Évolution et caractérisation de structures cellulaires bidimensionnelles expérimentales, en particulier les mousses de savon, et simulées

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bidimensionnelles expérimentales, en particulier les

mousses de savon, et simulées

Valérie Pignol

To cite this version:

Valérie Pignol. Évolution et caractérisation de structures cellulaires bidimensionnelles expérimentales, en particulier les mousses de savon, et simulées. Matière Molle [cond-mat.soft]. Institut National Polytechnique de Lorraine - INPL, 1996. Français. �tel-00717860�

THE SE

présentée à

L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L 'INPL

Spécialité : MECANIQUE ET ENERGETIQUE

par

Valérie PIGNOL

EVOLUTION ET CARACTERISATION DE STRUCTURES

CELLULAIRES BIDIMENSIONNELLES EXPERIMENTALES, EN

PARTICULIER LES MOUSSES DE SAVON, ET SIMULEES

Présidente : Rapporteurs :

Examinateurs :

soutenue publiquement le 11 Janvier 1996 à 14H30 devant la Commission d'Examen

M. ADLER (Mme) F. LEQUEUX N. RIVIER R. DELANNAY G. LE CAËR C. MOYNE JURY: D.R. CNRS - LPTM, Meudon C.R. CNRS - LUDFC, Strasbourg

Professeur - Laboratoire de Physique Théorique, Strasbourg Maître de Conférences - LEMT A, Nancy

D.R. CNRS - LSG2M, Nancy D.R. CNRS- LEMTA, Nancy

Ce travail a été réalisé au Laboratoire d'Energétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) de Nancy en collaboration avec le Laboratoire de Science et Génie des Matériaux Métalliques (LSG2M) de l'Ecole des Mines de Nancy. Je tiens ici à remercier toutes les personnes ayant contribué à cette collaboration.

Je tiens plus particulièrement à remercier les personnes suivantes :

* Madame Michèle ADLER, pour m'avoir fait l'honneur de présider mon jury de thèse, et pour toutes les remarques essentielles apportées sur ce travail ,

* Messieurs François LEQUEUX et Nicolas RIVIER, pour avoir accepté d'être rapporteurs de ce travail ainsi que pour leurs conseils et remarques constructives à cet égard,

* Monsieur Gérard LE CAËR, pour avoir accepté de participer au jury de thèse et pour ses conseils apportés tout au long de ce travail,

*Monsieur Christian MOYNE, directeur de cette thèse, pour son soutien au cours de ces trois années,

* Monsieur Renaud DELANNAY, co-directeur de cette thèse, pour avoir plus précisemment suivi mon travail et pour m'avoir aidée à le mener à bien. Qu'il trouve ici l'expression de ma profonde gratitude.

Je tiens également à remercier Monsieur Alain MOCELLIN, pour ses conseils et pour m'avoir permis de travailler au LSG2M sur le programme de H. TELLEY ; ainsi que le professeur LIEBLING, Messieurs XUE et TELLEY pour leur aide et leurs conseils concernant le programme de simulation.

Qu'il me soit permis de remercier également l'ensemble des membres du LEMTA pour leur soutien, leur enthousiasme et leur bonne humeur.

Je tiens également à remercier Frédéric, mes parents ainsi que ma familJe et belle famille pour leurs encouragements tout au long de ces trois années. Je leur dédie ce travail.

JNTRODUCITON

I. GENERALITES SUR LES STRUCTURES CELLULAIRES 1.1. Aspect physique

1.1.1. Les mousses de savon 1.1.2. Les polycristaux I.2. Description statique

1.2.1. Distribution du nombre de côtés des cellules 1.2.2. Corrélations de paires

1.2.3. Paramètres métriques 1.3. Description dynamique

1.3.1. Loi de Mullins-Von Neumann 1.3.2. Transformations topologiques 1.3.3. Lois d'évolution

II. CARACfERISA TION DES STRUCTURES CELLULAIRES ll.1. Méthodologie d'analyse d'images

II.l.l. Prétraitement des images II.1.2. Logiciel 2D-CELL ll.1.3. Correction de biais II.1.4. Résultats

ll.2. Résultats divers

II.2.1. Modèles topologiques

II.2.2. Les divisions communales de Lorraine II.2.3. Les écailles de tatou

III. EVOLUTIONS EXPERIMENTALES DES STRUCIURES CELLULAIRES

1 3 5 5 8 9 9 11 15 16 16 18 19 21 21 21 25 28 32 33 33 36 48 BIDIMENSIONNELLES 53

ill.1. Dispositif expérimental 57

llll.l. Fabrication de la mousse 58

ill.1.2. Système d'acquisition d'images 62

III.1.3. Conditions générales d'expérimentation, premiers résultats 63 ill.2. Evolutions expérimentales non drainées à partir d'états ordonnés 66 ill.2.1. Description des différents états de la structure 66

ID.3.1. Evolutions non drainées dans la petite boîte 74 ill.3.2. Evolutions non drainées dans la grande boîte 79 ill.4. Evolutions expérimentales drainées à partir d'états désordonnés 83 ill.5. Autres caractéristiques des évolutions à partir d'états désordonnés 86 IV. EVOLUTIONS SIMULEES DES STRUCTIJRES CELLULAIRES

BIDIMENSIONNELLES 91

IV.l. Programme de simulation de Telley 95

IV.l.l. Définitions 95

IV.l.l.l. Complexes de Laguerre et de Delaunay 95

IV .1.1.2. Interprétation parabolique des complexes de Laguerre 97 IV.l.1.3. Triangulation de Delaunay et arêtes légales 100

IV.l.2. Algorithme 100

IV .1.2.1. Défmition et construction de la structure initiale 100 IV.1.2.2. Détermination et application de l'équation du mouvement 102

IV.l.2.3. Gestion des TIE 107

IV.2. Simulations avec la première version du modèle de Telley 108

IV .2.1. Influence du paramètre ô 108

IV .2.1. Influence de la structure initiale et simulation à grand temps 109 IV.2.2. Evolution simulée d'une structure initiale de type polyristal 111 IV.3. Simulations avec la seconde version du modèle de Telley 113

V. COMPARAISONS ENTRE EXPERIENCES ET SIMULA TI ONS 117

V.l. Une interprétation physique pour le paramètre distributif~ 117

V.2. Evolutions à partir d'états très ordonnés 123

V.2.1. Propagation d'un défaut 123

V .2.2. Evolutions à partir d'un état ordonné 128

V.3. Caractérisation du régime stationnaire 134

CONCLUSION 141

INTRODUCTION

De nombreux matériaux utilisés de nos jours sont des polycristaux (métalliques ou céramiques). Ils sont constitués d'un assemblage de grains, formant une microstructure cellulaire. Celle-ci est caractérisée par la taille, la forme et l'arrangement de ces grains, et détermine les propriétés mécaniques de ces matériaux. Lorsque le matériau est soumis à des températures élevées, la microstructure du polycristal est amenée à se modifier par le phénomène de croissance de grains. Celui-ci se traduit par la diminution du nombre total de grains de la structure et l'augmentation du volume des survivants.

Le phénomène très complexe de croissance de grains fait l'objet d'un regain d'intérêt depuis une quinzaine d'années tant du point de vue de l'expérimentation que de la modélisation. Devant les difficultés rencontrées concernant les études tridimensionnelles, les auteurs se sont dans un premier temps restreints au cas bidimensionnel. Certain~ d'entre eux ont préféré porter leur attention sur les mousses de savon en espérant que leur analogie avec les polycristaux soit suffisante. Structures cellulaires macroscopiques, dont le mécanisme d'évolution est parfaitement connu, les mousses bidimensionnelles présentent en effet un avantage considérable : leur facilité d'expérimentation. Elles constituent un domaine d'étude à part entière : on peut citer l'article de Weaire et Fortes [Wea94], qui reprend les études menées sur les propriétés mécaniques et rhéologiques des mousses 2D et 3D.

Les études menées sur l'évolution des structures cellulaires ont été reprises dans les articles d'Atkinson [Atk88], de Weaire et Rivier [Wea84a] ou de Glazier et Weaire [Gla92]. Elles ont fait l'objet d'un grand intérêt depuis peu, mais il ne faut pas oublier les précurseurs : Plateau [Pla1873], Lewis [Lew28], [Lew49] et Smith [Smi52]. Ces études ont pour but de déterminer les lois d'évolution des structures cellulaires ainsi que leurs caractéristiques au cours de cette évolution. Pour cela, elles se sont appuyées sur deux méthodes : l'expérimentation et la simulation numérique. Les expériences ont été menées sur les mousses de savon par Glazier et Stavans ([Gla87], [Sta89], [Sta90]) et sur des polycristaux par Fradkov [Fra94]. Les simulations numériques ont été fondées sur l'élaboration de différents modèles pour les mousses (Weaire et Kermode [Wea83] et [Wea84b], Flyvberg [Fly93a]) et pour les polycristaux ([Atk88]).

En 1989, Hubert TELLEY, au cours de sa thèse à l'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne sous la direction du Professeur LIEBLING, a développé un modèle numérique permettant la simulation de l'évolution de structures cellulaires à partir de complexes de

Laguerre [Tel89a]. Ce programme a été mis à notre disposition par l'intermédiaire du Professeur MOCELLIN du LSG2M à l'Ecole des Mines de Nancy, dans le but d'en apporter une validation grâce aux expériences que nous avons développées parallèlement sur les mousses de savon. Notre recherche s'articule donc autour de ces deux axes : vieillissement des mousses et simulation d'évolution. Chaque structure cellulaire étudiée est caractérisée par ses propriétés métriques et topologiques, dont nous avons suivi l'évolution au cours du temps.

La démarche de notre étude et les résultats obtenus sont développés de la manière suivante:

*

le premier chapitre concerne les généralités sur les structures cellulaires avec la définition de différents paramètres caractéristiques de ces structures (paramètres métriques et topologiques) et quelques notions sur l'évolution physique des polycristaux et des mousses. Nous donnons également les principales lois d'évolution proposées dans la littérature.

*

le deuxième chapitre décrit la méthode que nous avons mise au point pour déterminer les différents paramètres des structures cellulaires. Cette méthode est ensuite validée par l'étude de structures cellulaires particulières.

* le

troisième chapitre traite des évolutions expérimentales. Nos données sur les polycristaux étant très restreintes nous nous attacherons essentiellement aux résultats obtenus sur les mousses de savon qui seront comparés à ceux obtenus par Glazier et Stavans [Gla87], [Sta89], [Sta90].

*

le quatrième chapitre concerne les évolutions simulées. Après la présentation de la méthode de TELLE Y, nous étudierons les résultats obtenus avec la première version du modèle. Les résultats obtenus par Telley [Tel95a] et [Tel95b] avec la seconde version permettent une première validation du programme.

*le cinquième chapitre permet de comparer les résultats expérimentaux et simulés (avec le programme de Telley et d'autres modèles [Fly93], [Wea90] et [Her92]). Trois points seront abordés : la signification physique du paramètre distributif figurant dans l'équation du mouvement de Telley en relation avec le rapport Tltr2, les évolutions à partir d'états ordonnés (avec une brève étude de la propagation d'un défaut) et la caractérisation du régime stationnaire.

Nous pourrons finalement conclure quant aux éléments de réponse apportés par notre recherche à la question : Quelles sont les caractéristiques métriques et topologiques des structures cellulaires au cours de leur évolution ?

I.

GENERALITES SUR LES STRUCTURES CELLULAIRES

Les structures cellulaires sont très courantes dans la nature. Elles se rencontrent dans

différents domaines tels que :

* la biologie : tissus cellulaires animaux ou végétaux [Lew28], [Lew49], [Riv95a],

[Riv95b], [Mom90], [Mom93a], [Mom93b],

* la géologie :réseaux de fractures [Sma66], colonnes de basalte de la Chaussée des

Géants en Irlande du Nord [Wea84a],

*la géographie: divisions départementales, [Boo80], [LeC93a], communales [Pig93],

*les sciences physiques : domaines magnétiques [Wol74], mousses [Gla87], [Sta89],

[Sta90], les sciences des matériaux (polycristaux métalliques ou céramiques [Atk88],

[Fra94]), et à plus grande échelle la répartition des galaxies dans l'univers [Col90]

[Lin91].

Certaines structures cellulaires sont construites à partir de modèles "artificiels" ou

idéalisés, il s'agit des répartitions de Voronoï ou de Laguerre. Ces structures sont définies par

un ensemble de points, chaque point générant une cellule. Pour les partitions de Voronoï, une

cellule est constituée par l'ensemble des points de l'espace plus proches du point générateur de

la cellule concernée que de tout autre point de l'ensemble. Les arêtes représentent donc les

points équidistants aux points générateurs. Les répartitions de Laguerre sont fondées sur le

même modèle, si ce n'est que chaque point générateur est affecté d'un poids. Ce poids diffère

d'un point à l'autre et représente le carré du rayon du cercle générateur. Les arêtes seront alors

constituées par les points équipuissants aux cercles générateurs (la puissance est définie par la

différence entre le carré de la distance et le poids). Pour de plus amples explications, on pourra

se référer au chapitre IV.

Lors de notre étude, nous ne nous sommes intéressés qu'aux réseaux bidimensionnels.

Les structures particulières, comme les divisions communales de Lorraine ou les écailles de

tatou, n'ont posé aucun problème puisqu'elles sont naturellement 2D. Les répartitions de

Laguerre peuvent être également directement définies en deux dimensions. En ce qui concerne

les polycristaux, nous nous sommes appuyés sur des résultats de coupes. Cependant, il est à

noter qu'il est possible d'obtenir directement des polycristaux bidimensionnels [Fra94]. Pour

les mousses de savon, nous avons étudié des structures bidimensionnelles : elles ont été

fabriquées entre deux plaques très faiblement espacées (de l'ordre de 2 à 3 mm). La figure 1.1

La suite de ce chapitre concerne donc uniquement les structures bidimensionnelles. Cependant, quelques remarques seront faites sur les mousses ou les polycristaux tridimensionnels. Dans ce cas, nous le notifierons explicitement (cela n'arrivera que dans le paragraphe traitant la description physique des structures).

a) b)

c) d)

Fi~ure 1.1 :a) coupe de polycristal d'alumine, b) mousse de sâvon 2D, c) pavage de Voronoï ( 100 cellules), d) pavage de Laguerre (1 00 cellules)

Bien que les structures apparaissant sur la figure 1.1 soient toutes physiquement différentes, elles présentent néanmoins une ressemblance frappante : leur géométrie. En effet,

elles constituent toutes un pavage de l'espace en domaines séparés les uns des autres par des frontières, sans vide ni recouvrement. Ces domaines sont généralement appelés cellules, leurs frontières arêtes (figure 1.2). Le nombre d'arêtes qui se rejoignent en un sommet représente la coordinence de ce sommet: les structures naturelles sont des structures de coordinence 3.

cellule

sommet

Figure 1.2: Représentation d'une cellule avec ses arêtes et sommets. Chaque arête sépare deux cellules et elles se rejoignent par trois aux sommets.

La description de ces structures cellulaires et notamment des mousses de savon et des polycristaux peut s'effectuer selon deux critères différents, qui sont:

* les phénomènes phys

iques. Il est en effet évident que les phénomènes physiques responsables de l'évolution des mousses de savon ou des polycristaux ne sont pas identiques.

*

la géométrie des structures. Les mousses de savon et les polycristaux sont étudiés d'un point de vue topologique et métrique. Leur géométrie est caractérisée à un instant donné (description statique) ou au cours de leur évolution (description dynamique).

1.1. Aspect physique

I.l.l. Les mousses de savon

Les mousses de savon sont constituées d'une dispersion de bulles de gaz dans un liquide moussant. Le gaz employé est généralement de l'air et le liquide un mélange d'eau et de tensioactif. La fraction volumique du gaz contenu dans la mousse peut varier. Pour les mousses étudiées, elle est de l'ordre de 95%: les bulles prennent alors des formes polyédriques. Les molécules tensioactives sont nécessaires à la formation des interfaces liquide-gaz: elles permettent la stabilisation des films de savon par diminution de l'énergie nécessaire à la formation d'une telle interface.

Au XIX siècle, Joseph PLATEAU a été le précurseur de l'étude des mousses de savon [Pla1873]. Il a ainsi pu établir de nombreux fondements sur l'étude de ces structures (fondements repris par Almgreen et Taylor en 1976 [Alm76] et très souvent cités, notamment

par Weaire dans un article de vulgarisation [W ea95]).

En considérant les mousses tridimensionnelles et leurs conditions d'équilibre, PLATEAU

a dégagé deux règles qui gouvernent leur morphologie :

*

trois films de savon se rencontrent en une arête, en faisant des angles de 120° ;

*

les sommets sont formés par l'intersection de quatre arêtes, qui forment des angles

égaux y tels que cos(y)

=

-1/3 (angles de Maraldi).

Si on se restreint au cas bidimensionnel, la première règle conduit alors à dire que trois arêtes se

rencontrent en un sommet avec des angles de 120°.

De plus, les mousses tridimensionnelles (respectivement bidimensionnelles) obéissent

également au principe suivant : l'aire (resp. la longueur) totale des arêtes doit être minimale.

Cette propriété s'explique en terme d'énergie. La formation des interfaces liquide-gaz demande

de l'énergie ; plus cette interface est grande, plus l'énergie nécessaire est importante. Comme le

système a tendance à minimiser l'énergie nécessaire à la formation de la structure, il va donc

minimiser l'aire (resp. la longueur) des interfaces. Pour les mousses bidimensionnelles, cette

règle explique le fait que les arêtes se rejoignent par 3 et non par 4 aux sommets. En effet, si

l'on se donne 4 sommets (figure 1.3),la valeur minimale de la somme des longueurs des arêtes correspond au deuxième cas (avec 2 sommets de coordinence 3).

Fi~ure 1.3: instabilité d'un sommet de degré 4. a) longueur des arêtes 2,828 b) longueur des

arêtes 2,732. (Glazier et Weaire [Gla92])

Par ailleurs, les arêtes ne sont pas rectilignes, mais possèdent une courbure constante.

Cette courbure est proportionnelle à la différence de pression existant entre les deux bulles adjacentes, selon la loi de Young-Laplace (dans le cas d'un cylindre avec deux interfaces):

2y

~p=­ r

{

~p différence de pression entre les deux bulles avec 'Y tension de surface ou superficielle

r rayon de courbure

La pression la plus élevée se situe du côté convexe de l'arête (figure 1.4).

(1.1)

Figure 1.4 : Pression de part et d'autre d'une arête et direction de la diffusion gazeuse.

La différence de pression entre deux cellules a tendance à diminuer : l'équilibre des pressions se fait par diffusion de l'air d'une cellule à l'autre. La diffusion est proportionnelle à

la différence de pression ~p et à la longueur de l'arête selon une loi du type loi de Fick [Gla92]. Pour les études concernant les mécanismes de diffusion, nous renvoyons le lecteur aux références [Pri67] et [Coh92]. La diffusion est responsable de l'évolution de la mousse par migration des arêtes des cellules. Ces cellules verront alors leur aire varier au cours du temps.

Les cellules à forte pression (cellules à moins de 6 côtés) vont se vider au profit des cellules à

faible pression (cellules à plus de 6 côtés) qui vont grossir. L'ajustement des pressions au travers d'une arête étant quasi-instantané, les mousses sont considérées à chaque instant comme des systèmes en quasi-équilibre.

L'évolution des mousses est également ponctuée par des transformations irréversibles: les transformations topologiques élémentaires. Elles seront abordées dans la suite de ce chapitre. Lors des évolutions, il n'y a pas de création d'arêtes, et nous avons évité les ruptures de films. Burnett et al. ont, quant à eux, fondé leur étude sur ces évolutions particulières où des ruptures de films sont provoquées par une augmentation de la température [Bur95].

A l'intersection des arêtes se trouvent des zones de faible pression, auxquelles PLATEAU a laissé son nom: ce sont les "bords de Plateau" (figure 1.5 a) et b)).

P3 >Pz

P,

=

p3

:

. Pz <P1

a) b)

Figure 1.5 : a) bord de Plateau et pressions associées [Wal89], b) triangle de Plateau visualisé

sur une mousse expérimentale.

La visualisation des bords de Plateau dans une mousse bidimensionnelle fait apparaître un

triangle très régulier (déjà visualisé par Lewis en 1949 [Lew49], figure 1.5 b)). Cette zone, où

la pression est plus faible qu'au sein même des arêtes, contribue à drainer le liquide des arêtes et

constitue une réserve de liquide.

Dans le cas de mousses tridimensionnelles, l'accumulation de liquide dans les bords de Plateau est accentuée par le drainage gravitationnel. En effet, le liquide aura tendance à se

diriger vers le bas de la mousse, ce qui entraînera le "séchage" de la mousse supérieure. Pour

les mousses bidimensionnelles, le drainage peut également devenir un paramètre important.

Lors de leur évolution, les mousses voient leur nombre de cellules diminuer, et l'aire moyenne

de ces cellules augmenter. Le liquide moussant gardant la même proportion, les arêtes vont

s'épaissir : les conditions de diffusion seront alors modifiées. Un drainage manuel peut alors

pallier ces inconvénients.

I.1.2.Les polycristaux

Les polycristaux considérés dans cette étude sont des solides isotropes constitués d'une

seule espèce chimique. Les cristaux (ou grains) qui formen!_.çes matériaux se différencient les

uns des autres par leur orientation cristalline.

Comme pour les mousses, une énergie libre est liée aux joints de grains du polycristal. Ce

polycristal a alors tendance à minimiser l'aire des joints de grains (ou leur longueur dans le cas

provoquer, lors de l'évolution du polycristal, la migration des joints de grains vers leur centre

de courbure moyen. Ce mouvement correspond à un flux d'atomes d'une cellule à l'autre (les

nouveaux atomes prennent l'orientation cristalline de la cellule hôte). Contrairement à la diffusion d'air pour les mousses, ce flux n'est pas rapide et cela implique la non-uniformité de

la pression le long des joints de grain. Ceux-ci ne présentent donc pas une courbure constante et

leur migration sera alors régie par des règles locales.

Cette évolution lente des polycristaux est appelée croissance de grains, elle se traduit également par le grossissement des grosses cellules aux dépends des petites et s'effectue généralement lors du recuit des métaux ou du frittage des céramiques. De la même manière que pour les mousses, elle est ponctuée de transformations topologiques.

Plusieurs modèles d'évolution ont été proposés, nous nous y attarderons au chapitre IV. L'étude expérimentale des polycristaux s'effectue généralement par le biais de coupes planes; mais il faut bien préciser qu'il n'a jamais été établi de correspondance exacte entre une

coupe 2D d'un polycristal 3D et un polycristal2D, avec lequel certaines expériences ont été

effectuées [Fra94].

1.2. Description statjgue

Nous ne ferons plus ici de remarques sur les structures tridimensionnelles. Nous nous

intéressons donc aux structures 2D, et essentiellement à leur géométrie, qui peut être

caractérisée par deux types de paramètres : les paramètres métriques et les paramètres

topologiques dont les corrélations de paire (qui déterminent les relations topologiques de voisinage). Ces caractéristiques globales, qui ne contiennent pas toute l'information (plusieurs structures différentes peuvent évidemment avoir des caractéristiques globales identiques), sont des outils indispensables pour comparer quantitativement les structures naturelles ou

artificielles. Les caractéristiques présentées dans la suite sont celles traditionnellement

employées.

12.1. Distribution

du

nombre de côtés des cellules

Une n-cellule désignera une cellule ayant n arêtes donc n voisins.

On peut alors définir la distribution p(n) du nombre de côtés des cellules. Pour un nombre

de côtés n donné, p(n) sera le rapport du nombre de cellules à n côtés sur le nombre total de

LP(n) = 1

n

La valeur moyenne de la distribution p(n) est donnée par la relation (1.3). <n> =In p(n)

n

(1.2)

(1.3)

Dans toute la suite de ce document, la notation <> désigne la moyenne pondérée par la distribution p(n).

Les cellules, arêtes et sommets des structures cellulaires obéissent à l'équation d'Euler qui s'exprime de la façon suivante:

F-E+ V=

X

(1.4)

{

F nombre de cellules }

avec E nombre d'arêtes dans la structure V nombre de sommets

et

X

caractéristique topologique de la surface sur laquelle est définie la structure.

Dans le cas de structures définies sur un plan (ce qui correspond au cas de notre étude), on a X

=

1 ; pour les structures périodiques, définies sur un tore, on aura : X

=

O.

On se placera maintenant dans le cas où la structure de coordinence 3 pave tout l'espace sur lequel elle est définie. On a alors les relations suivantes :

*

une arête joint deux sommets et chaque sommet constitue l'intersection de trois arêtes

*

une arête sépare deux cellules

3V=2E

2E= I n Fn

n

avec Fn nombre de cellules à n côtés.

(1.5)

(1.6)

En substituant les relations (1.5) et (1.6) dans la relatiôn d'Euler (1.4), on arrive alors à:

1 ~ 2

L

Fn-

2

Lin

Fn

+

3

Ln

Fn = 1

n n n

6 <n> = 6-

p-Cela se traduit, lorsque le nombre de cellules est très grand, par une moyenne théorique égale à 6. Soit :

<n>=6 (1.7)

Dans le cas particulier où la structure ne pave pas tout l'espace (ce qui sera généralement le cas dans notre étude), les relations (1.5) et (1.6) ne sont plus valables. La moyenne de la distribution p(n) n'est plus exactement égale à 6, mais elle en reste très proche. La formule exacte a été donnée par Fortes et al. [For85].

Un autre paramètre peut être défini à partir de la distribution p(n) : sa variance ou moment d'ordre 2 notée )l2:

)l2 = L(n-<n> )2 p(n) (1.8)

n

ou (1.9)

Cette caractéristique représente commodément le désordre topologique de la structure et apparaîtra par la suite comme un paramètre très important. Pour les structures naturelles, on observe toujours que ll2 est compris entre 0 et 5.

1.2.2. Corrélations de

paire

Les paramètres ou fonctions de corrélation de paire permettent de définir les relations de voisinage entre les cellules suivant leur nombre de côtés.

Le premier paramètre est noté m(n), il représente le nombre moyen de côtés des cellules voisines d'une cellule à n côtés.

En 1970, Aboav [Abo70] étudie des coupes de polycristaux et propose à partir de ses résultats une loi d'évolution indépendante du diamètre moyen des grains :

8

m(n) =5

+-

_n (1.10)

En 1974, Weaire [Wea74] reprend cette étude et montre, par des considérations géométriques, que la relation (1.10) devrait plutôt être de la forme générale:

m(n) = 5 + 6 + ll2

n (1.11)

Cette relation peut ainsi s'appliquer à des structures présentant différents désordres topologiques. Par la même occasion, Weaire établit l'identité suivante pour les structures pavant tout l'espace sur lequel elles sont défmies :

<n.m(n)> = 112

+

36 (1.12) En 1980, Aboav [Abo80] reprend ses travaux sur des mousses de savon et montre alors, par approximation numérique selon la méthode des moindes carrés, la relation générale suivante :

n.m(n) = (6-a).n + 6.a + 112 (1.13)

Cette relation vérifie bien l'équation (1.12) et est connue comme la loi semi-empirique d'Aboav-Weaire. La constante a est appelée coefficient d'Aboav-Weaire, Aboav en suggère la valeur de 1,2 aussi bien pour les mousses que pour les polycristaux [Abo80].

Dans le cas de résultats expérimentaux, nm(n) n'est qu'approximativement linéaire en n. La loi d'Aboav-Weaire n'est donc pas exactement vérifiée. ll est alors pratique de calculer la pente de nm(n) en fonction den à partir d'une méthode des moindres carrés pondérés par la distribution p(n). Le coefficient d'Aboav-Weaire pondéré prend alors la valeur [Del92]:

6.(2112 + 36)- <n2.m(n)> ll2

(1.14)

D'autres fonctions de corrélation ont été introduites par Peshkin et al. [Pes91] :il s'agit des Mk(n) qui représentent le nombre moyen de cellules à k côtés voisines d'une cellule à n côtés. Différentes relations sont alors vérifiées :

1. Une cellule à n côtés a exactement n voisins:

(1.15)

2. Décompte des arêtes communes aux cellules à n et k côtés (par symétrie) :

3. Décompte des arêtes des cellules à k côtés :

L,Mk(n). p(n) = k.p(k) n

4. Décompte des arêtes des cellules voisines des cellules à n côtés : n.m(n)

=

L,k.Mk(n)

k

(1.17)

(1.18)

A partir de cene fonction de corrélation, une autre fonction a été définie ([Del92]) : Mk(n) Mn(k)

Akn

=

p(k)

=

p(n)

=

Ank (1.19)

Cette fonction permet de comparer les propriétés de corrélations de paire de structures présentant des distributions topologiques p(n) différentes. Elles satisfont les équations suivantes: <Akn>

=

LP(k).Akn

=

n k <k.Akn> = n.m(n) (1.20) (1.21) Les deux fonctions définies précédemment doivent de plus être positives ou nulles quels que soient net k. Peshkin et al. [Pes91] ont remarqué que lorsque Mk(n) (et donc Akn) sont linéaires, les relations (1.17) sont des combinaisons linéaires des relations (1.2) et (1.3). Les contraintes topologiques, auxquelles est soumise la structure, sont donc moins nombreuses. Cela permet une augmentation de l'entropie maximale (principe du maximum d'entropie : nous ne développerons pas ce point mais renvoyons le lecteur à l'un des derniers articles de Rivier [Riv93]).

Si les Akn sont supposés linéaires en n et en k, Delannay et al. ([Del92]) ont montré qu'ils étaient défmis, de manière unique, par :

a

Akn = n

+

k - 6 - (-).(n - 6).(k -6) (1.22)

J.12

La relation (1.21) permet de retrouver la relation de Weaire (1.12), en en prenant la

moyenne sur n :

soit, d'après (1.20) <k.k>n

=

<n.m(n)>

et donc, d'après (1.9) ~2

+

36 = <n.m(n)>

Dans le cas de structures ne pavant pas tout l'espace, la moyenne de la distribution p(n)

ne vaut pas exactement 6. Les formules exactes pour la loi d'Aboav-Weaire sont données par, [LeC93b]:

avec

n.m(n) = [<n>- aw].n

+

<n.m(n)>-<n~

+

<n>.aw

<n>.(~2

+

<n.m(n)>)- <n2.m(n)> Jl2

aw étant le coefficient d'Aboav-W eaire pondéré par p(n).

(1.23)

(1.24)

De plus les A1m ne sont plus symétriques du fait du rôle particulier joué par les cellules du

bord de la structure, dont on ne connaît pas tous les voisins.

Le cas particulier des structures fmies, c'est-à-dire des structures qui ne pavent pas tout

l'espace, est développé au chapitre

n

.

Récemment d'autres corrélations de paire ont été introduites par Fortes et Pina [For93]

sur des structures bidimensionnelles. Il s'agit des relations de voisinage entre une cellule à n

côtés et ses deuxièmes, troisièmes, ... , plus généralement ses kèmes voisines, dans le but

d'essayer de généraliser la relation d'Aboav-Weaire. Fortes et al. ont défini exactement les

kèmes voisins, puis les notations suivantes :

<nki> : nombre moyen de cellules }(èmes voisines des cellules à i côtés,

<mki> : nombre moyen de côtés des J.cèmes voisines d'une cellule à i côtés, (pour k = 1, <m1i> = m(i)).

Par différentes approximations [For93], les auteurstt:'Quvent la linéairité de <nki> et de

<nki><mki> en fonction de i et de k. Ces relations ne font intervenir que deux paramètres : le

désordre topologique Jl2 et le coefficient d'Aboav-Weaire a. Elles ont été vérifiées sur des

En 1995, dans un article non encore publié, Szeto et Tarn [Sze95b] ont déterminé ces corrélations de paire sur des mousses de savon expérimentales. Ces mousses évoluent avec ou sans drainage, à température constante ou avec application d'un gradient de température. Les résultats concernent le régime stationnaire avant que des ruptures de films n'apparaissent, et sont valables pour toutes les conditions expérimentales étudiées. lls ont alors constaté la linéarité de <nki><mki> en fonction de <nki>. Pour k = 1, ils retrouvent une pente de 4,85 (ce qui correspond bien à la loi d'Aboav-Weaire) et pour k ;::: 2, le pente est universellement égale à 6. La linéarité de <nki> en fonction de k est également expérimentalement retrouvée, mais elle semble moins évidente pour k;::: 12 à cause des effets de taille finie de la mousse étudiée. Enfin, ils proposent la relation unverselle suivante : <mki> = 6, pour toutes les mousses et pour k ;::: 2.

1.2.3. Paramètres métriQJies

Les structures cellulaires peuvent également être caractérisées par leurs propriétés métriques et notamment par la distribution d'aire des cellules f(a). Cette distribution peut être restreinte à des sous populations, on défmit par exemple les distributions conditionnelles d'aire fn(a) pour n, nombre de côtés des cellules, fixé. Deux valeurs moyennes se déduisent de ces distributions: <a> et a(n). La première représente l'aire moyenne des cellules de la structure, la seconde l'aire moyenne des cellules à n côtés (on pourra travailler en aire réduite, c'est-à-dire d'fi . a(n))

e mrr <a> .

Deux lois empiriques ont été proposées, elles concernent la dépendance de l'aire moyenne et du rayon moyen des cellules vis-à-vis de leur nombre de côtés.

La première loi est la loi de Lewis [Lew28], proposée d'après l'étude de tissus végétaux (en particulier l'épiderme de concombre) et animaux. Elle s'exprime de la façon suivante:

a(n) = ₁ + Â..(n _ ₆₎ (n -no)

<a> (6 - no) (1.25)

où Â. et no sont des constantes caractéristiques de la structure étudiée,

no

< - 3 pour les tissus biologiques [Lew28].

Les polycristaux (pour lesquels

no

serait>- 4) suivent plus probablement la loi de Desch [Des 19] où le rayon moyen des cellules varie linéairement en n :

r(n) =a+ b.n (1.26)

D'autres paramètres peuvent être déterminés, comme le centre de gravité des cellules,

l'excentricité des ellipses d'inertie associées aux cellules et les diamètres de Férets dans les

directions des axes de la fenêtre (on pourra se référer au chapitre II), ou encore, les

distributions de la longueur des arêtes de la structure.

1.3. Descrjptjoo dynamique

Les structures cellulaires ne sont pas stables au cours du temps, mais sujettes à évolution

à cause des phénomènes physiques cités en I.1.

La migration des arêtes, pour minimiser l'énergie qui leur est liée, conduit à une évolution

continue qui influence la taille des cellules mais ne modifie pas leur topologie. Cette évolution est régie par la loi de Mullins-Von Neumann [Mul56], [Von52].

D'autres processus interviennent, ils permettent la modification de la topologie des

cellules : ce sont les transformations topologiques, auxquelles nous avons déjà fait allusion.

1.3.1. Loi de Mullins-Yon Neumann

D'après les résultats de Smith sur les mousses de savon, Von Neumann [Von52] a établi

une relation liant le taux de variation d'aire d'une cellule à son nombre de côtés. Cette relation

est valable uniquement pour une cellule dont la topologie ne change pas.

Soit une cellule à n côtés. Nous considèrerons la cellule avec ses arêtes courbes, ainsi que

le polygone associé (figure 1.6).

La différence de pression de part et d'autre d'une arête courbe est donnée par la relation (1.1) soit ~p

=

2y/R

avec

R

rayon de courbure de l'arête. Le flux de diffusion au travers de cette arête est proportionnel au produit de la différence de pression par la longueur de l'arête Ra.. Ce flux sera donc proportionnel à a. appelé angle d'ouverture. Il faut alors préciser que toutes les arêtes n'ont pas le même centre de courbure. En considérant les relations d'angles dans la cellule (figure 1.6), deux égalités peuvent être établies :

Lcl>i = (n-2) 1t n

cl>i représente l'angle entre deux côtés adjacents du polygone. Les arêtes forment des angles de 120° au sommet. La somme des <li s'exprime alors par :

Le flux total de perte d'air concernant toute la cellule est proportionnel à la somme des <lj,

ceux-ci pouvant être comptés positivement (arête convexe) ou négativement (arête concave). La cellule verra alors son aire An varier suivant la relation de Von Neumann :

dA

dt= k (n-6) (1.27)

k est une constante positive dépendant des propriétés physiques de la mousse.

En 1956, Mullins [Mul56] a déterminé l'évolution de l'aire d'une cellule de polycristal, pour lequel les arêtes ne sont pas de courbure constante, mais forment tout de même des angles de 120°. TI retrouve alors l'équivalent de la relation de Von Neumann:

~n

= k' (n-6) avec k' constante positive.

Selon ces équations, l'évolution des cellules se traduit par la diminution d'aire des cellules à moins de 6 côtés et par l'augmentation d'aire des cellules à plus de 6 côtés. Les cellules à 6 côtés sont stables au cours du temps, du moins tant qu'aucune transformation topologique ne vient les perturber.

1.3.2. Transformations topolo&iqyes

Deux sortes de transformations peuvent venir modifier la topologie des cellules. TI y a tout d'abord l'échange de voisins noté Tl (figure 1. 7).

Tl

..

Figure 1.7: échange de voisins ou Tl

L'arête séparant les deux cellules 2 et 4 voit sa longueur diminuer jusqu'à former un

sommet de coordinence 4. Ce sommet instable va immédiatement se transformer en deux

sommets de coordinence 3 en formant une arête commune aux cellules 1 et 3. Les deux cellules

2 et 4 voisines initialement ne le seront plus, contrairement aux cellules 1 et 3. Le nombre total d'arêtes est conservé par cette transformation.

Le deuxième type de transformations topologiques concerne la disparition de cellules

ayant moins de 6 côtés noté T2. Le nombre total d'arêtes des cellules mises en jeu n'est pas

conservé. La figure 1.8 donne un exemple de réorganisation possible des cellules voisines de la

cellule subissant un T2.

l*(k)

3 (p) T2(3)

..

1 ( * - 1 ) 3 (p-1) T2(4) ~ ... 1 (n-~3 (p-1) T2(5)

..

Figure 1.8 : disparition des cellules à 3, 4 et 5 côtés. Le nombre de côtés des cellules est noté entre parenthèses.

Nous pouvons préciser que certains auteurs [Wea84a] considèrent les disparitions des

cellules à 4 et 5 côtés comme la succession d'échanges de voisins suivis de la disparition de

cellules à 3 côtés.

1.3.3. Lois d'évolution

Nous nous proposons de donner les principales caractéristiques de l'évolution des

structures cellulaires sur lesquelles nous reviendrons plus en détail au cours des prochains

chapitres.

L'évolution de ces structures se déroule suivant deux étapes successives. La première

étape est un régime transitoire dont la durée dépend de l'état initial plus ou moins ordonné de la

structure. La deuxième étape est la plus étudiée: c'est le régime stationnaire, durant lequel les

propriétés sans dimension (telles que p(n), IJ.2, distribution de l'aire réduite) restent constantes.

Seuls les paramètres métriques comme l'aire moyenne <a> ou le rayon moyen <r> des cellules

varient au cours du temps. lls suivent une loi en t a :

<a> proportionnel à t a

<r> proportionnel à t ~

La détermination du coefficient ~ a fait l'objet d'un grand nombre de recherches sur

différents types de structures cellulaires; Glazier et Weaire [Gla92] en offrent une revue assez

exhaustive. A partir d'une analyse dimensionnelle, Von Neumann prédit une valeur de 0,5 pour

le coefficient ~- Cette valeur est retrouvée expérimentalement par Smith [Smi52] sur des

mousses, ainsi que par Glazier et Stavans ([Gla90], [Sta90]) sur des mousses de savon sèches

ou drainées. Leurs expériences menées sur des mousses non drainées [Gla87] conduisent à un

coefficient plus faible, ce qui laisse présumer de l'importance de l'épaisseur des arêtes et des

bords de Plateau lors de l'évolution des mousses. Les simulations numériques menées par

exemple par Weaire et Kermode [Wea83], [Wea84b] ou par Fradkov [Fra85] donnent également une valeur de 0,5. Par contre, les résultats expérimentaux sur les polycristaux

semblent conduire à des valeurs inférieures à 0,5 [Gla92] (Fradkov [Fra94] en fournit quelques

explications possibles).

Lors de leurs expériences sur les mousses de savon, Glazier et Stavans [Gla87], [Sta89], [Sta90], [Gla90] ont caractérisé le régime stationnaire par les propriétés sans dimension p(n) et

ll2· D'après leurs travaux, ces propriétés semblent ne pas dépendre de la composition du liquide

prise d'images). Cependant, l'influence de la taille des boîtes contenant les mousses 2D n'a pas été envisagée.

Lors de notre étude, que ce soit sur le vieillissement des mousses ou sur les évolutions

simulées, nous avons également tenté de caractériser le régime stationnaire des structures cellulaires. Pour ce faire, nous avons déterminé le coefficient

a

de la loi d'évolution de l'aire

moyenne, mais également les propriétés sans dimension telles que p(n) et ~2 (pour en affirmer

ou en infirmer le caractère universel). Nous nous sommes également attaché à calculer les autres

propriétés topologiques des structures. Pour cela nous voulions travailler sur un nombre de

cellules important afin d'avoir de bonnes statistiques. Nous avons donc été amenés à

II. CARACTERISATION DES STRUCTURES CELLULAIRES

Les structures cellulaires sur lesquelles nous avons travaillé sont des structures finies.

Nous avions comme objectif d'en déterminer les propriétés métriques et topologiques dont les fonctions de corrélation de paire, en prenant en compte un maximum de cellules. Nous avons également essayé de minimiser le temps de traitement de chaque image. Dans cette perspective, nous avons mis au point une méthodologie de traitement et d'analyse d'images semi-automatique.

Les premières étapes du traitement dépendent de la nature même de l'image : les structures expérimentales nécessitent un prétraitement plus long que les images issues de simulations. Toutes les images sont ensuite traitées par le logiciel2DCELL, qui permet d'obtenir les données désirées. Celles-ci ont enfin été corrigées afin d'éviter les erreurs de biais statistique.

Cette méthodologie a été validée par l'étude de structures particulières dont les caractéristiques étaient théoriquement connues (modèles topologiques), et utilisées pour certaines structures particulières en vue d'une comparaison avec des résultats déjà publiés. Le travail concernant les communes de Lorraine a fait l'objet d'un article qui sera joint au paragraphe correspondant.

11.1. Méthodolo2ie d'analyse d'ima2es II.1.1. Prétraitement des images

Les structures de mousses de savon bidimensionnelles expérimentales et les structures telles que les divisions communales de départements français ou les écailles de tatou (photocopiées à partir de documents) vont constituer les images expérimentales.

Celles-ci sont enregistrées par une caméra à transfert de charges ou caméra CCD (Charge Coupled Deviee), numérisées par une carte vidéo MATROX et chargées dans la mémoire du logiciel d'analyse d'images VISILOG (version 3.6 et 4.1) installé sur un PC COMPAC 486. Ces images sont des images en niveaux de gris constituées de 512 par 512 pixels. Le niveau de gris de chaque pixel correspond à sa valeur: de 0 (noir) à 255 (blanc). Les pixels sont rangés sur une trame hexagonale (Visilog travaille en fait sur une fausse trame hexagonale, sa définition et les relations de voisinage sont figurées sur le schéma suivant).

•

•

@ @

•

•

• •

•

•

•

~

0

®

•

0

0

• •

•

®

0

0

0

0

• • •

0

0

•

a) b)

Figure 2.1 :Rangement des pixels. a) Vraie trame hexagonale. b) Fausse trame hexagonale de Visilog, les pixels hachurés sont les voisins des pixels blancs.

Pour chacune des images traitées, les arêtes et les sommets des cellules apparaissent généralement en noir, par contraste avec l'intérieur de ces cellules. Le traitement de chaque image a pour but de détenniner le squelette des structures cellulaires sous la forme de lignes réduites à un pixel d'épaisseur. Pour ce faire, différentes opérations prédéfinies par Visilog et fondées sur la morphologie mathématique [Cos89] ont été utilisées. Nous avons réalisé des

programmes permettant de chaîner les différentes opérations de manière automatique. Nous

nous proposons de ne pas détailler chaque étape du traitement mais d'expliciter les opérations les plus importantes :

* Le seuillage d'une image permet de passer d'une image en niveaux de gris à une image

binaire. Chaque pixel est comparé aux bornes de seuillage qui sont des niveaux de gris

limites détenninés manuellement en fonction de la luminosité de l'image. Si la valeur de ce pixel se situe entre ces bornes, elle sera mise à 1, (zone détectée); sinon sa valeur sera

o.

*La squelettisation s'effectue sur une image binaire et consiste à déterminer l'axe médian d'épaisseur 1 pixel de tous les objets détectés : les pixels de cet axe sont équidistants aux bords de l'objet initial. Afin de conserver la connectivité de chaque objet, le logiciel procède en fait à un amincissement des objets par application d'une matrice de voisinage jusqu'à l'obtention d'un squelette constitué d'une ligne d'épaisseur 1 pixel (qui ne

1 1

x x

0 0

avec _{

1 ou 0 valeurs des pixels x valeur quelconque des pixels

. pixel concerné

Cette matrice comprend 6 configurations possibles par rotation de 60°. Elle est "promenée" sur tous les pixels de l'image. Si le pixel central (noté .) et ses voisins

correspondent à une configuration de la matrice, la valeur de ce pixel est mise à 0, sinon

elle reste inchangée. L'amincissement est poursuivi jusqu'à ce que plus aucun pixel ne soit modifié.

*

L'ébavurage d'une image binaire consiste à éliminer les pixels n'ayant qu'un seul voisin. Il correspond à l'application de la matrice de voisinage suivante :

x

x

0 0

0 0

avec

{

0 valeur des pixels

x valeur quelconque des pixels

• pixel concerné

L'ébavurage est également poursuivi jusqu'à ce que plus aucun pixel ne soit modifié. On

pourra également remarquer que les arêtes qui touchent le bord de l'écran ne sont pas considérées comme ayant une extrémité libre (en trame hexagonale).

Comme pour toute application de l'analyse d'images, la qualité de l'image initiale est le paramètre le plus important. En effet, il faut un très bon contraste entre les différentes zones de l'image pour pouvoir facilement seuiller les éléments intéressants. Suivant l'éclairage, des zones d'intensités lumineuses différentes peuvent apparaître : le seuillage ne sera donc pas toujours adéquat pour toute l'image, et pas identique d'une image à l'autre.

De plus, en ce qui concerne les structures cellulaires, un problème supplémentaire peut survenir. Toutes les cellules n'ont pas la même taille et, si l'on veut traiter un nombre maximum

de cellules, il faut augmenter la taille de la fenêtre. L'inconvénient d'une telle pratique est alors

que les petites cellules auront tendance à disparaître au cours du traitement.

Pour pallier ces différents problèmes (seuillage non homogène et disparition des petites cellules), une intervention manuelle est indispensable. Elle permet la détermination manuelle des bornes de seuillage pour un seuillage optimum de chaque image ainsi que la réintroduction des petites cellules. L'inconvénient est alors le retard pris lors du traitement des images. A titre

d'exemple, pour une image de mousse d'environ 700 cellules, il faut compter :

{

*

_*

5 mn pour le traitement automatique _{parfois jusqu'à 30-40 mn pour la correction des petites cellules.}

Le traitement précité des images conduit à une structure du type décrit par la figure

ci-dessous.

Figure 2.2 : exemple d'une image obtenue après traitement semi-automatique, avec les cellules

coupées par le bord (cellules hachurées) et les cellules du bord de la structure (cellules grisées). L'acquisition et le traitement des images s'effectuent dans une fenêtre de mesure, seules les cellules totalement incluses dans cette fenêtre sont donc prises en considération. Les cellules

intersectées par le bord (cellules hachurées sur la figure 2.2) devront donc être éliminées. Toutefois, elles sont conservées dans un premier temps. Ceci permet d'éviter les erreurs

pouvant survenir dans le décompte des nombres de côtés des cellules voisines (cellules grisées

sur la figure 2.2). Ces images (en format ASCII) sont alors transférées sur le réseau informatique où nous allons poursuivre le traitement.

Franco RIGHETTI a développé, au cours de sa thèse [Rig92a], différents programmes informatiques en Pascal. Installés sur les machines HP 9000 de l'Ecole des Mines de Nancy, ils permettent :

*

la lecture de l'image issue de Visilog (en format ASCII), et la création d'un fichier contenant la taille de la structure (512x512) ainsi que tous les pixels (sous forme de 0 et de 1).

*

l'identification des sommets du réseau et de leurs voisins. Nous avons, ici, rajouté une étape. Elle consiste à éliminer de la liste de tous les sommets ceux qui appartiennent aux cellules hachurées sans appartenir aux cellules grisées. Le nombre de côtés de ces dernières est alors compté de manière exacte.

*

la reconstruction des cellules et la création d'un fichier contenant le nombre de cellules avec, pour chacune d'entre elles, le nombre de sommets et leurs coordonnées. Ce fichier est un fichier ASCII, il peut être transformé en fichier lisible.

Pour les structures de Laguerre obtenues par le programme de simulation de Telley (pour plus de précision, voir le chapitre IV), on peut obtenir le même fichier ASCIT. Ces structures sont périodiques mais lors de la détermination des sommets, elles sont automatiquement "dépériodisées".

II.l.2. Loeiciel 2DCELL

Les fichiers ASCII contenant les coordonnées des sommets des structures cellulaires sont traités par le programme 2DCELL (ou CRYSTAL) également développé par Franco RIGHETTI

[Rig92a], [Rig92b].

Avec les coordonnées des sommets, ce logiciel reconstruit la structure sous la forme d'une structure cellulaire à arêtes rectilignes. TI détermine le nombre de côtés et les paramètres métriques (aire, excentricité, ... ) de chaque cellule. L'idéalisation rectiligne introduit ici un biais sur la mesure des aires des cellules : les cellules à moins de 6 côtés verront leur aire sous estimée à l'inverse des cellules à plus de 6 côtés. Une interface graphique permet de dessiner la structure et de tracer des histogrammes simples (distributions topologiques p(n), distribution d'àire) ou doubles (aire moyenne des cellules en fonction du nombre de côtés). Les distributions peuvent être restreintes à des sous-populations de cellules : par exemple, on peut tracer la distribution d'aire pour un nombre de côtés n fixé à une seule valeur. Ce logiciel travaille sur une structure finie (figure 2.3), c'est-à-dire non périodique.

Figure 2.3 : structure sur laquelle sont calculés tous les paramètres. Les cellules grisées sont les cellules du bord de l'image.

En exploitant les résultats fournis par 2DCELL, nous avons développé un programme nous permettant d'obtenir toutes les caractéristiques métriques et topologiques dont les corrélations de paire relatives à la structure cellulaire étudiée.

Avant d'expliciter ces caractéristiques, nous allons préciser les différentes notations employées (qui vaudront pour ce paragraphe, ainsi que pour le suivant). Tout d'abord, il faut

différencier les cellules selon qu'elles appartiennent à toute la structure, ou uniquement à la

structure interne (cellules en blanc sur la figure 2.3). L'exposant tot concernera donc les cellules de la première catégorie, et l'exposant int les cellules de la seconde. L'indice c désignera une valeur corrigée par la méthode de correction de biais (voir paragraphe suivant). Enfin, on peut rappeler que <> désigne la moyenne pondérée par la distribution topologique p(n), l'indice situé à droite de ce sigle donne la variable sur laquelle la moyenne est effectuée (par exemple,

<Akn>k désigne la moyenne pondérée des Akn par rapport à k, donc <Akn>k = ~ p(k) Akn ).

k Les paramètres obtenus sont les suivants :

1. le nombre total de cellules de la structure noté Ntot, ainsi que le nombre de cellules internes Nint (cellules blanches sur la figure, dciilt .on connaît exactement tous les voisins).

2. les nombres de cellules à n côtés, nbtot(n) et nbint(n), avec les distributions topologiques associées :

nbtolfn) r n · _ nbint(n)

Ptot(n) = _Ntot -, et p tt _' n) _{- Nint} - (2.1) 3. la moyenne de la distribution topologique :

<n>tot = ~ n ptOt(n) et <n>int = ~ n pint(n) (2.2)

ntot nint

et sa variance :

(2.3) On peut rappeler ici, que, les structures ne pavant pas tout le plan, <n>tot n'est pas exactement égal à 6, mais lui est très voisin.

4. le nombre de jonctions (ou d'arêtes communes), noté njc(k,n), entre les cellules à k et n côtés. La matrice njc permet le calcul des corrélations de paire. En fait, les cellules voisines ne sont connues totalement que pour les cellules internes à la structure. On ne compte donc dans njc(k,n), que le nombre de jonctions entre des cellules à k côtés (internes ou non) et des cellules internes à n côtés. De ce fait la matrice njc n'est pas symétrique.

5. les corrélations de paire A1cn. De la même manière que précédemment, les cellules ne jouent pas le même rôle, suivant qu'elles appartiennent au bord de l'image ou non. On aura alors la formule suivante :

_ njc(k,n)

A1cn-ptOl(k).pint(n).Nint (2.4)

Comme la matrice njc, la matrice A1cn n'est pas symétrique. Les relations suivantes sont alors vérifiées :

(2.5)

<kAkn>k = n m(n)

(2.6)

Par contre, du fait de la non-symétrie de A1cn, <A1m>n '# k

6. le nombre moyen de côtés des cellules voisines d'une cellule à n côtés, m(n), où la cellule à n côtés est forcément une cellule interne à la structure :

~ i njc(i,n)

1

m(n) =---=-.

-nb10t(n) n

On peut alors calculer les termes de la relation [Wea74]:

<n m(n)>n = Jlzint

+

(<n>ÏDt)2

(2.7)

(2.8)

qui est vérifiée, dans le cas de structures finies, de manière approximative. En effet, on

aura <n m(n)>

=

<<kAkn>k>n

=

<k<Akn>n>k, mais <Akn>n n'est plus égal à k. La relation (2.8) sera donc approchée. Cette approximation sera d'autant meilleure que le nombre de cellules est important, et donc que l'échantillonnage est bon.

7.la constante d'Aboav-Weaire pondérée, calculée uniquement sur les cellules internes:

<n>int._Jl2int + <n>int.<n m(n)> _ <n2 m(n)>

Jlzint (2.9)

8. l'aire moyenne des cellules <a>, la distribution d'aire des cellules f(a) avec a aire

réduite, les distributions d'aire f0(a) pour n donné.

9. l'aire moyenne réduite des cellules à n côtés, a(n).

ll.1.3. Corrections

de

biais

Les mesures effectuées sur les structures cellulaires sont réalisées à l'intérieur d'une

fenêtre de mesure (fenêtre de la caméra pour les images expérimentales). Seules les cellules totalement incluses dans cette fenêtre peuvent être prises en compte . Comme une grosse cellule

a plus de chance de se faire couper par le bord de la fenêtre de mesure qu'une petite cellule, cela

entraîne un biais sur les moyennes obtenues.

Pour pallier ce problème, nous avons appliqué à tous nos résultats une correction de biais

fondée sur la probabilité qu'a la cellule d'être totalement incluse dans la fenêtre de mesure : c'est

la méthode de Miles et Lantuejoul [Cos89].

On considère une structure cellulaire comportant n cellules Xi (i

e

[l,n]). Soit W(Xi) une

mesure appliquée à la cellule Xi, on désire connaître la valêur moyenne (sur la structure) :

n

- 1

w

=

ïï

L

W(Xi).

i=l

On ne peut accéder qu'aux valeurs expérimentales W*(Xi) où les Xi (i e [1,N]) sont les

N cellules contenues dans la fenêtre de mesure Z. La valeur moyenne calculée sur la fenêtre :

N

- 1

w*

= N

L,

w*(Xi)

i=1

est forcément biaisée

(pour

les raisons citées précédemment).

(2.11)

Pour obtenir une valeur non biaisée Wc* de cette moyenne (qui sera une approximation de W), on applique un facteur correctif (lié à la probabilité qu'a la cellule d'être totalement incluse dans la fenêtreZ) à chaque mesure expérimentale. Ce facteur s'exprime en fonction de la taille de la fenêtre Z et de la taille du plus petit rectangle circonscrit à la cellule Xi, de côtés parallèles à ceux de la fenêtre de mesure. Les côtés de ce rectangle notés fil et ri2 sont les diamètres de Féret dans les directions x et y (voir figure 2.4).

z2

ri2~

ri1

-

x

z1

Fifrnre 2.4: fenêtre de mesureZ de dimension Zl et z2, cellule Xi (hachurée) de diamètres de Férets rn et fi2.

La valeur non biaisée de Wc* a alors la forme suivante :

(2.12)

Cette méthode est appliquée à tous les résultats décrits au II.1.3. Pour les moyennes effectuées sur toutes les cellules, les facteurs correctifs sont données directement par 2DCELL. Pour les moyennes ne faisant appel qu'aux cellules internes, nous avons recalculé ces facteurs

correctifs en posant :

zt int = zt- Péret moyen en x (2.13)

z2 int = z2 -Péret moyen en y (2.14)

Les Pérets moyens sont calculés en divisant les sommes des Pérets de toutes les cellules par le nombre total de cellules N. On réduit ainsi la fenêtre de mesureZ d'un Péret moyen selon

x dans la direction x et d'un Péret moyen selon y dans la direction y : les cellules internes sont

considérées comme incluses dans cette nouvelle fenêtre de mesure.

Nous allons ici donner les formules employées pour déterminer les moyennes non

biaisées des paramètres décrits au II.1.3.

On introduit tout d'abord les notations suivantes :

*

Etot

=

{

i

1

Xi soit une cellule quelconque de la structure}

*

Eint = { i

1

Xi soit une cellule interne}

*

biais associé à une cellule Xi contenue dans la fenêtre Z, avec i e Etot :

(2.15)

*

biais associé à une cellule Xi contenue dans la fenêtre Z, avec i

e

Eint :

bint["] -1 - . 1 .

(ZI mLru)(z2 mt_ri2) (2.16)

*

nombre de côtés de la cellule Xi : n(i)

*

indice de la jème voisine de Xi : vois(i,j) ; j varie alors entre 1 et le nombre de voisins

de la cellule Xi

*

tenseur de Kronecker, ~(i),n

On a alors les formules suivantes :

1. distribution du nombre de côtés :

L

Ùn(i),n·b101[i]

L

Ùn(i),n·bint(i] Pctot(n) = i E Etot Pcint(n) = i E Eint

I

b101(i] et

L

bint(i]

i E EtOt i E Eint 2. valeur moyenne <n>c :

I,

n(i).btot[i] i E Etot <n>totc =

I,

n.pçtot(n) = et ntot

L

btot(i] iE Etot

I,

n(i).bint[i] iE Eint <n>intc =

I,

n.pçint(n)

=

_____

_

nint

I,

bint[i] iE Eint 3. variance J.12c :

4. corrélations de paire Akn :

avec avec n(i) 1 I,Pi

L

bint[i] . iE Eint iE Eint

LÙn(i),n·Ùn(vois(ij) ),k· b101[ vois(i ,j)] Pi = n(i).bint(i]."-.

=-

1

----;-;~---­

n(i)

L

btOt(vois(i,j)]

j=1

5. corrélations de paire m(n) avec n cellule interne:

( ) <kAknc>kc fic n

=

_n (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21)

Cette méthode est appliquée à tous les résultats décrits au II.1.3. Pour les moyennes

effectuées sur toutes les cellules, les facteurs correctifs sont données directement par 2DCELL.

Pour les moyennes ne faisant appel qu'aux cellules internes, nous avons recalculé ces facteurs correctifs en posant :

zt int = zt- Féret moyen en x (2.13)

z2 int = z2 - Féret moyen en y (2.14)

Les Férets moyens sont calculés en divisant les sommes des Férets de toutes les cellules

par le nombre total de cellules N. On réduit ainsi la fenêtre de mesure Z d'un Féret moyen selon

x dans la direction x et d'un Féret moyen selon y dans la direction y : les cellules internes sont

considérées comme incluses dans cette nouvelle fenêtre de mesure.

Nous allons ici donner les formules employées pour déterminer les moyennes non

biaisées des paramètres décrits au II.1.3.

On introduit tout d'abord les notations suivantes:

*

Etot

= {

i

1

Xi soit une cellule quelconque de la structure}

*

Eint = { i 1 Xi soit une cellule interne}

*

biais associé à une cellule Xi contenue dans la fenêtre Z, avec i e Etot :

btotf"] 1

--L.l = (zt-rn)(zz-ri2) (2.15)

*

biais associé à une cellule Xi contenue dans la fenêtre Z, avec i

e

Eint :

bint[_{1 -}"] - _. 1 _.

(zttnLrn)(Z2 tnLri2) (2.16)

*

nombre de côtés de la cellule Xi : n(i)

*

indice de la jème voisine de Xi : vois(i,j) ; j varie alors entre 1 et le nombre de voisins

de la cellule Xi

*

tenseur de Kronecker, ~(i),n

On a alors les formules suivantes :

1. distribution du nombre de côtés :

L

Ôn(i),n·b101[i]

L

Ôn(i),n·bint[i] Pctot(n)

=

i e EtOt Pcint(n)

=

i e Eint

L

btOt(i] et

L

bint[i] i e Etot i e Eint 2. valeur moyenne <n>c ;

L

n(i).btot[i] i e Etot <n>totc =

L

n.pctot(n) = et ntot

L

btot[i] ie Etot

L

n(i).bint[i] ie Eint <n>intc =

L

n.pcint(n) = - -- - - -nint

L

bint[i] ie Eint 3. variance J.12c :

4. corrélations de paire Akn :

avec avec n(i) 1 LPi

L

bint[i] . ie Eint ie Eint

LÔn(i),n .Ôn(vois(i,j) ),k· b101[ vois(i,j)]

Pi = n(i).bint[i] .

.~...·

=~

1

=---

____,.,,.,..---

-

---

-

-­

n(i)

L

btot[vois(i,j)] j=1

5. corrélations de paire m(n) avec n cellule interne:

( ) <kAknc>kc

mc

n = _n (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21)

6. constante d'Aboav-Weaire pondérée:

<n>intdlint2c

+

<n>intc.<n.mc(n)>intc -<n2.mc(n)>c J.lint₂c

7. aire moyenne de toutes les cellules :

L

a[i].btot(i]

. i E Etot

<a>c=

i E Etot

où a[i] est l'aire de la cellule Xi.

8. aire moyenne réduite de toutes les cellules à n côtés :

I,a[i] .btot[i] .Ôn(i),n

i E Etot 1 a(n)c = . <a>c

L

btOt(i] Ôn(i),n i E Etot II.l.4. Résultats (2.22) (2.23) (2.24)

Les résultats ainsi obtenus sont enregistrés dans des fichiers. Le logiciel public GNUPLOT permet de tracer toutes les courbes nécessaires.

Nous avons également mis au point un programme permettant de calculer les caractéristiques topologiques et métriques non biaisées concernant plusieurs images distinctes. ll s'agit en fait de rassembler les statistiques concernant plusieurs images d'une même structure (ces images ne devant pas se recouper). Par exemple, nb(n) est obtenu en faisant la somme des nombres de cellules à n côtés apparaissant dans chacune des images (nb(n) =

L

nbi(n) si

i

nbi(n) est le nombre de n-cellules dans l'image numéro i). Nous avons ensuite calculé les statistiques finales de la même façon que ci-dessus.

11.2. Résultats djyers

II.2. 1. Modèles tQpolo~gues

Dans un premier temps, nous avons souhaité vérifier la méthodologie mise en place au paragraphe précédent (Ill.). Pour cela, nous avons traité des images obtenues à partir de simulations numériques réalisées sur la base d'un modèle topologique développé par Le Caër [LeC91a], [LeC91b] et Delannay [Del92], [Del94a]. L'intérêt de ce modèle est de fournir des structures cellulaires périodiques dont les propriétés topologiques sont exactement connues. En jouant sur un paramètre, il est possible d'obtenir des structures dont le désordre topologique varie entre 0 et

=

1.

Trois exemples de structures fournie par ce modèle topologique ont été étudiés, seul le modèle avec J.12 = 1,0152 sera exposé (figure 2.5).

Fiiure 2.5 : exemple de structure cellulaire construite à partir du modèle topologique

Les caractéristiques topologiques de ce modèle sont comparées avec celles obtenues par analyse d'images sur une portion de la structure précédente.

Le tableau 2.1 donne le nombre des cellules à n côtés. La première colonne correspond

aux valeurs théoriques (arrondies à l'entier inférieur) que l'on devrait obtenir pour un nombre

total de cellules de 1523. La deuxième colonne donne les valeurs obtenues sur l'image traitée,

constituée de 1523 cellules. n Valeurs Valeurs théoriques obtenues 4 93 106 5 386 383 6 572 553 7 364 390 8 104 91

Tableau 1.1 : comparaison du nombre de cellules à n côtés.

Les écarts observés sont dus au problème d'échantillonnage. La structure théorique est

périodique, alors que l'image traitée est de taille finie. Elle est prise au hasard dans la structure et ne reflète pas forcément la moyenne théorique. Ainsi, on observe ici par exemple, plus de cellules à 4 côtés et moins de cellules à 8 côtés. Ces cellules particulières sont de plus peu nombreuses dans la structure : l'erreur relative quant à leur proportion sera donc d'autant plus

importante. On pourra se référer au tableau 2.2 qui donne les erreurs relatives observées sur les