Préparation concours Sciences-Po

Lycée Fénelon Sainte-Marie

Préparation concours Sciences-Po

Examen blanc de Mathématiques

Mai 2012

Durée : 4 heures Tout document interdit.

La calculatrice type « lycée » est autorisée.

Toute réponse doit être soigneusement justifiée, la précision et la qualité de la rédaction entrant pour une part importante dans l’évaluation.

La sujet comporte deux problèmes indépendants qui peuvent être traités dans l’ordre de votre choix.

CORRIGE DU 1

^er

PROBLEME

1 ^er Problème : étude d’une famille de fonctions

1

^ère

partie

Etude d’une première famille de fonctions

Etude de la famille de fonctions définie par :

: ^x

gm x e −mx où m est un réel non nul.

On note

C

_m la courbe représentative de la fonction g_m dans un repère orthogonal.

1. La fonction exponentielle est définie sur et la fonction x −mx est également définie sur en tant que fonction linéaire. On en déduit ainsi que la fonction g_m est définie sur

comme somme de deux fonctions définies sur cet ensemble.

m =

D

2. On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = . Puis :

• Si m<0, ^lim

( )

x mx

→−∞ − = −∞ et (somme) : x^lim gm

( )

x

→−∞ = −∞.

• Si m>0, ^lim

( )

x mx

→−∞ − = +∞ et (somme) : x^lim gm

( )

x

→−∞ = +∞.

Dans les deux cas, on a : ^lim m

( ) ( )

^{lim x 0}

x g x mx x e

→−∞⎡⎣ − − ⎤⎦= →−∞ = .

On en déduit immédiatement que la courbe représentative

C

_m de la fonction g_m admet en

−∞ une asymptote oblique d’équation y= −mx.

Comme, pour tout x réel, on a : gm

( ) (

x − −mx

)

=e^x >⁰, on en conclut que la courbe est située au-dessus de son asymptote.

Pour tout x réel, on a : m

( )

^{x x 1} x

g x e mx e m x

e

⎛ ⎞

= − = ⎜⎝ − ⎟⎠. Comme lim _x 0

x

x

→+∞e = (croissance comparée), il vient lim 1 _x 1

x

m x

→+∞ e

⎛ − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Comme lim ^x

x e

→+∞ = +∞, on en déduit (produit) : x^{lim x 1} x x^lim m

( )

e m x g x

→+∞ e →+∞

⎡ ⎛⎜ − ⎞⎟⎤= = +∞

⎢ ⎝ ⎠⎥

⎣ ⎦ .

Si m<0, ^lim m

( )

x g x

→−∞ = −∞ et si m>0 ^lim m

( )

x g x

→−∞ = +∞.

La courbe représentative

C

_m de la fonction g_m admet en −∞ une asymptote oblique d’équation y= −mx et est située au-dessus.

( )

lim _m

x g x

→+∞ = +∞

3. La fonction exponentielle est dérivable sur . La fonction x −mx est dérivable sur en tant que fonction linéaire. La fonction g_m est donc dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout x réel, on a :

( )

' ^x

gm x = −e m

Si m<0, on a, la fonction exponentielle prenant des valeurs strictement positives sur :

( )

, _m' ^x 0

x g x e m m

∀ ∈ = − > − >

Dans ce cas, la fonction g_m est strictement croissante sur . Si m>0, on a, pour tout x réel : gm^'

( )

x =e^x− =m e^x−e^lnm. On en déduit immédiatement :

• gm^'

( )

x = ⇔ =⁰ x ^lnm.

• gm^'

( )

x > ⇔ >⁰ x ^lnm.

• gm^'

( )

x < ⇔ <⁰ x ^lnm.

Dans ce cas, la fonction g_m est strictement décroissante sur l’intervalle

]

^{−∞; lnm}

]

^et

strictement croissante sur l’intervalle

[

^{lnm;+ ∞}

[

. Elle admet donc un minimum en lnm et on a : gm

(

^lnm

)

=e^lnm−m^lnm= −m m^lnm=m

(

^{1 ln}− m

)

.

Si m<0, la fonction g_m est strictement croissante sur .

Si m>0, la fonction g_m est strictement décroissante sur l’intervalle

]

^{−∞; lnm}

]

^et

strictement croissante sur l’intervalle

[

^{lnm;+ ∞}

[

^.

4. Les éléments précédents nous permette de dresser le tableau de variation de la fonction gm. On doit distinguer deux cas selon que m est strictement négatif ou strictement positif.

Si m<0

Si m>0

5. Au regard des variations de la fonction g_m obtenues précédemment, nous allons, ici encore, distinguer deux situations principales.

Si m<0

La fonction g_m est continue sur puisqu’elle y est dérivable.

Elle y est strictement croissante.

On a : x^lim gm

( )

x

→−∞ = −∞ et x^lim gm

( )

x

→+∞ = +∞.

x    

 

 

+

x    

   

+

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors d’affirmer que la fonction g_m prend une fois et une seule toutes les valeurs de l’intervalle

( ) ( ) ] [

lim _m ; lim _m ;

x g x x g x

→−∞ →+∞

⎤ ⎡ = −∞ + ∞

⎦ ⎣ (en d’autres termes, cette fonction définit une

bijection de dans ).

On en déduit que l’équation gm

( )

x =⁰ admet une unique solution α.

Comme la fonction g_m est strictement croissante sur , il vient immédiatement :

• Si x<α alors gm

( )

x <gm

( )

α =⁰.

• gm

( )

α =⁰.

• Si x>α alors gm

( )

x >gm

( )

α =⁰.

Remarque : comme m<0, on a : m

( )

^{0 0 0}

g e m e

m

α α

α = ⇔ − α= ⇔ =α ⇒ <α . Le réel α est strictement négatif.

Si m>0

On a vu que dans ce cas la fonction g_m admettait un minimum en x=lnm et que la valeur de ce minimum était : gm

(

^lnm

)

=m

(

^{1 ln}− m

)

. On va donc de voir discuter à nouveau selon le signe de ^m

(

^{1 ln− m}

)

qui est celui de 1 ln− m puisque m est strictement positif.

On a 1 ln− m= ⇔0 lnm= ⇔ =1 m e et 1 ln− m> ⇔0 lnm< ⇔ <1 m e. D’où la discussion :

• Si ^m∈

] [

^{0 ;e , on a 1 ln− m>0} et la fonction g_m prend des valeurs strictement positives.

• Si m=e, la valeur minimale prise par la fonction g_m (en lnm=lne=1) est égale à 0. Ainsi, on a : ge

( )

¹ =⁰ et pour tout réel x de

]

^−∞;e

[ ]

^{∪ e;+ ∞}

[

^{, on a :}

( )

⁰

gm x > .

• Si m>e, on a 1 ln− m<0.

Sur l’intervalle

]

^{−∞; lnm}

]

, la fonction g_m est continue et strictement décroissante. En outre, on a : x^limgm

( )

x

→−∞ = +∞ et gm

(

^lnm

)

=m

(

^{1 ln}− m

)

<⁰. Ainsi, la fonction g_m prend une fois et une seule toutes les valeurs de l’intervalle

(

^{1 ln}

)

^;

m − m + ∞

⎡ ⎡

⎣ ⎣. En particulier, il existe une unique valeur α₁ dans l’intervalle

]

^{−∞; lnm}

]

, solution de l’équation gm

( )

x =⁰.

La décroissance stricte de g_m permet alors de conclure : o Si x∈ −∞

]

;α1

[

, gm

( )

x >⁰.

o g_m

( )

α1 =0.

o Si x∈

]

α1; lnm

]

, gm

( )

x <⁰.

Sur l’intervalle

[

^{lnm;+ ∞}

[

, la fonction g_m est continue et strictement croissante.

En outre, on a : x^limgm

( )

x

→+∞ = +∞ et gm

(

^lnm

)

=m

(

^{1 ln}− m

)

<⁰.

Ainsi, la fonction g_m prend une fois et une seule toutes les valeurs de l’intervalle

(

^{1 ln}

)

^;

m − m + ∞

⎡ ⎡

⎣ ⎣. En particulier, il existe une unique valeur α₂ dans l’intervalle

[

^{lnm;+ ∞}

[

, solution de l’équation gm

( )

x =⁰. La croissance stricte de g_m permet alors de conclure :

o Si x∈

[

lnm;α2

[

, gm

( )

x <⁰. o g_m

( )

α2 =0.

o Si x∈

]

α2;+ ∞

[

, gm

( )

x >⁰. En définitive :

o Si x∈ −∞

]

;α1

[ ]

∪ α2;+ ∞

[

, gm

( )

x >⁰. o Si x∈

{

α α1, 2

}

, gm

( )

x =⁰.

o x∈

]

α α1; 2

[

, gm

( )

x <⁰.

Remarque : comme gm

( )

⁰ =¹et gm

( )

¹ = − <e m ⁰, on peut affirmer que le réel α₁ appartient à l’intervalle

] [

^{0 ; 1} . Par ailleurs, on peut facilement montrer qu’on a (dans la situation qui nous intéresse ici : m>e) : gm

(

^{2 ln}m

)

>⁰. On en déduit ainsi que la réel α₂ appartient à l’intervalle

]

^{lnm; 2 lnm}

[

^.

Finalement :

• Si m<0, il existe un réel α strictement négatif tel que : o Si x<α alors gm

( )

x <⁰.

o gm

( )

α =⁰.

o Si x>α alors gm

( )

x >⁰.

• Si ^m∈

] [

^{0 ;e , on a :} ∀ ∈x ^,gm

( )

x >⁰.

• Si m=e, on a : ge

( )

¹ =⁰ et pour tout réel x de

]

^−∞;e

[ ]

^{∪ e;+ ∞}

[

^{, on a :}

( )

⁰

gm x > .

• Si m>e, il existe un réel α₁ dans l’intervalle

] [

^{0 ; 1} et un réel α₂ dans l’intervalle

]

^{lnm; 2 lnm}

[

tels que :

o Si x∈ −∞

]

;α1

[ ]

∪ α2;+ ∞

[

, gm

( )

x >⁰. o Si x∈

{

α α1, 2

}

, gm

( )

x =⁰.

o x∈

]

α α1; 2

[

, gm

( )

x <⁰.

6. La discussion menée précédemment nous conduit à envisager un certain nombre de valeurs pour le réel m. Nous avons retenu ici les valeurs suivantes : 2− , 1− , 1, e, 2 et 4.

2

^ème

partie

Etude des fonctions f

_m

1. Pour m réel non nul, la fonction f_m est définie par :

( ) ( )

x x

m x

m

e e

f x

e mx g x

= =

−

La fonction exponentielle et la fonction g_m étant définies sur , on en déduit immédiatement que fm

( )

x existe si, et seulement si gm

( )

x est non nul.

En utilisant le résultat de la question 5 de la 1^ère partie, on peut directement conclure :

• Si m<0, il existe un unique réel α, strictement négatif, tel que gm

( )

α =⁰ et on a : ^Dm = −

{ }

α .

• Si ^m∈

] [

^{0 ;e , on a :} ∀ ∈x ^,gm

( )

x >⁰ et D_m = .

• Si m=e, on a : ge

( )

x =⁰ si, et seulement si, x=1 et ^Dm= −

{ }

¹ .

• Si m>e, on a : gm

( )

x =⁰ si, et seulement si, x=α₁ ou x=α₂ et

{

1 2

}

D_m = − α α; .

2. Si m<0

Il existe un réel α, strictement négatif, tel que gm

( )

α =⁰ et on a : ^Dm = −

{ }

α .

On doit donc étudier les limites de la fonction f_m en −∞, en α à gauche, en α à droite et en +∞.

On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = et ^lim m

( )

x g x

→−∞ = −∞. On en déduit (rapport) : ^lim m

( )

⁰

x f x

→−∞ = .

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet ainsi en −∞ une asymptote horizontale d’équation y=0 (axe des abscisses).

Pour tout réel x, on a e^x >0. Le signe de

( )

⁰

( ) ( )

x

m m

m

f x f x e

g x

− = = est donc celui de

( )

gm x . D’après la question 5 de la première partie, il vient :

• Si x<α, on a gm

( )

x <⁰ et donc fm

( )

x − <^{0 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

• Si x>α, on a gm

( )

x >⁰ et donc fm

( )

x − >^{0 0} : la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

On a : lim ^x 0

x e e^α

α

→ = > . Comme gm

( )

x <⁰ pour tout x réel strictement inférieur à α, il vient : ^lim m

( )

⁰

x x

g x

αα

−

→<

= . On en déduit (rapport) : ^lim m

( )

x x

f x

αα

→<

= −∞.

Comme gm

( )

x >⁰ pour tout x réel strictement inférieur à α, il vient : ^lim m

( )

⁰

x x

g x

αα

+

→>

= . On en déduit (rapport) : ^limx m

( )

x

f x

αα

→>

= +∞.

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet une asymptote verticale d’équation x=α.

Pour tout réel x dans ^Dm = −

{ }

α , on a :

( )

¹

1

x

m x

x

f x e

e mx m x e

= =

− −

.

Comme lim _x 0

x

x

→+∞e = (croissance comparée), on a immédiatement : x^lim fm

( )

x ¹

→+∞ = .

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet ainsi en +∞ une asymptote horizontale d’équation y=1.

On a, par ailleurs :

( )

^{1 1}

( )

x x x

m x x

m

e e e mx mx

f x

e mx e mx g x

− = − = − + =

− − .

D’après la question 5 de la première partie, il vient alors :

• Si x<α, on a gm

( )

x <⁰ et mx>0. Donc fm

( )

x − <^{1 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

• Si ^x∈

]

^{α; 0}

[

^{, on a} gm

( )

x >⁰ et mx>0. Donc fm

( )

x − >^{1 0} : la courbe Cm est située au-dessus de l’asymptote.

• Si x=0, fm

( )

x − =^{1 0} : la courbe Cm coupe l’asymptote.

• Si x>0, on a gm

( )

x >⁰ et mx<0. Donc fm

( )

x − <^{1 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

Bien que ce ne soit pas demandé, nous fournissons ci-dessous la courbe représentative des fonctions f₋₁ (pour laquelle α −0, 567 14) et f₋₂ (pour laquelle α −0, 351 73).

Si ^m∈

] [

^{0 ;e}

Le domaine de définition de la fonction f_m est .

On doit donc étudier les limites de la fonction f_m en −∞ et en +∞. Rappelons que dans ce cas, pour tout x réel, on a : gm

( )

x >⁰. On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = et x^limgm

( )

x

→−∞ = +∞. On en déduit (rapport) : x^lim fm

( )

x ⁰

→−∞ = .

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet ainsi en −∞ une asymptote horizontale d’équation y=0 (axe des abscisses).

Pour tout réel x, on a e^x >0 et gm

( )

x >⁰. La différence

( )

⁰

( ) ( )

x

m m

m

f x f x e

g x

− = = est

donc strictement positive et la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

On a encore : ^lim m

( )

¹

x f x

→+∞ = et la courbe représentative Cm de la fonction f_m admet en +∞ une asymptote horizontale d’équation y=1.

On a, par ailleurs : ^m

( )

¹ m

( )

f x mx

g x

− = est du signe de x puisque pour tout x réel, on a :

( )

⁰

m

m

g x > . D’où :

• Si x<0, on a fm

( )

x − <^{1 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

• Si x=0, fm

( )

x − =^{1 0} : la courbe Cm coupe l’asymptote.

• Si x>0, on a fm

( )

x − >^{1 0} : la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

Si m=e

On a : ^De = −

{ }

¹ .

On doit donc étudier les limites de la fonction f_e en −∞, en 1 à gauche, en 1 à droite et en +∞.

Rappelons que dans ce cas, pour tout x réel différent de 1, on a : ge

( )

x >⁰. On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = et ^lim e

( )

x g x

→−∞ = +∞. On en déduit (rapport) : ^lim e

( )

⁰

x f x

→−∞ = .

La courbe représentative Ce de la fonction f_e admet ainsi en −∞ une asymptote horizontale d’équation y=0 (axe des abscisses).

Pour tout réel x, on a e^x >0 et ge

( )

x >⁰. La différence

( )

⁰

( ) ( )

x

e e

e

f x f x e

g x

− = = est

donc strictement positive et la courbe Ce est située au-dessus l’asymptote.

On a : ¹

1

lim ^x 0

x e e

→ = > . Comme gm

( )

x >⁰ pour tout x réel différent de 1, il vient :

1

( )

1

lim _e 0

x x

g x ⁺

→<

= . On en déduit (rapport) :

( )

1 1

lim _e

x x

f x

→<

= +∞.

On raisonne de façon similaire à droite de 1 pour obtenir le même résultat :

1

( )

1

lim _e

x x

f x

→>

= +∞.

La courbe représentative Ce de la fonction f_e admet une asymptote verticale d’équation 1

x= .

On a encore : ^lim e

( )

¹

x f x

→+∞ = et la courbe représentative Ce de la fonction f_e admet en +∞

une asymptote horizontale d’équation y=1. On a, par ailleurs : ^e

( )

¹ e

( )

f x ex

g x

− = est du signe de x puisque pour tout x réel, on a :

( )

⁰

e

e

g x > . D’où, comme précédemment :

• Si x<0, la courbe Ce est située sous l’asymptote.

• Si x=0, la courbe Ce coupe l’asymptote.

• Si x>0, la courbe Ce est située au-dessus l’asymptote.

A la page suivante, nous avons fourni la courbe représentative de la fonction f_e.

Si m>e

On a D_m= −

{

α α1; 2

}

.

On doit donc étudier les limites de la fonction f_m en −∞, en α₁ à gauche, en α₁ à droite, en α₂ à gauche, en α₂ à droite et en +∞.

On a : lim ^x 0

x e ⁺

→−∞ = et ^lim m

( )

x g x

→−∞ = +∞. On en déduit (rapport) : ^lim m

( )

⁰

x f x

→−∞ = .

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet ainsi en −∞ une asymptote horizontale d’équation y=0 (axe des abscisses).

Comme la fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives, la différence

( )

⁰

( ) ( )

x

m m

m

f x f x e

g x

− = = est du signe de gm

( )

x :

• Si x∈ −∞

]

;α1

[ ]

∪ α2;+ ∞

[

, on a gm

( )

x >⁰ et la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

• Si x∈

]

α α1; 2

[

, on a gm

( )

x <⁰ et la courbe Cm est située en dessous de l’asymptote.

On a : ¹

1

lim ^x 0

x e e^α

α

→ = > . Comme gm

( )

x >⁰ pour tout x réel strictement inférieur à α₁, il vient :

( )

1 1

lim _m 0

x x

g x

αα

+

→<

= . On en déduit (rapport) :

( )

1 1

lim _m

x x

f x

αα

→<

= +∞. Comme gm

( )

x <⁰ pour tout x réel dans

]

α α1; 2

[

, il vient :

( )

1 1

lim _m 0

x x

g x

αα

−

→>

= . On en déduit (rapport) :

( )

1 1

lim _m

x x

f x

αα

→>

= −∞.

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet une asymptote verticale d’équation x=α1.

Comme gm

( )

x <⁰ pour tout x réel dans

]

α α1; 2

[

, il vient :

( )

2 2

lim _m 0

x x

g x

αα

−

→<

= . On en déduit (rapport) :

( )

2 2

lim _m

x x

f x

αα

→<

= −∞.

Comme gm

( )

x >⁰ pour tout x réel strictement supérieur à α₂, il vient :

( )

2 2

lim _m 0

x x

g x

αα

+

→>

= . On en déduit (rapport) :

( )

2 2

lim _m

x x

f x

αα

→>

= +∞.

La courbe représentative Cm de la fonction f_m admet une asymptote verticale d’équation x=α2.

On a encore : ^lim m

( )

¹

x f x

→+∞ = et la courbe représentative Cm de la fonction f_m admet en +∞ une asymptote horizontale d’équation y=1.

On a, par ailleurs : ^m

( )

¹ m

( )

f x mx

g x

− = est du signe de x puisque pour tout x réel, on a :

( )

⁰

m

m

g x > . D’où :

• Si x<0, on a fm

( )

x − <^{1 0} : la courbe Cm est située sous l’asymptote.

• Si x=0, fm

( )

x − =^{1 0} : la courbe Cm coupe l’asymptote.

• Si x∈ ^*₊−

{

α α1, 2

}

, on a fm

( )

x − >^{1 0} : la courbe Cm est située au-dessus l’asymptote.

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f₃ (pour laquelle α₁ 0, 619 06 et α₂ 1,512 13) et f₄ (pour laquelle

1 0, 357 40

α et α₂ 2,153 29).

On constate, en définitive, que toutes les courbes Cm admettent pour asymptote la droite d’équation y=1.

3. Soit m réel non nul. La fonction f_m est le rapport de deux fonctions dérivables sur : la fonction exponentielle et la fonction g_m. Pour tout réel x tel que gm

( )

x ≠⁰, c'est-à-dire pour tout réel x de Dm, on a alors :

( ) ( ) ( )

( ( ) )

( ) ( )

( ( ) )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

' '

'

1

x x

m m

m

m

m m

x m

x x

x x

x x

e g x e g x

f x

g x

g x g x

e

g x

e mx e m

e

e mx

m x

e

e mx

× − ×

=

= −

− − −

= −

= −

−

On a bien :

( ) ( )

( )

²

D , ' 1

x

m m

x

e x

x f x m

e mx

∀ ∈ = −

−

4. Pour tout réel x de Dm, on a :

( )

^{2 0}

x x

e e mx

− > . Le signe de fm^'

( )

x est donc celui du

produit ^m

(

^1−x

)

^.

Si m<0

On a ^Dm= −

{ }

α avec α<0. On a immédiatement :

• Pour tout réel x de

]

^−∞;α

[ ] [

^{∪ α; 1 on a 1− >x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^<0. Il vient alors : fm^'

( )

x <⁰.

• Pour x=1, fm^'

( )

x =⁰.

• Pour tout réel x de

]

^{1;+ ∞}

[

^{on a 1− <x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^>0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x > . Dans ce cas :

• La fonction f_m est strictement décroissante sur les intervalles

]

^−∞;α

[

^et

] ]

^{α; 1 .}

• La fonction f_m est strictement croissante sur l’intervalle

[

^{1;+ ∞}

[

^.

La fonction f_m admet donc un minimum pour x=1 et

( )

¹ ₁ ¹

m 1

e e

f =e m = e m

− × − . Si ^m∈

] [

^{0 ;e}

On a D_m = .

Il vient immédiatement :

• Pour tout réel x de

]

^{−∞; 1}

[

^{on a 1− >x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^>0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x > .

• Pour x=1, fm^'

( )

x =⁰.

• Pour tout réel x de

]

^{1;+ ∞}

[

^{on a 1− <x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^<0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x < .

Dans ce cas :

• La fonction f_m est strictement croissante sur l’intervalle

]

^{−∞; 1}

]

^.

• La fonction f_m est strictement décroissante sur l’intervalle

[

^{1;+ ∞}

[

^.

La fonction admet donc un maximum pour x=1 et m

( )

¹

f e

= e m

− . Si m=e

On a ^De = −

{ }

¹ . On a immédiatement :

• Pour tout réel x de

]

^{−∞; 1}

[

^{on a 1− >x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^>0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x > .

• Pour tout réel x de

]

^{1;+ ∞}

[

^{on a 1− <x 0 et donc m}

(

^1−x

)

^<0. Il vient alors :

( )

' 0

fm x < . Dans ce cas :

• La fonction f_m est strictement croissante sur l’intervalle

]

^{−∞; 1}

[

^.

• La fonction f_m est strictement décroissante sur l’intervalle

]

^{1;+ ∞}

[

^.

Si m>e

On a D_m= −

{

α α1; 2

}

avec α1∈

] [

0 ; 1 et α2∈

]

lnm; 2 lnm

[

. On a immédiatement :

• Pour tout réel x de

]

−∞;α1

[ ]

∪ α1; 1

[

on a 1− >x 0 et donc ^m

(

^1−x

)

^>0. Il vient alors : fm^'

( )

x >⁰.

• Pour x=1, fm^'

( )

x =⁰.

• Pour tout réel x de

]

1;α2

[ ]

∪ α2;+ ∞

[

on a 1− <x 0 et donc ^m

(

^1−x

)

^<0. Il vient alors : fm^'

( )

x <⁰.

Dans ce cas :

• La fonction f_m est strictement croissante sur les intervalles

]

−∞;α1

[

et

]

α1; 1

]

.

• La fonction f_m est strictement décroissante sur les intervalles

[

1;α2

[

et

]

α2;+ ∞

[

.

La fonction admet donc un maximum pour x=1 et m

( )

¹

f e

= e m

− .

Ainsi, pour tout réel m non nul différent de e, la fonction f_m admet un extremum :

• Si m<0, la fonction f_m admet un minimum pour x=1 et on a m

( )

¹

f e

= e m

− .

• Si ^m∈

] [ ]

^{0 ;e ∪ e;+ ∞}

[

, la fonction f_m admet un maximum pour x=1 et on a

( )

¹

m

f e

=e m

− .

Tous les extrema sont donc situés sur la droite d’équation x=1.

Soit maintenant ^{M 1 ;}

(

^y

)

. Existe-t-il une valeur de m telle que M soit un extremum de la courbe Cm ?

Il faudrait avoir : m

( )

¹

y f e

= =e m

− . Soit :

(

^y−1

)

^e=my.

On élimine la valeur y=1 car elle conduirait à m=0. Ensuite, pour y≠0, il vient :

(

¹

)

1

y e 1

m e

y y

− ⎛ ⎞

= = ⎜ − ⎟

⎝ ⎠. On en conclut :

Tout point de la droite d’équation x=1 hormis les points

( )

^{1; 0 et}

( )

^{1; 1}

est un extremum d’une courbe Cm.

5. Si m<0

x    

   

1

 

 

Si ^m∈

] [

^{0 ;e}

Si m=e

Si m>e

x    

1 1

0

x    

1 1

0

   

x    

1 1

0

   

  0

 

 

6. On cherche un point ^M

(

^{a b;}

)

tel que pour tout m non nul M appartienne à Cm. On a alors :

( )

( )

( )

( )

*, M ; C

*, *,

0

*, *

* 0

* 0 0

1 0

1 0

0 1

m

a

m a

a a

a a a

a a

a

m a b

m b f a m b e

e ma e ma

m b e m

e ma b e ma e

m e ma

e ma

m ab

mab b e

b a

b

∀ ∈ ∈

⇔ ∀ ∈ = ⇔ ∀ ∈ =

−

⎧ − ≠

⇔ ∀ ∈ = − ⇔ ∀ ∈ ⎪⎨⎪⎩ − =

⎧∀ ∈ − ≠

⎧ − ≠ ⎪

⇔ ∀ ∈ ⎪⎨⎪⎩ + − = ⇔⎨⎪⎩ − ==

⎧ =

⇔ ⎨⎩ =

Toutes les courbes Cm passent par le point ^{A 0 ; 1}

( )

^.

7. Nous avons représenté ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f_m pour les six valeurs de m suivantes : 2− , 1− , 1, 2, e et 5.