France, 2001, Probabilités

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html National, Septembre 2001

SUJET

On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches ou rouges, indiscernables au toucher. L’épruve consiste à choisir une urne parmi les urnes a et b proposées (les deux choix sont équiprobables) puis à effectuer le tirage d’une boule dans l’urne choisie.

On note A l’évènement « l’urne a est choisie », B l’évènement « l’urne b est choisie » et R l’évènement « une boule rouge est obtenue au tirage ».

On note

p R

A

( )

la probabilité conditionnelle de l’évènement R par rapport à l’évènement A.

1. Dans cette question , l’urne a contient une boule rouge et quatre boules blanches, l’urne b contient quatre boules rouges et deux boules blanches.

a. Déterminer les probabilités suivantes :

p A p R p A R ( )

^, A

( ) (

^,

)

.

b. Montrer que

^{p R} ( )

⁼¹³₃₀^.

c. Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne a ?

2. Dans cette question, on suppose que l’urne a contient quatre boules blanches, l’urne b deux boules blanches.

L’urne a contient en outre n boules rouges (n entier naturel inférieur ou égal à 5) l’urne b en contient 5-n.

a. Exprimer

p R

A

( )

et

p R

B

( )

en fonction de n.

b. Démontrer que

^{p R} ( ) ( )( )

^{= − +4}

ⁿ

⁺²

ⁿ

⁴

ⁿ

⁷⁺⁻¹⁰

ⁿ

^.

c. On sait que n ne prend que 6 valeurs entières.

Déterminer la répartition des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus grande valeur possible de

^{p R} ( )

^.

Deux urnes a et b : A : « on choisit l’urne a » ; B : « on choisit l’urne b » ; R : « une boule rouge est tirée ».

Expérience : on choisit l’urne et on tire une boule.

1. a contient 1 boule rouge et 4 boules blanches : b contient 4 boules rouges et 2 boules blanches.

•

R

1/5

•

A

0,5 4/5 •

R

•

0,5 4/6 •

R

•

B

2/6

•

R

a. ^{p A}

( )

⁼¹₂ car le choix des urnes est supposé équiprobable.

( )

¹₅

p RA = car si on tire dans l’urne rouge, 1 boule sur 5 est rouge.

( ) ( )

A

( )

₁₀¹

p A R∩ =p A ×p R =

b. On va utiliser la formule des probabilités totales : A et B forment une partition de l’univers, donc

( ) ( ) ( )

₁₀¹

( )

B

( )

_{10 2 6 30}^{1 1 4 13}

p R =p R A +p R B = +p B ×p R = + × = .

c. On va ici inverser cause et conséquence... formule de Bayes... :

( ) ( )

( )

^{13/ 30 131/10 3}

R

p A R p A p R

= ∩ = =

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2. a contient n boules rouges et 4 boules blanches : b contient 5-n boules rouges et 2 boules blanches.

•

R

n/(n+4)

•

A

0,5 4/(n+4) •

R

•

0,5 (5-n)/(7-n) •

R

•

B

2/(7-n)

•

R

a. A

( )

₄

p R n

=n

+ et A

( )

⁵₇

p R n n

= −

−

b. On va encore utiliser la formule des probabilités totales :

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

1 1 5 ... 2 4 10

2 4 2 7 4 7

A B

p A p R p B p R

n n n n

p R p R A p R B

n n n n

× ×

− − + +

= + = × + × = =

+ − + − .

c. On teste ensuite les 6 valeurs possibles de n : les entiers de 0 à 5.

Le n cherché est n=2 donc ...