Partie I. G´EOM´ETRIE PROJECTIVE LIN´EAIRE

Partie I. G´

EOM´

ETRIE

PROJECTIVE LIN´

EAIRE

Introduction historique

On ne peut parler de g´eom´etrie sans ´evoquer Euclide, et quelques-uns des r´esultats que nous ´etudierons sont d´ej`a dans les ´El´ements. Cependant, dans cette premi`ere partie, comme la g´eom´etrie consid´er´ee n’est pas m´etrique, l’aspect euclidien sera peu pr´esent.

Pappus

Parmi les successeurs d’Euclide dont le nom apparaˆıt dans l’histoire de la g´eom´etrie projective, on peut citer M´en´ela¨us (vers 80 apr`es J.-C.), dont nous rencontrerons le th´eor`eme le plus c´el`ebre, ou Ptol´em´ee, par l’utilisation qu’il fait de la projection.

Cependant, c’est aux travaux de Pappus (quatri`eme si`ecle apr`es J.-C.) qu’il faut accorder une attention particuli`ere. En effet, dans ses Collections math´ematiques2, ce g´eom`etre prouve plusieurs th´eor`emes essentiels qui ap-paraˆıtront dans ce qui suit. Le plus important d’entre eux, (prop. 129 des Collections, qu’il prouve en utilisant le th´eor`eme de Thal`es, voir 3.8.1 ci-dessous) est le fait que, quand on coupe un pinceau de quatre droites par une transversale, le birapport3 _{est ind´ependant de la s´ecante, voir 3.1.5. Il}

d´eduit plusieurs r´esultats de ce fait et de sa r´eciproque et notamment (prop. 139) le th´eor`eme qui porte son nom, voir 2.2.1 ci-dessous, avec une preuve qui est presque exactement celle que nous donnons4_{. Il en d´eduit aussi (prop.}

145) la propri´et´e de la polaire et de la division harmonique, voir 2.4.1. Il est amusant de noter, comme le fait Chasles p. 34, que le r´esultat de la prop. 129, n’a pas ´et´e beaucoup utilis´e par les g´eom`etres qui ont suivi Pappus. On verra pourtant que, de notre point de vue, il est essentiel5 _{(il signifie que}

les perspectives sont des homographies et nous en ferons un usage constant).

1. L’une de mes sources principales est le livre de Michel Chasles Aper¸cu historique sur l’origine et le d´eveloppement des m´ethodes en g´eom´etrie, r´e´edit´e par J. Gabay en 1989.

2. Pappus of Alexandria, Book 7 of the Collection (2 vol.) ; ´edit´e, traduit, comment´e par Alexander Jones, Springer Verlag, 1986.

3. Pappus ne voit pas le birapport comme le quotient de deux rapports de lon-gueurs, mais comme le rapport de deux aires. Ainsi, pour exprimer l’´egalit´e de birapports [[A, B, C, D]] = [[A0, B0, C0, D0]], il dit, en substance : Le rectangle d´efini par CA et DB est au rectangle d´efini par CB et DA comme le rectangle d´efini par C0A0 et D0B0 est au rectangle d´efini par C0_B0 _{et D}0_A0_{, ce qui signifie qu’on a} CA.DB

CB.DA =

C0A0.D0B0

C0_B0_.D0_A0. Le mot

rapport anharmonique pour d´esigner le birapport est introduit par Chasles dans l’Aper¸cu historique. Le mot birapport est encore plus r´ecent. En anglais on parle de cross-ratio, en allemand de Doppelverh¨altnis.

4. Mais dite avec les birapports, ou leurs variantes “rectangles”.

5. Chasles en est bien conscient et la Note IX de l’Aper¸cu est consacr´ee au birapport.

Enfin, Pappus ´etudie aussi certaines propri´et´es de points de la droite (par exemple sa prop. 22 et les suivantes) que l’on peut interpr´eter aujourd’hui comme celles des involutions (voir ci-dessous, ch. 3).

Comme la g´eom´etrie de Pappus se place dans le cadre euclidien et qu’il n’est pas fait mention d’une utilisation de points `a l’infini, cela empˆeche qu’on la classe d’embl´ee comme projective, mais on voit qu’elle contient en germe beaucoup des notions que nous allons ´etudier ici.

Desargues

Mˆeme si on peut la relier `a l’utilisation de la perspective en peinture, notamment `a l’´epoque de la renaissance, la premi`ere naissance v´eritable de la g´eom´etrie projective doit ˆetre associ´ee au nom de Girard Desargues (1591-1661)6. Apr`es plusieurs essais sur la perspective dont l’un, dat´e de 1636, s’intitule : Exemple de l’une des mani`eres universelles du Sieur Girard De-sargues de Lyon touchant la pratique de la perspective sans emploier aucun tiers point, de distance ny d’autre nature, qui soit hors du champ de l’ouvrage, dans lequel on voit apparaˆıtre pour la premi`ere fois l’id´ee d’une g´eom´etrie sans mesure, il publie le Brouillon-project d’une atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan (1639). Dans ce livre, on trouve notamment l’´enonc´e de ce que l’on appelle maintenant le th´eor`eme de Desargues sur les pinceaux de coniques, voir ci-dessous 3.5.6. On peut encore citer le Brouillon-project d’exemple d’une mani`ere universelle touchant la practique du traict `

a preuves pour la coupe des pierres (1640), qui montre que les vis´ees de De-sargues ´etaient tr`es li´ees aux applications pratiques, et surtout le Livre de t´en`ebres, qui a disparu, mais dont on retrouve des fragments dans le Trait´e de perspective d’un de ses disciples, A. Bosse, et qui renferme l’autre th´eor`eme essentiel de Desargues, celui sur les triangles (cf. 2.3.3), avec les deux ver-sions, dans l’espace et le plan (et d’ailleurs, Desargues est conscient de la possibilit´e de passage de l’un `a l’autre). Dans ces ouvrages, Desargues utilise notamment la perspective, le birapport et les points `a l’infini7_{, mˆeme s’ils ne}

sont pas clairement d´efinis. Cependant, Desargues est d´ecri´e en son temps8 et son œuvre reste largement m´econnue, notamment parce que ses

manus-6. Voir le livre de R. Taton, L’œuvre math´ematique de G. Desargues, PUF, 1951. 7. Voici ce que dit Descartes `a ce sujet : Pour votre fa¸con de consid´erer les lignes parall`eles comme si elles s’assemblaient `a un but `a distance infinie, afin de les comprendre sous le mˆeme genre que celles qui tendent `a un point, elle est fort bonne ... .

8. Comme le dit Chasles : Ces d´etails montrent le g´enie de Desargues, dont ses plus illustres contemporains, Descartes, Pascal, Fermat, faisaient le plus grand cas ; mais que des hommes m´ediocres, dont la nouveaut´e et la g´en´eralit´e de ses vues surpassaient l’intel-ligence, ont pers´ecut´e et d´egoˆut´e.

crits sont perdus, jusqu’au XIX-i`eme si`ecle o`u Chasles a retrouv´e une copie du livre sur les coniques faite par La Hire.

Signalons aussi, au XVII-i`eme si`ecle les travaux de Pascal, et notamment son th´eor`eme sur l’hexagone inscrit dans une conique, qu’il obtient (en 1639, il a 16 ans) par projection `a partir du cas du cercle. Nous reverrons abon-damment ce r´esultat dans la partie III.

Poncelet

La seconde naissance de la g´eom´etrie projective est due `a Jean-Victor Poncelet (1788-1867). Lieutenant du g´enie dans la Grande Arm´ee de Na-pol´eon, Poncelet est fait prisonnier par les Russes `a la bataille de Krasno¨ı en 1812 et passe deux ans en captivit´e `a Saratov (1812-1814). C’est l`a que, sans aucun livre, il retrouve une bonne partie de la g´eom´etrie d’Euclide, mais aussi celle de ses maˆıtres `a l’Ecole Polytechnique : Monge et Carnot et qu’il invente une nouvelle g´eom´etrie qu’il appelle projective. Comme Desargues, il dit (cf. [Pon62] p. 373) qu’il s’agit d’´etudier les propri´et´es des figures ... li´ees entre elles par des conditions g´en´erales de position ind´ependantes de toute grandeur ou mesure d´etermin´ee.

Son ouvrage principal Trait´e des propri´et´es projectives des figures ([Pon62], [Pon64]) est publi´e en 1822. Le principe fondateur de cette g´eom´etrie est la notion de perspective (ou projection centrale). Il n’est peut-ˆetre pas inutile d’expliquer en quoi consiste cette op´eration qui va permettre de comprendre les d´efinitions qui vont suivre. Pour ´etudier la g´eom´etrie d’un plan (affine), on le plonge dans l’espace `a trois dimensions. On prendra par exemple ici, dans R3 muni des coordonn´ees (x, y, t), le plan P d’´equation t = 1. On consid`ere un autre plan de R3 _{(non parall`ele au premier), par exemple ici le plan Q}

d’´equation x = 1. On prend enfin un point de l’espace n’appartenant pas `a ces plans, par exemple o = (0, 0, 0). La projection π, de centre o, de P sur Q associe `a un point p de P le point d’intersection q de la droite (op) avec Q. La g´eom´etrie projective est donc, essentiellement, une g´eom´etrie de la r`egle. Cette application est injective, mais elle n’est pas d´efinie si (op) est pa-rall`ele `a Q et les points q ∈ Q tels que (oq) soit parall`ele `a P ne sont pas dans l’image de π. Dans notre exemple, π associe `a (x, y, 1) le point (1, y/x, 1/x). Elle n’est pas d´efinie pour les points (0, y, 1) et les points non atteints sont les (1, y, 0).

On voit facilement que ces projections conservent les propri´et´es d’inci-dence des figures9 _{(intersection, contact), qu’elles transforment droites en}

9. Pour Poncelet (ibid p. 377) il s’agit essentiellement de figures form´ees par des points, des droites, des coniques, voire des courbes alg´ebriques de plus grands degr´es.

droites, coniques en coniques et qu’elles conservent plus g´en´eralement le degr´e des courbes alg´ebriques (vu comme le nombre de points d’intersection de la courbe avec une droite g´en´erique).

Poncelet (cf. [Pon64] p. 425) appelle projective une figure dont les par-ties n’auront entre elles que des d´ependances ... indestructibles par l’effet de la projection et l’id´ee de la g´eom´etrie projective est que, pour montrer une propri´et´e projective, on a int´erˆet `a projeter la figure pour la transformer en une figure plus simple. Il montre par exemple (ibid p. 380) qu’on peut tou-jours projeter une famille de droites concourantes sur une famille de droites parall`eles, ou l’inverse, ou projeter une conique sur un cercle. Cette m´ethode n’est d’ailleurs pas tout `a fait nouvelle, puisque c’est celle qu’avait utilis´ee Pascal pour prouver le th´eor`eme sur l’hexagone ´evoqu´e ci-dessus, mais Pon-celet va la syst´ematiser.

Pour pallier les deux difficult´es ´evoqu´ees ci-dessus (non d´efinition et non surjectivit´e de π), Poncelet a recours `a la d´efinition d’´el´ements `a l’infini : les points p tels que (op) est parall`ele `a Q s’envoient “`a l’infini” dans Q, et les points q de Q tels que (oq) soit parall`ele `a P proviennent des points “`a l’infini” de P . Il s’agit l`a de notions qui avaient ´et´e introduites avant lui, mais l’usage des projections permet d’en donner une d´efinition assez satisfaisante. En effet, les points (x, y, 1) `a distance finie de P correspondent bijectivement aux droites (op), avec p ∈ P , tandis que les points `a l’infini correspondent aux droites (op) parall`eles `a P , c’est-`a-dire aux droites qui joignent o aux points (x, y, 0) (deux tels points donnant la mˆeme droite, donc le mˆeme point `a l’infini de P , s’ils sont proportionnels). De plus, comme ces derni`eres, par π s’envoient sur des points align´es (ici les points (1, y0, 0)), et que la projection conserve l’alignement, on peut, `a bon droit, voir les points `a l’infini de P comme formant une droite.

En d´efinitive, les points p du plan projectif bP obtenu en adjoignant `a P ses points `a l’infini correspondent bijectivement aux droites projetantes issues de o, qui sont de la forme :

{(λx, λy, λt) | λ ∈ R∗ }

avec x, y, t non tous nuls. Le triplet (x, y, t) est ce qu’on appelle un syst`eme de coordonn´ees homog`enes pour p (c’est justifi´e par le fait que deux triplets pro-portionnels donnent le mˆeme point). Poncelet n’utilise pas ces coordonn´ees, mais elles sont introduites peu apr`es (1829), par Pl¨ucker, dans un article paru au Journal de Crelle Ueber ein neues Coordinatensystem. Elles apparaissent d’ailleurs comme distances (orient´ees) d’un point `a trois droites donn´ees du plan10_{. Cette introduction des coordonn´ees homog`enes permet de d´ecrire les}

ho-points `a l’infini, d’introduire les ´equations homog`enes pour les droites, les coniques et les courbes alg´ebriques de plus grands degr´es. Elle permet aussi de justifier l’usage des points cycliques, que Poncelet utilisait de mani`ere informelle. Voici ce que dit Pl¨ucker11 _{: Ebenso stossen wir in diesem}

Sys-tem auf den andern Poncelet’schen Satz, “dass zwei concentrische Kreise in unendlicher Entfernung einen imagin¨aren doppelten Contakt haben”.

D`es les ann´ees 1840 les coordonn´ees homog`enes sont syst´ematiquement utilis´ees par les g´eom`etres. On les trouve notamment en maints endroits dans les volumineuses œuvres de Cayley. Une pr´esentation tr`es claire en est donn´ee dans le livre de O. Hesse Vorlesungen ¨uber analytische Geometrie des Raumes12_.

La fin de l’histoire ?

Il serait trop long de r´esumer ici l’explosion des g´eom´etries au XIX-i`eme si`ecle, avec en particulier la naissance des g´eom´etries non euclidiennes, anallagmatique, etc. et leurs liens avec la g´eom´etrie projective, et nous re-viendrons d’ailleurs sur ces questions dans les parties suivantes. On peut consid´erer que le point d’orgue de ce si`ecle de recherches en g´eom´etrie est le programme d’Erlangen de Felix Klein que nous avons ´evoqu´e dans l’introduc-tion. Le lecteur aura d’ailleurs un bon aper¸cu de la g´eom´etrie du XIX-i`eme si`ecle dans deux livres de Klein Vorlesungen ¨uber h¨ohere Geometrie13_et

Vor-lesungen ¨uber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert14_.

La plupart des auteurs du XIX-i`eme si`ecle15 utilisent soit la d´efinition analytique avec les coordonn´ees homog`enes, soit une d´efinition empirique de l’espace projectif en adjoignant des ´el´ements `a l’infini `a l’espace affine. Dans la plupart des cas cela se fait sans avoir un support axiomatique bien solide (voir cependant les travaux de Peano16 _{et de Pasch}17 _{dans les ann´ees}

1880-1890).

Dans ce texte, nous utiliserons d`es les premi`eres lignes la notion d’espace vectoriel, l’espace projectif ´etant vu comme comme un quotient d’un espace vectoriel priv´e de 0. Bien entendu, cette approche abstraite un peu p´edante

mog`enes usuelles.

11. De mˆeme, nous rencontrerons dans ce syst`eme un autre th´eor`eme de Poncelet “que deux cercles concentriques ont un double contact imaginaire `a l’infini”.

12. Springer, 1861.

13. Springer 1926, premi`ere ´edition 1893. 14. Springer 1979, premi`ere ´edition 1926.

15. Et cela dure jusqu’au d´ebut du XX-i`eme si`ecle, voir par exemple le livre d’Enriques. 16. Geometric Calculus, trad. L.C. Kannenberg, Birkha¨user.

17. Vorlesungen ¨uber h¨ohere Geometrie, Springer, 1882.

revient essentiellement `a l’usage des coordonn´ees homog`enes des anciens. Il faut bien ˆetre conscient que le mot “espace vectoriel”, qui nous est si familier, ne s’est impos´e que tr`es tard dans la litt´erature. On sait que c’est Hermann Grassmann18 _{qui est le premier initiateur de cette notion (mais pas avec ce}

nom), mais il ne me semble pas qu’il l’utilise pour donner une d´efinition de l’espace projectif19. Elle est aussi dans le livre de Peano cit´e plus haut, sous une forme plus proche du concept habituel.

En d´epit de ces d´efinitions, la notion est peu utilis´ee et, au d´ebut du si`ecle, un livre comme celui de Maxime Bˆocher Introduction to higher alge-bra20 qui fait autorit´e en mati`ere d’alg`ebre lin´eaire (et o`u l’on trouve no-tamment les notions d’ind´ependance, d’applications lin´eaires, de matrices et de d´eterminants), utilise exclusivement des n-uplets de quantit´es (donc des ´el´ements de Rn) ou des polynˆomes, et ne prononce pas le mot “espace vecto-riel”, mˆeme s’il note que les r`egles v´erifi´ees par ces objets sont les mˆemes. Le premier ouvrage qui pr´esente `a nos oreilles une tonalit´e r´esolument moderne en la mati`ere est sans doute le Moderne Algebra de Van der Waerden (1930) dont on sait qu’il influen¸ca fortement le groupe Bourbaki.

18. Ausdehnungslehre, 1862, traduction fran¸caise de Flament, Blanchard 1994 ou tra-duction anglaise Extension Theory AMS et London Math. Soc. 2000. On peut signaler aussi le travail d’Hermann Grassmann fils Projektive Geometrie der Ebene Teubner 1909. 19. Je n’ai pas lu Grassmann dans le d´etail, mais je note, dans cette œuvre dense et parfois obscure, cette phrase qui concerne les points `a l’infini : kein algebrisches Gesetz f¨ur das Unendliche gilt (aucune loi alg´ebrique ne vaut pour l’infini).

Chapitre 1

L’espace projectif et ses

sous-espaces

Dans ce chapitre on d´efinit les principales notions relatives `a l’espace projectif : points, sous-espaces, homographies, rep`eres, on explique le lien entre espaces affines et projectifs et on commence `a d´evelopper la notion de dualit´e. Rappelons que nous avons choisi l’entr´ee dans la g´eom´etrie projective via l’alg`ebre lin´eaire. Nous nous en sommes expliqu´e dans l’introduction. Que le lecteur qui trouverait ce chapitre un peu th´eorique se rassure : il fera de la g´eom´etrie d`es le chapitre suivant.

Dans tout ce qui suit on travaille sur un corps commutatif1 k. Dans le premier chapitre, on consid`ere un k-espace vectoriel E de dimension n + 1, avec n ≥ 0.

1.1

D´

efinition de l’espace projectif

Soit R la relation d’´equivalence d´efinie sur E − {0} par

xRy ⇐⇒ ∃λ ∈ k∗, y = λx

(autrement dit, x et y sont colin´eaires). Les classes d’´equivalence pour cette relation sont les droites vectorielles de E, priv´ees de 0. On d´efinit alors :

1. Le lecteur curieux qui s’int´eresse au cas d’un corps non commutatif consultera par exemple le livre d’Artin [Art62].

1.1.1 D´efinition. L’espace projectif associ´e `a E est l’espace quotient P(E) := (E − {0})/R et l’entier n est appel´e dimension de P(E). Lorsque l’on a E = kn+1 on note P(kn+1) = Pn(k) et cet espace est appel´e espace projec-tif standard de dimension n. On note p : E − {0} → P(E) la projection canonique.

1.1.2 Remarque. Lorsque n est ´egal `a 0, 1, 2 on dit que P(E) est un point, une droite projective ou un plan projectif respectivement. Une premi`ere ex-plication de la d´eperdition de 1 entre les dimensions annonc´ees de E et de P(E) tient au fait que les fibres de p (c’est-`a-dire les images r´eciproques p−1(x) pour x ∈ P(E)) sont de dimension 1. On verra une autre explication en 1.4 ci-dessous.

1.1.3 Notations.

1) Les ´el´ements de P(E) sont appel´es points (et on doit les penser comme tels et non comme des droites) et not´es avec des minuscules : a, x, etc. Les ´el´ements de E sont appel´es vecteurs. On utilisera deux types de notations pour pr´eciser le lien entre vecteurs et points : on notera _ba un ant´ec´edent de a ∈ P(E) dans E et, inversement, p(x) = x pour x ∈ E − {0}.

2) Supposons qu’on ait identifi´e E et kn+1 par le choix d’une base. Soit x = (x0, x1, . . . , xn) un vecteur de E d’image x. On dit que x est un syst`eme

de coordonn´ees homog`enes de x. Cela signifie que les xisont non tous nuls

et que λx = (λx0, . . . , λxn) (avec λ ∈ k∗) a aussi pour image x (donc est un

autre syst`eme de coordonn´ees homog`enes de x, ce qui justifie l’appellation).

1.2

Sous-espaces projectifs

1.2.1

D´

efinition

1.2.1 D´efinition. Soit F un sous-espace vectoriel non nul de E, de di-mension m + 1, avec 0 ≤ m ≤ n. L’image F = p(F − {0}) est appel´e un sous-espace projectif de P(E) de dimension m.

1.2.2 Remarques.

1) Cette d´efinition est justifi´ee par le fait que la relation de colin´earit´e sur F est la restriction de celle sur E, de sorte que F est canoniquement en bijec-tion avec l’espace projectif P(F ).

2) L`a encore, on dit que F est un point si on a m = 0, une droite si m = 1, un plan si m = 2, un hyperplan si m = n − 1.

3) Les notions pr´ec´edentes permettent de d´evelopper une g´eom´etrie dans l’es-pace projectif, comme dans les esl’es-paces affines usuels. On peut ainsi parler de

points align´es ou colin´eaires (a, b, c sont align´es s’il existe une droite projec-tive qui les contient), de droites concourantes (A, B, C sont concourantes si leur intersection contient un point), de points coplanaires, etc. On utilisera d’ailleurs le vocabulaire euclidien usuel : une droite passe par un point, deux droites se coupent en un point, etc.

1.2.3 D´efinition. Soit H un hyperplan vectoriel de E, d´efini comme noyau d’une forme lin´eaire non nulle f ∈ E∗. On dit que f est une ´equation de l’hyperplan projectif H. Cette ´equation est d´efinie `a un scalaire multiplicatif pr`es.

1.2.4 Exemple. Dans le plan P2_{(k), muni des coordonn´ees homog`enes (x, y, t),}

une droite projective est d´efinie par une ´equation de la forme ux+vy+wt = 0, avec u, v, w non tous nuls.

1.2.2

Propri´

et´

es d’incidence

Les propri´et´es ci-dessous, qui fondent la g´eom´etrie projective, sont imm´ediates en revenant `a l’espace vectoriel :

1.2.5 Th´eor`eme. Soit P(E) un espace projectif de dimension n ≥ 2. On a les propri´et´es suivantes :

1) Par deux points distincts a, b passe une droite et une seule, que nous noterons (ab).

2) Par trois points a, b, c non align´es passe un plan et un seul, que nous noterons (abc).

D´emonstration. Pour 1) il suffit de noter que si _ba et bb sont deux vecteurs relevant a, b, ils sont non colin´eaires, donc d´eterminent un plan vectoriel (_ba, bb), dont l’image dans le projectif est une droite projective contenant a, b. Le raisonnement est analogue dans le cas de trois points.

La proposition suivante est fondamentale : 1.2.6 Proposition. On suppose E de dimension 3.

1) Soit x un point de P(E) de repr´esentant x ∈ E et soit D une droite de P(E) d’´equation f ∈ E∗. Le point x est sur la droite D si et seulement si on a f (x) = 0.

2) Soient x, y, z trois points de P(E) de repr´esentants x, y, z ∈ E. Ces points sont align´es si et seulement si les vecteurs x, y, z sont lin´eairement d´ependants.

3) Soient F, G, H trois droites de P(E) d’´equations f, g, h ∈ E∗. Ces droites sont concourantes si et seulement si les formes f, g, h sont lin´eairement d´ependantes.

D´emonstration. Les points 1) et 2) sont ´evidents. Pour 3), on peut ´ecrire le syst`eme d’´equations correspondant ou appliquer 2) au plan dual (voir 1.6.5).

1.2.3

Th´

eor`

emes d’intersection

L’un des int´erˆets essentiels de l’espace projectif, par rapport `a l’affine, est d’offrir des th´eor`emes d’intersection sans exceptions.

1.2.7 Th´eor`eme. Soit P(E) un espace projectif de dimension n et soient V = A, W = B deux sous-espaces projectifs de P(E), de dimensions r et s, avec r + s − n ≥ 0, provenant de sous-espaces vectoriels A, B de E. Alors, on a V ∩ W = A ∩ B et V ∩ W est un sous-espace projectif de dimension ≥ r + s − n (et en particulier il est non vide).

D´emonstration. Cela r´esulte aussitˆot du th´eor`eme d’intersection des sous-espaces vectoriels : dim(A + B) + dim(A ∩ B) = dim A + dim B.

1.2.8 Exemple.

Si n = 2, deux droites distinctes du plan projectif se coupent en un point et un seul. Si n = 3, un plan et une droite ont au moins un point commun et en ont un seul si la droite n’est pas incluse dans le plan ; deux plans distincts se coupent suivant une droite, etc... Dans le cas g´en´eral de dimension n, une droite et un hyperplan ont au moins un point commun et en ont un seul si la droite n’est pas contenue dans l’hyperplan.

On voit que les ´enonc´es sont les mˆemes que ceux de l’espace affine, avec la diff´erence notable qu’il n’y a plus d’exceptions : plus de droites ou de plans parall`eles. On peut dire, en quelque sorte, que la g´eom´etrie projective correspond au cas “g´en´erique” de la g´eom´etrie affine : le cas o`u il n’y a pas de parall`eles.

1.3

Les homographies

Dans ce paragraphe nous d´efinissons les homographies qui sont les mor-phismes entre espaces projectifs, c’est-`a-dire les applications entre ces objets qui en conservent les structures. Comme, dans notre pr´esentation, les es-paces projectifs proviennent des eses-paces vectoriels, il est naturel de partir des bonnes applications entre ceux-ci : les applications lin´eaires.

1.3.1

D´

efinition

Soient E, E0 deux espaces vectoriels et soit u une application lin´eaire de E dans E0. Il s’agit de d´efinir, `a partir de u, une application entre les

espaces projectifs par passage au quotient. Comme u conserve la colin´earit´e, la formule u(x) = u(x) a un sens, sauf si u(x) est nul. Autrement dit, la seule chose `a imposer c’est que u soit injectif. En fait, on pr´ef`ere se limiter au cas bijectif (pour avoir aussi les applications inverses) :

1.3.1 D´efinition. Soit u : E → E0 une application lin´eaire bijective. L’ap-plication bijective u : P(E) → P(E0) d´efinie par u(x) = u(x) est appel´ee une homographie.

1.3.2 Remarque. Pour une explication du mot homographie, cf. 1.4.1. 1.3.3 Proposition.

1) La compos´ee de deux homographies est une homographie. En particulier, l’ensemble des homographies de P(E) dans lui-mˆeme est un groupe not´e P GL(E).

2) Le groupe P GL(E) est isomorphe au quotient de GL(E) par le groupe k∗ des homoth´eties de E.

3) L’image par une homographie d’un sous-espace projectif est un sous-espace projectif de mˆeme dimension. En particulier les homographies conservent l’alignement (on dit encore que ce sont des collin´eations).

D´emonstration. Le point 1) r´esulte du fait que la compos´ee de deux appli-cations lin´eaires bijectives est une application lin´eaire bijective.

Pour 2), il est clair que les homoth´eties op`erent trivialement sur P(E). R´eciproquement, si une application lin´eaire u transforme tout vecteur en un vecteur colin´eaire, on v´erifie que u est une homoth´etie (voir Exercice 1.7.2).

Enfin, si F est un sous-espace projectif de P(E), on a u(F ) = u(F ), ce qui prouve l’assertion 3).

1.3.4 Remarque. Le point 3) admet une r´eciproque partielle, appel´ee th´eor`eme fondamental de la g´eom´etrie projective, voir ci-dessous chapitre 4.

1.3.2

Homographies, matrices, d´

eterminant

Si l’espace vectoriel E de dimension n + 1 est muni d’une base e0, . . . , en,

l’application qui `a un automorphisme u ∈ GL(E) associe sa matrice A dans la base des ei est un isomorphisme de GL(E) sur le groupe GL(n + 1, k)

des matrices inversibles (n + 1) × (n + 1) `a coefficients dans k. Cet isomor-phisme induit un isomorisomor-phisme du groupe des homographies P GL(E) sur le groupe P GL(n + 1, k) = GL(n + 1, k)/k∗. L’homomorphisme d´eterminant, det : GL(E) → k∗ induit par passage au quotient un homomorphisme det : P GL(E) → k∗/(k∗)n+1 <sub>(o`u l’on note (k</sub>∗₎n+1 _{le sous-groupe de k}∗

form´e des ´el´ements de la forme λn+1 _{avec λ ∈ k}∗_{) dont le noyau est le groupe}

P SL(E), image des automorphismes de d´eterminant 1. On sait que ce groupe est simple (sauf dans deux cas exceptionnels), cf. [Per96], [Die70].

1.4

Espaces affines et espaces projectifs

Ce qui suit est une premi`ere approche du lien affine-projectif. Le lecteur est suppos´e familier avec la notion d’espace affine pour laquelle on le renvoie `

a [Ber90], [Aud06], [MCD07].

Pour l’essentiel, on a choisi de traiter cette question avec des coordonn´ees. En effet, tout espace affine peut ˆetre identifi´e, par le choix d’un rep`ere affine, `

a l’espace num´erique kn _{et c’est en ce sens que nous l’entendrons ici. Une}

variante intrins`eque est toutefois donn´ee au dernier paragraphe. Elle sera utile dans les parties II et V.

1.4.1

Des espaces affines dans l’espace projectif

Supposons que l’espace vectoriel E, de dimension n + 1, est muni d’une base, de sorte que l’on a P(E) = Pn_{(k), avec les coordonn´ees (x}

0, x1, . . . , xn).

Soit H l’hyperplan vectoriel d’´equation x0 = 0 et H l’hyperplan projectif

associ´e et posons U = Pn(k) − H. On a une bijection ϕ : U → kn qui `a x (avec x = (x0, x1, . . . , xn)) associe (x1/x0, . . . , xn/x0). Cette application est

bien d´efinie : sur U , x0 est non nul et l’image ne d´epend pas du syst`eme de

coordonn´ees homog`enes de x. Elle est bijective, la r´eciproque ´etant donn´ee par (x1, . . . , xn) 7→ (1, x1, . . . , xn).

Comme l’hyperplan H est un espace projectif de dimension n − 1, ce qui pr´ec`ede d´ecrit l’espace projectif Pn_{(k) de dimension n comme r´eunion}

disjointe d’un espace affine kn de dimension n et d’un espace projectif H de dimension n − 1. On peut aussi dire qu’on a plong´e l’espace affine de dimension n dans un espace projectif de mˆeme dimension. Les points de kn

seront dits “`a distance finie”, ceux de H “`a l’infini”.

Bien entendu cette notion d’infini est relative au choix de l’hyperplan H et il est tout `a fait possible d’en changer en prenant par exemple les autres hyperplans xi = 0 ou d’autres encore. En v´erit´e, dans l’espace projectif il n’y

a pas d’infini : l’infini est une notion affine !

1.4.2

La droite projective

On prend n = 1, on appelle (x, t) les coordonn´ees de k2 et on choisit t = 0 comme hyperplan H “`a l’infini”. En fait, comme tous les points (x, 0) de H

sont colin´eaires, H est r´eduit au seul point ∞ = (1, 0) et on identifie k et P1_{(k) − {∞} par x 7→ (x, 1). On voit donc qu’une droite projective est une}

droite affine, `a laquelle on a adjoint un unique point `a l’infini.

La figure ci-dessous illustre ce qui pr´ec`ede. La droite projective P1_{(k) est}

l’ensemble des droites passant par l’origine. On associe `a chaque droite de P1(k) son intersection avec la droite affine D d’´equation t = 1, except´e pour l’axe des x qui est parall`ele `a D et correspond au point `a l’infini ajout´e `a D.

t x 0 1 (x,1) x

Figure 1.1 – La bijection entre les droites passant par l’origine et la droite projective

L’´ecriture ci-dessus donne le cardinal de la droite projective si k est fini et, si k = R ou C, des renseignements de nature topologique : la droite projective est le compactifi´e d’Alexandroff de la droite affine donc hom´eomorphe `a un cercle si k = R ou `a une sph`ere si k = C (voir exercice 1.7.6 pour la d´efinition de la topologie).

On peut aussi utiliser cette d´ecomposition pour d´ecrire les homographies de la droite projective :

1.4.1 Proposition. Avec les notations pr´ec´edentes, les homographies de P1(k) sont les applications de la forme f (x) = ax + b

cx + d, avec a, b, c, d ∈ k v´erifiant ad − bc 6= 0 et les conventions suivantes :

1) si on a c = 0, f (x) est de la forme ax + b (application affine) et on pose f (∞) = ∞, 2) si on a c 6= 0, on pose f (−d c) = ∞ et f (∞) = a c.

D´emonstration. Le point essentiel est de noter qu’en vectoriel l’image de (x, 1) par l’application lin´eaire de matrice a b

c d 

est (ax + b, cx + d), soit,

en projectif, le point ax + b

cx + d (au moins si x 6= − d c).

1.4.2 Remarque. On reconnaˆıt les homographies au sens ´el´ementaire du terme, avec les conventions usuelles par rapport `a l’infini, que l’on peut relier dans les cas k = R ou C, aux limites de f lorsque x tend vers −d/c ou lorsque |x| tend vers l’infini.

1.4.3

Le plan projectif

On utilise les coordonn´ees (x, y, t) et toujours t = 0 comme hyperplan `a l’infini. Cette fois H est form´e des points de coordonn´ees homog`enes (x, y, 0) et c’est donc une droite projective not´ee D∞. Le compl´ementaire de H est

form´e des points (x, y, 1), il est isomorphe au plan affine k2 _{par oubli de la}

troisi`eme coordonn´ee.

Les droites projectives du plan

Cherchons les droites projectives de P2_{(k). Une telle droite D est donn´ee}

comme image d’un sous-espace de dimension 2 de k3_{, donc par une unique}

´equation lin´eaire non triviale : ux + vy + wt = 0 (avec u, v, w non tous nuls) et il y a deux cas de figure :

1) Si u = v = 0 on peut supposer w = 1 et D n’est autre que D∞.

2) Sinon, on regarde la trace D de D dans le plan affine k2 : on trouve les points (x, y) v´erifiant ux+vy+w = 0 c’est-`a-dire une droite affine. On cherche aussi la trace de D sur D∞, on trouve les points (x, y, 0) avec ux + vy = 0,

il y a un unique point, dont on peut prendre (v, −u, 0) comme coordonn´ees homog`enes. Le point `a l’infini de D est appel´e direction de D et d’ailleurs une droite affine D0 est parall`ele `a D si et seulement si elle a pour ´equation ux + vy + w0 = 0, donc le mˆeme point `a l’infini que D : deux droites sont parall`eles si et seulement si elles se coupent sur la droite de l’infini.

Pour r´esumer on voit que les droites projectives distinctes de D∞

cor-respondent bijectivement aux droites affines, chaque droite projective ´etant munie, en plus, d’un point `a l’infini qui correspond `a sa direction.

D

D'

D

_!

Figure 1.2 – Droites parall`eles

Th´eor`emes affines et th´eor`emes projectifs

Ce qui pr´ec`ede ´etablit un lien entre la g´eom´etrie affine et la g´eom´etrie projective. Ce lien peut ˆetre exploit´e de deux mani`eres diff´erentes et quelque peu contradictoires.

On peut choisir de prouver les th´eor`emes de g´eom´etrie (Pappus, De-sargues, M´en´ela¨us, Pascal, etc.) en g´eom´etrie affine, avec les outils de cette g´eom´etrie : le passage au vectoriel, les barycentres, les aires, les transla-tions et les homoth´eties, etc., puis de g´en´eraliser ces th´eor`emes en projectif en changeant de droite de l’infini. Il faut, pour que cela soit possible, que les th´eor`emes en question soient “projectifs”, i.e. qu’une homographie n’alt`ere ni leurs hypoth`eses, ni leurs conclusions (c’est le cas par exemple du th´eor`eme de Pappus). Pour de nombreuses applications de cette technique, voir par exemple [Ber90].

On peut, `a l’inverse, prouver ces th´eor`emes en projectif (lorsque leur ´enonc´e est projectif, bien entendu ; cela peut n´ecessiter un travail de tra-duction, voir par exemple le th´eor`eme de C´eva), puis les sp´ecialiser en affine (en choisissant des ´el´ements `a l’infini particuliers), voir ci-dessous 2.2.3, 2.2.4, 2.3.5, 3.6.4, 3.6.7, 3.6.13, voire en euclidien, cf. 3.5.9, 3.8.11. Nous avons choisi syst´ematiquement cette option tout au long de ce texte. Il y a une raison “philosophique” `a cela : nous pensons que les th´eor`emes sont plus faciles `a prouver quand ils sont d´ebarrass´es de leur gangue, c’est-`a-dire des hypoth`eses inutiles (ici les hypoth`eses affines ou euclidiennes) et qu’ils ont trouv´e, en quelque sorte, leur niche ´ecologique privil´egi´ee. Cette conviction repose essentiellement sur notre lecture de la th´eorie des invariants et nous

nous en expliquerons plus longuement dans la Partie II.

1.4.4

Variante intrins`

eque

Rappelons bri`evement la d´efinition intrins`eque (c’est-`a-dire sans coordon-n´ees) d’un espace affine. On consid`ere un ensemble X sur lequel op`ere un espace vectoriel V . Pour des ´el´ements x ∈ X et ~v ∈ V , on note x + ~v cette op´eration (on pensera `a une translation). On suppose que l’op´eration est simplement transitive. Cela signifie qu’´etant donn´es deux points x, y ∈ X il existe un unique vecteur ~v qui v´erifie x + ~v = y. Ce vecteur est not´e −xy et on→ a deux propri´et´es :

• La relation de Chasles : −xz = −→ xy + −→ →yz pour tous x, y, z ∈ X.

• Le fait que, pour a ∈ X fix´e, l’application x 7→ −ax est une bijection de→ X sur V .

Ces propri´et´es constituent d’ailleurs une d´efinition alternative d’espace affine.

Revenons `a l’espace projectif P(E) associ´e `a l’espace vectoriel E. Soit H un hyperplan de E et posons U = P(E) − P(H). On choisit une ´equation T de H, T ∈ E∗. Si x est un point de U , on a T (x) 6= 0.

1.4.3 Proposition. L’application qui `a h ∈ H et x ∈ U associe h.x = x + T (x)h est bien d´efinie. C’est une op´eration de H sur U , simplement transitive, de sorte qu’elle fait de U un espace affine sous H. Pour des points x, x0 <sub>∈ U , le vecteur</sub>−→<sub>xx</sub>0 <sub>est ´egal `a</sub> x

0

T (x0₎−

x

T (x). Il est ind´ependant du choix des repr´esentants2 _{x et x}0 _{des points x, x}0_.

D´emonstration. On v´erifie aussitˆot que x + T (x)h ne d´epend pas du choix du repr´esentant de x et que c’est une op´eration. Soient x, x0 _{deux points de}

U , de repr´esentants x, x0. On cherche h ∈ H et λ ∈ k∗ tels que l’on ait x + T (x)h = λx0. Comme T (h) doit ˆetre nul, on trouve λ = T (x)

T (x0₎, de sorte

que l’unique h qui fait passer de x `a x0 _{est :}

h = T (x)x

0 _{− T (x}0_)x

T (x)T (x0₎ .

On v´erifie qu’il est ind´ependant du choix des repr´esentants x, x0, c’est bien le “vecteur”−→xx0.

1.4.4 Remarques.

1) Pour x ∈ U on a T (x) 6= 0 et, quitte `a changer de repr´esentant, on peut supposer que T (x) est ´egal `a 1. On parle alors du repr´esentant “canonique” de x et avec les notations du paragraphe pr´ec´edent, cela revient `a imposer x0 = 1. Avec ce choix les calculs pr´ec´edents sont plus faciles, on a h.x = x + h

et si x, x0 _{sont deux points de U , de repr´esentants canoniques x, x}0_{, l’unique}

h qui fait passer d’un point `a l’autre est donn´e par h = x0 − x.

2) On notera que la structure d’espace affine ainsi d´efinie d´epend du choix de l’´equation T de H. Si on remplace T par λT avec λ ∈ k∗, le vecteur −→xx0 est multipli´e par 1/λ.

1.5

Rep`

eres

D’une mani`ere g´en´erale, la probl´ematique de la notion de rep`ere, pour une structure donn´ee, est li´ee aux transformations permises pour la structure (les morphismes en termes de cat´egories, ici les homographies). Le principe en est toujours le mˆeme : il s’agit de trouver un nombre fini de points de l’espace, tels que la donn´ee des images de ces points d´etermine un morphisme et un seul.

1.5.1

D´

efinition

1.5.1 D´efinition. On suppose toujours l’espace vectoriel E de dimension n + 1. Un rep`ere de l’espace projectif P(E) consiste en la donn´ee de n + 2 points x0, x1, . . . , xn, xn+1 tels qu’il existe une base (e1, . . . , en, en+1) de E

v´erifiant :

1) p(ei) = xi pour i = 1, . . . , n + 1,

2) p(e1 + · · · + en+1) = x0.

1.5.2 Exemple. Si on identifie E et kn+1_{grˆace `a la base (e}

i), le rep`ere ci-dessus

est form´e des points de coordonn´ees homog`enes : (1, 0, . . . , 0) ; (0, 1, 0, . . . , 0) ; ... ; (0, 0, . . . , 0, 1) et du “point unit´e” : (1, 1, . . . , 1).

1.5.3 Remarque. On notera l’inflation du nombre de points constituant un rep`ere :

— en vectoriel, en dimension n, une base est form´ee de n vecteurs, — en affine, en dimension n, un rep`ere est form´e de n + 1 points, — en projectif, toujours en dimension n, il faut n + 2 points.

1.5.2

Simple transitivit´

e

Le th´eor`eme suivant justifie l’appellation de rep`ere :

1.5.4 Th´eor`eme. Soient E et F deux k-espaces vectoriels de dimension n+1 et soient (x0, x1, . . . , xn+1) et (y0, y1, . . . , yn+1) des rep`eres de P(E) et P(F )

respectivement. Alors, il existe une unique homographie f : P(E) → P(F ) telle que f (xi) = yi pour tout i = 0, 1, . . . , n + 1.

D´emonstration. On note (ei) et (fi) les bases de E et F dont proviennent les

rep`eres donn´es : xi = p(ei), yi = p(fi) pour i > 0.

1) Existence. On d´efinit une application lin´eaire bijective u_b0 : E → F en

posantu_b0(ei) = fi pour tout i. Alors l’homographie u0 associ´ee convient (on

notera qu’on a _bu0(Pn+1_i=1 ei) = Pn+1_i=1 fi, de sorte que u0 envoie aussi x0 sur

y0).

2) Unicit´e. Soit u une homographie v´erifiant les conditions prescrites. Elle provient d’une application lin´eaire u : E → F . Dire qu’on a u(x_b i) = yi dans

P(E) signifie qu’il existe des scalaires λi ∈ k∗ tels que l’on ait, pour tout

i > 0 :u(e_b i) = λifi. Mais, comme on a aussi u(x0) = y0, il existe λ ∈ k∗ tel

que : b u ( n+1 X i=1 ei) = λ n+1 X i=1 fi
= n+1 X i=1 λifi

ce qui, comme (fi) est une base, montre que les λi sont tous ´egaux `a λ. Mais

alors, avec les notations de 1) on a _bu = λ_bu0, donc u = u0.

1.5.3

Caract´

erisation g´

eom´

etrique

Nous donnons ci-dessous une caract´erisation g´eom´etrique des rep`eres : 1.5.5 Proposition. Un n + 2-uplet de points de P(E) est un rep`ere si et seulement si n + 1 quelconques de ses points ne sont pas dans un mˆeme hyperplan.

D´emonstration. Notons d’abord qu’il est ´equivalent de dire que des vecteurs f1, . . . , fn+1 forment une base de E ou que leurs images yi = p(fi) ne sont

pas dans un mˆeme hyperplan de P(E).

1) Si (x0, x1, . . . , xn+1) est un rep`ere provenant d’une base (ei) de E le

r´esultat vient du fait que n + 1 quelconques des vecteurs e0 =

Pn+1

1 ei,

e1, . . . , en+1 forment une base de E.

2) R´eciproquement, si x0, x1, . . . , xn+1 v´erifient les conditions de la

E et on rel`eve x0 en e0 = n+1

X

i=1

λiei. Alors, les λi sont tous non nuls (si λi est

nul, tous les points sauf xi sont dans l’hyperplan d´efini par la nullit´e de la

i-i`eme coordonn´ee). Quitte `a changer la base ei en λiei on a le r´esultat.

1.5.6 Remarques. 1) Un rep`ere d’une droite projective est form´e de trois points distincts, un rep`ere d’un plan projectif est form´e de 4 points dont 3 quelconques ne sont pas align´es.

2) Si D, D0 sont deux droites projectives, il existe3 _{une unique homographie}

de D sur D0 qui envoie trois points donn´es distincts a, b, c de D sur trois points donn´es distincts a0, b0, c0 de D0. En particulier le groupe P GL(2, k) op`ere triplement transitivement sur P1_{(k). Nous verrons plus loin, dans le}

chapitre sur le birapport, ce qui se passe quand on consid`ere un quatri`eme point. On notera que les groupes qui sont strictement plus que trois fois transitifs sont rarissimes (cf. [Hal76]).

1.5.4

Sous-espace projectif engendr´

e par des points

La proposition suivante est imm´ediate :

1.5.7 Proposition-D´efinition. Soient a0, a1, . . . , am des points de P(E) et

b

a0, . . . ,acm des repr´esentants de ces points dans E. Le sous-espace vectoriel b

F de E engendr´e par lesa_bi est ind´ependant du choix des repr´esentants. Son

image F = p( bF ) dans P(E) est appel´e sous-espace projectif engendr´e par les ai et not´e (a0, a1, . . . , am) voire (a0a1. . . am). C’est le plus petit

sous-espace projectif de P(E) contenant les ai. C’est un sous-espace projectif de

di-mension ≤ m et on dit que a0, . . . , am sont projectivement ind´ependants

si cette dimension est exactement ´egale `a m. Il revient au mˆeme de dire que les repr´esentants a_b0, . . . ,acm sont lin´eairement ind´ependants.

1.5.8 Exemples.

1) Si on a deux points a0, a1, le sous-espace engendr´e (a0a1) est une droite,

sauf si a0 = a1 auquel cas c’est le singleton {a1}.

2) Si on a trois points a0, a1, a2, le sous-espace engendr´e (a0, a1, a2) est un

plan, sauf si les points sont align´es.

3) On peut alors reformuler 1.5.5 en disant qu’un rep`ere est form´e de n + 2 points tels que n+1 quelconques d’entre eux soient projectivement ind´ependants.

3. Dans les manuels du XIX-i`eme si`ecle, ce r´esultat est pr´esent´e comme le “th´eor`eme fondamental” sur les homographies et il est prouv´e en r´esolvant un syst`eme d’´equations lin´eaires `a l’aide des d´eterminants.

1.6

Dualit´

e

Dans cette section, on utilise la notion de dualit´e pour ´etablir un dic-tionnaire permettant de passer des propri´et´es des points `a celles des droites et inversement. En d´epit de nos efforts, le texte pourra sembler abstrait au lecteur novice.

1.6.1

Rappels sur la dualit´

e dans les espaces vectoriels

Soit E un k-espace vectoriel de dimension n+1 et soit E∗son dual, espace des formes lin´eaires sur E. On rappelle que le noyau d’une forme lin´eaire non nulle est un hyperplan de E et qu’inversement tout hyperplan est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle, d´efinie `a un scalaire pr`es.

Si (ei) = e1, . . . , en+1 est une base de E, on d´efinit une base de E∗, dite

duale de (ei), elle est form´ee des e∗i donn´es par la formule e ∗

i(ej) = δi,j o`u δi,j

est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si i = j et 0 sinon.

Si F est un sous-espace vectoriel de E on d´efinit l’orthogonal de F , c’est un sous-espace de E∗ :

F⊥ = {f ∈ E∗ | ∀x ∈ F, f (x) = 0 }.

On d´efinit aussi l’orthogonal d’un sous-espace F de E∗. C’est un sous-espace de E :

F⊥ = {x ∈ E | ∀f ∈ F, f (x) = 0 }.

Dans les deux cas on a les formules : dim F⊥ = n + 1 − dim F et F⊥⊥= F . Rappelons enfin que si u : E → F est une application lin´eaire, elle induit une application lin´eaire transpos´ee t_{u : F}∗ _{→ E}∗ _{d´efinie par la formule} t_{u(f ) = f ◦ u. La correspondance u 7→} t_{u est fonctorielle, i.e. v´erifie} t_Id

E =

IdE∗ et t(u ◦ v) = tv ◦tu. Si la matrice de u dans des bases de E, F est A,

celle det_{u dans les bases duales est la matrice transpos´ee}t_A.

1.6.2

L’espace des hyperplans

Pour p = 0, . . . , n − 1, on note Gp(P(E)) la “grassmannienne” d’indice p,

c’est-`a-dire l’ensemble des sous-espaces projectifs de dimension p de P(E). Nous n’´etudierons ici que le cas p = n − 1. Dans ce cas, Gn−1(P(E)) est

l’espace des hyperplans de P(E). On peut identifier Gn−1(P(E)) et P(E∗)

de la fa¸con suivante.

On consid`ere l’application ΦE : P(E∗) → Gn−1(P(E)) qui associe `a

est bien un hyperplan de P(E)). Cette application est bien d´efinie et c’est une bijection car on a Ker f = Ker g si et seulement si f et g sont proportion-nelles. En un mot, ΦE est la correspondance qui `a une forme lin´eaire associe

son noyau.

Dans ce qui suit, on munit Gn−1(P(E)) de la structure d’espace projectif

d´eduite de ΦE au sens suivant :

1.6.1 D´efinition. Soit X un ensemble, F un espace vectoriel non nul et Φ : P(F ) → X une bijection. Cette bijection d´efinit une structure d’espace projectif sur X, pr´ecis´ement :

1) On appelle sous-espaces projectifs de X les parties de la forme Φ(V ) o`u V est un sous-espace projectif de P(F ).

2) Si Y est un sous-espace projectif de X au sens pr´ec´edent, une appli-cation f : Y → P(F0) (resp. f : P(F0) → Y ) est appel´ee une homographie si f ◦ Φ (resp. Φ−1◦ f ) en est une.

1.6.2 Exemples.

1) Pour n = 2, G1(P2(k)) est l’ensemble des droites de P2(k). Avec

l’identi-fication pr´ec´edente c’est lui-mˆeme un plan projectif P2_(k).

2) De mˆeme, G2(P3), ensemble des plans de P3(k), est un espace P3(k).

3) En revanche, G1(P3), grassmannienne des droites de P3, n’est pas un

es-pace projectif. Cependant, cet ensemble est muni naturellement d’une struc-ture de vari´et´e alg´ebrique (pr´ecis´ement une quadrique de P5, c’est-`a-dire une hypersurface d´efinie par une ´equation de degr´e 2), cf. [Har77] ou [Per95].

1.6.3

Description des sous-espaces de P(E

)

La notion suivante va permettre d’interpr´eter g´eom´etriquement les sous-espaces de Gn−1(P(E)) :

1.6.3 D´efinition. Si V est un sous-espace projectif de P(E) on pose : V∗ = {H ∈ Gn−1(P(E)) | H ⊃ V }.

En clair, V∗ est l’ensemble des hyperplans projectifs contenant V . La proposition suivante exprime que ces ensembles sont exactement les sous-espaces projectifs de Gn−1(E) au sens de 1.6.1, puisqu’ils sont les images par

ΦE des sous-espaces projectifs de P(E∗).

1.6.4 Proposition. On a les formules suivantes :

1) Pour un sous-espace vectoriel F non nul de E∗ : ΦE(F ) = (F⊥)∗,

2) Pour un sous-espace vectoriel G non nul de E : (G)∗ = ΦE(G⊥).

D´emonstration. Prouvons la premi`ere assertion. Soit f ∈ F . On a Ker f ⊃ F⊥ par d´efinition de F⊥, soit encore Ker f ⊃ F⊥<sub>, d’o`u Φ</sub>

E(f ) ∈ (F⊥)∗.

R´eciproquement, si un hyperplan H d’´equation f contient F⊥_{, c’est que}

f est nulle sur F⊥, donc f est dans F⊥⊥ = F , d’o`u le r´esultat. La seconde assertion r´esulte de la premi`ere appliqu´ee `a G⊥.

1.6.5 Exemple. La dimension 2

Dans le plan projectif P(E) on dispose maintenant d’une description en termes de P(E) des sous-espaces projectifs de P(E∗).

• Un point de P(E∗_{) correspond `a une droite vectorielle <f > de E}∗ _et

on lui associe, par ΦE, la droite projective D = Ker f de P(E).

• Une droite F de P(E∗_{) correspond `a un plan vectoriel F de E}∗_.

L’or-thogonal F⊥ est de dimension 1 dans E et d´efinit un point m de P(E) et on a, par 1.6.4, ΦE(F ) = m∗, ensemble des droites de P(E) passant par m.

1.6.6 Proposition-D´efinition. Soit m ∈ P(E). L’ensemble m∗ est appel´e pinceau des droites de P(E) passant par m. C’est une droite de G1_(P(E))

au sens de 1.6.1, appel´ee aussi droite projective duale4 _{d´efinie par m.}

Si on choisit une base de E et qu’on appelle (x, y, t) les coordonn´ees homog`enes des points dans cette base, une droite admet une ´equation de la forme λX + µY + νT = 0 avec λ, µ, ν ∈ k, non tous nuls, cette ´equation ´etant bien d´efinie `a un scalaire pr`es. Si m = (α, β, γ) est un point de P(E), la droite duale m∗ est l’ensemble des droites d’´equation λX + µY + νT = 0 qui v´erifient λα + µβ + νγ = 0.

m

Figure 1.3 – Le pinceau m∗

4. Le fait qu’un pinceau est une droite projective duale est le seul point que le lecteur doit absolument retenir !

1.6.4

Homographies et dualit´

e

Soit u : P(E) → P(F ) une homographie, provenant d’une application lin´eaire u : E → F . L’application lin´eaire transpos´eet_{u : F}∗ _{→ E}∗ _{d´efinit une}

homographiet_{u : P(F}∗_{) → P(E}∗_{) que nous appellerons encore homographie}

transpos´ee.

1.6.7 Proposition. Soit u : P(E) → P(F ) une homographie et soit H un hyperplan de P(E). Soit h le point correspondant de P(E∗). L’image u(H) est un hyperplan de P(F ) qui correspond au point tu−1(h) de P(F∗).

D´emonstration. En effet, si H est d´efini par l’´equation h(x) = 0, u(H) est d´efini par h ◦ u−1(y) = 0, donc par tu−1(h).

1.6.5

La dimension 1

Dans ce paragraphe, on suppose n = 1. Dans ce cas, l’ensemble des hy-perplans de la droite projective P(E) n’est autre que l’ensemble des points de P(E), i.e. P(E) lui-mˆeme. L’application ΦE est donc une bijection de

P(E∗) sur P(E). Comme P(E) a d´ej`a une structure d’espace projectif, il est essentiel de la comparer `a celle venant de P(E∗) par 1.6.1. Heureusement, le r´esultat suivant montre que ce sont les mˆemes :

1.6.8 Th´eor`eme. Dans le cas n = 1, l’application ΦE : P(E∗) → P(E) est

une homographie.

D´emonstration. Nous donnons deux preuves de ce r´esultat, essentiel dans les questions de dualit´e, la premi`ere qui utilise les coordonn´ees est ´el´ementaire, la seconde, plus formelle, a le m´erite d’ˆetre intrins`eque.

Preuve 1

Soit e1, e2 une base de E et e∗1, e ∗

2 sa base duale. Soit f ∈ E

∗ _{une forme}

lin´eaire non nulle, f = x1e∗1+ x2e∗2. L’application ΦE associe `a f l’image de

son noyau. Or, une base de celui-ci est le vecteur x2e1− x1e2. On voit que ΦE

n’est autre que l’homographie associ´ee `a l’application lin´eaire u : E∗ → E d´efinie par u(x1e∗1+ x2e2∗) = x2e1− x1e2.

Preuve 2

On montre que Φ−1_E est une homographie. Pour cela, on consid`ere une forme bilin´eaire altern´ee α non d´eg´en´er´ee sur E (il y en a une, unique `a un scalaire pr`es : le d´eterminant). Cette forme induit un isomorphisme β : E → E∗ donn´e par β(x) = αx avec αx(y) = α(x, y). On v´erifie alors que

l’homographie β associ´ee n’est autre que Φ−1_E . En effet, pour x ∈ E, non nul, on a ΦE(β(x)) = ΦE(αx) = Ker αx. Mais, comme α est altern´ee, on a

Ker αx = kx = x, d’o`u ΦE◦ β = IdP(E) et on a la conclusion.

1.6.6

La dimension 2

Dans ce paragraphe on suppose n = 2.

1.6.9 D´efinition. Soit D une droite de P(E) et m un point de P(E), avec m 6∈ D. On d´efinit une application bijective i : m∗ → D, appel´ee incidence, en associant `a une droite ∆ passant par m l’unique point d’intersection d de D et ∆. La r´eciproque de cette application (appel´ee elle aussi incidence) associe `a un point d de D la droite (md).

Le th´eor`eme suivant est fondamental :

1.6.10 Th´eor`eme. L’incidence est une homographie au sens de 1.6.1. D´emonstration. Comme pour le th´eor`eme 1.6.8 on va donner deux preuves de ce r´esultat.

Preuve 1

On choisit une base x, y, z de E avec p(x) = m et p(y), p(z) ∈ D. Si x∗, y∗, z∗ est la base duale, m∗ est l’image par ΦE du sous-espace de P(E∗)

image de (y∗, z∗). Soit δ dans ce sous-espace, δ = λy∗+µz∗ avec λ, µ non tous deux nuls. On cherche l’intersection d de la droite ∆ d´efinie par δ avec D, i.e. les αy + βz v´erifiant (λy∗+ µz∗)(αy + βz) = λα + µβ = 0. On voit qu’on a d = µy − λz, `a un scalaire pr`es, de sorte que i, qui provient de l’application lin´eaire λy∗+ µz∗ 7→ µy − λz, est bien une homographie.

Preuve 2

La droite D est l’image d’un plan vectoriel F , le point m d’un vecteur x 6∈ F et on pose G = (x)⊥⊂ E∗_{. Soit ψ : G → F}∗ _{l’application lin´eaire qui}

`

a f , forme lin´eaire sur E nulle en x, associe sa restriction `a F . L’application ψ est injective en vertu de la formule E = F ⊕ (x). Elle d´efinit donc une homographie ψ : G = P(G) → P(F∗). On v´erifie qu’on a ψ = i ◦ ΦE, ce qui,

en vertu de 1.6.1, montre que i est bien une homographie.

1.6.7

Dualit´

e et th´

eor`

emes corr´

elatifs

Restons dans le cadre de la dimension 2 pour expliciter l’utilisation g´ eo-m´etrique que nous allons faire de la dualit´e. La dualit´e permet une traduction quasiment automatique des propri´et´es des points et des droites en propri´et´es des droites et des points. Ainsi, par exemple, trois points a, b, c de P(E) sont align´es sur une droite D de P(E) si et seulement si les droites duales a∗, b∗, c∗ sont concourantes en D dans P(E∗). De mˆeme, trois droites A, B, C de P(E) sont concourantes dans P(E) en un point m si et seulement si, lorsqu’on les

D ! i(d) m i(!) d

Figure 1.4 – Les incidences entre m∗ et D

consid`ere comme des points de P(E∗), A, B, C sont align´es sur la droite duale m∗.

Pour chaque th´eor`eme portant sur les points et droites de P(E) on peut ainsi obtenir une variante duale de ce th´eor`eme (appel´e th´eor`eme corr´elatif ) en l’appliquant `a P(E∗) et en traduisant l’´enonc´e sur les points et droites de P(E∗) en termes de droites et points de P(E). Nous verrons ce principe en œuvre au chapitre suivant, notamment avec le th´eor`eme de Pappus. Le mˆeme principe s’appliquera aussi `a l’´etude des coniques et, de mani`ere essentielle, en g´eom´etrie elliptique et hyperbolique.

Pour illustrer ce principe, notons que la traduction duale de la proposition 1.5.5 montre qu’un rep`ere de P(E∗) est form´e de quatre droites dont trois quelconques ne sont pas concourantes.

A B C D ! _" # $

Figure 1.5 – Le lemme du quadrilat`ere `

A cet ´egard, le lecteur v´erifiera la proposition suivante qui pourra ˆetre

utile :

1.6.11 Proposition. (Le lemme du quadrilat`ere) Soient A, B, C, D quatre droites distinctes d’un plan projectif P(E) formant un rep`ere de P(E∗) (c’est-`

a-dire telles que trois d’entre elles ne soient pas concourantes). On appelle respectivement α, β, γ, δ les points d’intersection de A, B ; B, C ; C, D ; D, A. Alors, α, β, γ, δ forment un rep`ere de P(E).

1.7

Exercices

1.7.1 Exercice. Quel est le cardinal d’un espace projectif de dimension n d´efini sur le corps `a q ´el´ements ? Montrer qu’il n’y a pas d’espace projectif admettant les cardinaux suivants : 2, 11, 16, 19, 22, 23, 25, 27, 29, 34, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 49 ..., 1000, ... 1729, ....

1.7.2 Exercice. Soient E un espace vectoriel de dimension n+1, P(E) l’espace projectif associ´e, u un automorphisme de E et u l’homographie de P(E) associ´ee. On suppose que u est l’identit´e de P(E). Montrer que u est une homoth´etie. (Pour x, y ∈ E on a u(x) = λx, u(y) = µy et il s’agit de montrer λ = µ. On distinguera selon que x et y sont colin´eaires ou non.)

1.7.3 Exercice. Homologies et ´elations

Soient E un espace vectoriel de dimension n + 1, P(E) l’espace projectif associ´e, u un automorphisme de E et u l’homographie de P(E) associ´ee.

1) On suppose que u fixe un hyperplan H mais n’est pas l’identit´e. Mon-trer qu’il y a deux cas possibles selon la valeur du d´eterminant de u (voir [Per96] Ch. IV) :

a) Si l’on a det u = λ 6= 1, montrer que u est diagonalisable et pr´eciser sa matrice dans une base convenable (on dit que u est une dilatation).

b) Si l’on a det u = 1, montrer que u n’est pas diagonalisable mais que, dans une base convenable, u s’´ecrit avec un seul coefficient non nul, et ´egal `

a 1, en dehors de la diagonale (on dit que u est une transvection).

On consid´erera l’identit´e `a la fois comme une dilatation de rapport 1 et comme une transvection.

2) On suppose que u est une dilatation diff´erente de l’identit´e.

a) Montrer que u admet un unique point fixe a en dehors de H et que toutes les droites passant par a sont stables par u. On dit que u est une homologie de centre a et d’axe H.

b) On choisit H comme hyperplan `a l’infini. Quelle est l’application in-duite par u dans l’espace affine P(E) − H ?

c) On suppose que E est de dimension 3. L’hyperplan H est alors une droite. Soit m un point de P(E) distinct de a et n’appartenant pas `a H. Montrer que l’image m0 = u(m) est align´ee avec a et m. R´eciproquement, on suppose donn´es a et D avec a 6∈ D et deux points m, m0, distincts de a, non situ´es sur D et align´es avec a. Montrer qu’il existe5 _{une homologie de centre}

a, d’axe D, qui envoie m sur m0. Construire l’image par cette homologie d’un point quelconque n du plan (on commencera par le cas d’un point non situ´e sur (am) et on notera que les droites (mn) et (m0n0) se coupent sur l’axe).

3) On suppose que u est une transvection diff´erente de l’identit´e.

a) Montrer que u n’a aucun point fixe en dehors de H, mais qu’il existe un unique point a ∈ H tel que les droites passant par a soient stables par u. On dit que u est une ´elation6 d’axe H et de centre a.

b) On choisit H comme hyperplan `a l’infini. Quelle est l’application in-duite par u dans l’espace affine P(E) − H ?

c) On suppose que E est de dimension 3. L’hyperplan H est alors une droite D. Soit m un point de P(E) n’appartenant pas `a D. Montrer que l’image m0 = u(m) est align´ee avec a et m. On suppose m0 donn´ee. Construire l’image n0 par u d’un point n quelconque du plan (on notera que (mn) et (m0n0) d’une part, (nn0) et (mm0) d’autre part, se coupent sur l’axe).

4) Soit f une homographie de P(E). On suppose qu’il existe un point a de P(E) (n´ecessairement fixe par f ) tel que toutes les droites passant par a soient stables par f . Montrer que f est une homologie ou une ´elation. (On pourra consid´erer l’homographie transpos´ee et montrer qu’elle fixe l’hyper-plan de P(E∗) correspondant `a a∗.)

5) On suppose E de dimension 3.

a) Soit u une homographie qui fixe deux points distincts p et q. Montrer que l’une des deux ´eventualit´es suivantes se produit :

• ou bien u fixe la droite (pq),

• ou bien u laisse invariante une droite passant par p ou q et distincte de (pq).

(Le plus simple est d’´ecrire la matrice de f dans une base contenant p, q. Pour une preuve g´eom´etrique voir l’exercice suivant.)

b) On suppose k 6= F2. Soit f une homographie distincte de Id.

Montrer qu’il existe une droite D telle que f (D) 6= D et qu’on peut choisir p, q ∈ D distincts tels que p0 = f (p) 6= p et q0 = f (q) 6= q. En d´eduire qu’il existe une homologie g telle que g ◦ f fixe p et q.

5. Mˆeme sur F2!

6. On pourrait proposer des adaptations de ce mot anglais : transmission, transfusion, transgression, transition, transpiration ...

¶ Montrer qu’il existe une homologie h telle que h◦g◦f soit une homologie. (On utilisera a) et on distinguera plusieurs cas de figure.)

En d´eduire que f est produit d’au plus trois homologies. (Voir [Per96], Ch. 4 §2, exercice 8, pour une preuve alg´ebrique de ce r´esultat.)

6) Montrer que toute homographie de P(E) est produit d’homologies et d’´elations (on se ram`enera au cas vectoriel et on ira lire les bons livres, par exemple [Per96] ...).

1.7.4 Exercice. Cet exercice propose une preuve g´eom´etrique7 _{de la question}

5.a) de l’exercice pr´ec´edent.

Soit u une homographie qui fixe deux points distincts p et q.

On suppose qu’il existe un point m de la droite (pq) tel que u(m) = n soit diff´erent de m. Soit Dq une droite passant par q et distincte de (pq).

1) Montrer qu’il existe une homologie hp de centre p et d’axe Dq qui

envoie n sur m.

2) Montrer que f := hp◦ u fixe la droite (pq). En vertu de 1.7.3 c’est donc

soit une ´elation, soit une homologie.

a) On suppose que f est une homologie. Montrer qu’il existe un point w hors de (pq) tel que f stabilise toutes les droites passant par w et en d´eduire que (pw) est stable par u.

b) On suppose que f est une ´elation. Soit Dp une droite passant par p

distincte de (pq), et hq l’homologie de centre q et d’axe Dp qui envoie n sur

m. Montrer que g := hq◦ u fixe la droite (pq) et s’´ecrit g = h ◦ f o`u h est

une homologie d’axe (pq). En d´eduire que g est une homologie d’axe (pq). Si w est le centre de g, montrer que (wq) est stable par u.

1.7.5 Exercice. Projection centrale.

Soient E un espace vectoriel de dimension n + 1, P(E) l’espace projectif associ´e, F un hyperplan vectoriel de E et H l’hyperplan projectif image de F . Soit a un point de P(E) n’appartenant pas `a H. On consid`ere l’application pa,H, d´efinie sur P(E) − {a} et `a valeurs dans H, qui `a un point m associe

le point d’intersection de (am) et de H.

a) Montrer que cette application est bien d´efinie. On l’appelle projection centrale de centre a.

b) Montrer que l’image par pa,H d’une droite de P(E) ne passant pas par

a est une droite de H.

c) Soit_ba un vecteur relevant a. Montrer que pa,H est obtenue par passage

au quotient `a partir de la projection de E sur F parall`element au sous-espace vectoriel (_ba). Retrouver ainsi le r´esultat de b).

d) Soit K un hyperplan de P(E) ne contenant pas a. Montrer que la restriction de pa,H `a K est une homographie de K sur H.

1.7.6 Exercice. Dans cet exercice on d´efinit une topologie sur Pn(R) et on en ´etudie les propri´et´es. On note p la projection de Rn+1_{− {0} sur P}n_(R).

1) On d´efinit sur Pn(R) la topologie dite quotient de celle de Rn+1−{0} : les ouverts pour cette topologie sont les parties Ω ⊂ Pn_{(R) telles que p}−1_(Ω)

soit un ouvert de Rn+1_{−{0}. Montrer que p est continue et qu’une application}

f de Pn(R) dans un espace topologique X est continue si et seulement si f ◦p l’est.

2) On consid`ere la sph`ere unit´e de Rn+1 _:

Sn_R = {(x0, x1, . . . , xn) ∈ Rn+1 | x20+ · · · + x 2

n = 1 },

que l’on munit de la topologie induite par celle de Rn+1. Montrer que la restriction q de p `a Sn

R est continue et surjective. En d´eduire que Pn(R) est

connexe.

3) Soit U un ouvert de Sn

R. Montrer que la partie

S

λ∈R+∗λU est un

ouvert de Rn+1. En d´eduire qu’une application f de Pn(R) dans un espace topologique X est continue si et seulement si f ◦ q l’est.

4) Montrer que l’application ϕ : Sn_R → R(n+1)(n+2)/2 _{qui `a (x}

0, . . . , xn)

associe la famille des (xixj) pour i ≤ j d´efinit une application continue

injective de Pn_{(R) dans R}(n+1)(n+2)/2_{. En d´eduire que P}n_{(R) est s´epar´e,}

puis qu’il est compact.

5) Montrer que l’espace P1(R) est hom´eomorphe au cercle S1_R.

6) Traiter le mˆeme exercice avec Pn_{(C) en utilisant la sph`ere complexe}

d´efinie par l’´equation |x0|2+ · · · + |xn|2 = 1. En dimension 1 on montrera que

P1_{(C) est hom´eomorphe `a la sph`ere S}2 R.

¶ 7) Dans cette question on se propose de montrer que P2_{(R) n’est pas}

hom´eomorphe `a S2

R. Pour cela, on utilisera le (difficile) th´eor`eme de Jordan :

si γ est une courbe simple continue ferm´ee de R2, le compl´ementaire de γ est non connexe (autrement dit, γ partage le plan en deux r´egions).

a) Montrer que la sph`ere S2

R, priv´ee d’un point, est hom´eomorphe `a R2

(on utilisera une projection st´er´eographique).

b) Montrer que P2_{(R) n’est pas hom´eomorphe `a S}2

R. (Sinon, P2 priv´e de

l’origine du plan affine serait hom´eomorphe `a R2 _{par un hom´eomorphisme}

ϕ. On consid`ere alors la droite D∞, qui est hom´eomorphe `a un cercle. Son

image par ϕ est une courbe de Jordan et on examine les compl´ementaires.) Pour d’autres m´ethodes, voir [Gra71].

Chapitre 2

La g´

eom´

etrie des droites du

plan

Dans ce chapitre on applique les notions introduites au chapitre pr´ec´edent pour faire de la g´eom´etrie plane. On montre notamment les th´eor`emes de Pappus, Desargues, la propri´et´e de la polaire, etc. Toutes ces d´emonstrations utilisent exclusivement deux ingr´edients :

1) le fait que les perspectives sont des homographies (ou encore que les incidences sont des homographies, cf. ci-dessous),

2) le fait qu’une homographie d’une droite projective est enti`erement d´etermin´ee par la donn´ee des images de trois points.

Dans tout ce qui suit, E est un k-espace vectoriel de dimension 3 et P(E) le plan projectif associ´e.

2.1

Les perspectives

2.1.1 Proposition-D´efinition. Soient D et D0 deux droites de P(E) et soit m un point n’appartenant pas `a D ∪ D0. L’application pm : D → D0

qui `a x ∈ D associe l’unique point d’intersection de (mx) et de D0 est une homographie. On l’appelle perspective de centre m de D sur D0.

D´emonstration. Pour une preuve par le calcul voir exercice 2.5.1. On note d’abord que le point pm(x) est bien d´efini. En effet, comme m n’est pas sur

D, la droite (mx) existe, et comme il n’est pas sur D0, les droites D0 et (mx) sont distinctes, donc se coupent en un point. Pour montrer que pm est

une homographie on consid`ere la droite m∗ de P(E∗) (ensemble des droites

D D' m

a=pm(a)

x

pm(x)

Figure 2.1 – La perspective de centre m, de D sur D0

passant par m). L’application pm apparaˆıt alors comme compos´ee de deux

incidences : celle de D dans m∗ qui `a x associe (mx) et celle de m∗ dans D0 qui `a une droite ∆ associe l’unique point de ∆ ∩ D0. Comme les incidences sont des homographies on a le r´esultat.

2.1.2 Remarques.

1) Il est clair que pm est bijective, sa r´eciproque ´etant la perspective de centre

m de D0 sur D.

2) Si on a D = D0, pm est l’identit´e.

3) Si D est D0 sont distinctes le point d’intersection de D et D0 est fixe par pm.

R´eciproquement, si une homographie de D sur D0 fixe le point d’intersection c’est une perspective, voir exercice 2.5.2.

4) On peut d´efinir des perspectives duales, que l’on appellera r´efractions : on consid`ere deux points m, m0de P(E) et une droite D ne contenant aucun de ces points. La r´efraction d’axe D de m∗ sur (m0)∗associe `a une droite ∆ passant par m l’unique droite ∆0 qui coupe ∆ sur D. C’est une homographie en vertu de 2.1.1 appliqu´e dans P(E∗).

D

! !'

m

m'

Figure 2.2 – La r´efraction d’axe D de m∗ sur m0∗

5) On peut ´evidemment d´efinir des perspectives en dimension quelconque,

d’un hyperplan sur un autre, exactement de la mˆeme mani`ere que ci-dessus. Ce sont des homographies, voir exercice 1.7.5.

2.2

Le th´

eor`

eme de Pappus

2.2.1

Le r´

esultat projectif

2.2.1 Th´eor`eme. Soient D, D0 deux droites distinctes de P(E), se coupant en o et soient a, b, c (resp. a0, b0, c0) trois points distincts de D (resp. de D0), distincts de o. On appelle respectivement u, v, w les points d’intersection des droites (bc0) et (b0c), (ca0) et (c0a), (ab0) et (a0b). Alors, u, v, w sont align´es. D´emonstration. Voir la figure ci-dessous. Appelons x (resp. y) le point d’in-tersection de (a0c) et (bc0) (resp. de (a0b) et (ac0). On consid`ere la perspective pc: (bc0) → D0. Elle envoie b sur o, x sur a0, u sur b0 et fixe c0. On consid`ere

ensuite la perspective pa de D0 sur (a0b). Elle envoie o sur b, fixe a0 et envoie

b0 sur w et c0 sur y. L’homographie compos´ee f = pa◦ pc: (bc0) → (a0b) envoie

donc b sur b, x sur a0, u sur w et c0 sur y.

Mais, la perspective pv entre ces mˆemes droites, a le mˆeme effet que f

sur b, x et c0. Comme ces points sont distincts (sinon l’un des points initiaux serait en o, ou deux des points a, b, c, resp. a0, b0, c0 seraient confondus), ils forment un rep`ere de (bc0) et les deux homographies sont donc ´egales. Il en r´esulte que pv envoie aussi u sur w, ce qui montre que ces points sont align´es.

o a b c a' b' c' w v u y x

Figure 2.3 – Le th´eor`eme de Pappus