver à de bons résultats en utilisant des outils traditionnels.
b) Les triangles iso-zigzags ont la particularité de pouvoir s'assembler autour du sommet principal pour constituer de belles rosaces. Par exemple avec 8 segments dans le zigzag, il faut 30 triangles.
Sur la 1ère illustration, j'ai mis tous les triangles de la même façon, en tournant de 12° entre chaque triangle ; j'ai effacé les côtés égaux des triangles et utilisé 3 couleurs pour souligner la divisibilité de 30 par 3. Faire de même pour tracer la rosace avec le triangle iso-zigzag comportant 4 segments dans le zigzag (celui de la question a) en soulignant avec le coloriage la divisibilité de 14 par 2.
Voici la rosace intégrant quatorze triangles iso-4-zigzag en une rosace dessinant un tétradécagone régulier (tetradécagone = polygone à 14 côtés). J'ai souligné avec mes couleurs la divisibilité de 14 par 2 : 2×7 ou bien 7×2. Il y a deux possibilités (en alternance, à gauche ou bien en opposition, à droite).
Si on retourne alternativement un triangle sur deux, on obtient une rosace qui a des axes de symétrie. Sur la 2ème illustration, j'ai ainsi retourné 15 des 30 triangles et effacé les côtés égaux des triangles. Le coloriage souligne ici les couronnes de losanges que dessine cette figure.
Faire de même avec la rosace précédente.
J'ai donné ci-contre deux versions du coloriage qui ont chacune leur intérêt.
Celle qui était suggérée par l'énoncé est à gauche, elle souligne les 3 couronnes de losanges. L'autre dessine 7 spirales autour du centre.
2) Ostomachion
Ostomachion est un très ancien puzzle géométrique attribué à Archimède1. Il s'agit d'une dissection du carré en quatorze pièces polygonales dont deux sont en double (notées $ et & dans la figure ci- dessous qui montre un découpage du carré de côté 12 avec les pièces de l'Ostomachion).
a) Tracer un Ostomachion sur votre copie (vous pouvez utiliser le quadrillage) en respectant bien le tracé (tous les points sont sur un croisement du quadrillage). En utilisant le rapporteur, mesurer les angles internes des douze différentes pièces de ce puzzle (mesures effectuées à 1° près). Écrire ces mesures directement dans la figure.
Lorsqu'on mesure les angles avec un rapporteur, les mesures sont effectuées au degré le plus proche. J'ai donc arrondi les valeurs des mesures au degré près (figure ci-contre).
b) Reporter vos mesures dans un tableau de douze lignes, une par pièce, en ordonnant les pièces selon leur nombre de côtés, dans l'ordre décroissant de leur plus grand angle. En cas d’ex-æquo, si les plus grands angles sont égaux, le classement se fait dans l'ordre décroissant de leur 2ème plus grand angle. Dans chaque ligne indiquer le nom de la pièce (Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z, & ou $) et les mesures des angles dans l'ordre décroissant.
Pièce Angle 1 (+ grand) Angle 2 Angle 3 Angle 4 Angle 5
U (pentagone) 153 135 90 90 72
Z (Quadrilatère n°1) 135 127 72 27 Y (Quadrilatère n°2) 124 90 83 63 T (Triangle n°1) 139 27 14
Q (Triangle n°2) 124 45 11 R (Triangle n°3) 108 56 15
les angles 1 étant égaux, on range ces pièces selon les angles 2
V (Triangle n°4) 108 53 18
& (Triangles n°5) en double 108 45 27
W (Triangle n°6) 90 63 27
Idem ici
X (Triangle n°7) 90 56 34
S (Triangle n°8) 76 63 41
$ (Triangle n°9) en double 72 63 45 1 Archimède est un mathématicien ingénieur grec (Syracuse, 287 – 212 avant J.-C.)
La question n'était pas posée, mais combien de variété d'angles a t-on et combien de chaque sorte?
Répondre à cette question peut être utile pour la suite : il y en a 21 sortes (détail dans le tableau suivant), les plus fréquents sont l'angle droit, le demi angle droit et l'angle de 27° (5 occurrences chacun).
N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Angle (°) 153 139 135 127 124 108 90 83 76 72 63
Nbr (Pièces) 1 (U) 1 (T) 2 (Z, U) 1 (Z) 2 (Q, Y) 4 (R, V, &,
&)
5 (W, X, Y, U, U)
1 (Y) 1 (S) 4 ($, $, Z,
U)
4 (W, S, $,
$, Y)
N° 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Angle (°) 56 53 45 41 34 27 18 15 14 11
Nbr (Pièces) 2 (R, X) 1 (V) 5 (Q, &,
&, $, $)
1 (S) 1 (X) 5 (T, &,
&, W, Z)
1 (V) 1 (R) 1 (T) 1 (Q)
Une autre question qui pouvait être utile de se poser pour réaliser des figures avec ces pièces de puzzle : quels angles peuvent s'associer pour en faire un autre? Difficile de répondre pour tous les angles. Pour faire un angle plat, par exemple, on a 7 possibilités : on peut associer les angles n°1 et 17, ou bien les angles n°2 et 15, ou bien les angles n°3 et 14, ou bien les angles n°4 et 13, ou bien les angles n°5 et 12, ou bien les angles n°6 et 10, ou bien deux angles 7 (droits). On peut aussi associer trois angles pour faire un angle plat, ou quatre...
Je n'ai pas voulu vous surcharger, mais ce puzzle permet de composer d'autres formes que le carré.
Ci-dessous sont quelques réalisations possibles avec les quatorze pièces. Les couleurs indiquent la symétrie des formes (rouge : un axe de symétrie – bleu : 2 axes – vert : un centre – gris : pas de symétrie).
On pense que Archimède avait recherché le nombre de combinaisons différentes de pièces qui donnaient le grand carré. On a découvert le texte original d'Archimède sur l'Ostomachion en 1906, dans les traces effacées d'un parchemin liturgique grec. Ce palimpseste, qui fut vendu 2 000 000 $ en 1998, contient quelques éléments descriptifs concernant les angles de la dissection.
