) définie sur [0; +∞[ par : f

Terminale S Devoir maison n˚6 _2016-2017

A rendre le mardi 15 novembre 2016

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EXERCICE 1 Pour tout entier n > 1, on considère la suite de fonctions (f

) définie sur [0; +∞[ par : f

(x) = 1

1 + x

On note C

la courbe représentative de f

.

1. (a) Déterminer, pour n > 1, les variations de f

.

(b) Démontrer que les courbes C

passent toutes par deux points fixes que l’on déterminera.

(c) Soient deux entiers n et m non nuls avec n < m. Comparer f

(x) et f

(x) selon les valeurs de x. En déduire les positions relatives de C

et de C

.

2. (a) On a représenté ci-dessous les courbes C

, C

, C

, C

et C

.

1

1 2 3 x

y

C

C

C

C

C

O

Conjecturer, selon la valeur du réel x > 0, la limite de f

(x) lorsque n tend vers +∞.

(b) Démontrer la conjecture émise à la question précédente.

3. Pour tout réel x > 0, on note f (x) = lim

n→+∞

f

(x). On définit ainsi une fonction sur [0; +∞[.

(a) Expliciter la fonction f .

(b) La fonction f est-elle continue sur [0; +∞[ ?

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EXERCICE 2 Démontrer la propriété suivante :

" Tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle".

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EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x

− 12x.

1. Étudier les variations de la fonction f et déterminer les valeurs de x où f (x) s’annule.

2. On considère la fonction g définie sur R par : g(x) = |f (x)|.

(a) Conjecturer à l’aide de votre calculatrice ou de Géogebra, le nombre de solutions de l’équation f (x) = k, en fonction des valeurs de k.

(b) A partir des variations de la fonction, f , dresser le tableau de variation de g.

(c) Démontrer que l’équation g(x) = 1 admet six solutions dont on donnera une valeur approchée à 0, 1 près.

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