D617 Les médianes perpendiculaires.[** à la main]
Solution
Soit G le centre de gravité du triangle ABC. AI, BJ et CK sont les médianes issues de A,B et C qui se croisent en G. Comme BJ et CK sont perpendiculaires, dans le triangle rectangle BGC la médiane GI est égale à la moitié de l’hypoténuse BC. D’où GI = BI. Par ailleurs il est bien connu que AG = 2*GI. Il en découle AI = 3*GI = 3*BI. Le point I se trouve donc sur le cercle (C ) qui partage AB selon la division harmonique de rapport 1/3.
Comme BC=2*BI, le point C est alors sur le cercle (C’) homothétique de (C ) par homothétie de centre B et de rapport 2. Il est aussi sur le cercle de centre A et de rayon AC.
La construction du triangle à la règle et au compas devient alors très simple.
1) On trace le segment AB de longueur 8 cm que l’on partage en deux segments
identiques AK et BK (exercice très classique avec règle et compas) puis on partage à nouveau BK en deux segments identiques BL et KL. Soit M le point symétrique de K par rapport à B.
2) Le premier cercle (C ) a pour diamètre LM et centre O milieu de LM.
3) Par homothétie de centre B et de rapport 2, les extrémités L et M du diamètre LM du cercle (C ) donnent le point K symétrique de B par rapport à L et le point N
symétrique de B par rapport à M et qui est aussi le symétrique de A par rapport à B.
Le deuxième cercle (C’) a pour diamètre KN et centre O’ milieu de KN.
4) Le point C recherché est à l’intersection du cercle (C’) et du cercle de centre A et de rayon AC = 7 cm.
La construction du triangle n’est possible que si les segments AB et AC respectent un double inégalité. En effet le cercle de centre A et de rayon AC coupe le cercle (C’) si et seulement si AK < AC < AN.
Posons AB = a et AC = b. On a les relations AK = a/2 et AN = 2a. D’où la double inégalité : a /2 < b < 4a. Avec a = 12 cm et b = 7 cm, on constate que la construction est impossible.
