Annexe au cours 10 : SommabilitÃl

Annexe au cours 10 : SommabilitÃl’

Concernant les notations,Ωsera un ensemble abstrait, c’est-à-dire sans structure particulière.P⁽Ω) dé- signe l’ensemble de tous les sous-ensembles deΩ, y compris le sous-ensemble vide;. Nous noteronsA^c, ouÙA ou encoreΩ\A, le complémentaire de la partieAdeΩ.

...

1

DÉNOMBRABILITÉ

Tout ce que nous allons raconter ici est l’oeuvre de Georg Cantor (1845 à St-Petersbourg -1918 à Halle).

Issu d’une famille de musiciens du côté de sa mère Autrichienne et de Luthériens du côté de son père Danois, lui-même violoniste, il enseignera toute sa vie dans une université mineure, celle de Halle. Ses travaux ont été combattus par Kroneker, qui faisait la pluie et le beau temps à l’époque sur les mathématiques germanophones florissantes (Weierstrass, Schwarz, Dedekind, Heine, Dirichlet, Lipschitz, Riemann). Il lui reproche notamment l’absence de constructivisme. Cantor montre le premier qu’il existe plus de nombres irrationnels que de réels.

Il découvre en 1877 qu’il existe autant de points sur la droite que dans le plan (“Je le vois, mais ne le crois pas”

écrit-il à son ami Dedekind).

§ 1.

Equipotence.—

Rappelons quelques résultats ensemblistes : 1. Sif :X→Eest injective, alors g X −→ f(X)

x 7−→ f(x)

est bijective.

2. Une composée de bijections est bijective.

3. Une composée d’injections est injective.

4. Une composée de surjections est surjective.

5. Sif :E→Fetg:F→Evérifientf◦g=I dF, alorsf est surjective etgest injective.

Définition 1.1 (Equipotence et cardinal)

On dit de deux ensemblesXetY qu’ils sontéquipotents, ou qu’ils ontmême cardinal, lorsqu’il existe une bijection entre eux deux. On définit ainsi une relation binaire réflexive, symétrique, transitive.

Dans le cours de MPSI, on a défini le cardinal d’un ensemble fini ainsi : Un ensemble non videXest dit fini s’il existen∈N^∗tel que [[1,n]] est équipotent àX. On a montré que cet entiernétait alors uniquement défini parX, et on l’a nommé cardinal deX. On convient que l’ensemble vide est fini de cardinal 0.

De là, il était tout naturel d’étendre aux ensembles de cardinal infini la relation “a même cardinal que” (à défaut de pouvoir parler du cardinal d’un ensemble infini). Sont clairement équipotents :

Ï Net {n²,n∈N}. C’est Galilée (1564-1642) qui le remarque le premier, sans parvenir à le formaliser.

Ï ]0, 1[ etR. On le prouve en bricolant la fonction arctan.

Ï SoitXun ensemble. L’ensembleP^(X) des parties deXest équipotent à l’ensembleF^(X, {0, 1}). Il suffit pour cela de constater que

{0, 1}^X −→ P^(X)

f 7−→ {x∈X|f(x)=1}

est une bijection, dont la réciproque est l’application qui à une partieBdeX associe la fonction1_B. On retrouve ainsi que un ensemble fini de cardinaln∈N^∗admet 2ⁿparties puisque le cardinal de l’ensemble des fonctions d’un ensembleAdans un ensembleBest¡

card B¢card A

.

Qu’une partie stricte d’un ensembleX puisse être équipotente àX est un phénomène propore aux en- semblesXde cardinal fini.

§ 2.

Parties de

N

.—

Nous allons montrer qu’à équipotence près, il n’y a qu’une partie de cardinal infini deN. Définition 1.2

Un ensembleXest ditdénombrablelorsqu’il a même cardinal queN. L’ensemble 2Ndes nombres pairs est donc dénombrable.

Proposition 1.3

Toute partie deNest finie ou dénombrable.

Démonstration : Il s’agit de prouver que siE⊂Nest une partie non finie deN, il existe une bijection deNdansE.

On construit cette bijection f_E =f :N→E par récurrence, en posant f(0)=minE et pour toutk∈N^∗,f(k)= minE\ {f(0), . . . ,f(k−1)}. Ces ensembles dont on prend les minima ne sont jamais vides carE est infini, et on se souvient qu’un des axiomes deNest que toute partie non vide deNpossède un plus petit élément. Montrons quef est bijective, ce qui prouvera l’équipotence deEetN.

Ï Soientk∈N^∗. Puisquef(k)=minE\{f(0), . . . ,f(k−1)},f(k)>f(k−1), etf, qui n’est rien d’autre qu’une suite d’entiers, est strictement croissante, donc injective.

Ï Supposonsf non surjective. Il existe doncj∈Equi n’appartient pas à l’image def. Alors, pour tout entier naturelk, l’entierj est un élément deE\ {f(0), . . . ,f(k−1)}, donc est supérieur à f(k) par définition de ce dernier. Ainsi,¡

f(k)¢

kest une suite strictement croissante et majorée. Elle est donc convergente, mais comme elle n’est constituée que d’entiers, elle stationne et n’est pas injective, ce qui est absurde.

Proposition 1.4

SoitXun ensemble. Il y a équivalence entre 1. Xest fini ou dénombrable.

2. Il existe un ensemble dénombrableEet une injectioni:X→EdeX. 3. Il existe un ensemble dénombrableEet une surjections:E→X.

Démonstration :1⇒2 On prendE=Net une bijectioni:X→[[1,n]] siXest fini, ou une bijection deX àNsiX est dénombrable.

2⇒3 SiXest fini, il existe une bijectionϕde [[1,n]] dansXoùnest le cardinal deX. La fonctions:N→Xqui à tout k∈[[1,n]] associeϕ(k) et qui aux autres entiers associe le même élémentx₀deXest bien surjective.

Supposons maintenantX de cardinal infini. PuisqueEest dénombrable, il existe une bijectionϕ:E→N, et ϕ◦i:X→Nest une injection, donc via cette application,Xest équipotent à une partie deNde cardinal infini.

D’après la proposition (1.3),Xest donc dénombrable, si bien qu’il existe une bijections:N→Xqui est une surjection d’un ensemble dénombrable dansX.

3⇒1 On suppose ici qu’il existe un ensemble dénombrableE, une surjections:E→X, et queEn’est pas fini. Soit ϕ:N→Eune bijection.s◦ϕ:N→Xest alors une surjection. Toutx∈Xadmet au moins un antécédenty∈N pars◦ϕ. Choisissons-en un et notons-ley=i(x). Nous avons ainsi construit une applicationi:X→N. Il suffit de prouver l’injectivité de cette application en vertu de la proposition (1.3). Or, pour toutx∈X,s◦ϕ◦i(x)=x, i.es◦ϕ◦i=Id_X. Ainsi, six,y∈Xvérifienti(x)=i(y), en composant pars◦ϕ, nous obtenonsx=y. Finalement, Xest équipotent à une partie deN, donc est dénombrable.

Nous avons en fait prouvé que s’il existe une surjection deEdansF, il existe une injection deFdansE. Ce qui donne une définition rigoureuse de “Fest plus grand queE“.

REMARQUES:

Proposition 1.5

Soitk∈N^∗. Les ensemblesN^k,Z,Qsont dénombrables.

Démonstration : Ï Soientp1, . . . ,p_kdes nombres premiers distincts. D’après le théorème fondamental de l’arith-

métique, N^k −→ N

(a₁, . . . ,a_k) 7−→ p^a₁¹. . .p_k^ak

est injective.

Ï N²est dénombrable d’après le point précédent, et l’application qui à (a,b)∈N²associe (−1)^ab∈Zest surjec- tive.

Ï N³est dénombrable d’après le premier point, et l’application qui à (a,b,c)∈N³associe (−1)^a b

c+1∈Qest surjective.

Proposition 1.6 (Produit et union de parties dénombrables)

Ï SoientA₁, . . . ,A_kdes ensembles finis ou dénombrables. AlorsA₁× · · · ×A_kest fini ou dénombrable.

Ï SoientA1, . . . ,A_kdes parties finies ou dénombrables d’un ensembleX. AlorsA1∪ · · · ∪A_kest finie ou dénombrable.

Ï SoientI un ensemble dénombrable, et pour touti∈I,Ai une partie finie ou dénombrable d’un en- sembleX. Alors[

i∈I

Aiest finie ou dénombrable.

Attention : un produit dénombrable d’ensembles finis (ou a fortiori dénombrable) n’est presque jamais dénombrable.

REMARQUES:

Démonstration : Ï Il existe pour touti∈[[1,k]] un applicationϕi :A_i →Ninjective d’après le deuxième item de la proposition 1.4. Alors A₁× · · · ×A_k −→ N^k

(a₁, . . . ,a_k) 7−→ ¡

ϕ1(a₁), . . . ,ϕk(a_k)¢

est injective. CommeN^kest dénom- brable,A₁× · · · ×A_kest fini ou dénombrable (toujours d’après la proposition 1.4).

Ï Si on procède par récurrence surk, il faut et il suffit de prouver qu’une union de deux partiesAetBfinies ou dénombrables d’un ensembleXquelconque est finie ou dénombrable. Or, notons

m:x∈A∪B7−→m(x)=

(1 six∈A, 2 sinon. ∈{1, 2}.

Puisque l’on a deux injectionsf1:A→Netf2:B→N, notons χ A∪B −→ N²

x 7−→ ¡

m(x),f_m(x)(x)¢ .

Cette application est injective, donc ça roule.

Ï Soitϕ:N→Iune bijection, et pourn∈N,fn:A_ϕ(n)→Nune injection. Notons pour toutx∈[ i∈I

A_i,m(x)= min{i∈I|x∈A_i} (ce minimum existe car l’ensemble de ces indicesiest une partie non vide deN). Il suffit alors de poserχ(x)=¡

m(x),f_m(x)(x)¢

. Cela définit une application injective de[ i∈I

A_idansN². Théorème 1.7

Rn’est pas dénombrable.

Démonstration : Montrons que [0, 1[ ne l’est pas. Soit f :N→[0, 1[. Le théorème de première année sur le déve- loppement décimal des réels affirme qu’il existe une bijectionψentre [0, 1[ et l’ensembleΩdes suites d’entiers (a_k)_k∈N∗∈[[0, 9]]^N∗non égales à 9 à partir d’un certain rang, donnée par la relation suivante : pour toutx∈[0, 1], il existe une unique suite (a_k)_k∈N∗∈Ωvérifiant

x= +∞X k=1

a_k 10^k. ψ:x∈[0, 1[7−→¡

a_k¢

kÊ1∈Ω. Ainsi,ψ◦f :N→Ω. Pour toutj∈N, notonsψ◦f(j)=

³ a_k,j

´

k∈N^∗. Choisissons alors pour toutk∈N^∗un entierb_k6=a_k,kdans [[0, 8]], et posonsy=

+∞X k=1

b_k

10^k. Alors,y∉f(N). En effet, pour toutf(j)∈ f(N),a_j,j, qui est lej-ème terme de la suiteψ◦f(j), diffère deb_j, qui est lej-ème terme de la suiteψ(y), si bien queψ(f(j))6=ψ(y) et donc f(j)6=y. Ainsi, aucune fonctionf deNdans [0, 1[ ne peut être surjective, ni a fortiori bijective : [0, 1[ n’est pas dénombrable.

Enfin,Rne l’est pas, car d’une injection deRdansN, on extraierait une injection de [0, 1[ dansN.

Corollaire 1.8

1. Sia<b, ni[a,b], ni[a,b[, ni]a,b], ni]a,b[ne sont dénombrables.

2. L’ensemble des parties deNn’est pas dénombrable.

3. L’ensemble des suites à valeurs dans{0, 1}n’est pas dénombrable.

Démonstration : 1. Tous ces ensembles contiennent un intervalle ouvertI, qui est donc équipotent à ]0, 1[. Si l’un d’entre eux était dénombrable, il s’injecterait dansN, etIaussi par conséquent, ce qui est impossible d’après le théorème 1.7.

2. C’est le même résultat qui l’item suivant puisque l’ensemble des parties deNet l’ensembleSdes suites à valeurs dans {0, 1} sont équipotents. Or, le théorème sur le développement en bianire des réels nous affirme que l’application

Ψ S −→ [0, 1]

¡an¢

n∈N 7−→

+∞X n=0

an 2ⁿ est surjective. Comme [0, 1] n’est pas dénombrable,Sne peut l’être.

Les deux exercices qui suivent sont difficiles sans indication. Je n’ai pas pris le temps de les détailler, mais ils méritent de figurer dans ce cours. N’y passez pas trop de temps.

1. Soitf :]0, 1[→Rune fonction croissante. Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuités est au plus dénom- brable.

2. SoitΩun ouvert deR. Montrer que toute composante connexe par arcs deΩest ouverte, et qu’il existe deux suites (an)_n∈N, (bn)_n∈Nde réels tels queΩ= [

n∈N]an,bn[ (ces intervalles ouverts étant deux à deux disjoints).

Exercice :

§ 3.

Compléments.—

Ce qui suit n’est pas au programme, mais est suffisamment remarquable pour que cela apparaisse dans votre cours.

Le théorème suivant montre qu’il existe une famille infinie d’ensembles non équipotents deux à deux.

Théorème 1.9 (dû à Cantor (1891))

SoitEun ensemble. Il n’existe pas de bijection deEdansP^(E).

Démonstration : Supposons quef :E→P(E) soit surjective. PosonsF=©

x∈E|x∉f(x)ª

. PuisqueFest une partie de E, il existex₀∈Etel quef(x₀)=F. Mais alors :

Ï Six₀∈F, par définition deF,x₀∉f(x₀)=F, ce qui est absurde.

Ï Six₀∉F, alorsx₀∈f(x₀)=F. Décidément !

Cela donne une nouvelle preuve du fait que {0, 1}^Nn’est pas en bijection avecN, car il est équipotent àP⁽N).

Par ailleurs, {0, 1}^Nest un exemple d’ensemble non dénombrable obtenu comme produit cartésien d’un nombre dénombrable d’ensembles finis.

Pour montrer l’équipotence entre deux ensembles sans construire une bijection explicite, le théorème sui- vant peut s’avérer utile.

Théorème 1.10 (Cantor-Schröder-Bernstein, 1895)

S’il existe une injection deEdansFet une injection deFdansE, alorsEetFsont équipotents.

Voyons sur quelques applications la puissance de ce théorème.

Proposition 1.11

Les ensembles[a,b], ]a,b[,R,R^k,R^Nsont en bijection. De même queC⁰⁽R,R)

Démonstration : Ï Equipotence entre]−1, 1[et[−1, 1]:il suffit de considérerx7→xetx7→x/2.

Ï Equipotence entre{0, 1}^Net[0, 1]:le développement en base 2 fournit une injection de [0, 1] dans {0, 1}^N. L’autre injection est donnée parg: (an)∈{0, 2}^N∗7−→

+∞X n=1

an

3ⁿ. En effet,gest positive et à valeurs dans [0, 1] car g(a)É

+∞X n=1

2 3ⁿ=1.

Elle est de plus injective : soienta=(an),b=(bn)∈{0, 2}^N∗ vérifiantg(a)=g(b). Supposons quea6=b, et notonsN∈Nle plus petit entiernÊ1 tel quean6=bn. Quitte à intervertiraetb, on peut supposer quea_N=0 etb_N =2. Alors ^+∞X

n=N+1 a_n

3ⁿ =2.3^−N+ +∞X n=N+1

b_n

3ⁿ, si bien que 2.3^−N =

¯

¯

¯

¯

¯ +∞X n=N+1

a_n−b_n 3ⁿ

¯

¯

¯

¯

¯ É

+∞X n=N+1

2 3ⁿ =3^−N, inégalité absurde.

Ï Equipotence entreP⁽N)etR: P⁽N) est équipotent à {0, 1}^N(cf quelques lignes plus haut), lui-même équi- potent à [0, 1] (cf une ligne plus haut), lui-même équipotent à ]0, 1[ (cf deux lignes plus haut), lui-même équi- potent àR(considérerx7→tan£

π(x−1/2)¤ ).

Ï Equipotence entreP(N),P(N)^k,P(N)^N: Pour cela, on remarque que siA,Bsont deux ensembles P(A)^B −→ P(A×B)

(X_b)_b∈B 7−→ [ b∈B

©(a,b)|a∈X_bª

est bijective. Ou, plus simplement,P^(A)B'

³ {0, 1}^A´B

'{0, 1}^A×B'P^(A×B).

...

2

FAMILLES SOMMABLES

§ 1.

Familles de réels positifs.—

Pour toute partieΩdeR, rappelons que, siΩest majorée, nous notons supΩ∈Rsa borne supérieure, et que dans la cas contraire, nous notons supΩ= +∞, si bien que supΩa une signification pour toute partie non vide deR.

Etant donnée une famille finie (x_i)_i∈I de réels, on sait définir leur sommeX

x_i, en ajoutant lesx_i un à un dans n’importe quel ordre. La commutativité de l’addition nous assure que quelque soit l’ordre choisi, le résultat sera le même. Pour les familles infinies, de nouveaux problèmes se présentent : la convergence va dépendre de l’ordre de sommation, et en cas de convergence, la valeur de la somme également. Ainsi, il n’existe pas forcément de sens à X

n∈N

u_n.

Par exemple,

n

X

k=1

(−1)^k+1 k −−−−−→_n

→+∞ ln 2. Réarrangeons-la en paramétrant les entiers impairs par {2k−1|k∈N^∗} et les entiers pairs par {4k−2 et 4k|k∈N^∗}. On obtient que la somme partielle après ce réarrangement vaut :

n

X

k=1

µ 1

2k−1− 1 4k−2− 1

4k

¶

=

n

X

k=1

µ 1 4k−2− 1

4k

¶

=1 2

n

X

k=1

(−1)^k+1 k −−−−−→_n

→+∞

ln 2 2 .

Il en est a fortiori de même de l’expression X

(n,p)∈N²

an,p, lorsque (an,p)_(n,p)∈N2 est une famille de complexes.

Comment la calculer ? Est-ce que sa somme est

+∞X

n=0

Ã+∞

X

p=0

a_n,p

!

, ou bien

+∞X

p=0

µ_+∞

X

n=0

a_n,p

¶

(on peut d’ailleurs imaginer d’autres manières de sommer ces éléments, comme nous le verrons), i.e doit-on sommer d’abord sur lesp, puis sur lesn, ou bien le contraire ? Le fait est que cette question est fondamentale puisqu’il existe des familles (a_n,p) pour lesquelles les deux sommes diffèrent.

On pose pour toutn,p∈N,un,n=1,un,p=

(0 sin>p,

−2^n−p sin<p.

Montrer que les deux sommes doubles +∞X n=0

Ã+∞

X

p=0 un,p

! et

+∞X p=0

Ã+∞

X

n=0 un,p

!

convergent et valent respectivement 0 et 2.

Exercice :

Les familles sommables forment une classe suffisamment grande de famille de réels pour laquelle les choses se comportent conformément à notre intuition.

Définition 2.1 (Sommabilité d’une famille de réels positifs)

SoitIun ensemble fini ou dénombrable, et(x_i)_i∈Iune famille de réelspositifs. Considérons la partie deR

suivante

Ω=sup (

X

i∈F

x_i,oùFest une partie finie deI )

.

Ï (x_i)_i∈Iest ditesommablelorsqueΩest majorée. Dans ce cas, on appellesomme de la famille(x_i)_i∈I et on noteX

i∈I

x_i la borne supérieure deΩ.

Ï Si la famille(x_i)_i∈In’est pas sommable, on convient que sa somme vautX

i∈I

x_i= +∞.

Remarquons qu’un famille finie est sommable et que sa somme est notre bonne vieille somme usuelle. Pour les familles indexées parN, on retrouve la notion de convergence absolue :

Corollaire 2.2 (Cas où I=N)

Soit une famille(u_n)_n∈Nde réels positifs. Alors(u_n)_n∈Nest sommable⇐⇒X

nÊ0

u_nconverge.

De plus, dans ce cas, Ï X

n∈N

u_n=

+∞X

n=1

u_n.

Ï Pour toute permutationσdeN,

+∞X

n=1

u_n=

+∞X

n=1

u_σ(n).

Démonstration : Le sens =⇒ provient du fait que toute partie finieJdeNest incluse dans un [[0,n]]. La réciproque

⇐= est quant à elle une conséquence de ce que [[0,n]] est une partie finie deN. On monte au passage qu’alors +∞X

n=1

u_nÉSetSÉ +∞X n=1

u_n, ce qui établit l’égalité voulue.

Pour la deuxième item, c’est-à-dire la convergence commutative, il suffit de prendre la partition (In)ndeNoù I_n={σ(n)} et de lui appliquer le théorème de sommation par paquets que nous allons énoncer, mais cela se fait bien également à la main.

Proposition 2.3

SoitIun ensemble fini ou dénombrable.

Ï SiJ⊂I, et si la famille de réels positifs(a_i)_i∈Iest sommable, alors(a_i)_i∈Jest sommable etX

i∈J

a_iÉX

i∈I

a_i. Ï Si pour touti∈I, 0Éa_iÉb_i, la sommabilité de(b_i)_ientraine celle de(a_i)_i et

X

i∈I

a_iÉX

i∈I

b_i.

Ï SoitN∈N, etI₀, . . . ,I_Ndes parties deIdeux à deux disjointes telles que pour toutn∈[[0,N]], (u_i)_i∈In soit sommable. Alors(u_i)_{i∈∪0ÉnÉNIn}est sommable et

N

X

n=0

X

i∈I_n

u_i= X

i∈∪0ÉnÉNI_n

u_i.

Pour calculer les valeurs de ces sommes, nous partitionnerons habilement l’ensembleI. Définition 2.4 (Partition)

On appelle partition d’un ensembleItoute famille(I_n)_n∈Jde parties deIqui vérifie : [

n∈J

I_n=Iet∀n6=m∈J, I_n∩I_m= ;.

Ici,Jest un ensemble fini ou dénombrable.

Il s’agit ici de regrouper les éléments deIselon certains critères. On peut par exemple partitionner une classe selon le sexe (I₁,I₂), selon l’année de naissance (I₁, ..I₄), selon le jour de naissance (I₁, ...,I₃₆₅).

Ï N²a plusieurs partitions remarquables :

• la famille des colonnesX_i={i}×NquandiparcourtN,

• sa soeur la famille des lignesYi=N×{i} quandiparcourtN,

• la famille desS_i={(k,i−k) oùk∈[[0,i]]}, quandiparcourtN.

Ï Toute fonctionf:I→Jnous fournit une partition deI, en regroupant les éléments deIselon la valeur de leur image parf :

I= [ j∈f(I)

f⁻¹¡ {j}¢

. Exemple :

Le théorème suivant fait le lien avec les séries. C’est le théorème de sommation par paquets. Il nous permet- tra de ramener le calcul de sommes de familles sommables à celui de sommes de séries, pour lequel on dispose de beaucoup d’outils.

Théorème 2.5 (Sommation par paquets)

Si(In)n∈Nest une partition deIet(ui)i∈Iune famille de réels positifs, alors la famille(ui)i∈Iest sommable si et seulement si :

Ï Pour toutn∈N, (u_i)_i∈Inest sommable.

Ï la série X

n∈N

à X

i∈In

u_i

!

converge.

Dans ce cas,X

i∈I

u_i=

+∞X

n=0

à X

i∈In

u_i

! .

Cette démonstration est hors programme.

Démonstration : Ï Supposons la famille (u_i)_i∈Isommable. L’ensemble Ω=sup

( X i∈F

x_i, oùFest une partie finie deI )

est donc majoré et sa borne supérieureS=supΩest réelle. C’est de plus la somme de notre famille.

Pour toutn∈Net toute partie finieJ⊂In, le réelX j∈J

u_jest majoré parSpuisqu’une partie finie deInest une partie finie deI. Ceci prouve que (u_i)_i∈Inest sommable et que X

i∈I_n u_iÉS.

SoitN∈N. Si dans ce raisonnement on remplace l’ensembleIn par l’ensemble N [ n=0

In, on obtient grâce à la proposition (2.3) l’inégalité

XN n=0

X i∈In

u_i ÉS, et en faisant tendreNvers+∞, +∞X n=0

X i∈In

u_i ÉS(car lesu_i sont positifs).

Ï Supposons réciproquement que pour toutn∈N, (ui)_i∈Inest sommable, et que la série X n∈N

X i∈In

u_i converge.

SoitJune partie finie deI. Pour chaquex∈J, il existe un entiern(x) tel quex∈I_n(x). PosonsN=max x∈Jn(x).

AlorsJ=[ x∈J

{x}⊂[ x∈J

I_n(x)⊂ N [ n=0

I_n. D’après la proposition (2.3),

X i∈J

u_iÉ X i∈SN

n=0In

u_i= N X n=0

X i∈In

u_iÉ +∞X n=0

X i∈In

u_i.

On en déduit la sommabilité de (u_i)_i∈Iet l’inégalitéSÉ +∞X n=0

X i∈In

u_i. Ce qui permet de conclure.

La famille µ 1

pq(p+q)

¶

(p,q)∈(N^∗)²

est sommable. En effet, iciI=N^∗×N^∗est bien dénombrable. Utilisons la partitionI=[ nÊ2

In oùIn={(p,q)|p+q=n}. Alors

Ï Pour toutnÊ2, (u(p,q))_(p,q)∈I_nest sommable car finie.

Ï De plus, pour toutnÊ2, en paramétrantIn={(p,n−p)|p∈[[1,n−1]]}, X

(p,q)∈I_n 1 pq(p+q)=

n−1X p=1

1 p(n−p)n= 1

n² n−1X p=1

1 n−p+1

p=2H_n−1 n² qui est le terme général d’une série convergente, car c’est uno¡

n^−1,5¢ . Ainsi, X

(p,q)∈(N^∗)² 1 pq(p+q)=

+∞X n=2

2H_n−1 n² . Exemple :

§ 2.

Familles de complexes.—

Par défaut,Isera toujours un ensemble fini ou dénombrable.

Définition 2.6 (Sommabilité d’une famille de nombres complexes)

Une famille(zi)i∈Ide nombres complexes est dite sommable si(|zi|)i∈Il’est.

On ne peut pas donner de définition de la somme en terme de borne supérieure ici, et sommes contraints de revenir à des familles de réels positifs.

Si (u_i)_i∈Iest une famille de réels, on pose pour touti∈I,

(u⁺_i =max{u_i, 0}

u⁻_i =max{−u_i, 0} , si bien que







u⁺_i etu_i⁻Ê0, u_i=u⁺_i −u⁻_i

|ui| =u⁺_i +u⁻_i .

Proposition 2.7

1. Une famille(u_i)i∈Ide réels est sommable⇐⇒(u⁺_i)i∈Iet(u_i⁻)i∈Ile sont.

2. Une famille(zi)i∈Ide complexes est sommable⇐⇒(Rezi)i∈Iet(Imzi)i∈Ile sont.

Démonstration : 1. L’implication =⇒ vient de 0Éu⁺_i É |u_i|et ⇐= de 0É |u_i| =u_i⁺+u⁻_i . 2. L’implication =⇒ vient de|Rezi| É |zi|et l’autre de|z| =p

a²+b²É |a| + |b|siz=a+i b.

Pour les famille indexées parN, on retrouve l’absolue convergence : Corollaire 2.8

Soit une famille(un)n∈Nde nombres complexes. Alors 1. La famille(u_n)_n∈Nest sommable⇐⇒la sérieX

nÊ0

u_nconverge absolument.

2. Si la famille(u_n)_n∈Nest sommable, Ï X

n∈N

u_n=

+∞X

n=1

u_n.

Ï Pour toute permutationσdeN,

+∞X

n=1

un=

+∞X

n=1

u_σ(n).

Démonstration : 1. C’est exactement le premier point du corollaire (2.2).

2. Avec la décompositionu_i=u_i⁺−u⁻_i , ces deux items sont encore une conséquence du corollaire.

Définition 2.9

1. Soit une famille(uj)j∈Isommables de réels. On appelle somme de cette famille le réel X

j∈I

u_j=X

j∈I

u⁺_j −X

j∈I

u⁻_j.

2. Soit une famille(z_j)_j∈Isommables de complexes. On appelle somme de cette famille le complexe X

j∈I

z_j=X

j∈I

Re(z_j)+iX

j∈I

Imz_j.

Proposition 2.10

SoitIun ensemble dénombrable, etK=RouC.

1. L’ensemble`<sup>1</sup>(I,K)des suites sommables(a<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub>∈K<sup>I</sup>est unK−espace vectoriel . 2. L’application `¹(I,K) −→ K

(a_i)_i∈I 7−→ X

i∈I

a_i

est linéaire, et positive.

Démonstration : 1. Vient|αa_i+b_i| É |α||a_i|+|b_i|et du fait que l’ensemble des familles de réels positifs sommables est stable par addition et multiplication par un scalaire positif.

2. On utilisera le fait évident que si (a_i)_i∈Iest une famille sommable de réels positifs et siαÊ0,X i∈I

αa_i=αX i∈I

a_i, et que si (b_i)_i∈I est également une famille sommable de réels positifs,X

i∈I

(a_i+b_i)=X i∈I

a_i+X i∈I

b_i. Ces deux égalités se montrent facilement par double inégalité.

Soient maintenant (a_i)_i∈Iet (b_i)_i∈I∈L^1(I,K) etα∈K.

Ï K=R. Commençons par la stabilité par multiplication parα∈R. Siα>0,X i∈I

αai=X i∈I

(αai)⁺−X i∈I

(αai)⁻= X

i∈I

α(a_i)⁺−X i∈I

α(a_i)⁻=α Ã

X i∈I

a⁺_i −X i∈I

a⁻_i

!

=αX i∈I

a_i. Si maintenantα<0,X

i∈I

αa_i=X i∈I

(αa_i)⁺−X i∈I

(αa_i)⁻=X i∈I

−α(a_i)⁻−X i∈I

−α(a_i)⁺=α Ã

X i∈I

a_i⁺−X i∈I

a⁻_i

!

= αX

i∈I a_i.

Montrons maintenant l’additivité en posantc_i=a_i+b_i. Alorsc⁺_i −c_i⁻=a⁺_i −a⁻_i +b⁺_i −b_i⁻, que l’on peut récrirec_i⁺+a_i⁻+b⁻_i =c⁻_i +a_i⁺+b⁺_i. Chacune de ces six familles de réels positifs est sommable donc d’après le petit calcul au début de cette démonstration, nous obtenons

X i∈I

c_i⁺+X i∈I

a_i⁻+X i∈I

b⁻_i =X i∈I

c⁻_i +X i∈I

a⁺_i +X i∈I

b_i⁺, que l’on peut récrireX

i∈I c⁺_i −X

i∈I c⁻_i =X

i∈I a_i⁺−X

i∈I a⁻_i +X

i∈I b⁺_i −X

i∈I

b⁻_i, soitX i∈I

c_i=X i∈I

a_i+X i∈I

b_i qui était l’égalité cherchée.

Ï K=C est laissée en exercice.

Le théorème de sommation par paquets est encore valable pour les familles de réels ou de complexes, mais seul un sens fonctionne, i.e qu’il ne fournit que des méthodes de calcul de familles a priori sommables.

Théorème 2.11 (Sommation par paquets pour les familles quelconques)

Si(In)n∈Nest une partition deIet(ui)i∈Iune famille sommable de complexes, alors : Ï Pour toutn∈N, (u_i)_i∈Inest sommable. NotonsSn=X

i∈In

u_i∈C. Ï La famille(S_n)n∈Nest sommable, et

X

n∈N

X

i∈I_n

u_i=X

i∈I

u_i.

La démonstration est hors programme.

Démonstration : D’après le théorème qui traite de la sommabilité par paquets pour les familles de réels positifs (dans sa partie réciproque), puisque (|u_i|)_i∈Iest sommable, pour toutn∈N,¡

|u_i|¢

i∈Inest sommable. D’où le premier point.

De plus, pour toutN∈N, N X n=0

|Sn| ÉX i∈I

|u_i| < +∞, si bien que la série X n∈N

Snconverge absolument. Deuxième point ! Puisque les deux familles de réels positifs¡

x_i⁺¢ i∈Iet¡

x_i⁻¢

i∈Isont sommables, d’après le théorème de sommation par paquets pour les familles de réels positifs, X

n∈N X i∈I_n

u⁺_i =X i∈I

u⁺_i et X n∈N

X i∈I_n

u⁻_i =X i∈I

u⁻_i. Il n’y a plus qu’à soustraire ces deux égalités.

On peut vérifier la sommabilité de (u_i) en appliquant par exemple le théorème de sommation par paquets à la famille (|u_i|).

REMARQUES:

Soitf:z∈C7−→

+∞X n=1

zⁿ 1−zⁿ.

1. Montrer quef est définie sur le disque unité ouvertD^. 2. Montrer que pour toutz∈D, la famille¡

z^nk¢

(n,k)∈(N^∗)²est sommable et montrer que sa somme est égale àf(z).

3. Montrer quef est développable en série entière surDet que pour tout complexezde module<1,f(z)= +∞X j=1

d(j)z^j oùd(j) est le nombre de diviseurs positifs dej.

Exercice :

§ 3.

Les familles indexées par

N²

.—

Voyons le cas particulier oùI=N². Deux partitions s’imposent souvent ici, celle par les lignes et celle par les colonnes, à savoir

N²=[

i∈N

{i}×N

| {z }

=Ci

etN²=[

i∈NN×{j}

| {z }

=Lj

.

Théorème 2.12 (Séries doubles à termes positifs) Soit¡

a_m,n¢

(n,m)∈N²une famille de réels positifs. Alors 1.

¡a_m,n¢

(n,m)∈N²est sommable ⇐⇒











∀n∈N, X

m∈N

a_m,nconverge, et X

n∈N

µ_+∞

X

m=0

a_m,n

¶

converge.

2. Dans ce cas, pour toutm∈N,X

n∈N

a_m,nconverge aussi, de même que X

m∈N +∞X

n=0

a_m,n, et

+∞X

n=0 +∞X

m=0

a_m,n=

+∞X

m=0 +∞X

n=0

a_m,n.

Démonstration : C’est une application immédiate du théorème 2.5, avec les partitions lignes et colonnes.

Montrer que^+∞X n=0

+∞X k=n 1 k!=2e.

Exemple :

Pour les séries doubles (i.e indexées parN²) complexes (a_m,n)_m,n∈N, la sommabilité se prouvera en appli- quant l’énoncé précédent à la famille (|a_m,n|)_m,n∈N. Le calcul de la somme peut alors s’effectuer dans les deux ordres de sommation, d’abord sur lesnou d’abord sur lesm.

Théorème 2.13 (Séries doubles à termes complexes)

Si la famille(a_m,n)_m,n∈Nde complexes est sommable, alors

+∞X

n=0 +∞X

m=0

a_m,n=

+∞X

m=0 +∞X

n=0

a_m,n.

Montrer que la fonctionf :z∈C7−→cos(e^z) est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence.

Exercice :