4z 2 − 20z + 37

T S 29avril 2019

Devoir surveillé

durée :1h15

Exerie 1 2 points

Pour haque armation , indiquer si elle est vraie ou fausse, en justiant la réponse. Il est attribué un point par

réponseexateorretement justiée.Une réponse inexateou non justiéenerapporte nin'enlève auun point.

Armation 1 : l'équation

ln(6x − 2) + ln(2x − 1) = ln(x)

^{admetdeux solutions dans}l'intervalle

1 2 ; +∞

.

On onsidèredans

C

l'équation :

4z ² − 20z + 37

(2z − 7 + 2

ⁱ

) = 0.

Armation 2 :lessolutionsdel'équationsontlesaxesdepointsappartenantàunmêmeerledeentrelepoint

P d'axe

2

^.

Exerie 2 8 points

On onsidère, pour toutentier

n > 0

^,lesfontions

f n

^déniessur l'intervalle [1; 5℄par :

f n (x) = ln x x ⁿ .

.Pour toutentier

n > 0

^{,on note}

C ⁿ

^{la ourbe}représentative de lafontion

f n

^{dansun repère}orthogonal.

Sur legraphique i-dessoussont représentées les ourbes

C n

^pour

n

appartenant à

{1 ; 2 ; 3 ; 4}

^.

0 1 2 3 4 5

0 0,5

1. Montrer que, pourtout entier

n > 0

^ettoutréel

x

^de l'intervalle [1;5℄:

f n ^′ (x) = 1 − n ln(x) x ⁿ⁺¹ .

2. Pour tout entier

n > 0

^{,on admetque lafontion}

f n

^{admetun maximum sur}l'intervalle [1;5℄.

Onnote

A n

^{lepoint de laourbe}

C ⁿ

^{ayant pour ordonnéee maximum.}

Montrer quetous lespoints

A n

appartiennent àune même ourbe

Γ

^d'équation

y = 1

e

ln(x).

3. a. Montrer que,pour toutentier

n > 1

^ettoutréel

x

^del'intervalle [1;5℄:

0 6 ln(x)

x ⁿ 6 ln(5) x ⁿ .

b. Montrer quepour tout entier

n > 1

^:

Z 5

1

1

x ⁿ

^d

x = 1 n − 1

1 − 1

5 ^{n − 1}

.

. Pour tout entier

n > 0

^{, on} s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surfae sous la ourbe

f n

^,

'est-à-direl'aire dudomaine duplandélimitéparlesdroites d'équations

x = 1

^,

x = 5

^,

y = 0

^{et laourbe}

C n

^.

Déterminer lavaleurlimite deette aire quand

n

^tendvers

+∞

^.