VALUATION AUGMENTÉE ET PAIRE MINIMALE

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Preprint submitted on 10 Mar 2021

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VALUATION AUGMENTÉE ET PAIRE MINIMALE

Michel Vaquié

To cite this version:

Michel Vaquié. VALUATION AUGMENTÉE ET PAIRE MINIMALE. 2021. �hal-02565309v2�

APPROCH ´ EE

MICHEL VAQUI ´E

R´esum´e. Soit (K, ν) un corps valu´e, les notions de valuation augment´ee, de valuation aug- ment´ee limiteet defamille admisede valuations permettent de donner une description de toute valuationµdeK[x] prolongeantν. Dans le cas o`u le corpsKest alg´ebriquement clos cette des- cription est particuli`erement simple et nous pouvons la r´eduire aux notions de paire minimale et defamille pseudo-convergente.

Soient (K, ν) un corps valu´e hens´elien et ¯νl’unique extension deν`a la clˆoture alg´ebrique ¯K deKet soitµune valuation deK[x] prolongeantν, nous ´etudions les extensions ¯µdeµ`a ¯K[x]

et nous donnons une description des valuations ¯µide ¯K[x] qui sont les extensions des valuations µi appartenant `a la famille admise associ´ee `aµ.

Abstract. Let (K, ν) be a valued field, the notions ofaugmented valuation, oflimit augmented valuation and ofadmissible family of valuations enable to give a description of any valuation µofK[x] extendingν. In the case where the fieldK is algebraically closed, this description is particularly simple and we can reduce it to the notions ofminimal pair andpseudo-convergent family.

Let (K, ν) be a henselian valued field and ¯νthe unique extension ofνto the algebraic closure K¯ ofKand letµbe a valuation ofK[x] extendingν, we study the extensions ¯µfromµto ¯K[x]

and we give a description of the valuations ¯µiof ¯K[x] which are the extensions of the valuations µi belonging to the admissible family associated withµ.

Table des mati`eres

Introduction 2

1. Rappels 3

2. Groupe des valeurs et alg` ebre gradu´ ee 8

3. Passage ` a la clˆ oture alg´ ebrique 14

4. Restriction d’une valuation d´ efinie sur ¯ K[x] 27

5. Valuations approch´ ees 31

Annexe A. Suites pseudo-convergentes et extension imm´ ediate 38

R´ ef´ erences 42

Date: Mars 2021.

1991Mathematics Subject Classification. 13A18 (12J10 14E15).

Key words and phrases. valuation, extension, famille admise, paire minimale.

∗Partially supported by the grant of the Agence Nationale de la Recherche “CatAG”ANR-17-CE40-0014.

1

Introduction

Soit K un corps muni d’une valuation ν, nous pouvons obtenir toute valuation ou pseudo- valuation µ de l’anneau des polynˆ omes K[x] qui prolonge ν grˆ ace ` a une famille admise de valuations A = µ

i∈I

, o` u l’ensemble I est un ensemble totalement ordonn´ e (cf. th´ eor` emes 2.4 et 2.5 de [Va 1]). De plus chaque valuation µ

de la famille est obtenue comme valuation augment´ ee ou comme valuation augment´ ee limite associ´ ee ` a un polynˆ ome-cl´ e ou un polynˆ ome-cl´ e limite φ

.

La famille A = µ

i∈I

converge vers la valuation µ dans le sens o` u pour tout polynˆ ome f de K[x] la famille de valeurs µ

(f )

i∈I

est croissante et v´ erifie µ(f ) = Sup µ

(f ) ; i ∈ I . En particulier si la famille I a un plus grand ´ el´ ement ¯ ι la valuation µ est ´ egale ` a la valuation µ

et il existe un polynˆ ome φ = φ

qui d´ efinit la valuation µ comme valuation augment´ ee ou valuation augment´ ee limite. Nous disons dans ce cas que la valuation est bien sp´ ecifi´ ee et que le polynˆ ome φ d´ efinit la valuation. Par d´ efinition ce polynˆ ome apparaˆıt dans la construction de la famille admise A = µ

i∈I

associ´ ee ` a la valuation µ.

Comme tout polynˆ ome-cl´ e ou polynˆ ome-cl´ e limite est un polynˆ ome irr´ eductible de K[x] dans le cas o` u le corps K est alg´ ebriquement clos les seuls polynˆ omes-cl´ es sont de degr´ e un et les familles admises sont particuli` erement simples : si la valuation µ est bien sp´ ecifi´ ee elle est d´ efinie par un polynˆ ome-cl´ e φ de la forme φ(x) = x − a, sinon elle est d´ efinie par une famille infinie de polynˆ omes (φ

) de la forme φ

(x) = x − a

. Plus pr´ ecis´ ement, comme K est alg´ ebriquement clos la valuation µ est enti` erement d´ etermin´ ee par les valeurs prises pour les polynˆ omes f de la forme f (x) = (x −b), et nous avons dans le cas o` u µ est bien sp´ ecifi´ ee µ(x −b) = Inf (ν (a − b), δ) et la valuation µ est associ´ ee ` a une paire minimale, et dans le cas d’une famille infinie la valuation µ est la valuation associ´ ee ` a la famille pseudo-convergente (a

) (Proposition 2.11). Il est aussi possible de d´ ecrire une valuation µ de K[x] par une boule ferm´ ee ou par une famille d´ ecroissante de boules ferm´ ees dans K pour la distance ultram´ etrique associ´ ee ` a la valuation ν de K (Proposition 2.12).

Soient (K, ν) un corps valu´ e quelconque et µ une valuation de K[x] prolongeant ν, alors si ¯ ν est une extension de ν ` a la clˆ oture alg´ ebrique ¯ K de K il existe une extension ¯ µ de µ ` a ¯ K[x] qui prolonge ¯ ν. Soit A = µ

i∈I

la famille admise associ´ ee ` a µ, nous voulons d´ ecrire les valuations

¯

µ

de ¯ K[x] obtenues comme prolongement des valuations µ

appartenant ` a la famille A, et les familles de boules ferm´ ees de ¯ K associ´ ees aux valuations ¯ µ

.

Dans le cas o` u (K, ν) est un corps valu´ e hens´ elien nous associons ` a la famille admise associ´ ee

`

a la valuation µ une famille d´ ecroissante B

i∈I

de r´ eunions finies de boules ferm´ ees de ¯ K.

Plus pr´ ecis´ ement chaque B

est la r´ eunion des boules disjointes B

, le groupe de Galois agit transitivement sur l’ensemble fini {B

}, et pour tout i < j dans I chaque boule B

de B

contient s boules B

appartenant ` a B

, o` u s est un entier ind´ ependant de la boule B

choisie, et toute boule B

de B

est contenue dans une boule B

de B

(Proposition 3.22).

L’intersection des B

est un sous-ensemble B(µ) de ¯ K, appel´ e ensemble caract´ eristique de la

valuation µ, cet ensemble est vide dans le cas o` u la valuation µ n’est pas bien sp´ ecifi´ ee, sinon

c’est la r´ eunion d’un ensemble fini de boules ferm´ ees non vides de ¯ K, qui correspondent aux

diff´ erentes extensions de µ ` a ¯ K[x] (Th´ eor` eme 3.23).

Dans la quatri` eme partie nous montrons comment ` a partir d’une valuation ¯ µ de ¯ K[x] nous pouvons construire la famille admise A = µ

i∈I

associ´ ee ` a la restriction µ de ¯ µ ` a K[x]. Plus pr´ ecis´ ement nous construisons une famille d´ ecroissante de boules ferm´ ees B

de ¯ K, telle que la valuation µ

de la famille admise A soit la retriction ` a K[x] de la valuation ¯ µ

de ¯ K[x] d´ efinie par la boule B

.

Alors que la construction de la famille admise A = µ

i∈I

se fait de mani` ere croissante, c’est-` a-dire la valuation µ

est construite ` a partir des valuations µ

pour j < i, la construction des boules B

, et par cons´ equent des valuations ¯ µ

se fait de mani` ere d´ ecroissante, c’est-` a-dire la boule B

est construite ` a partir des boules B

pour j > i (Th´ eor` eme 4.6).

Dans la cinqui` eme partie nous revenons sur les notions de valuations approch´ ees et de po- lynˆ omes approch´ es. Nous d´ efinissons une notion de distance dist

entre les polynˆ omes de K[x] et pour toute valuation bien sp´ ecifi´ ee µ d´ efinie par un polynˆ ome φ nous donnons une caract´ erisation des polynˆ omes approch´ es φ

de µ en consid´ erant la distance dist

(φ, φ

) (Corollaire 5.8).

Nous comparons ensuite cette notion avec la notion de polynˆ ome-cl´ e introduite par Mark Spivakovsky (cf. [H-O-S]) et nous retrouvons que ces deux notions co¨ıincident (Corollaire 5.11).

Enfin dans l’annexe nous interpr´ etons les r´ esultats de Kaplansky sur les extensions imm´ ediates et les suites pseudo-convergentes ` a partir des propri´ et´ es des familles admises continues que nous avons d´ efinies pr´ ec´ edemment.

L’auteur remercie Franz-Viktor Kuhlmann pour les remarques qu’il lui a faites concernant une premi` ere version de ce texte.

1.

Dans ce qui suit nous nous donnons une valuation ν sur un corps K et toutes les valuations ou pseudo-valuations µ de l’anneau des polynˆ omes K[x] que nous consid´ erons sont des prolon- gements de ν. Nous nous donnons aussi un groupe totalement ordonn´ e ˜ Γ, contenant le groupe des ordres Γ

de la valuation ν, et toutes les valuations ou pseudo-valuations µ de K[x] ont leur groupe des ordres Γ

qui est un sous-groupe ordonn´ e de ˜ Γ.

Pour toute valuation µ de K[x] nous pouvons d´ efinir la notion de polynˆ ome-cl´ e φ, et si φ est un polynˆ ome-cl´ e pour µ et si γ est un ´ el´ ement de ˜ Γ v´ erifiant γ > µ(φ), nous pouvons d´ efinir une nouvelle valuation µ

de K[x], appel´ ee valuation augment´ ee associ´ ee au polynˆ ome-cl´ e φ et ` a la valeur γ que nous notons µ

= [µ ; µ

(φ) = γ ], de la mani` ere suivante :

pour tout polynˆ ome f de K [x], nous ´ ecrivons le d´ eveloppement de f selon les puissances de φ, f = g

φ

+ . . . + g

φ + g

, o` u les polynˆ omes g

, 0 ≤ j ≤ m, sont de degr´ e strictement inf´ erieur au degr´ e du polynˆ ome-cl´ e φ, et nous avons :

µ

(f ) = Inf (µ(g

) + jγ ; 0 ≤ j ≤ m) .

Nous pouvons d´ efinir aussi pour tout polynˆ ome unitaire φ de degr´ e un, φ = x − b, et pour

toute valeur γ de ˜ Γ une valuation µ de K[x], que nous appelons encore valuation augment´ ee

associ´ ee au polynˆ ome-cl´ e φ et ` a la valeur γ que nous notons µ = [ν ; µ(φ) = γ ], de la mani` ere

suivante :

tout polynˆ ome f de K[x] s’´ ecrit de mani` ere unique sous la forme f = a

φ

+ . . . + a

φ + a

, avec a

∈ K, et nous posons

µ(f ) = Inf (ν(a

) + jγ ; 0 ≤ j ≤ d) . Dans ce cas cette valuation µ est aussi not´ ee ω

(cf. [A-P 1]).

Nous pouvons d´ efinir la notion de famille de valuations augment´ ees it´ er´ ees comme une famille d´ enombrable µ

i∈I

de valuations de K[x], I = {1, . . . , n} ou I =

, associ´ ee ` a une famille de polynˆ omes φ

i∈I

et ` a une famille γ

i∈I

d’´ el´ ements de ˜ Γ, telle que chaque valuation µ

, i > 1, est une valuation augment´ ee de la forme µ

= [µ

; µ

(φ

) = γ

] et o` u la famille des polynˆ omes- cl´ es φ

v´ erifie les deux propri´ et´ es suivantes : pour tout i > 2 nous avons deg φ

≥ deg φ

et les polynˆ omes φ

et φ

ne sont pas µ

-´ equivalents. Nous renvoyons aux articles [McL 1], [McL 2], et [Va 1], pour les d´ efinitions et les propri´ et´ es des polynˆ omes-cl´ es, des valuations augment´ ees et des familles de valuations augment´ ees it´ er´ ees.

Nous d´ efinissons aussi la notion de famille admissible continue comme une famille C = µ

α∈A

de valuations de K[x], index´ ee par un ensemble totalement ordonn´ e A sans plus grand

´

el´ ement, associ´ ee ` a la famille de polynˆ omes-cl´ es φ

α∈A

et ` a la famille de valeurs γ

α∈A

. Par d´ efinition chaque valuation µ

est une valuation augment´ ee de la forme µ

= [µ ; µ

(φ

) = γ

], o` u µ est une valuation de K[x] donn´ ee, les polynˆ omes-cl´ es φ

sont tous de mˆ eme degr´ e d et les valeurs γ

forment une famille croissante sans plus grand ´ el´ ement dans ˜ Γ.

Nous d´ efinissons l’ensemble Φ ˜ C

= ˜ Φ

µ

α∈A

= {f ∈ K[x] | µ

(f ) < µ

(f ), ∀α < β ∈ A} ,

nous supposons que cet ensemble est non vide, nous appelons d

le degr´ e minimal des polynˆ omes appartenant ` a ˜ Φ C

et nous supposons aussi que nous avons l’in´ egalit´ e d < d

, alors nous d´ efinissons l’ensemble

Φ C

= Φ

µ

α∈A

= {φ ∈ Φ ˜ C

, deg φ = d

et φ unitaire } . Un polynˆ ome φ appartenant ` a Φ C

est appel´ e un polynˆ ome-cl´ e-limite pour la famille C, et pour φ un polynˆ ome-cl´ e limite et γ un ´ el´ ement de ˜ Γ v´ erifiant γ > µ

(φ) pour tout α dans A, , nous pouvons d´ efinir une nouvelle valuation µ

de K[x], appel´ ee valuation augment´ ee limite pour C associ´ ee au polynˆ ome-cl´ e limite φ et ` a la valeur γ que nous notons µ

=

(µ

)

; µ

(φ) = γ , de la mani` ere suivante :

pour tout polynˆ ome f de K [x], nous ´ ecrivons le d´ eveloppement de f selon les puissances de φ, f = g

φ

+ . . . + g

φ + g

, o` u les polynˆ omes g

, 0 ≤ j ≤ m, sont de degr´ e strictement inf´ erieur au degr´ e du polynˆ ome-cl´ e limite φ, et nous posons :

µ

(f ) = Inf (µ

(g

) + jγ ; 0 ≤ j ≤ m) ,

o` u nous posons µ

(g) = Sup(µ

(g); α ∈ A) pour tout g n’appartenant pas ` a ˜ Φ C . Nous renvoyons ` a [Va 1] pour les d´ efinitions pr´ ecises et les propri´ et´ es des polynˆ omes-cl´ es limites et des valuations augment´ ees limites.

Remarque 1.1. Si nous prenons la valeur γ = +∞, la valuation augment´ ee µ = [ν ; µ(φ) = γ]

associ´ ee ` a un polynˆ ome-cl´ e φ ou la valuation augment´ ee limite µ

=

(µ

)

; µ

(φ) = γ

associ´ ee ` a un polynˆ ome-cl´ e limite φ est une pseudo-valuation de l’anneau K[x] dont le noyau est l’id´ eal engendr´ e par le polynˆ ome φ.

D´ efinition. Une famille admissible simple S pour la valuation ν de K est une famille de va- luations µ

i∈I

de K[x] constitu´ ee d’une partie discr` ete D et d’une partie continue C, - la partie discr` ete D = µ

l∈L

est une famille non vide de valuations augment´ ees it´ er´ ees de K[x] telle que la famille de polynˆ omes-cl´ es φ

l∈L

associ´ ee v´ erifie l’in´ egalit´ e stricte deg φ

>

deg φ

.

- la partie continue C = (µ

)

est une famille admissible continue ´ eventuellement vide ; si elle est non vide la famille D est finie, le degr´ e d des polynˆ omes-cl´ e φ

est ´ egal au degr´ e du dernier polynˆ ome-cl´ e φ

de la famille φ

l∈L

associ´ ee ` a D, et pour tout α dans A, la valuation µ

est la valuation augment´ ee µ

= [µ

; µ

(φ

) = γ

].

Si la partie discr` ete D d’une famille admise simple S est constitu´ ee d’une seule valuation µ

, et si la partie continue C est non vide, nous pouvons toujours consid´ erer que la valuation µ

appartient ` a la famille C, nous ´ ecrivons S = C et nous disons alors que la famille simple S est continue.

D´ efinition. Une famille admissible A pour la valuation ν de K est une famille de valuations µ

i∈I

de K[x], obtenue comme r´ eunion de familles admissibles simples A =

j∈J

S

=

j∈J

D

; C

,

o` u J est un ensemble d´ enombrable, J = {1, . . . , N} ou J =

, et nous d´ efinissons J

par J

= {1, . . . , N − 1} si J est fini et par J

= J =

sinon, v´ erifiant :

- pour j appartenant ` a J

, la partie discr` ete D

= µ

l∈L^(j)

est finie, la partie continue C

= (µ

)

est non vide et la premi` ere valuation µ

de la famille simple S

est une valuation augment´ ee limite pour la famille admissible continue C

;

- la premi` ere valuation µ

de la famille est la valuation associ´ ee ` a un polynˆ ome unitaire de degr´ e un, φ

= x − a, et ` a une valeur γ

, µ

= [ν ; µ

(φ

) = γ

] = ω

(a,γ₁⁽¹⁾)

.

Dans la suite, comme la valuation ν de K est fix´ ee nous dirons simplement que A est une famille admissible de valuations de K[x].

Nous pouvons aussi ´ ecrire la famille admissible A comme une famille index´ ee par un ensemble totalement ordonn´ e I ,

A = (µ

)

,

et l’ensemble I peut ˆ etre d´ ecrit de la mani` ere suivante : pour tout j dans J , nous munissons l’ensemble B

= L

t A

de l’ordre total induit par les ordres sur L

et sur A

et d´ efini par l < α pour tout l ∈ L

et tout α ∈ A

; et nous posons

I =

(j, b) | j ∈ J et b ∈ B

,

muni de l’ordre lexicographique. L’ordre sur l’ensemble I peut ˆ etre caract´ eris´ e par la relation

suivante : i < k dans I si et seulement si pour tout polynˆ ome f de K[x] nous avons µ

(f) ≤ µ

(f )

et il existe au moins un polynˆ ome g avec µ

(g) < µ

(g).

La premi` ere valuation µ

de la famille A est obtenue ` a partir de la valuation ν de K grˆ ace

`

a un polynˆ ome φ

unitaire de degr´ e un et ` a une valeur γ

. Nous consid` ererons parfois que la valuation ν = µ

appartient ` a la famille A et par abus de notation nous consid` ererons que 0 est le plus petit ´ el´ ement de l’ensemble I. La valuation µ

est ainsi consid´ er´ ee comme une valuation augment´ ee, d´ efinie par le polynˆ ome φ

.

A toute famille admissible A nous associons la famille des polynˆ omes-cl´ es ou polynˆ omes-cl´ es limites φ

i∈I

, que nous appelons pour simplifier la famille des polynˆ omes-cl´ es, et la famille des valeurs γ

i∈I

.

D´ efinition. Une famille admissible A = (µ

)

est une famille admise si pour tout polynˆ ome f dans K[x] la famille (µ

(f ))

admet un plus grand ´ el´ ement dans le groupe Γ.

D´ efinition. Une famille admissible A = µ

i∈I

de valuations de K[x] est dite compl` ete si l’ensemble I poss` ede un plus grand ´ el´ ement ¯ ι, sinon la famille admissible A est dite ouverte.

Remarque 1.2. Une famille admissible A est compl` ete uniquement dans le cas o` u A est r´ eunion d’un nombre fini de familles simples et o` u la derni` ere famille simple S

est discr` ete finie, S

= µ

, . . . , µ

.

Dans ce cas la famille A est admise et la derni` ere valuation µ

= µ

de la famille peut ˆ etre une pseudo-valuation de K[x].

Remarque 1.3. Si la famille admissible A = (µ

)

est ouverte, elle est admise si pour tout polynˆ ome f il existe i ∈ I tel que µ

(f ) = µ

(f ) pour tout j ≥ i. C’est le cas si la famille A est r´ eunion infinie de familles admissibles simples, ou si la famille A est r´ eunion de N familles admissibles simples A = S

∪ . . .∪S

, telle que la derni` ere famille simple S

est une famille discr` ete infinie, c’est-` a-dire S

= µ

l∈L^(N)

avec L

infini, ou enfin si la famille simple S

est de la forme S

= (µ

)

; (µ

)

, avec Φ (µ ˜

)

= ∅, c’est-` a-dire telle que pour tout f dans K[x] il existe α < β dans A

avec µ

(f ) = µ

(f ).

D´ efinition. La famille admise A = (µ

)

converge vers la valuation ou pseudo-valuation µ de K[x] d´ efinie pour tout polynˆ ome f par

µ(f ) = Sup µ

(f ) ; i ∈ I .

Si l’ensemble I admet un plus grand ´ el´ ement ¯ ι, la limite de la famille est la valuation ou pseudo-valuation µ

, sinon la limite est une valuation d´ efinie par µ(f ) = µ

(f) pour i assez grand dans I .

Nous avons une r´ eciproque au r´ esultat pr´ ec´ edent.

Th´ eor` eme 1.4. (Th´ eor` emes 2.4. et 2.5. de [Va 1]) Soit µ une valuation ou pseudo-valuation de K[x] prolongeant une valuation ν de K, alors il existe une famille admise de valuations de K[x], not´ ee A(µ) et appel´ ee famille admise associ´ ee ` a la valuation µ qui converge vers µ.

Remarque 1.5. La famille admise associ´ ee ` a une valuation µ n’est pas unique, mais est d´ etermin´ ee ` a ´ equivalence pr` es, o` u deux familles admissibles A =

j∈J

S

et A

=

j∈J⁰

S

sont dites ´ equivalentes si J = J

, si les familles discr` etes D

= µ

1≤i≤n

et D

=

µ

1≤i≤n⁰

co¨ıncident jusqu’` a l’avant-derni` ere valuation, c’est-` a-dire quand n = n

et µ

= µ

pour tout i, 1 ≤ i ≤ n − 1, et si les sous-familles continues C

et C

co¨ıncident asymp- totiquement. (cf. Proposition 2.9. de [Va 2])

D´ efinition. Une valuation µ de K[x] est dite bien sp´ ecifi´ ee si la famille admise A(µ) associ´ ee est compl` ete. Dans ce cas la valuation µ est la derni` ere valuation µ

de la famille A(µ) = (µ

)

.

Nous avons le r´ esultat suivant :

Proposition 1.6. (Proposition 1.4 de [Va 3]) Les propositions suivantes sont ´ equivalentes : 1) La valuation µ est bien sp´ ecifi´ ee.

2) La valuation µ n’est pas maximale pour la relation d’ordre ≤.

3) La valuation µ admet un polynˆ ome-cl´ e.

4) La valuation µ peut ˆ etre obtenue comme valuation augment´ ee µ = [µ

; µ(φ) = γ ],

ou comme valuation augment´ ee limite µ =

µ

α∈A

; µ(φ) = γ ].

Si µ est une valuation bien sp´ ecifi´ ee, nous disons que le polynˆ ome φ

apparaissant comme dernier polynˆ ome de la famille φ

i∈I

d´ efinit la valuation ou pseudo-valuation µ. Si µ est obtenue comme valuation augment´ e µ = [µ

; µ(φ) = γ], ou comme valuation augment´ ee limite, µ =

µ

α∈A

; µ(φ) = γ], nous pouvons en particulier choisir φ

= φ.

Soit µ une valuation ou une pseudo-valuation de K[x], alors toute valuation µ

d’une famille admissible associ´ ee ` a µ est une valuation bien sp´ ecifi´ ee, d´ efinie par le polynˆ ome φ

.

Pour toute valuation ou pseudo-valuation µ de K[x], les valuations µ

appartenant ` a une famille admise associ´ ee ` a µ sont d´ efinies de mani` ere essentiellement unique (cf. remarque 1.5), en particulier quand µ est bien sp´ ecifi´ ee, si µ est une valuation augment´ ee, µ = [µ

; µ(φ) = γ], la valuation µ

est d´ efinie de mani` ere unique, et si µ est une valuation augment´ ee limite, µ =

µ

α∈A

; µ(φ) = γ], la famille µ

α∈A

est bien d´ efinie asymptotiquement.

Dans la suite nous noterons alors

µ = [µ

; µ(φ) = γ ],

o` u µ

est la valuation µ

, resp. une famille continue de valuations µ

α∈A

, et o` u φ est un polynˆ ome-cl´ e, resp. un polynˆ ome-cl´ e limite, pour µ

. En g´ en´ eral le polynˆ ome φ n’est pas d´ efini de mani` ere unique, en fait les polynˆ omes φ et ψ d´ efinissent la mˆ eme valuation µ si et seulement si ce sont des polynˆ omes unitaires de mˆ eme degr´ e v´ erifiant µ

(φ − ψ) ≥ γ , o` u nous posons µ

(f ) = µ

(f) = Sup(µ

(f); α ∈ A) dans le cas o` u µ

est la famille µ

α∈A

([Va 2]).

Remarque 1.7. Comme un polynˆ ome-cl´ e est irr´ eductible, dans le cas o` u le corps K ¯ est alg´ ebri quement clos, une valuation bien sp´ ecifi´ ee µ est de la forme

µ = [ν ; µ(φ) = δ],

avec φ(x) = x − a. Cela correspond ` a la valuation associ´ ee ` a la paire minimale (a, δ) not´ ee ω

d´ efinie dans [A-P 1].

2.

Soit µ une valuation sur un corps K de groupe des valeurs Γ

, pour tout sous-anneau A de K et pour tout γ dans ¯ Γ

= Γ

∪ {+∞}, nous d´ efinissons les groupes P

(A) = {x ∈ A | µ(x) ≥ γ}

et P

(A) = {x ∈ A | µ(f ) > γ}, et l’alg` ebre gradu´ ee gr

A associ´ ee ` a la valuation µ par : gr

A =

γ∈Γ¯

P

(A)/P

(A) .

Nous notons H

l’application de A dans gr

A qui ` a tout ´ el´ ement x de A avec µ(x) = γ associe l’image de x dans P

(A)/P

(A), et nous notons ∆

(A) la partie homog` ene de degr´ e 0, ∆

(A) = P

(A)/P

(A).

En particulier pour A = K les groupes P

(K) et P

(K) sont respectivement l’anneau V

de la valuation et son id´ eal maximal, ∆

(K) est ´ egal ` a son corps r´ esiduel κ

et l’alg` ebre gradu´ ee gr

K est simple, i.e. tout ´ el´ ement homog` ene non nul admet un inverse. Plus g´ en´ eralement si K est le corps des fractions de A, l’alg` ebre gradu´ ee gr

K est l’alg` ebre gradu´ ee simple engendr´ ee par gr

A et le corps r´ esiduel κ

est le corps des fractions de l’anneau ∆

(A).

Soit A = µ

i∈I

une famille admissible de valuations, et pour tout i ∈ I nous appelons Γ

le groupe des ordres de la valuation µ

.

Si µ

et µ

sont deux valuations appartenant ` a la mˆ eme sous-famille simple S de la famille A telles que µ

est obtenue comme valuation augment´ ee µ

= [µ

; µ

(φ

) = γ

], nous disons que (µ

, µ

) forment un couple de valuations successives de la famille. Le groupe des ordres Γ

de la valuation µ

est ´ egal ` a Γ

= Γ

⊕

γ

, d’o` u l’´ egalit´ e

[Γ

: Γ

] = τ

o` u τ

est le plus petit entier t > 0 tel que tγ

appartienne ` a Γ

si γ

appartient ` a Γ

⊗

, et o` u τ

est +∞ sinon. Remarquons que la valuation µ

admet un polynˆ ome-cl´ e qui n’est pas µ

-´ equivalent au polynˆ ome φ

si et seulement si la valeur γ

appartient au groupe Γ

⊗

, en particulier si γ

n’appartient pas ` a Γ

⊗

la valuation µ

est la derni` ere valuation de la famille admissible A.

Comme les valuations µ

et µ

v´ erifient µ

(f ) ≤ µ

(f ) pour tout f dans K[x] nous avons une application naturelle g : gr

k

K[x] → gr

l

K[x], et celle-ci induit un isomorphisme G : gr

K[x]/(H

(φ

))

[T ] −−→ gr

K[x] , qui envoie T sur G(T ) = H

(φ

) (cf. [Va 1]).

Rappelons qu’il existe q

et q

dans K[x] v´ erifiant q

q

µ

-´ equivalent ` a 1 et µ

(q

) =

−µ

(q

) = µ

(φ

), et nous posons ϕ

= H

(q

φ

). De plus si γ

appartient ` a Γ

⊗

, il existe p

et p

v´ erifiant p

p

µ

-´ equivalent ` a 1 et µ

(p

) = −µ

(p

) = τ

γ

(cf. [Va 3]). Alors le noyau de la composante de degr´ e 0 de l’application g, g

: ∆

→ ∆

, est l’id´ eal engendr´ e par ϕ

, et nous avons :

- si γ

n’appartient pas ` a Γ

⊗

∆

/(ϕ

)

−−→ ∆

, - si γ

appartient ` a Γ

⊗

∆

/(ϕ

)

[S

] −−→

∆

,

avec S

= H

p

φ

(cf. [Va 1] Remarque 1.5).

Si µ

est la valuation augment´ ee limite d’une famille continue C = µ

α∈A

, associ´ ee au polynˆ ome cl´ e-limite φ

, µ

=

µ

α∈A

; µ

(φ

) = γ

, nous d´ efinissons l’alg` ebre gradu´ ee gr

= gr

K[x]/(H

(φ

)) qui ne d´ epend pas du couple α < β dans A, et l’application naturelle de gr

K[x] dans gr

K[x] induit un isomorphisme d’alg` ebres gradu´ ees :

Q: gr

[T ] −−→

gr

K[x] ,

qui envoie T sur Q(T ) = H

(φ

). Nous appelons ∆

la composante de degr´ e 0 de gr

, cet anneau est isomorphe ` a ∆

/(ϕ

) o` u (µ

, µ

) est un couple de valuations successives de A appartenant ` a C, avec ϕ

= H

q

φ

.

Tous les groupes de valuation Γ

sont ´ egaux et nous notons ce groupe Γ

. Pour tout γ dans Γ

il existe p et p

= p

(γ) dans K[x] v´ erifiant pp

(γ) ∼

µα

1 et µ

(p) = −µ

(p

(γ)) = γ , pour α ∈ A.

De plus si γ

appartient ` a Γ

⊗

et si nous appelons comme pr´ ec´ edemment τ

le plus petit entier t > 0 tel que tγ

appartienne ` a Γ

il existe p et p

dans K[x] tels que pp

soit µ

-´ equivalent

`

a 1 pour α suffisamment grand et tels que µ

(p

) = −τ

γ

(cf. [Va 3] Proposition 2.2).

Alors le morphisme Q induit un isomorphisme en degr´ e 0 : - si γ

n’appartient pas ` a Γ

⊗

Q

: ∆

−−→

∆

, - si γ

appartient ` a Γ

⊗

Q

: ∆

[S] −−→

∆

, qui envoie S sur H

(p

φ

).

Remarque 2.1. Soit µ

une valuation de la famille A, nous notons Γ

le groupe des ordres Γ

de la valuation µ

si µ

est obtenue comme valuation augment´ ee, µ

= [µ

; µ

(φ

) = γ

], ou le groupe des ordres Γ

si la valuation µ

est obtenue comme valuation augment´ ee limite, µ

=

µ

α∈A

; µ

(φ

) = γ

.

Si µ

n’est pas la derni` ere valuation de la famille A, il existe une valuation µ

telle que (µ

, µ

) est un couple de valuations successives, et nous ´ ecrivons le polynˆ ome-cl´ e φ

sous la forme φ

= φ

+ . . . + g

, nous avons r

γ

∈ Γ

, en particulier γ

appartient ` a Γ

⊗

et nous pouvons d´ efinir l’entier s

par r

= τ

s

.

Proposition 2.2. Il existe une famille croissante de corps F

k∈I^∗

, avec F

´ egal au corps r´ esiduel κ

de la valuation ν de K, telle que pour tout couple (µ

, µ

) de valuations successives de A nous avons :

- si γ

appartient ` a Γ

⊗

∆

= F

[S

] , avec S

= H

p

φ

; - si γ

n’appartient pas ` a Γ

⊗

∆

= F

.

De plus si l appartient ` a I

, F

est un extension finie de F

de degr´ e s

, et pour l tel que la valuation µ

appartienne ` a une famille continue C = µ

α∈A

, le corps F

est isomorphe ` a ∆

. En particulier tous les corps F

sont des extensions alg´ ebriques du corps r´ esiduel κ

, et si la famille A est constitu´ ee d’un nombre fini de sous-familles simples, tous les corps F

sont des extensions finies de κ

.

Preuve. La proposition est une g´ en´ eralisation du r´ esultat de MacLane (cf. [McL 1] Theorem 12.1 et [Va 1] Th´ eor` eme 1.12) et se d´ emontre par r´ ecurrence (cf. [Va 3]) .

2

Remarque 2.3. Nous avons montr´ e de plus que si µ

est la premi` ere valuation µ

d’une sous- famille simple S

, et si nous notons F

le corps tel que ∆

soit ´ egal ` a F

[S], alors F

est une extension alg´ ebrique finie de F

de degr´ e s

. En effet nous avons S = H

p

φ

et le corps F

est ´ egal ` a ∆

/(ϕ

) o` u ϕ

= H

(q

φ

) avec φ

= φ

+ . . . + g

.

Proposition 2.4. (Proposition 2.3 de [Va 3]) Soit µ une valuation de l’anneau des polynˆ omes K[x], alors l’alg` ebre gradu´ ee associ´ ee gr

K [x] est de la forme suivante :

i) si la valuation µ n’est pas bien sp´ ecifi´ ee

gr

K[x] = G

,

o` u G

est une alg` ebre gradu´ ee simple, c’est-` a-dire telle que tout ´ el´ ement homog` ene non nul admette un inverse ;

ii) si la valuation µ est bien sp´ ecifi´ ee

gr

K[x] = G

[T ] ,

o` u G

est une alg` ebre gradu´ ee simple et T est l’image H

(φ) du polynˆ ome φ d´ efinissant la valuation µ.

De plus un ´ el´ ement homog` ene ψ de gr

K[x] est irr´ eductible si et seulement si il existe f polynˆ ome-cl´ e pour la valuation µ dans K [x] et ε ´ el´ ement homog` ene inversible de gr

K[x] tels que εψ soit ´ egal ` a l’image H

(f ) de f dans gr

K[x].

Rappelons le r´ esultat suivant qui est ´ enonc´ e sans d´ emonstration dans [Va 3], Remarque 1.1.

Proposition 2.5. La valuation µ de K[x] est bien sp´ ecifi´ ee si et seulement si l’extension (K(x), µ)/(K, ν) de corps valu´ es v´ erifie l’´ egalit´ e d’Abhyankar :

dim.alg.

K(x) = dim.alg.

κ

+ rang.rat.Γ

/Γ

= 1.

Preuve. Rappelons que le corps r´ esiduel κ

est ´ egal au corps des fractions de la partie homog` ene de degr´ e 0, ∆

de l’alg` ebre gradu´ ee gr

K[x].

Dans le cas o` u la valuation µ est obtenue comme valuation augment´ ee, µ = [µ

; µ(φ) = γ], l’alg` ebre gradu´ ee gr

K[x] est de la forme G

[T ] o` u l’alg` ebre simple G

est isomorphe ` a l’alg` ebre quotient gr

[

K[x]/(H

(φ)) et o` u T = H

(φ).

Si γ n’appartient pas ` a Γ

⊗

, la partie homog` ene de degr´ e 0, ∆

, est isomorphe ` a ∆

/(ϕ

), c’est-` a-dire au corps F

, nous en d´ eduisons que le corps r´ esiduel κ

de la valuation µ est isomorphe

`

a F

, par cons´ equent est une extension alg´ ebrique finie du corps r´ esiduel κ

.

Si γ appartient ` a Γ

⊗

ene de degr´ e 0, ∆

, est isomorphe ` a ∆

/(ϕ

)[S], avec S = H

(p

φ

) o` u τ est ´ egal ` a [Γ

: Γ

], et le corps r´ esiduel κ

de la valuation µ est isomorphe

`

a F

(S), par cons´ equent est une extension transcendante de degr´ e 1 du corps r´ esiduel κ

. Dans le cas o` u la valuation µ est obtenue comme valuation augment´ ee limite, µ =

µ

; µ(φ) = γ

, nous avons un r´ esultat analogue.

Si γ n’appartient pas ` a Γ

⊗

ene ∆

est isomorphe ` a ∆

, le corps r´ esiduel κ

de la valuation µ est isomorphe au corps ∆

et est donc une extension alg´ ebrique finie du corps r´ esiduel κ

.

Si γ appartient ` a Γ

⊗

, la partie homog` ene ∆

est isomorphe ` a ∆

[S], avec S = H

(p

φ

) o` u τ est ´ egal ` a [Γ

: Γ

], et le corps r´ esiduel κ

de la valuation µ est isomorphe ` a ∆

(S), par cons´ equent est une extension transcendante de degr´ e 1 du corps r´ esiduel κ

.

Si la valuation µ n’est pas bien sp´ ecifi´ ee, chacune des valuations µ

de la famille admise A associ´ ee ` a la valuation µ a un groupe des ordres Γ

qui est une extension finie du groupe Γ

, donc le groupe Γ

, r´ eunion des groupes Γ

a mˆ eme rang rationnel que le groupe Γ

.

Le corps r´ esiduel κ

est la r´ eunion des corps F

, extensions finies de κ

, donc une extension

alg´ ebrique du corps r´ esiduel κ

.

Remarque 2.6. Nous d´ eduisons de la proposition pr´ ec´ edente que les valuations bien sp´ ecifi´ ees que nous avons d´ efinies correspondent exactement aux valuations transcendantes, “valuation- transcendental”, d´ efinies par F.-V. Kuhlmann au paragraphe 3.1. de [Ku 1].

Nous pouvons aussi d´ eduire de ce qui pr´ ec` ede le r´ esultat suivant, qui r´ epond ` a une question pos´ ee par Nagata (cf. [Na]) et a ´ et´ e r´ esolue par J. Ohm ([Oh]). Rappelons que nous disons qu’une extension de corps l/k est r´ egl´ ee s’il existe k ⊂ k

⊂ l avec l/k

extension transcendante pure de degr´ e 1 et k

/k extension alg´ ebrique finie.

Corollaire 2.7. ( The ruled residue conjecture) Soit (K(x), µ)/(K, ν) une extension de corps valu´ es, alors le corps r´ esiduel κ

est une extension alg´ ebrique ou r´ egl´ ee du corps r´ esiduel κ

.

Le rang rg(µ) de la valuation µ est compris entre rg(ν) et rg(ν) + 1, la valuation µ a le mˆ eme rang que la valuation ν si γ appartient au groupe Γ

⊗

, sinon la valeur γ appartient ` a un groupe totalement ordonn´ e ˜ Γ qui contient Γ

comme sous groupe isol´ e et γ v´ erifie γ > δ pour tout δ dans Γ

.

Dans ce ce dernier cas la valuation µ est essentiellement unique, c’est-` a-dire que si nous nous donnons un polynˆ ome φ qui est polynˆ ome-cl´ e pour une valuation µ

ou polynˆ ome-cl´ e limite pour une famille de valuation µ

α∈A

, la valuation bien sp´ ecifi´ ee µ d´ efinie par le polynˆ ome φ et la valeur γ est ind´ ependante ` a ´ equivalence pr` es de la valeur γ choisie dans ˜ Γ \ Γ

.

De plus le polynˆ ome φ qui d´ efinit une valuation µ de rang rg(µ) = rg(ν) + 1 est unique. En

effet si deux polynˆ omes φ et ψ d´ efinissent la mˆ eme valuation µ comme valuation augment´ ee ou

comme valuation augment´ ee limite avec la valeur γ, nous avons l’in´ egalit´ e µ(ψ − φ) ≥ γ .

Remarque 2.8. Si nous prenons γ = +∞ nous trouvons une pseudo-valuation de K[x] dont

le noyau est ´ egal ` a l’id´ eal engendr´ e par φ. Il y a une bijection entre l’ensemble des valuations

µ de K[x] de rang rg(µ) = rg(ν) + 1 et l’ensemble des pseudo-valuations de K[x] de noyau

non trivial, et l’´ etude des valuations de rang rg(µ) = rg(ν) + 1 d´ efinies par le polynˆ ome φ est

´

equivalente ` a l’´ etude des pseudo-valuations de noyau (φ), c’est-` a-dire ` a l’´ etude des valuations de l’extension L = K[x]/(φ) de K qui prolongent ν.

Proposition 2.9. Soit µ une valuation bien sp´ ecifi´ ee de K[x] d´ efinie par le polynˆ ome φ, et soit gr

K[x] = G

[T ] l’alg` ebre gradu´ ee associ´ ee avec T = H

(φ), alors si ψ est un autre polynˆ ome qui d´ efinit la valuation µ nous avons S = H

(ψ) qui est ´ egal ` a T ou ` a T − h avec h ∈ G

de valuation µ(h) = µ(φ) = µ(ψ).

R´ eciproquement tout g´ en´ erateur homog` ene S de l’alg` ebre gradu´ ee gr

K[x] sur l’alg` ebre simple G

est de la forme S = T − h avec h ∈ G

de degr´ e µ(h) = µ(φ) = µ(ψ), et il existe un polynˆ ome ψ dans K[x] qui d´ efinit la valuation µ avec H

(ψ) = S.

Preuve. Si la valuation µ est obtenue comme valuation augment´ ee µ = [µ

; µ(φ) = γ] c’est une cons´ equence du r´ esultat suivant :

deux valuations augment´ ees µ

et µ

d’une mˆ eme valuation µ d´ efinies respectivement par des polynˆ omes-cl´ es φ

et φ

et des valeurs γ

et γ

sont ´ egales si et seulement si γ

= γ

et si les polynˆ omes φ

et φ

ont mˆ eme degr´ e et v´ erifient µ(φ

− φ

) ≥ γ

(Proposition 1.2. de [Va 2]).

Si la valuation µ est obtenue comme valuation augment´ ee limite µ = µ

α∈A

; µ(φ) = γ]

c’est une cons´ equence du r´ esultat analogue :

deux valuations augment´ ees limites µ

et µ

d’une mˆ eme famille admissible continue C = µ

α∈A

d´ efinies respectivement par des polynˆ omes-cl´ es limites φ

et φ

et des valeurs γ

et γ

sont ´ egales si et seulement si γ

= γ

et si les polynˆ omes φ

et φ

ont mˆ eme degr´ e et v´ erifient

µ

(φ

− φ

) ≥ γ

(Proposition 1.4. de [Va 2]). t u

Nous rappelons aussi le r´ esultat suivant, qui est une cons´ equence de la proposition pr´ ec´ edente, mais qui peut se d´ emontrer aussi directement ` a partir des propositions 1.2 et 1.4 de [Va 2].

Proposition 2.10. Soit µ une valuation bien sp´ ecifi´ ee de K[x] d´ efinie par le polynˆ ome φ, et soit ψ un polynˆ ome unitaire de K[x] v´ erifiant deg ψ = deg φ et µ(ψ) = µ(φ), alors le polynˆ ome ψ d´ efinit la valuation µ.

t u Dans la suite de ce paragraphe nous allons supposer que le corps K est alg´ ebriquement clos, alors pour toute valuation ν de K le corps r´ esiduel κ

est aussi alg´ ebriquement clos et le groupe des valeurs Γ

est divisible. De plus dans le cas o` u K est alg´ ebriquement clos, les ´ el´ ements irr´ eductibles de l’anneau K[x] sont les polynˆ omes de degr´ e 1, nous en d´ eduisons que toute valuation µ de K[x] est d´ efinie enti` erement par les valeurs µ(x − b), pour b ∈ K, et que tout polynˆ ome f de degr´ e plus grand que 2 ne peut pas ˆ etre un polynˆ ome-cl´ e ou un polynˆ ome-cl´ e limite.

Nous rappelons que pour tout corps L, pour trouver la famille admise A associ´ ee ` a une

valuation µ de L[x] le premier pas est de consid´ erer l’ensemble Λ

= {µ(x − b) | b ∈ L}. Si cet

ensemble a un plus grand ´ el´ ement δ nous choisissons un polynˆ ome φ = x − a pour lequel cette

valeur est atteinte et la premi` ere valuation µ

de la famille est la valuation associ´ ee, c’est-` a-dire

la valuation µ

= ω

. Alors soit la valuation µ

est la valuation µ cherch´ ee, soit il existe un

polynˆ ome-cl´ e φ pour la valuation µ

dans L[x] de degr´ e strictement sup´ erieur ` a 1.

Si l’ensemble Λ

n’a pas de plus grand ´ el´ ement nous trouvons un sous-ensemble {δ

; α ∈ A}

cofinal dans Λ

, index´ e par un ensemble totalement ordonn´ e A, sans plus grand ´ el´ ement, avec δ

< δ

pour α < β, et pour tout α ∈ A nous choisissons un polynˆ ome φ

= x − a

v´ erifiant µ(φ

) = δ

. Alors la famille C de valuation d´ efinie par C = ω

α∈A

est une famille continue de valuations de L[x]. Pour tout α < β dans A nous avons ν(a

− a

) = γ

, en particulier la famille (a

)

v´ erifie

ν(a

− a

) > ν(a

− a

)

pour tous τ > σ > ρ dans A, et nous retrouvons la d´ efinition d’Ostrowski de famille pseudo- convergente ([Os], [Ka]). De plus si cette famille admet un polynˆ ome-cl´ e limite celui-ci est de degr´ e strictement sup´ erieur ` a 1.

Nous en d´ eduisons le r´ esultat suivant.

Proposition 2.11. Supposons que le corps K est alg´ ebriquement clos, alors une valuation µ de K[x] est soit une valuation de la forme µ = ω

, soit une une valuation associ´ ee ` a une famille pseudo-convergente.

Preuve. Comme il ne peut pas exister de polynˆ ome-cl´ e ou polynˆ ome-cl´ e limite de degr´ e stric- tement plus grand que 1, soit l’ensemble Λ

= {µ(x − b) | b ∈ K} a un plus grand ´ el´ ement δ, la valuation µ est bien sp´ ecifi´ ee et est de la forme µ = ω

, soit l’ensemble Λ

n’a pas de plus grand ´ el´ ement, la valuation µ n’est pas bien sp´ ecifi´ ee et elle est associ´ ee ` a la famille pseudo-convergente (a

)

.

2

En particulier si la valuation µ n’est pas bien sp´ ecifi´ ee, le corps r´ esiduel κ

de la valuation µ est

´

egal au corps r´ esiduel κ

de la valuation ν et le groupe des ordres Γ

est ´ egal au groupe des ordres Γ

, et nous en d´ eduisons que l’extension de corps valu´ es (K(x), µ)/(K, ν) est imm´ ediate (cf.

[Ka]). Nous ´ etudions dans l’Annexe A le lien entre les r´ esultats de Kaplansky sur les extensions imm´ ediates et la pr´ esentation des extensions de valuations ` a partir des familles admissibles.

Dans le cas o` u le corps K est alg´ ebriquement clos, pour d´ ecrire toutes les valuations de K[x]

prolongeant la valuation ν de K, nous munissons K de la distance ultram´ etrique associ´ ee ` a ν.

Pour tout a ∈ K et tout δ ∈ Γ nous d´ efinissons les boules ferm´ ee B et ouverte B

de centre a et de rayon δ respectivement par

B = B (a, δ) =

c ∈ K / ν(a − c) ≥ δ , B

= B

(a, δ) =

c ∈ K / ν(a − c) > δ .

Comme la distance d´ efinie par la valuation ν est ultram´ etrique tout ´ el´ ement appartenant ` a une boule ouverte ou ferm´ ee est son centre, plus pr´ ecis´ ement si b ∈ B

(a, δ), resp. b ∈ B(a, δ), alors B

(a, δ) = B

(b, δ), resp. B (a, δ) = B(b, δ).

Proposition 2.12. Toute boule ferm´ ee B = B(a, δ) d´ efinit une valuation bien sp´ ecifi´ ee µ de K[x] par µ = ω

, qui ne d´ epend pas du centre a, et toute valuation bien sp´ ecifi´ ee µ est de cette forme.

A toute valuation ` µ qui n’est pas bien sp´ ecifi´ ee, on peut associer une famille d´ ecroissante (B

= B(a

, δ

))

de boules ferm´ ees, o` u A est un ensemble totalement ordonn´ e sans plus grand ´ el´ ement, dont l’intersection

α

B

est vide, telle que la valuation µ est d´ efinie par

µ(x − c) = Sup (ν(c − a

) ; α ∈ A) .