R ÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU TYPE f ( x) = 0 C ONSTRUCTION D ’ UN ABAQUE
1 Objectifs
L’objectif de ce tp est de se placer dans de le cas d’équations n’ayant pas de solution analytique mais dont on cherche à approcher la solution par une méthode numérique. On réalisera ainsi un abaque, document de référence synthétisant les résultats de la simulation numérique.
On pourra utiliser les méthodes par dichotomie, par algorithmes de Newton ou de fausse position ou encore l’outil de résolutionfsolvede Python. Il est possible d’importer toutes les fonctions créées dans le Tp précédent (SIM-NUM-1 Tp-1), pour les utiliser dans ce Tp.
Pour faire appel aux fonctions, placer en tête du nouveau programme la ligneimport MonMod_Newton_minimal as Ms.
2 Abaque du temps de réponse à 5%
2.1 Réponses temporelles d’un système du 2nd ordre
On considère le circuit RLC série suivant. D’après la loi des mailles :
u(t) = R.i(t)+s(t)+L.di
dt(t) avec i(t)=C.ds dt(t) d’oùu(t) = s(t)+R.C.ds
dt(t)+L.C.d2s dt2(t)
⇒ u(t) = s(t)+ 2.ξ ω0.ds
dt(t)+ 1 ω20.d2s
dt2(t) (1)
R
C
L
u(t) s(t)
i(t)>
Dans le cas d’une entrée constanteu(t) =1 avec comme conditions initialess(0)= s0(0)= 0, la solutions(t) de l’équation (1) peut se mettre sous la forme générale suivante :
siξ>1 →s(t) = 1+ e−ω0.t.(ξ+
√ξ2−1).(ξ−
qξ2−1)−e−ω0.t.(ξ−
√ξ2−1).(ξ+ q ξ2−1) 2.q
ξ2−1 siξ=1 →s(t) = 1−(1+ω0.t).e−ω0.t
siξ<1 →s(t) = 1− e−ξ.ω0.t q
1−ξ2sin
ω0.p
1−ξ2.t+arctan
q
1−ξ2 ξ
avec ω0= √1
L.C et ξ= R 2.q
C L
Dans les 3 cas, lim
t→∞s(t)=1. Comme la fonctionsest continue∀t∈R+et ques(0)=0 alors :
∃t5%∈R+/∀t≥t5%, 0,95≤ s(t)≤1,05
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On appellet5%le temps de réponse à 5% du système. On cherche ici à déterminerX=ω.t5%pour toutξ∈R+∗. 2.2 Cas oùξ≥ 1
Commescrée une bijection deR+dans [0,1] pour toutξ∈[1,∞[, le problème, pour ces valeurs deξdevient alors à trouver Xtel que :
siξ>1 →0 = 0,05+ e−X.(ξ+
√ξ2−1).(ξ−
qξ2−1)−e−X.(ξ−
√ξ2−1).(ξ+ q ξ2−1) 2.q
ξ2−1
=∆ F1(X)
siξ=1 →0 = 0,05−(1+X).e−X =∆ F2(X) avec :
F01(X) = −e−X.(ξ+
√ξ2−1)−e−X.(ξ−
√ξ2−1)
2.q ξ2−1 F02(X) = X.e−X
Q - 1:Mettre en place un algorithme de Newton pour résoudre F1(X) = 0, ∀ξ ∈]1,∞[ et pour ξ = 1, ré- soudre F2(X)=0.
2.3 Cas où0< ξ <1
Dans le cas oùξ∈]0,1[, la fonction sn’est pas monotone surR+. En revanche, elle admet des extremums locaux tous lestk tels que :
ω0.tk = k.π q
1−ξ2
et s(tk)=1−(−1)k.e−k. ξ.π√
1−ξ2 avec k∈N. Notons quek=− q
1−ξ2
ξ.π .ln (|s(tk)−1|) Q - 2:Puisque|s(tk)−1|est une suite décroissante, déterminer k0, la plus petite valeur de k telle que0,95 <
s(tk) < 1,05. Proposer alors un algorithme permettant de fournir un premier candidat x0 à la méthode de Newton pour les casξ∈]0,1[,ξ=1etξ >1.
siξ>1 → x0= 1 ξ−
q 1−ξ2 siξ=1 → x0=4,75
siξ<1 → x0= π q
1−ξ2
.2.k0−1 2
La fonctionsétant monotone sur ]tk0−1,tk0[, il va donc être possible d’y rechercher la solution du problème par une méthode de Newton. On distingue alors 2 cas:
k0est pair → s(t5%)=1,05 k0est impair→ s(t5%)=0,95 Q - 3:Programmer alors une fonction F(X,k0)telle F(ω0.t5%,k0)=0.
2.4 Construction de l’abaque∀ξ∈R+
Q - 4:Construire un programme permettant de calculerω0.t5%pour une répartition linéaire ou logarithmique de n valeurs deξ∈]10−p,10p[avec p∈N. Commencer avec p=1
Q - 5 :Tracer alors ω0.t5% en fonction de ξ ∈]10−p,10p[ avec p ∈ N sur des échelles logarithmiques ou linéaires.
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10−2 10−1 100 101 102 100
101 102 103
ξ Tr−5%.ω0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
ξ Tr−5%.ω0
Temps de réponse à 5% réduitTr−5%.ω0en fonction du coefficient d’amortissement, en échelle logarithmique (à gauche) et en échelle linéaire (à droite)
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