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Démonstration d'une formule de trigonométrie

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(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

S. R ÉALIS

Démonstration d’une formule de trigonométrie

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 9 (1870), p. 12-20

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1870_2_9__12_1>

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(2)

DÉMONSTRATION DUNE FORMELE DE TRIGONOMÉTRIE;

PAR M. S. RÉALIS.

I. C'est Euler qui a reconnu le premier, dans un Mémoire inséré dans les Novi Commentarii uicademiœ

(3)

Petropolitanœ, t. VIII, p. 157, que la limite vers la- quelle tend le produit

c o s - cos—cos-- . . . cos— >

2 22 23 2re

lorsque le nombre n des facteurs augmente indéfiniment,

, , . S1D& , 1 *ii<

est egale a •> en sorte qu on a, pour un nombre illi-

X

mité de facteurs,

x x .r .x sinx cos — cos— cos— cos— . . . = •

2 22 23 24 X

Ainsi que le remarque M. Frenet dans son Recueil d'exercices sur le Calcul infinitésimal (ic édition, p. 56), la considération de cette limite s'était présentée à Viète h propos de la surface du cercle. Ce géomètre a été con- duit, en effet, à une relation qui revient à la formule

X .T. .V X

c o s - cos— cos— . . . cos —

2 22 23 2"

où Sk désigne la surface du polygone regulier inscrit de k côtés, et x l'angle au centre de ce polygone.

Dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (ir e série, t. VIII, p. 459, et t. XVII, p. 283), on trouve une démonstration élémentaire de la formule d'Euler, démonstration adoptée maintenant dans l'enseignement classique, et consignée dans plusieurs ouvrages didac- tiques, entre autres dans le Recueil mentionné.

La démonstration que je présente ici est un peu moins simple que celle qu'on vient de citer, mais elle est tout aussi élémentaire, et conduit incidemment à plusieurs résultats intéressants.

2. Dans cette démonstration, on s'appuie d'abord sur

(4)

( ' 4 )

la relation

cosacos& = ±[cos(a — b) -+- cos{a -h b)],

par laquelle on exprime un produit de deux cosinus au moyen d'une somme de deux cosinus.

Faisons, dans cette formule,

2 a2

x désignant un arc quelconque, et multiplions chaque nombre par cos—; il nous viendra

cos-

.7- x x i / x x 3x jr\

S— COS— COS— = - I COS—COS h COS * COS— 1 2 22 23 2 \ 22 23 22 23 /

Mais, en vertu de la relation rappelée,

x x i / .r 3x\

cos— cos— = — I cos h c o s — j ? 22 23 2 \ 23 23 /

c o s — cos— = — ( cos h cos-— ) : 2.2 23 2 \ 2'^ ?.3 J

donc

X X X I / X cos— cos— cos— = -T ( cos—

2 22 23 1' \ 23

3x 5x 1 x cos 1- cos—- -f- c o s —

23 23 23

On trouve ainsi, en général, pour toute valeur entière et positive de w,

x :r. x x COS- COS— COS— , . . COS—

2 3 n

i F x 3x 5x

= —— cos h cos h cos f - . . . 2 * ~ ' I 2" 2 " 2"

~3 )- * - | CQS ( 3"~l ) X"|

2» J '

(

1tl

ce qui se prouve directement en vérifiant que, si la for-

(5)

( '5 )

mule (i) subsiste pour une valeur donnée de n, elle sub- sistera encore pour la valeur n - f i .

3. Remarques. — i° D'après la manière dont on passe de la formule (i) où l'on fait n~ 2, à la même formule où Ton fait rc = 3, puis de proche en proche aux cas de n = 4i 5, 6 , . . . , on est conduit à remarquer, en passant, que les 2"""1 premiers nombres impairs, de- puis 1 jusqu'à in— 1 inclusivement, sont donnés par les 2""1 valeurs que prend l'expression

2"-|dz2'|-2±:2>t^3db. . .z±22±:2±:i,

lorsqu'on y combine de toutes les manières possibles les signes des termes 2n~% 2n~8,..., 2% 2, 1.

On a, par exemple, pour n = 3,

^—1 = 7, 3 ' = 4, et

1*— 2 — 1 = 1, i2— 2 H- 1 = 3 ,

? .2+ 2 — 1 = 5 ,

Il suit de là, entre autres conséquences intéressantes pour l'analyse numérique, que tout nombre impair peut être représenté d'une infinité de manières au moyen de l'expression ci-dessus, où l'on donne successivement à n toutes les valeurs entières, à partir de la plus petite valeur qui convient au nombre considéré.

Par exemple,

5 = 22 -4- 2 — 1 , 5 = 23— 22+ 2 — l , 5 = 24 — 23— 22-f- 2 — 1 , 5 = 25#— 24 — 23 — 22-f- 2 — I ,

(6)

( ' 6 )

On peut aussi reconnaître immédiatement que la somme des a"""1 premiers nombres impairs est 2s("~lj, ainsi qu'on le sait d'ailleurs par les éléments d'arithmé- tique.

2° Peut-être est-il bon d'observer que la formule (i) est un cas particulier, très-remarquable, à la vérité, d'une autre formule par laquelle on exprime en général un produit d'un nombre quelconque de cosinus au moyen d'une somme de cosinus.

Soient, en effet, n arcs quelconques, x±, x2, x3, . r4, . . . , xn. On trouve, par la même voie qui nous a con- duit à la formule (i),

cos-r, cos«r2 COSJ73 cos r4. . . cos.r„

ou la caractéristique sommatoire indique qu'il faut ajouter ensemble les cosinus de tous les arcs ( au nombre de 2"~* ) qui sont donnés par l'expression

xx± .x2± x3dz «r4=L . . . zh xny

dans laquelle on combine de toutes les manières possi- bles les signes des n — i quantités x2, x3, - r4, . . . , xn.

Cette formule, du reste, ne doit être regardée que comme une transformée de celle relative au cas particu- lier de n = 2, dont elle est engendrée.

4. Rappelons maintenant la formule

cosa -H cos(flH-6) -hcos(a-h ib ) -f- . . . -f- cos[«-t-(X — i)b]

. kb ( X —i _ sm — cos I a H b

2 \ 2

b sin-

(7)

( « 7 )

qui sert à calculer la somme des cosinus d'une suite de h arcs en progression par différence.

Soit fait, dans cette formule,

il en résultera

x 3x 5x (2"—1 cos h cos h cos h . . . -+- cos-2" 1a 2" ' " 2n

. X X sin— cos—

2 2 sin.r

sin— 2 sin—

2" 2"

La formule (1) devient donc

x x x x sin.r cos- cos— cos— . . . cos— = f

2 22 23 2" . X

2nsin —

2"

et, en mettant le second membre sous la forme

(-) •

\in) smx

. X X

sin—2"

on voit tout de suite qu'on aura, à la limite, , . x x x x sin.r

(2) cos— cos— cos— . . . cos— = y pour n z= 00 ,

V 2 22 23 2" .r» r

quelle que soit la valeur de l'arc x.

C'est la relation d'Euler, qu'il s'agissait de démontrer.

On voit, par ce qui précède, qu'elle est équivalente à la relation

(3)

1 f x Zx

I COS h COS

2«-i ^ 2« 2a

5x (2«—

COS h . . . -f" COS-

sin^r

= , pour n = oc .

Mathémat.y 2e série, t. IX. (Janvier 1870.)

(8)

( «8 )

5 . Remarques. — i ° Mettant la formule ( 2 ) sous la forme

, X , X X , X X

sec- sec— sec-- sec— . . . — -

2 22 13 2<

ainsi que le fait Euler, et supposant x = -> on obtient

2

sec —22 sec—, TT23 sec—24 séc— . . .25 —- — ,2

résultat auquel M. Catalan est parvenu par une voie différente dans une Note qu'on lit dans les Nouvelles Annales, ir e série, t. I, p. 190.

20 Prenant la dérivée des deux membres de l'équation

X X X X %\X\X

c o s - cos— cos— . . . cos— =

2 3 "

s cos c s ,

2 22 23 2" . X

2"sin —

2"

on parvient à la relation

1 x 1 x 1 x 1 x

- tang—I tang 1—- tang h . . . H tang—

2 &2 V Ö22 23 b23 2" &2 "

tang—

Si w grandit indéfiniment, le nombre des termes du premier membre de cette formule devient illimité, et le second membre, qui exprime la somme de ces termes, tejid indéfiniment vers la limite On a donc

.r. tang.r

1 x 1 x 1 x i 1

— t a n g — | tang 1 tang \~. . . = • 2 &2 22 b2 ' 23 *V x t a n ^

Ce résultat renferme la solution de la question 951 (Laisant), proposée dans les Nouvelles Annales (juillet

(9)

( 1 9 )

1869). H avait été obtenu d'une manière directe par Euler, qui, par une marche inverse de celle qu'on vient de suivre, s'en est servi pour en déduire la relation (2).

{Voir le Mémoire cité au n° 1; voir aussi, au sujet des questions 951 et 952, le Cours complémentaire d'Ana- lyse et de Mécanique rationnelle y par J. VIEILLE 5 2e Partie, Chap. XI, n ° l l . )

3° Prenant la dérivée des deux membres de l'équation

1 F x 3x 5x ( 2 " — i ) x ~ \ cos h cos—- -h cos—- - + - . . . 4 - cos — —

2« - t ^ a» 2« 2« 2« j

(-) •

\2"/ sm. x xsm.r sm —

2"

et faisant ensuite grandir n à l'infini, on obtient cette autre formule

3 sin— -4- 5 sin—- -+-...

2" 2"

— 1 ) sin • — 1

2

« J

pour n=:co

l

6. Soit la formule

s i n a -+- s i n ( 0 -f- 6 ) -4- s i n ( ö -hib) + . . . - h s i n [ « -f- (A — i)b]

. kh . ( k — i f \ sm — sm 1 a H £ ) _ a \ 2. 6 /

sin-2

qui fait connaître la somme des sinus de k arcs en pro- gression par différence. Faisons-y

.T X

2« 2H - 1 >

(10)

( * » )

nous en conclurons, en observant que sin*- =

x 2

I f. r . 3r .5*

I sin h sin h sin h . . . -f- si aU—i I *%ll r > « «->«

I — COS*

(5)

2 2 2 * — i ) .

sm(

I — COS O?

pour « = oo , et, par la différendation,

/ I F x _ 3.r ^ O.r --— cos-- 4- 3 cos—- -f- 5 c o s - - -f . . .

2 "

(6)

résultats assez remarquables, je crois, pour mériter d'être signalés.

Les formules (3), (4)> (5), (6), et d'autres analogues qui s'ensuivent, peuvent être rapprochées des relations démontrées par M. Catalan dans son Traité élémentaire des Séries, p. 58, et dans une Note sur les séries diver- gentes, publiée dans les Nouvelles Annales, t. XVIII, p. ip5.

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