a) Définition (ensemble fini) Un ensemble E est fini s il est vide, ou s il existe un entier naturel n et une bijection de [1; n] dans E.

D´ enombrement

6.1 Cardinal d’un ensemble fini

6.1.1 Ensemble fini

a) D´efinition (ensemble fini)

– Un ensembleEestfinis’il est vide, ou s’il existe un entier naturelnet une bijection de [[1;n]] dansE.

– Si E6=∅, l’entiernest appel´ecardinal de E. On note Card(E) =n.

Remarques :

∗ Par convention, le cardinal de l’ensemble vide est card(∅) = 0.

∗ Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses ´el´ements.

∗ La bijection entre un ensemble fini non vide E et [[1;n]] est r´ealis´ee dans la pratique en associant `a chaque ´el´ement de E un num´ero: E={e1, e2, . . . e_n−1, en}. Le cardinal de E est le dernier entier utilis´e: cela s’appelle compter les ´el´ements de E.

Exemples :

Nous avons en particulier card([[1;n]]) =n.

Le cardinal de l’ensemble{7,8,9,10, V, D, R, As}est8, celui de l’ensemble des cartes d’un jeu avec lequel on joue `a la belote est 32.

Le cardinal de l’ensemble des r´egions fran¸caises est 26, celui de l’ensemble des d´epartements fran¸cais, depuis2011, est101.

FPoint m´ethode :D´enombrer un ensemble non videE, c’est d´eterminer le cardinal deE.

Plusieurs m´ethodes sont souvent possibles.

Par exemple, pour d´enombrer le nombre de manifestants un jour de grˆeve on peut :

∗ compter les manifestants un `a un,

∗ effectuer des regroupements : r´egions par r´egions, d´epartements par d´epartements, villes par villes etc.

Trois conditions doivent ˆetre remplies pour que le d´enombrement deE soit correct 1. Il ne faut compter que des ´el´ements deE.

2. Il ne faut pas en oublier.

3. Il ne faut pas compter certains ´el´ements plusieurs fois.

N´eanmoins, si par une m´ethode chaque ´el´ement deEest compt´ekfois, card(E)est le quotient parkdu nombre obtenu par cette m´ethode.

Exemples :

81

82 CHAPITRE 6. D ´ENOMBREMENT

Un groupe de 30personnes se retrouve. Quel est le nombre N de poign´ees de main ´echang´ees si chacun sert la main de chacun ?

♦ Premi`ere m´ethode : D´enombrons d’abord le nombre N0 de tapes dans le dos r´ealis´ees en imaginant qu’au lieu de se serrer la main, chacun tape dans le dos de chacun ; nous avons 30 personnes qui chacune donne29tapes, doncN = 30×29. Nous avons ainsi introduit un ordre l`a o`u il n’en y avait pas : nous avons consid´er´e : X tape le dos de Y et Y tape le dos de X au lieu deX et Y se serrent la main. Nous avons doubl´e le nombre de poign´ees de main, et donc N = 30×29

2 = 435.

♦ Seconde m´ethode :Introduisons un ordre artificiel en imaginant que les personnes arrivent les unes apr`es les autres et celui qui arrive serre la main de tous ceux qui sont d´ej`a l`a ; aucune erreur n’est introduite, mais l’id´ee du raisonnement est la mˆeme, la poign´ee de main a ´et´e ordonn´ee. La premi`ere personne serre 0main, la deuxi`eme serre1 main, la troisi`eme serre 3mains,...

Nous obtenons N =

30

X

i=1

(i−1) =

29

X

l=0

l= 30×29

2 .

Le pape est mort... On r´eunit tous les cardinaux en conclave, certains se connaissent et se saluent, d’autres ne se connaissent pas, ou sont fˆach´es, et ne se saluent pas. Montrer que deux d’entre eux vont saluer le mˆeme nombre de personnes.

Indication : Commencer par r´efl´echir au nombre de personnes qu’un cardinal peut saluer. Que passe-t-il si un cardinal ne salue personne ? Combien de personnes les autres cardinaux peuvent-ils saluer ?

b) Th´eor`eme

Tout sous-ensemble Ad’un ensemble finiE est un ensemble fini, et card(A)6card(E).

De plus, card(A) =card(E) si, et seulement si,A=E.

6.1.2 Cardinal d’une union disjointe

a) Lemme

La r´eunion de deux ensembles finis A et B d’intersection vide (A∩B) =∅ est un ensemble fini, et card(A∪B) =card(A)+card(B).

b) Th´eor`eme

Quels que soient les ensembles finis A1, A2, . . . , An deux `a deux disjoints, l’ensemble

n

[

k=1

Ak est un ensemble fini et

card

n

[

k=1

A_k

!

=

n

X

k=1

card(A_k).

c) Th´eor`eme (cardinal du compl´ementaire)

Soient Aun sous-ensemble d’un ensemble finiE de cardinalnetA son compl´ementaire dansE.

On a card(A) =n−card(A).

Exemples : On tire une carte d’un jeu de32cartes.

Quel est le nombre N1 de possibilit´e d’obtenir un9 ou une figure ? Quel est le nombre N₂ de possibilit´es de n’obtenir ni un9 ni une figure ?

6.1.3 Cardinal d’une union quelconque, formule de Poincar´ e

a) Th´eor`eme (cas de deux ensembles)

Quels que soient les ensembles finis A et B, leur r´eunion A∪B et leur intersection A∩B sont des ensembles finis, et leurs cardinaux v´erifient

card(A∪B) = card(A) + card(B)−card(A∩B).

b) Th´eor`eme (cas de trois ensembles)

Quels que soient les ensembles finis A, B etC, leurs r´eunions ou leurs intersections deux `a deux ou trois `a trois sont des ensembles finis sont des ensembles finis, et leurs cardinaux v´erifient

card(A∪B∪C) = card(A) + card(B) + card(C)−[card(A∩B) + card(B∩C) + card(A∩C)] + card(A∩B∩C).

c) Th´eor`eme (cas g´en´eral : la formule de Poincar´e) Quels que soient les ensembles finisA1, A2, . . . , An, l’ensemble

n

[

k=1

Ak est un ensemble fini et

card

n

[

k=1

Ak

!

=

n

X

k=1



(−1)^k−1 X

16i1<i2<...<ik6n

card(Ai₁∩Ai₂∩. . .∩Ai_k)



.

Exemple :

Les donn´ees suivantes ont ´et´e fournies par l’´etude d’un groupe de 1050 personnes. Concernant leur emploi, leur ´etat civil et leur niveau d’´education, les r´eponses furent : 312 actifs, 470 personnes mari´ees, 525 bacheliers dont 42 actifs, 147 bacheliers mari´es, 86 actifs mari´es dont 25 bacheliers. En notant A,B etM les ensembles constitu´es respectivement des actifs, des bacheliers et des mari´es, calculer card(A∪B∪M), puis en d´eduire que cette ´etude est inexacte.

6.1.4 Cardinal du produit cart´ esien-Choix successifs

a) Th´eor`eme (cardinal du produit cart´esien)

Soient AetB deux ensembles finis. La cardinal du produit cart´esienA×B est donn´e par card(A×B) = card(A)×card(B).

D´emonstration : Si card(A) = n et card(B) = p, on peut ´ecrire les ´el´ements de A×B sous forme d’un tableau `a nlignes etpcolonnes :











(a1, b1) (a1, b2) . . . (a1, bp) (a2, b1) (a2, b2) . . . (a2, bp)

... ... ...

(a_n, b₁) (a_n, b₂) . . . (a_n, b_p)











doncA×B contient np´el´ements et card(A×B) =np=card(A)×card(B).

Il y an fa¸cons de choisir dansA le premier ´el´ement du couple (a, b) puis, our chacune d’elles, pfa¸cons de choisir le deuxi`eme ´el´ement de ce couple.

b) Th´eor`eme (g´en´eralisation)

Pour toute famille finie d’ensembles finisA₁, A₂, . . . , A_n,

card(A1×A2×. . .×Ak) = card(A1)×card(A2)×. . .card(Ak).

Autrement dit : le cardinal d’un produit est le produit des cardinaux. Dans le cas particulier o`u tous les A_i sont ´egaux, on obtient

card(Aⁿ) = card(A)ⁿ.

84 CHAPITRE 6. D ´ENOMBREMENT

Exemples :

On consid`ere un d´e dont les six faces sont num´erot´ees de1 `a6.

1. On jette ce d´e deux fois de suite, et on s’int´eresse au total des points obtenus. De combien de fa¸cons peut-on obtenir :

a) un total ´egal `a6; b) un total ´egal `a7; c) un total divisible par 3? 2. On jette ce d´e trois fois de suite. De combien de fa¸cons peut-on obtenir un total :

a) ´egal `a16; b) ´egal `a15; c) au moins ´egal `a15; d) au plus ´egal `a15? On tire successivement quatre cartes d’un jeu de32 cartes.

1. Quel est le nombre N₁ de possibilit´es d’obtenir un roi suivi d’une dame ? 2. Quel est le nombre N2 de possibilit´es d’obtenir deux rois successivement ?

6.2 Listes et parties d’un ensemble

6.2.1 p-listes d’un ensemble ` a n ´ el´ ements

a) D´efinition

On appelle p-liste, ou p-uplet, d’un ensemble E, toute suite de p´el´ements de E, c’est-`a-dire tout

´

el´ement deE^p. Remarques

∗ L’ordre des ´el´ements de la p-liste est important.

Deux p-listes contenant les m^emes ´el´ements dans des ordres diff´erents sont diff´erentes.

Exemple : (0,1) et(1,0)d´esignent les coordonn´ees de deux points diff´erents deR².

∗ Une p-liste peut contenir plusieurs fois le m^eme ´el´ement.

Exemple : (8,8,8), (1,8,5) et(7,5,7) sont des3-listes de[[0; 9]].

b) Th´eor`eme

Le cardinal de l’ensemble E^k desk-listes d’´el´ements d’un ensembleEde cardinal nestn^k.

Remarque : Il s’agit du nombre de fa¸cons de choisir p objets pris parmi n objets distincts avec r´ep´etition possible et avec ordre.

D´emonstration : Lesp-listes sont les ´el´ements deE^p et card(E^p) =n^p.

Exemples : Combien peut-on ´ecrire de nombres diff´erents avec quatre chiffres quelconques choisis dans{1; 2; 3; 4; 5}?

R´eponse : Il s’agit de choisir 4 nombres parmi 5 avec r´ep´etition possible et avec ordre : il y a 5⁴ possibilit´es.

distincts choisis dans{1,2,3,4,5}?

R´eponse : Il s’agit de choisir 4 nombres parmi 5sans r´ep´etition possible et avec ordre.

6.2.2 p-listes d’´ el´ ements distincts de E

a) D´efinitions (arrangement)

Soient E un ensemble fini de cardinalnetpun entier naturel tel que 16p6n.

Unarrangement de p´el´ementsdeEest unep-liste d’´el´ements distincts de E.

b) Th´eor`eme

Soient E un ensemble fini de cardinalnetpun entier naturel tel que 16p6n.

On noteA^p_n le nombre d’arrangements de p´el´ements deE. On a A^p_n=n(n−1). . .(n−p+ 1)

| {z }

pfacteurs

= n!

(n−p)!.

On pose alors, par convention,A^p_n = 0 lorsquep > n.

Remarque : Il s’agit du nombre de fa¸cons de choisir p objets parmi n objets distincts sans r´ep´etition et avec ordre.

D´emonstration : Une p-liste d’´el´ements distincts deE est constitu´ee :

◦ d’un premier ´el´emente₁, suivi, sip>2,

◦ d’une (p−1)-liste d’´el´ements distincts deE\ {e1}.

Il y an fa¸cons de choisre1, puis pour chacune d’elles,A^p−1_n−1 fa¸cons de choisir la (p−1)-liste d’´el´ements distincts associ´ee `a e1.

AinsiA^p_n=nA^p−1_n−1 et on d´emontre par r´ecurrence surnque :A^p_n=n(n−1). . .(n−p+ 2)A¹_n−p+1. OrA¹_n−p+1=n−p+ 1 d’o`uA^p_n =n(n−1). . .(n−p+ 1) = _(n−p)!^n! .

On remarquera qu’il est impossible de trouver une liste de p ´el´ements distincts de E si E a moins dep´el´ements.

Exemples :

Ecrire un nombre avec 4 chiffres distincts choisis dans´ {1,2,3,4,5}revient `a un choix de 4 objets parmi 5sans r´ep´etition possible et avec ordre : il y aA⁴₅= 5! possibilit´es.

Nombre de paris possibles au tierc´e

Soit une course o`u quinze chevaux sont en comp´etition. On peut parier sur les noms des trois pre- miers chevaux en les donnant dans l’ordre de leur arriv´ee.

♦ Combien y a-t-il de paris possibles ?

R´eponse : Il y a donc quinze fa¸cons de choisir le nom du premier, puis quatorze fa¸cons de choisir le nom du second, puis treize fa¸cons de choisir celui du troizi`eme, ces nombres de possibilit´es dans des choix successifs se multiplient ce qui donne 15×14×13 =A³₁₅= 2730.

♦ Combien y a-t-il de quint´es possibles ? Combien y a-t-il de r´esultats complets possibles ? Combien y a-t-il de trios possibles, c’est-`a-dire de paris sur les trois premiers,quel que soit l’ordre? c) D´efinition (permutation)

Une permutationd’un ensembleE est une bijection deEdansE.

Remarque : Une permutation de E est un arrangement des n ´el´ements de E.

86 CHAPITRE 6. D ´ENOMBREMENT

d) Th´eor`eme

Soient E un ensemble fini de cardinaln.

Le nombre de permutations deE estAⁿ_n =n!.

Exemples :

Il y a15! = 1 307 674 368 000r´esultats possibles d’une course de quinze chevaux.

Combien y a-t-il de mani`eres de disposernenfants en file indienne ? En ronde ?

6.2.3 Parties ` a p ´ el´ ements de E

a) D´efinition (combinaison)

Soient E un ensemble fini de cardinalnetpun entier naturel tel que 06p6n.

Unecombinaison de p´el´ements deE est une partie ou sous-ensemble dep´el´ements distincts deE.

Remarque : Il s’agit du nombre de fa¸cons de choisir p objets parmi n objets distincts sans r´ep´etition et sans ordre.

b) Th´eor`eme

SoitE un ensemble fini de cardinalnet pun entier naturel tel que 06p6n.

On note ⁿ_p

le nombre de combinaisons dep´el´ements deE. On a : n

p

= A^p_n

p! = n!

p!(n−p)!. D´emonstration : Il y a ⁿ_p

fa¸cons de choisir une combinaison dep´el´ements deE, puis, pour chacune d’elles, il y ap! permutations de ses ´el´ements. DoncA^p_n =p! ⁿ_p

. Remarques :

∗ Les nombres ⁿ_p

sont appel´es coefficients binomiaux, et peuvent ^etre aussi not´es C_n^p.

∗ Par convention, on pose ⁿ_p

= 0 lorsque p > n: on ne peut pas choisir p objets sans r´ep´etion dans un ensemble de cardinal inf´erieur `a p.

Exemples : Il existe ³²₃

= 4960mains possibles de trois cartes dans un jeu de 32cartes.

Il existe ¹⁵₃

= 455 paris possibles sur les trois premiers, sans tenir compte de l’ordre, dans une course de 15 chevaux.

c) Proposition

Soitnun entier naturel non nul.

I ∀p∈[[0;n]], n

p

= n!

p!(n−p)! =

pfacteurs

z }| { n(n−1). . .(n−p+ 1) p(p−1). . .3×2×1

| {z }

pfacteurs

.

I n

0

= n

n

= 1 et, sin>1, n

1

= n

n−1

=n.

I ∀p∈[[0;n]], n

p

= n

n−p

.

I ∀p∈[[1;n−1]], n

p

= n−1

p−1

+ n−1

p

.

I ∀p∈[[1;n]], n

p

= n p

n−1 p−1

.

I ∀(a, b)∈N²,

a+b n

=

n

X

p=0

a p

b n−p

(formule de van der Monde).

Remarques

∗ Les relations pr´ec´edentes permettent de calculer rapidement les coefficients ⁿ_p . Leur interpr´etation en termes de d´enombrement facilite la m´emorisation.

∗ La relation ⁿ_p

= ⁿ⁻¹_p−1 + ⁿ⁻¹_p

permet d’´ecrire le triangle de Pascal. Ce triangle fournit la valeur de ⁿ_p

pour les petites valeurs de n.

d) Formule du binˆome de Newton

Soient aetbdeux r´eels etnun entier naturel.

∀n∈N, (a+b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k.

Remarques : En faisant a = b dans la formule du bin^ome, on obtient: 2ⁿ = Pn k=0

n k

et en faisant a= 1 et b=−1: 0 =Pn

k=0 n k

(−1)^k.

D´emonstration : On raisonne par r´ecurrence sur l’entiern:

◦ Initialisation : Montrons que cette ´egalit´e est vraie au rangn= 0.

Pour n= 0, (a+b)⁰= 1 = ⁰₀ a⁰b⁰.

◦ H´er´edit´e : Supposons qu’`a un certain rangn, on ait(a+b)ⁿ =Pn k=0

n k

a^kb^n−k. Montrons alors qu’au rang n+ 1, on a (a+b)ⁿ⁺¹=Pn+1

k=0 n+1

k

a^kb^n+1−k.

(a+b)ⁿ⁺¹= (a+b)ⁿ(a+b) =

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k

!

(a+b), d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence.

88 CHAPITRE 6. D ´ENOMBREMENT

(a+b)ⁿ⁺¹=

n

X

k=0

n k

a^k+1b^n−k+

n

X

k=0

n k

a^kb^n+1−k, en distribuant.

(a+b)ⁿ⁺¹=

n+1

X

l=1

n l−1

a^lb^n+1−l+

n

X

l=0

n l

a^lb^n+1−l, en posantk+ 1 =ldans la premi`ere somme.

(a+b)ⁿ⁺¹= n

n

aⁿ⁺¹b⁰+

n

X

l=1

n l−1

+

n l

a^lb^n+1−l+ n

0

a⁰bⁿ⁺¹, en factorisant dans chaque somme.

(a+b)ⁿ⁺¹= n+ 1

n+ 1

aⁿ⁺¹b⁰+

n

X

l=1

n+ 1 l

a^lb^n+1−l+ n+ 1

0

a⁰bⁿ⁺¹, car ⁿ_n

= ⁿ⁺¹_n+1

= 1 = ⁿ₀

= ⁿ⁺¹₀ . (a+b)ⁿ⁺¹=

n+1

X

l=0

n+ 1 l

a^lb^n+1−l, en regroupant les termes dans une mˆeme somme.

◦ Conclusion : Finalement, par le principe de r´ecurrence,∀n∈N, (a+b)ⁿ =Pn k=0

n k

a^kb^n−k.

e) Corollaire (ensemble des parties de E)

Si E est un ensemble fini `an´el´ements, alors card(P(E)) = 2ⁿ.

D´emonstration : Notons, pour toutk∈[[0;n]],Ek l’ensemble des parties deE `ak´el´ements.

Alors la famille (Ek)06k6n est une partition deP(E) donc card(P(E) =

n

X

k=0

card(Ek).

Or card(Ek) = ⁿ_k

donc card(P(E)) =

n

X

k=0

n k

= 2ⁿ (cf remarque).

f ) Application : exemple de calcul du nombre de d´erangements Nombre de d´erangements :

On r´epartit, dans une acad´emie, au hasard huit enseignants de math´ematiques en section ES, num´erot´es selon leur ´etablissement d’origine, de 1 `a8 dans huit jury de bac diff´erents, ´egalement not´es de 1`a8 selon l’´etablissement d’origine des ´el´eves.

♦ Quel est le nombre N0 de r´epartitions possibles ?

♦ Quel est le nombre ND de r´epartitions possibles de telle mani`ere qu’aucun des enseignants ne soit dans le jury qui porte le mˆeme num´ero que lui (ND est le nombre de d´erangements) ?