Développements limités.

Développements limités.

I. Croissance comparée au voisinage de 0.

1

0,5 0,25 0,125

1 0,5

x x² x³ x⁴ x⁵

0 0 0 0 0

0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125

1 1 1 1 1

Remarque : On voit quex² tend vers 0 plus rapidement quex, quex³ plus rapidement quex², etc.

II. Formule de Taylor-Young.

Soit I un intervalle ouvert non vide deRet soitaun point de I. Soit f:I −→Rune fonction etnun entier positif. Si f est continue etn fois dérivable sur I alors il existe une fonction :I −→Rtelle que :

f(x) =f(a) + (x−a)f⁰(a) +(x−a)²

2! f⁰⁰(a) +. . .+(x−a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(a) + (x−a)ⁿ(x) où lim

x→a(x) = 0 Théorème

Exemple n^o1 :Prenons a= 1, I=]0 ; 2[,n= 4, etf:x7−→ 1 x. Exemple n^o2 :Prenons a= 0, I=R,n= 6, etf:x7−→sin(x).

III. Application aux développements limités

Lorsqu'on applique la formule de Taylor-Young ena= 0, on obtient la formule de Mac Laurin : f(x) =f(0) +xf⁰(0) +x²

2!f⁰⁰(0) +. . .+xⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(0) +xⁿ(x)où lim

x→0(x) = 0 qui appliquée au fonctions usuelles donne :

Fonction Développement limité au voisinage de0 1

1−x 1 +x+x²+x³+. . .+xⁿ+xⁿ(x) e^x 1 + x

1!+x² 2! +x³

3! +. . .+xⁿ

n! +xⁿ(x) sin(x) x−x³

3! +x⁵

5! +. . .+ (−1)^p x^2p+1

(2p+ 1)! +x^2p+1(x) cos(x) 1−x²

2! +x⁴

4! +. . .+ (−1)^p x^2p

(2p)! +x^2p(x) tan(x) x+x³

3 +2x⁵

15 +x⁶(x) ln(1 +x) x−x²

2 +x³ 3 −x⁴

4 +. . .+ (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n +xⁿ(x) (1 +x)^α 1 +αx+ α(α−1)

2! x²+. . .+ α(α−1). . .(α−n+ 1)

n! +xⁿ(x)

Soit I un intervalle ouvert non vide deRet soitaun point de I. Soit f:I −→Rune fonction etnun entier positif. On dit que f admet un développement limité d'ordre n, noté DLn, en a si f peut s'écrire sous la forme :

f(x) =c₀+c₁(x−a) +c₂(x−a)²+. . .+c_n(x−a)ⁿ+ (x−a)ⁿ(x) où lim

x→a(x) = 0 etc₀, c₁, . . . , c_n∈R

Le polynômec0+c1(x−a) +c2(x−a)²+. . .+cn(x−a)ⁿ est appelé la partie . . . du DLn. Dénition:

Remarque : Si je connais le DLn d'une fonction je connais ses DL d'ordres inférieurs :

p(1 +x) = . . . .

1 2 3 4 5

−2 −1 1 2

Quel est le lien avec la formule de Taylor-Young ?

• Si une fonctionf vérie les conditions d'application de la formule de Taylor-Young, en particulier,f estn

fois dérivable ena, alors elle admet un développement limité en a d'ordre n: c'est son développement de Taylor-Young.

• La réciproque est fausse : une fonction peut admettre une développement limité à l'ordre 2 enasans qu'elle soit deux fois dérivable ena.

• Sauf à l'ordre 1 :

Soit f une fonction dénie sur un intervalle ouvert I contenanta: f admet un développement limité

d'ordre 1 ena ⇐⇒ f est dérivable en a Propriété

IV. Opérations sur les développements limités.

Considérons deux fonctionsf etgdénies sur un intervalle ouvert I admettant un développement limité ena∈I d'ordren, de parties régulières respectifsP etQ.

• la fonctionf◦gadmet un DLnenadont la partie régulière est la composée des parties régulières des DLn

def etgen ne conservant que les monômes de degré inférieure ou égale à n. Exemple n^o3 :

a. Quelle est le DL2 en 0 def(x) = e^−x2? b. Quelle est le DL6 en 0 def(x) = 1

√

1−3x²? c. Quelle est le DL2 en 0 def(x) = 1

√ e^−x2 ?

• la fonction f+g admet un DLn en adont la partie régulière est la somme des parties régulières des DLn

def etg.

Exemple n^o4 :Quelle est le DL3 en 0 def(x) = 1

1 +x + ln(1 +x)?

• la fonction λf admet un DLn en adont la partie régulière est la partie régulière de f multipliée parλ. Exemple n^o5 :Quelle est le DL5 en 0 def(x) = 6 cos(x)?

• la fonctionf×gadmet un DLn enadont la partie régulière est le produit des parties régulières des DLn

def etgen ne conservant que les monômes de degré inférieure ou égale à n. Exemple n^o6 :Quelle est le DL3 en 0 def(x) = ln(1 +x)

1 +x ?

• si la fonction g ne s'annule pas en a, la fonction f

g admet un DLn en a dont la partie régulière est la division suivant les puissances croissantes des parties régulières des DLn de f etg.

Exemple n^o7 :

a. Quelle est le DL3 en 0 de la fonction x7→tan(x)? b. Quelle est le DL3 en 0 de la fonction x7→ ln(1 +x)

1 +x ? c. Quelle est le DL3 en 0 de la fonction x7→

√1 +x 3−x ?

1. La notation de Landau : le petit o

On passe beaucoup de temps à jongler avec des fonctionsqui tendent vers 0lorsque x tend vers a. A chaque fois, on ajoute à la partie régulière du développement limitéxⁿ(x).

On dit qu'une fonction f est . . . devantxⁿ au voisinage deasi lim

x→a

f(x) xⁿ = 0. L'ensemble de toutes les fonctions négligeables devant xⁿ au voisinage deaest noté . . . . Dénition:

Etant donné une fonctionf dénie sur un voisinage de a, posons(x) = f(x)

xⁿ soit f(x) =xⁿ(x). f(x)∈o(xⁿ) ⇐⇒ lim

x→a

f(x)

xⁿ = 0 ⇐⇒ lim

x→a

xⁿ(x)

xⁿ = 0 ⇐⇒ lim

x→a(x) = 0

Ainsi, au lieu d'écrire cos(x) = . . . , on écrira cos(x) = . . . .

C'est un abus de notation,o(x²)n'est pas une fonction. Ainsi lorsqu'on écrite^x = 1+x+o(x), on sous-entend qu'il existe une fonctiontelles que lim

x→a(x) = 0 ete^x= 1 +x+x(x).

2. Calculs d'un développement limités par dérivation ou intégration.

Soit f une fonction dont le développement limité enaà l'ordren a pour partie régulièrePn. f⁰(x) =P⁰(x) +o(xⁿ⁻¹) etF(x) =F(a) +

Z x a

P(t)dt+o(xⁿ⁺¹) où F désigne la primitive de f.

Théorème

Exemple n^o8 :De (sin)⁰ = cos, on va déduire le DL3, a. du cosinus en 0 à partir de celui du sinus ; b. du sinus en 0 à partir de celui du cosinus ;

3. Calcul de développements limités par changement de variables.

Exemple n^o9 :Calculons le DL3 de la fonction a. x7→ln(x+ 2) au voisinage de0;

b. x7→√

x²−6x+ 3au voisinage de0.

4. Calcul de développements limités au voisinage de a6= 0. Exemple n^o10 :Calculons le DL3 de la fonction x7→lnxen a= 2

V. Application des développements limités à l'étude locale des courbes.

Si la partie régulière du développement limité à l'ordre ndef en aestPn alors la courbe représentative de la fonction f est . . . à celle du polynôme Pn en a.

Théorème

Exemple n^o11 :Considérons la fonction f :x7−→ −2 ln(x+ 1)dénie sur ]−1 ; +∞[.

−1 1 2

−1 1 2 3 4

C_f 0

Lorsquex est proche de 0 : ln(1 +x) =x− x²

2 +o(x²) Donc,f(x) =−2x+x²+o(x²)

y=−2xest une équation de la tangente en0.

Soient f et g deux fonctions dénies au voisinage de +∞. On dit que la courbe représentative C_g est une . . . àC_f si lim

x→+∞f(x)−g(x) = 0 Dénition:

Exemple n^o12 :Considérons la fonction f :x7−→x²sin 5

x

dénie sur R.

−2 −1 1 2

−1 1 2

3 C_f

5 10 15 20

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

C_f