1 Produit tensoriel

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Sorbonne Université M1 de Mathématiques

4M002 (Algèbre et théorie de Galois) Automne 2020

TD n

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6. 1 Produit tensoriel

Exercice 1. Calculer les produits tensoriels suivants : a) Z/nZ⊗_ZZ/mZ,

b) Z/nZ⊗_ZQetZ/nZ⊗_Z(Q/Z) c) Q⊗_ZQ,

d) Z[X]⊗_ZZ[Y].

Exercice 2. Soitkun corps, etV et W deuxk-espaces vectoriels de dimension finie.

a) Montrer qu’il existe un unique isomorphismes dek-espaces vectorielsϕ: V^∗⊗W ∼

−→Homk(V, W) qui envoieλ⊗wsur l’application linéairev7→λ(v)wpour toute forme linéaireλ∈V^∗ et toutw∈W. b) Montrer qu’il existe une unique applicationk-linéaireV^∗⊗V −→^ev kqui envoieλ⊗vsurλ(v) pour tout

λ∈V^∗ et toutv∈V.

c) Calculer la composée Endk(V) ∼

−→V^∗⊗V −→^ev k.

Exercice 3. SoitAun anneau commutatif etM unA-module. On poseT⁰M :=A, puis TⁿM :=M ⊗AM ⊗A· · · ⊗AM

(nfacteurs) pourn>1, et enfinT M :=L

n∈NTⁿM.

a) Montrer qu’il existe une unique structure deA-algèbre (non commutative en général) surT M telle que pour toute paire de tenseurs élémentairesx₁⊗ · · · ⊗x_n∈TⁿM et y₁⊗ · · · ⊗y_m∈T^mM, on a

(x₁⊗ · · · ⊗xn)(y₁⊗ · · · ⊗ym) =x₁⊗ · · · ⊗xn⊗y₁⊗ · · · ⊗ym∈T^n+mM.

b) Montrer que pour toute A-algèbre B et tout morphisme de A-modules M −→^ϕ B, il existe un unique morphisme deA-algèbresT M −→^{T ϕ} B tel que T ϕ_|T1M =ϕ.

c) SoitSM le quotient deT M par l’idéal bilatère engendré par les éléments de la formex₁⊗x₂−x₂⊗x₁∈ T²M, avecx1, x2 ∈M. Montrer que SM est une A-algèbre commutative qui a la propriété universelle suivante : pour toute A-algèbre commutative B et tout morphisme de A-modulesM −→^ϕ B, il existe un unique morphisme de A-algèbres SM −→^Sϕ B tel que Sϕ_|S¹M =ϕ, où S¹M est l’image deT¹M et s’identifie àM.

d) Supposons M libre de base e1,· · · , en. Montrer qu’il existe un unique isomorphisme de A-algèbreψ : A[X₁,· · · , X_n] ∼

−→SM tel que ψ(X_i) =e_i∈S¹M pour touti.

Exercice 4. SoitA−→^ϕ B un morphisme d’anneaux.

a) Rappeler la structure deA-algèbre surB⊗ABet montrer que la multiplication deBinduit un morphisme deA-algèbres B⊗AB−→B.

b) SoitIle noyau de ce morphisme, qui est donc un idéal deB⊗_AB, et posons Ω :=I/I². i) Montrer que l’idéalI deB⊗_AB est engendré par les éléments de la forme (b⊗1−1⊗b).

ii) ToutB⊗_AB-module peut être vu comme unB-module de deux manières : en faisant agirbcomme b⊗1 ou comme 1⊗b. Montrer que sur Ω, ces deux structures deB-modules coïncident.

iii) Montrer que l’application d : B −→ Ω, b 7→ db := b⊗1−1⊗b est A-linéaire et vérifie d(bb⁰) = bdb⁰+b⁰dbpour tousb, b⁰∈B.

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iv) Dans le casB =A[X1,· · ·, Xn], montrer que le B-module Ω est engendré pardX1,· · · , dXn, et que pour tout polynôme f ∈B, on a df =Pn

i=1

∂f

∂Xi.dXi, où _∂X^∂f

i est le polynôme dérivé def “selon la variable” Xi.

c) Soit M un B-module. Une A-dérivation de B à valeurs dans M est un morphisme de A-modules ∂ : B−→M tel que∂(bb⁰) =b∂b⁰+b⁰∂b.

i) Vérifier que l’ensemble DerA(B, M) de toutes ces dérivations est naturellement unB-module.

ii) Montrer que l’applicationψ7→ψ◦dest une bijection Hom_B(Ω, M) ∼

−→Der_A(B, M).

iii) Supposons B = A[X1,· · ·, Xn] et M = B. Montrer que l’application ∂i : f 7→ _∂X^∂f

i est dans DerA(B, B). Notons encore ψi ∈ HomB(Ω, B) = Ω^∨ le morphisme de B-modules associé. Montrer que ψi(dXj) =δij. En déduire que Ω est libre sur B de basedX1,· · ·, dXn et que DerA(B, B) est libre sur B de base∂1,· · · , ∂n.

iv) LeB-module Ω est parfois appelé “module des différentielles de Kähler”, et aussi “fibré (ou module) cotangent”. Si vous avez fait un peu de géométrie différentielle, justifiez cette deuxième terminologie.

Exercice 5 (Théorème de Cayley-Hamilton). Soit A un anneau commutatif, M un A-module de type fini.

L’ensemble End_A(M) des endomorphismes de M est alors une A-algèbre (pas commutative, en général) dont la multiplication est donnée par la composition. Pouru∈End_A(M), on veut montrer qu’il existe un polynôme unitairef ∈A[X] tel quef(u) = 0.

a) On suppose dans un premier temps que M est libre de base e1,· · · , en. On note U = (aij)16i,j6n la matrice deudans cette base, de sorte que u(ej) =P

iaijei pour toutj.

i) Montrer que le polynôme det(U−XIn) ne dépend pas de la base choisie. On le noteχu(X).

ii) SoitA−→^ϕ A⁰ un morphisme d’anneaux. PosonsM⁰:=A⁰⊗AM etu⁰:= id⊗u. Montrer que χu(u) = 0⇒χu⁰(u⁰) = 0

χu⁰(u⁰) = 0⇒χu(u) = 0 lorsqueϕest injectif iii) Montrer que siA est un corps algébriquement clos, alorsχ_u(u) = 0.

iv) Montrer que siA est intègre, alorsχ_u(u) = 0. (On admettra que tout corps peut se plonger dans un corps algébriquement clos).

v) Montrerχ_u(u) = 0 dans le cas général, en s’aidant de l’unique morphisme d’anneauZ[X_ij]₁₆_i,j₆_n−→

A qui envoieX_ij sura_ij.

b) Soit maintenant M de type fini quelconque. Montrer qu’il existe un entier n, un morphisme surjectif Aⁿ−→^π M et un endomorphisme ˜u∈End_A(Aⁿ) tels queu◦π=π◦u. En déduire que˜ χ_u_˜(u) = 0.

Application : soit A −→^ϕ B un morphisme d’anneaux. On dit que b est entier sur A s’il est annulé par un polynôme unitaire à coefficients dansA.

c) Montrer l’équivalence entre les assertions suivantes : i) b est entier surA

ii) la sous-A-algèbreA[b] engendrée parAest unA-module de type fini

d) Montrer que l’ensemble des éléments deB entiers surAest un sous-anneau deB.

Exercice 6. On notefα∈Q[X] le polynôme minimal unitaire d’un nombre algébriqueα∈C, etdαson degré.

a) Soientαetβ ∈Cdeux nombres algébriques.

i) Construire un morphisme surjectif de Q-algèbresQ[α]⊗_QQ[β]−→Q[α, β].

ii) Montrer que Q[α]⊗Q[β] est un corps si et seulement si f_α reste irréductible dans Q[β][X], si et seulement si dim_Q(Q[α, β]) =n_αn_β.

b) Soit αun entier algébrique (donc f_α ∈Z[X]), et pun nombre premier. Montrer que pest un élément premier deZ[α] si et seulement si ¯f_α∈Fp[X] est irréductible.

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Exercice 7 (Bigèbres). Soit A un anneau commutatif et B une A-algèbre. On se donne un morphisme de A-algèbresB −→^∆ B⊗_AB, qu’on appellecoproduit.Pour touteA-algèbreR, on poseG(R) := Hom_A−alg(B, R).

a) Étant donnés ψ1, ψ2 ∈G(R), rappeler pourquoi il existe un unique morphisme de A-algèbres ψ1·ψ2 : B⊗AB−→Rtel que (ψ₁·ψ₂)(b₁⊗b₂) =ψ₁(b₁)ψ₂(b₂) pour tousb₁, b₂∈B.

b) On munitG(R) de la loiG(R)×G(R)−→G(R) définie parψ1∗ψ2:= (ψ1·ψ2)◦∆. Montrer que tout morphisme deA-algèbresR−→R⁰ induit une applicationG(R)−→G(R⁰) compatible aux produits.

c) On dit que ∆ estcoassociatif si (∆⊗idB)◦∆ = (idB⊗∆)◦∆ (en tant que morphismesB−→B⊗AB⊗AB).

Montrer l’équivalence entre i) ∆ est coassociatif

ii) G(R) est un monoïde associatif pour toutR.

d) Montrer l’équivalence entre

i) Il existe un morphisme de A-algèbres ε : B −→ A tel que (id.ε)◦∆ = (ε.id)◦∆ = idB. Un tel morphismeεest appelécounité de ∆.

ii) Pour tout R, G(R) possède une unité εR telle que pour tout morphisme R −→ R⁰, l’application G(R)−→G(R⁰) envoieεR surεR⁰.

e) Montrer l’équivalence entre

i) Pour toutR,G(R) est un groupe.

ii) Il existe un morphisme de A-algèbres ι :B −→B tel que (ι·idB)◦∆ = (idB·ι)◦∆ =εB. Un tel morphisme est appelécoinverse de∆.

f) Exemples :

i) SoitB=A[X] et ∆ défini par ∆(X) =X⊗1 + 1⊗X. Montrer que ∆ est coassociatif, queG(R) est le groupe additifR pour toutR, et calculer la counité et la coinverse de ∆.

ii) SoitB=A[X, X⁻¹] et ∆ défini par ∆(X) =X⊗X. Montrer que ∆ est coassociatif, queG(R) =R^× (groupe multiplicatif) pour toutR, et calculer la counité et la coinverse de ∆.

iii) Soit B = A[Xij][δ⁻¹], où 1 6 i, j 6 n et δ est le déterminant de la matrice (Xij)i,j. Trouver un coproduit ∆ sur B pour queG(R) = GLn(R) pour touteA-algèbreR.

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