Géométrie dans un repère
Classe de 1ère
I - Rappels : Vecteurs colinéaires
Définition : Deux vecteurs ~u et~v sont colinéaires si et seulement si l’un est le produit de l’autre par un réel.
Propriété : Soit deux vecteurs~u(x;y) et~v(x0;y0) dans une base du plan.
• le nombre x y0−x0y est appelé déterminantdes vecteurs ~u et~v et notéd et(~u,~v)
• ~u et~v sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
II - Équations cartésiennes de droites
Propriété : Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax+b y +c =0 avec a et b réels non nuls simultanément etc réel quelconque
Preuve : Soit d la droite passant par le point A(xA;yA) et~u Ãα
β
! .
M(x;y) appartient à d ⇔ −−→
AM et~u sont colinéaires.
⇔ Le déterminant de−−→
AM et~u est nul.
⇔ (x −xA)×β−α(y −yA)=0
⇔ βx−αy+(−βxA+αyA)=0
Remarque : Toute droite d’équations cartésienneax +b y+c =0 possède pour vecteur directeur le vecteur~u
Ã−b a
!
Exemple : Soient A(1; 2) et B(3; 7) deux points d’un plan, nous souhaitons déterminer une équation de la droite (AB).
• Méthode n°1 : un point M(x;y) appartient à (AB) si et seulement si −−→
AM et −→
AB = 0 sont coli- néaires.
Les vecteurs−−→
AM et −→
AB =0 ont pour coordonnées respectives−−→
AM
Ãx−1 y −2
!
et−→
AB Ã2
5
!
On obtient alors :
M(x;y) appartient à (AB) ⇔ −−→
AM et AB~ sont colinéaires.
⇔ Le déterminant de−−→
AM et−→
AB est nul.
⇔ (x −1)×5−2×(y−2)=0
⇔ 5x−2y−1=0
5x−2y−1=0 est donc une équation cartésienne de (AB)
• Méthode n°2 : Le vecteur −→
AB Ã2
5
!
est un vecteur directeur de la droite (AB). Celle-ci possède donc une équation de la forme :
5x−2y +c =0
Or le point A appartient à la droite (AB) donc, en remplaçant ses coordonnées dans l’équation de (AB), on obtient :
5×1−2×2+c =0⇔5−4+c =0⇔c =1 D’où l’équation 5x−2y +c =0.
Définition : Un vecteur~n est ditnormal à une droited s’il est orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
Propriété : La droite d d’équation cartésienne ax +b y +c = 0 admet pour vecteur normal le vecteur~n
Ãa b
!
Preuve : Comme vu précédemment~u Ã−b
a
!
est un vecteur directeur de d .
Or a×(−b)+b×a =0donc~u et~v sont orthogonaux et~n est bien un vecteur normal à d . Remarque : Un vecteur normal àd est en fait orthogonal à tout vecteur directeur ded.
Exemple : Considérons la droited d’équation 3x+7y−5=0, un vecteur directeur ded est~u Ã−7
3
!
et un vecteur normal de d est~n Ã3
7
! .
III - Équations cartésiennes de cercles
Définition :
On appellecerclede centre A et de rayonr >0 l’ensemble des pointsM du plan qui sont à la distance r de A.
Propriété : On se place dans un repère orthonormé (O,~i,~j).
Soient A(a;b) etr >0, une équation du cercle de centre A et de rayonr est : (x −a)2+(y−b)2=r2
On peut également écrire cette équation sous la forme :
x2+y2−2ax−2b y+c avec c =a2+b2−r2
Preuve : Le cercle de centre A et de rayon r est composé de l’ensemble des points M(x;y) tels que AM =r ⇔ AM2=r2.
Le repère étant orthonormé, AM2=(x−a)2+(y−b)2 d’où (x−a)2+(y−b)2=r2. La deuxième équation s’obtient simplement en développant la première.
Exemple : Dans un repère orthonormé (O,~i,~j) une équation du cercle de centre A(2;−1) et de rayon
