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■ Objectifs et savoir-faire

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Academic year: 2022

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ECG-1 )

Classe préparatoire ECG-1 Lycée Paul Cézanne 2021/2022

Mathématiques appliquées Programme de colle n° 4 Semaine Q2A – Du 4 au 8 octobre

Objectifs et savoir-faire

Chapitre B – Fonctions usuelles

Reprise depuis le début du chapitre B (voir programmes de colle antérieur).

À cela s’ajoute ce qui suit.

Ï Connaître la définition de la continuité en un point et sur un inter- valle deRd’une fonction et son interprétation (intuitive) en terme de tracé de la courbe représentative dans le cas d’une fonction à valeur réelle.

Ï Savoir démontrer que la dérivabilité en un point implique la conti- nuité en ce point.

Ï Maîtriser DE MANIÈRE ABSOLUMENT PARFAITE le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), qui peut s’énoncer de différentes manières, mais dans lequel il n’y aABSOLUMENT PASd’hypo- thèse de monotonie et de conclusion en terme d’unicité.

Ï Maîtriser DE MANIÈRE ABSOLUMENT PARFAITEle corollaire du TVI dans le cas particulier d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

Ï Maîtriser DE MANIÈRE ABSOLUMENT PARFAITEle « théorème de la bijection », possédant trois hypothèses et trois conclusions.

Ï NeSURTOUTpas confondre les trois théorèmes suivant : TVI, son

corollaire dans le cas strictement monotone et le théorème de la bijection.

Ï Dans le cas d’une bijectionfréelle de la variable réelle, connaître et savoir exploiter la symétrie qui existe entre le grapheCf de la fonction « directe » et le grapheCf−1de la fonction réciproque.

Ï Connaître, même s’il est à la limite du programme, le théorème de dérivabilité d’une réciproque (dans le cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle).

Important –Ne pas oublier qu’en cas de dérivabilité enx0avec f0(x0)=0, la fonctionf−1n’est pas dérivable eny0=f(x0) mais que l’on dispose malgré tout d’une information géométrique : la présence d’une (demi)-tangente verticaleeny0pour la courbe de la fonctionf1.

Ï Savoir appliquer ce théorème pour justifier le dérivabilité ou la non-dérivabilité d’une fonction réciproque et pour éventuelle- ment calculer la dérivée de la fonction réciproque.

Catalogue de fonctions usuelles

Ï Connaître la définition et les propriétés de la fonctionx7→xn(avec n∈Z).

Ï Connaître la définition et les propriétés de la fonction racine car- rée.

Ï Connaître la définition et les propriétés de la fonction valeur abso- lue.

Ï Connaître la définition et les propriétés de la fonction partie en- tière.

Ï Connaître la définition et les propriétés des fonctions polyno- miale :

• définition (on confond polynôme et fonctions polynomiales) ;

• notationR[x] etRn[x] ;

• opérations sur les polynômes ;

• notion de degré, degré d’un produit, degré d’un somme ;

• continuité et dérivabilité surR;

• si P est de degrénet son coefficient dominant vautan alors la dérivéen-ième c’est-à-dire P(n)est égale àn!an;

• relation de divisibilité entre polynômes ;

• division euclidienne entre polynôme ;

• si un polynôme P de degré au plusnpossède au moinsn+1 racines distinctes alors P est le polynôme nul ;

• deux polynômes de Rn[x] qui coïncident en au moinsn+1 points sont nécessairement égaux, d’oû le principe d’identifica- tion des coefficients (degré par degré) ;

• résultat analogue lorsque deux polynômes coïncident sur un ensemble infini.

Ï Connaître la définition et les propriétés des fractions rationnelles (quotient de polynôme).

Ï Connaître le principe de la décomposition en éléments simple sa- chant que les détails sont hors programme.

Ï Connaître les croissances comparées classiques.

Ï Connaître les limites usuelles suivantes : lim

h→0 ln(1+h)

h lim

x→1 ln(x) x−1 lim

x→0 ex−1)

x

Ï Connaître la notion de puissance généralisée :abdéf=ebln(a)(pour a>0). Ainsi que les règles de calculs pour cette nouvelle notion.

Ï Fonction puissance généralisée : x7→xα. Définition, dérivabilité et dérivée, allure de la courbe dans les différents cas.

Ï Connaître les croissances comparées généralisées (avec des expo- sants strictement positifs).

Exercices à savoir refaire

Exercices du chapitre B.

Questions de cours exigibles (énoncé précis et démonstration)

Q7. Caractérisation de la bijectivité : théorèmeI.3.5dans le chapitreB.

Q8. Dérivabilité et dérivée de la fonction racine carrée : exemple page 10 du chapitreB.

Q9. Dérivée de la fonctionx7→xnpourn∈N.

Indication –On se placera en un point a∈Ret on utilisera la formule du binôme de Newton sous la forme : (a+h)n=

n X k=0

µn k

an−khk=an+nan−1h+h2 Ã n

X k=2

µn k

an−khk−2

!

Q10. Croissance comparée : lim x→+∞

ln(x) x .

Indication –On pourra commencer par démontrer l’encadrement suivant :x∈[1,+∞[, 0Éln(x)Ép x Q11. Limite usuelle : lim

h→0 ln(1+h)

h .

Mathématiques appliquées - Programme de colle n° 4 Semaine Q2A Du 4 au 8 octobre

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