Études de fonctions

Études de fonctions

Études de fonctions

Études de fonctions

1 Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln^€1₁₋^+xx

Š

f(x) =exp(tanx).cosx

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x 1−x>0

⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[

1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0

⇔ x∈]−1,1[

1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[

1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[ 1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[ 1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit.

1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[ 1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit.

1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[ 1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit.

1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[ 1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit.

1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[ 1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit.

1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

É lim

x→1

f(x) =0

On étudieraf sur[0,1]en posant f(1) =0 et on complètera par symétrie par rapport à(0,0)(fonction impaire).

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pourx >0.

Il faut que :

1+x

1−x>0 ⇔ (1+x)(1−x)>0 ⇔ x∈]−1,1[ 1.2 f(−x) = (x²−1)ln^€1−_1+x^xŠ=−f(x)

La fonction est impaire, l’étude sur[0,1[suffit.

1.3 limites aux bornes, calcul de : lim

x→1

f(x)

É f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

É lim

u→0

uln(u) =0 ⇒ lim

x→1

€(x−1)ln(1−x)^Š=0

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

2. La dérivée :

f⁰(x) =2xln(1+x) +

x²−1

1+x −2xln(1−x) +

x²−1 1−x (−1)

=2xln^€1+x 1−x

Š−2

=2xln^€1+x 1−x

Š−1 x

Sur]0,1[,f⁰(x)est donc du signe de g(x) =ln^€1+₁₋^xx

Š−¹x

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

2. La dérivée :

f⁰(x) =2xln(1+x) +

x²−1

1+x −2xln(1−x) +

x²−1 1−x (−1)

=2xln^€1+x 1−x

Š−2

=2xln^€1+x 1−x

Š−1 x

Sur]0,1[,f⁰(x)est donc du signe de g(x) =ln^€1+₁₋^xx

Š−¹x

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

2. La dérivée :

f⁰(x) =2xln(1+x) +

x²−1

1+x −2xln(1−x) +

x²−1 1−x (−1)

=2xln^€1+x 1−x

Š−2

=2xln^€1+x 1−x

Š−1 x

Sur]0,1[,f⁰(x)est donc du signe de g(x) =ln^€1+₁₋^xx

Š−¹x

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

2. La dérivée :

f⁰(x) =2xln(1+x) +

x²−1

1+x −2xln(1−x) +

x²−1 1−x (−1)

=2xln^€1+x 1−x

Š−2

=2xln^€1+x 1−x

Š−1 x

Sur]0,1[,f⁰(x)est donc du signe de g(x) =ln^€1+₁₋^xx

Š−¹x

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

f(x) = (x+1)(x−1)ln(1+x)−(x+1)(x−1)ln(1−x)

2. La dérivée :

f⁰(x) =2xln(1+x) +

x²−1

1+x −2xln(1−x) +

x²−1 1−x (−1)

=2xln^€1+x 1−x

Š−2

=2xln^€1+x 1−x

Š−1 x

Sur]0,1[,f⁰(x)est donc du signe de g(x) =ln^€1+₁₋x^x

Š−¹x

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

Étude du signe de : g(x) =ln^€1+x

1−x

Š−1 x

=ln(1+x)−ln(1−x)− 1 x

g⁰(x) = 1

1+x+ 1

1−x+ 1 x²

= 1+x² x²(1−x²)

g est donc strictement croissante sur]0,1[. lim

x→0⁺

g(x) =−∞ et lim

x→1⁻

g(x) = +∞

⇒ ∃x

0∈]0,1[ : g(x

0) =0

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

Étude du signe de : g(x) =ln^€1+x

1−x

Š−1

x =ln(1+x)−ln(1−x)− 1 x

g⁰(x) = 1

1+x+ 1

1−x+ 1 x²

= 1+x² x²(1−x²)

g est donc strictement croissante sur]0,1[. lim

x→0⁺

g(x) =−∞ et lim

x→1⁻

g(x) = +∞

⇒ ∃x

0∈]0,1[ : g(x

0) =0

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

Étude du signe de : g(x) =ln^€1+x

1−x

Š−1

x =ln(1+x)−ln(1−x)− 1 x

g⁰(x) = 1

1+x+ 1

1−x+ 1 x²

= 1+x² x²(1−x²)

g est donc strictement croissante sur]0,1[. lim

x→0⁺

g(x) =−∞ et lim

x→1⁻

g(x) = +∞

⇒ ∃x

0∈]0,1[ : g(x

0) =0

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

Étude du signe de : g(x) =ln^€1+x

1−x

Š−1

x =ln(1+x)−ln(1−x)− 1 x

g⁰(x) = 1

1+x+ 1

1−x+ 1 x²

= 1+x² x²(1−x²)

g est donc strictement croissante sur]0,1[.

lim

x→0⁺

g(x) =−∞ et lim

x→1⁻

g(x) = +∞

⇒ ∃x

0∈]0,1[ : g(x

0) =0

Études de fonctions f(x) = (x²−1)ln€_1+x 1−x

Š

f

(

) = (

1 ) ln

Š

Étude du signe de : g(x) =ln^€1+x

1−x

Š−1

x =ln(1+x)−ln(1−x)− 1 x

g⁰(x) = 1

1+x+ 1

1−x+ 1 x²

= 1+x² x²(1−x²)

g est donc strictement croissante sur]0,1[.

⇒ ∃x

0∈]0,1[ : g(x

0) =0