D30044. Aire ellipsoïdale
Définir la partie de l’ellipsoïde d’équation x2 a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1 sur laquelle la normale fait avec Oz un angle < γ. Quelle est sa projection sur xOy? En déduire l’expression de l’aire de cet ellipsoïde par une intégrale simple.
Solution
La normale admet comme paramètres directeurs x/a2, y/b2, z/c2; elle fait un angle γ avec Ozsur le cône tan2γ = c4
z2 x2 a4 +y2
b4
! .
L’intersection de ce cône et de l’ellipsoïde a un cylindre projetant sur xOy d’équation 1−x2
a2 −y2 b2
!
tan2γ =c2 x2 a4 +y2
b4
! . La section droite de ce cylindre est une ellipse – de demi-axes a2/
q
a2+c2cot2γ etb2/ q
b2+c2cot2γ, – d’aire s(γ) = πa2b2
q
(a2+c2cot2γ)(b2+c2cot2γ) .
s0(γ)dγest l’aire de la bande correspondant à l’angleγ àdγprès, projection de deux anneaux d’aire s0(γ)dγ/cosγ sur l’ellipsoïde.
L’aire totale s’obtient donc par l’intégrale simple Z π/2
0
2s0(γ) dγ cosγ. Des changements de variable astucieux permettent d’obtenir une expres- sion moins rébarbative, calculable efficacement (convergence rapide) par l’algorithme de la moyenne arithmético-géométrique.
En effet, supposanta≥b≥c, définissons les anglesϕ0 etα par c=acosϕ0 =b
q
1−sin2αsin2ϕ0.
Le changement de variable cosγ = sinϕ/sinϕ0 conduit à sin2γ(a2+c2cot2γ) =a2cos2ϕ,
sin2γ(b2+c2cot2γ) =b2(1−sin2αsin2ϕ) =λb2, avec λ= cos2ϕ+ cos2αsin2ϕ.
Ainsis(γ) = πab sin2ϕ0
·sin2ϕ0−sin2ϕ cosϕ√
λ .
Les angles γ et ϕ varient en sens contraire, 0 ≤ γ ≤ π/2 entraînant 0≤ϕ≤ϕ0. La quantité à intégrer enϕ est alors
−2
cosγds(γ) = 2πab sinϕ0
· −1
sinϕ·d sin2ϕ0−sin2ϕ cosϕ√
λ
!
soit, en posantλ0 =c2/b2
= 2πab
sinϕ0 · cos2ϕ0
cos2ϕ√
λ+ λ0
λ3/2
! dϕ
= 2πab sinϕ0
· d λ0−λsin2ϕ0
√
λ tanϕ
!
+cos2ϕ0+λsin2ϕ0
√
λ dϕ
!
Dans la grande parenthèse, le premier terme a pour intégrale
√λ0sinϕ0cosϕ0 = c2sinϕ0/(ab) ; les intégrales de 1/√ λ et √
λ sont les intégrales elliptiques de Legendre de première et seconde espèce,F(α, ϕ0) etE(α, ϕ0).
L’aire de l’ellipsoïde est ainsi
2πc2+ 2πab·cos2ϕ0F(α, ϕ0) + sin2ϕ0E(α, ϕ0)
sinϕ0 ou encore
2πc2+ 2πab sinϕ0 ·
Z ϕ0
0
cos2ϕ+λ0sin2ϕ pcos2ϕ+ cos2αsin2ϕdϕ
Pour le calcul d’expressions de ce type, une méthode itérative à conver- gence rapide est fournie par l’algorithme de la moyenne arithmético- géométrique.
Soit E(A, B, C, D, F, G) = Z F
0
Acos2f +Bsin2f
pC2cos2f+D2sin2fdf+G; le change- ment de variable h=f + arctan
D C tanf
conduit à dh
df = (C+D)(Ccos2f+Dsin2f) C2cos2f +D2sin2f = 2
s
C02cos2h+D02sin2h C2cos2f+D2sin2f , avec C+D= 2C0,CD =D02.
Pour la continuité de h quand f traverse un multiple de π/2, on pose h= 2f−arctan (C−D) sin(2f)
C+D+ (C−D) cos(2f). sinh= C0sin(2f)
pC2cos2f+D2sin2f, cosh= Ccos2f−Dsin2f pC2cos2f+D2sin2f (C2cos2f+D2sin2f)+CD = 2pC2cos2f+D2sin2f√
C02cos2h+D02sin2h (C2cos2f +D2sin2f)−CD= (C−D) coshpC2cos2f +D2sin2f
(C+D)(Ccos2f+Dsin2f) pC2cos2f +D2sin2f df =
= 2 C02cos2h+D02sin2h
√
C02cos2h+D02sin2hdh+ (C−D) cosh·dh
Le dernier terme s’intègre directement, et permet de passer à une expres- sion de même forme
E(A, B, C, D, F, G) =E(A0, B0, C0, D0, F0, G0) avec
A0= (A+B)/4,B0= (AD+BC)/(2C+2D),C0 = (C+D)/2,D0=√ CD, F0 = 2F −arctan (C−D) sin(2F)
C+D+ (C−D) cos(2F),G0 =G+ A−B
2(C+D)sinF0. La valeur de l’expression E(A, B, C, D, F, G) est la limite de G+AF/C quand C etD se confondent à la précision cherchée.
La convergence est quadratique (doublement du nombre de décimales exactes à chaque itération), car
C0−D0<(C02−D02)/(2D0) = (C−D)2/(8D0)<(C−D)2/(8D).
Cet algorithme se programme aisément sur tableur.
