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γ

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γ

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γ

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z = 1

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γ

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Ÿ

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D ˆ e ϕ f ( ~b)

òÕp{òÕtwvx%ˆ ö.p<‰øö¼òup

γ

^{|,ˆ õPtwsûvhù}

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γ

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γ ^∗ ( df )

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K

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z = f (x, y) = h

1 − x ² + y ² R ²

,

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R > 0, h > 0,

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÷

ˆ%p

D = { x ² + y ² ≤ R ² , z = 0 }

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(ρ, ϕ, z)

^Ÿ |QxŠ|QõÑùr‹¼p<q ò | Q‹<twz‹.ùȉøsÕp{x%p ö.p{qøtwòusûxÂp Ÿ qøthvhù£x%‹":vŠsÕp q@õ:|,‰ Ÿ

ö¼ttw‰øxÂthv%v%‹¼p<q

ö ÂòusuvŠxŠ‰s ÷ ˆÂp q



 

 

 

 

x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z,

ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π, z ∈ R.

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K

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ñdšÀ|,òûö¼ˆŠòÕp<‰lx%sû‰p<ö)ùrp<zp<vhù òÕpXühtwòuˆŠzpIx%pö.pIqøthòusux%p|<üwp<ö òóôsûvhùø‹ w‰r|,òupXx%twˆ ŠòÕp

Z

D

f (x, y) dx dy

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3 dz ∧ dx + z

3 dx ∧ dy.

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∆

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Z

∂K

ω

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K

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R ³

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R ³

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K

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R ³

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Xq ÷ ˆŠsuqrqøp<‰RòÕpüwthòuˆŠzp

V

x%‹"Pv%s õ:|,‰

V = n

(x, y, z) ∈ R ³ / − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ π 2

o .

6

™-v‡qøp{xÂthv%v%pÓòû|]thv%ö)ùÈsutwvyqrö<|Qòû|,sû‰p

f (x, y, z) = 3x ² y + 2y sin z

^ñ

šÀ|Qòuö¼ˆŠòÕp<‰@òóôsûvhùr‹w‰r|,òup˜ùȉøsuõŠòÕp

Z

V

f (x, y, z) dxdydz

^ñ

—á–Rž  ¢  …¡ žM¢M— ¦=¡

†˜|Qv%qRòóôp<qrõŠ|Qö.p

R ³

th‰sup<vhùr‹zƈ%vŠslxÂp<qRö.ttw‰øx%twvŠv‹<p<q@ö<|Q‰ùø‹ qrsÕp<vŠvÂp q Ÿ

(x, y, z)

^Ÿ twvyö¼twvŠqrsux<‰p òû|ÆqrˆŠ‰ |Qö.p

S

^{xŠˆ‡ö¼ˆ Pp}

[0, 1] × [0, 1] × [0, 1]

^{p.ù£ò |~} ]th‰øzpxŠs7‹ ‰p vhùrsup<òuòup Ÿ

ω = x ² y dy ∧ dz + 3y ² dz ∧ dx − 2xz ² dx ∧ dy .

ñ —

xÂp vhùrsŠp ‰òÕp{ö!:|,zÏõyxÂp…üwp ö)ùrp<ˆ%‰øq

V ~ (~

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)

‰p<õ%‰p<qøp vhùø‹{õ:|,‰

ω

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^Ÿ ùrthˆÑùMp<vyõŠ‰‹ ö¼suqÈ|Qvhù£qøtwvyx%ph‰‹hñ

ñ ï

ˆ%p{‰p õ%‰‹<qøp<vhùrp{òÕp{ö<|,òûö¼ˆŠò3x%p

dω

%

ñdXv |Qõ%õŠòus ÷ ˆŠ|Qvhù£òÕpù ‹<tw‰<zp…xÂp´oƒùøt,p<q ßö.p{ö<|,qRõŠ|Q‰ùrsûö¼ˆŠòusÕp ‰ Ÿ

Z

[0,1] × [0,1] × [0,1]

dω = Z

S

ω ,

ö<|,òûö¼ˆ%òup<‰ÀòÕpPˆú‡x%ˆ ö!:|,zÏõ

V ~

´ùr‰r|<üwp ‰q£òû|ÆqrˆŠ‰ |,ö.p

S

^{xŠˆ ö¼ˆ Ppwñ}

æ°çéè@êRë…ìë…è ˜î

š@™{™ ¢ †™ –˜– ¥o ¦™{¡3  —ᢠo

Xv õŠ|QqrqÈ|,vhù˜|,ˆÑúyö.tth‰øxÂthv%v%‹¼p<qRõPtwò|,su‰p<q Ÿ ö<|Qòuö¼ˆŠòÕp

Z ₁

− 1

Z ^√ _{1 − x} ²

0

(x ² + y ² ) ^3/2 dy

! dx.

º<Ã)¿Â¹»º®º<¬)ª¶u¬˜«w±·}©¹2¾l¬˜«Ù¹2¾Ä²'Å'½,ªÈ©,²Ç¹±¾°ÔŠ±¿ÂªXÔ%±¿Ñ¯Q±¹2ª˜¶u¬4Ô%©ªr©·”Å.²ÇªÈ¬)ª0¬)¾b³®± ±ªÈ«w±¾:¾lÅ®¬º Ô%±Q¶Õ©¹2ª®¬µº<Ë

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†˜|Qv%qXòupõŠòû|Qv°th‰sup<vhùr‹

R ²

‰r|,õŠõPtw‰ùr‹R|,ˆ´‰p<õ <‰p

( O , e ˆ x , ˆ e y )

^Ÿ thvØö.thv%qrsûx ‰pÀòupx%twz}|,suv%põ%ò |,v

Ÿ

K

^Ÿ ö.thsuvŠö.‹…p<vhùȉp{òÕp q ÷ ˆ:|ùȉp°x%‰twsÕùrp<q@x ó‹ ÷ ˆ:|ùÈsutwvŠq@‰p<qrõPp<ö.ùrsÕüwp<q Ÿ

x − y = 0, x − y = 1, x + y = 1,

^p.ù

x + y = 3.

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γ = ∂K

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tan ⁰ a = 1 + tan ² a = 1/ cos ² a

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t 7→ γ(t) = (R sin t cos t, R sin ² t, R cos t), R > 0.

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γ

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Z

B

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B = n

(u, v) ∈ [0, `] × [0, `] | √

u + √

v ≤ √

` o .

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B

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B

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z

^{Ÿ |¼ühp<ö}

0 ≤ z ≤ `

ühtwsû‰ sŠñ

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z

^{Âú‹ Ÿ}

0 ≤ z ≤ `

^Ÿ twvõPthqøp

x = λ u

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y = λ v

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λ ≥ 0

p<v]thv%ö)ùÈsutwv xÂp

z

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`

^Ÿ qÈ|,öŠ|Qvhù ÷ ˆ%p

√

x + √ y + √

z ≤ √

`

^{Ÿ p.ù ÷ ˆÂp}

√

u + √

v ≤ √

`

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B × [0, `] −→ Ω, (u, v, z) 7→ (x, y, z) = (λu, λv, z).

% ñdšÀ|,òûö¼ˆŠòÕp<‰dòÕpMühtwòuˆŠzp

V = Z

Ω

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Ω

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Ÿ

´ö¼p<òuˆŠs xlóäˆ%v%pÓsuvhùr‹w‰r|QòÕp0ùȉøsuõŠòÕpÓqrˆŠ‰@òup<qÀüQ|,‰øs | ŠòÕp<q

(u, v, z)

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K

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R ³

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]tw‰øzp…x%s7‹<‰p<vhùÈsÕp<òûòÕp

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R ³

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K

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R ²

x%‹"Pv%s õ:|,‰{Œ

K =

(x, y) ∈ R ² /0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √ x .

6

™-v‡qøp{xÂthv%v%pÓòû|]thv%ö)ùÈsutwvyqrö<|Qòû|,sû‰p

f (x, y) = xy

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Z

K

f (x, y) dxdy

^ñ

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R ³

th‰sup<vhùr‹zƈ%vŠslxÂp<qRö.ttw‰øx%twvŠv‹<p<q@ö<|Q‰ùø‹ qrsÕp<vŠvÂp q Ÿ

(x, y, z)

^Ÿ twvyö¼twvŠqrsux<‰p òû| ]tw‰øzp…x%s7‹<‰p<vhùÈsÕp òuòÕp Ÿ

ω = x ² z dx + 3y ² dy − xz ² dz .

ñ —

xÂp vhùrsŠp ‰òÕp{ö!:|,zÏõyxÂp…üwp ö)ùrp<ˆ%‰øq

V ~ (~

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)

‰p<õ%‰p<qøp vhùø‹{õ:|,‰

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B = { (u, v) ∈ [0, `] × [0, `] | 0 ≤ u + v ≤ ` } .

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0 ≤ x + y + z ≤ `

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B × [0, `] −→ Ω, (u, v, z) 7→ (x, y, z) = (λu, λv, z).

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(u, v, z)

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