Devoir de math´ ematiques n o 5 - 1` ereS
26 novembre 2008 - 2H
Exercice 1 :
1. La courbe ci-contre repr´esente une fonctionf.
Sur le mˆeme graphique, tracer la courbe repr´esentative de chacune des fonctions suivantes :
(a) f−4 en bleu (b) 1
2f en noir (c) |f|en rouge
(d) −f en pointill´es noirs
2. D´ecomposer tr`es soigneusement les fonctionsfetg`a l’aide de 3 fonctions simples (fonctions de r´ef´erence ou associ´ees), et donner leur domaine de d´efinition en justifiant.
f(x) = 4(x−1)2 et g(x) = 2 + 1 x2−1 3. Soitf(x) = x−1
x+ 1 d´efinie durR\{−1}
(a) Montrer quef est major´ee par 1 sur ]−1; +∞[.
(b) Montrer queCf, la courbe repr´esentative def admet pour centre de sym´etrie le pointI(−1; 1).
(c) En d´eduire quef est aussi minor´ee sur ]−∞;−1[ ; pr´eciser le plus grand de ses minorants.
Exercice 2 :Soient les fonctionsf et gd´efinies surRpar :
f(x) =x2−2x−3 et g(x) =−1
2x2−2x+ 3
1. (a) V´erifier que f(x) = (x−1)2−4 ; en d´eduire que la courbe C repr´esentative de la fonction f dans un rep`ere (O;−→
i ,−→
j ) , est l’image de la paraboleP d’´equationy=x2 par une translation dont on indiquera le vecteur.
(b) D´eterminer les r´eelsaetb tels que :
g(x) =−1
2(x+a)2+b
En d´eduire que la courbe Γ repr´esentative de la fonctiongest l’image de la paraboleP′ d’´equationy=−1 2x2 par une translation dont on indiquera le vecteur.
2. (a) D´eterminer les coordonn´ees des points d’intersection deC et Γ.
(b) D´eterminer la position relative deC et Γ.
Exercice 3 :Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal (O;−→ i ,−→
j ) , on consid`ere la paraboleP d’´equation : y=x2−4x+ 5
SoientAle point de coordonn´ees (1; 3) et ∆mla droite passant par le pointAde coefficient directeurm.
On noteM1et M2 les points d’intersection de ∆met deP.
1. (a) D´eterminer l’´equation de la droite ∆m, en fonction dem.
(b) D´emontrer que les abscisses des pointsM1et M2sont les solutions de l’´equation (E) : x2−(4 +m)x+ (m+ 2) = 0
(c) D´emontrer, sans r´esoudre l’´equation (E), qu’elle admet deux solutions distinctes pour toute valeur dem.
(d) D´emontrer que le pointAest le milieu de [M1M2] si et seulement sim=−2.
2. On consid`ere la droiteDp d’´equationy=−2x+p, avecpnombre r´eel quelconque.
(a) Justifier que les droites ∆−2 etDp sont parall`eles pour toute valeur dep.
(b) D´emontrer qu’il existe une valeur deppour laquelle la droiteDp et la paraboleP ont un unique point communB. Calculer cette valeur depet les coordonn´ees du pointB.
