FLUCTUATION D'UNE FRÉQUENCE - PROBABILITÉ

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DATE : Mardi 16/05/2017 1pro OL, M SERRE

FLUCTUATION D'UNE FRÉQUENCE - PROBABILITÉ

En ayant relevé dans des catalogues le 1^er chiffre de 200 prix, voilà ce que vous avez trouvé.

1ère partie : utilisation de l'informatique.

1) Comment a-t-on calculé la cellule B12 ? On additionne de B3 à B11. Dans la cellule, on écrit : =somme(B3:B11)

2) Comment a-t-on calculé la cellule R3 ? On a additionné toutes les cellules de l'issue 1. Dans la cellule est écrit : =B3+D3+….+P3 3) Comment a-t-on calculé les cellules R4 à R11 une fois que l'on a calculé la cellule R3 ? En incrémentant vers le bas

4) Comment a-t-on calculé la cellule C3 ? En divisant la cellule B3 par B12. Dans la cellule est écrit : =B3/B12

5) Comment a-t-on calculé les cellules C4 à C11 une fois que l'on a calculé la cellule C3 ? On bloque la cellule B12 dans C3 en rajoutant des $ puis on incrémente.

6) Comment a-t-on calculé la cellule C12 ? On additionne C3 à C11. Dans la cellule est écrit : =somme (C3:C11) 2ème partie : comparaison avec la théorie.

Issu du site Wikipédia :

La loi de Benford, initialement appelée loi des nombres anormaux par Benford1,2, fait référence à une fréquence de distribution statistique observée empiriquement sur de nombreuses sources de données « dans la vraie vie » (mais pas toutes). Quand on étudie un ensemble de données, on pourrait s'attendre à voir les chiffres 1 à 9 apparaître à peu près aussi fréquemment sur le premier chiffre d'un nombre, soit 11,1% (1 sur 9) pour chacun. Or, contrairement à l'intuition, le 1^er chiffre non nul le plus fréquent est 1, pour près du tiers des observations. Le chiffre 2 est ensuite lui-même plus fréquent que le 3… et la probabilité d'avoir un 9 comme premier chiffre significatif n'est que de 4,6 %. C'est une loi observée aussi bien dans les mathématiques sociales, c'est-à-dire les sciences humaines et sociales, que dans des tables de valeurs numériques comme celles qu'on rencontre en physique, en BTP, ou même dans les numéros de rue de son carnet d'adresses, et qu'il est facile de démontrer.

Les fréquences trouvées pour les 1600 chiffres correspondent-elles à peu près à la loi de Benford ? Oui, celui qui s'éloigne le plus est le chiffre 8 en pourcentage (0,017/0,053 * 100)

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Q1 : Quel est la taille de l'échantillon de chaque groupe ? n = 200.

Q2 : Quelle est la taille de l'échantillon virtuel de toute la classe ? n = 1600 Q3 : Quelle est la fluctuation d'échantillonnage du chiffre 1 ? de 0,130 à 0,330 Q4 : Quelle est la fluctuation d'échantillonnage du chiffre 7 ? de 0,015 à 0,150

Q5 : Combien d'échantillons y a-t-il dans notre tableau ? N = 8

Q6 : Donner la distribution d'échantillonnage du chiffre 5, en réalisant un tableau ci-dessous.

Échantillon : i 1 2 3 4 5 6 7 8

Fréquence de l'échantillon 0,075 0,080 0,050 0,075 0,070 0,140 0,060 0,1

Q7 : Dans quelle cellule de situe la fréquence moyenne de la distribution d'échantillonnage du chiffre 5 ? S7 Page 2 / 3

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c'est 0,081.

Calcul de la fréquence moyenne : (0,075 + 0,08 + … + 0,1 ) / 8

Q8 : Calculer l'intervalle de fluctuation pour les chiffres de notre tableau.

Aide : n = 200 ; p = 0,301 pour le chiffre 1 Donc p –

1

√

⁽ⁿ⁾ ^{= 0,301 -}

1

√

⁽²⁰⁰⁾ ^{= 0,230}

et p+ 1

√

⁽ⁿ⁾ ^{= 0,301 +}

1

√

⁽²⁰⁰⁾ ^{= 0,371}

On doit avoir au moins 95 % des échantillons de l'issue 1 dans l'intervalle [0,230 ; 0,371]

Vérifions.

distribution d'échantillonnage de l'issue 1 : 0,300 ; 0,300 ; 0,305 ; 0,330 ; 0,260 ; 0,130 ; 0,145 ; 0,195 Il y a 5 qui sont dans l'intervalle soit 5/8*100= 62,5 % Donc nos relevés ne sont pas valables.

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