f est définie sur [0 [ par f(x) 1,25e 1,25x

CORRECTION DES EXERCICES PENDANT LE COURS DU LUNDI 30 MARS

Exercice 5 page 386

X suit une loi exponentielle de paramètre donc X suit la loi de densité f où f est la fonction définie sur [0 [ par f(x) e ^x.

1.

a. f(0) e ⁰ . Or, graphi quement, on lit que f(0) 1,25. Alors 1,25.

b. f est définie sur [0 [ par f(x) 1,25e ^1,25x. 2.

a. L ai re sous l a courbe de f sur [0 1] est 

0

1f(x)dx.



0

1f(x)dx 

0

11,25e^{( 1,25x)dx}



 e ^1,25x

0 1

e ^1,25 e⁰ 1 e ^1,25

C est la probabilité que X soit compris entre 0 et 1, ou encore la probabilité que X soit inférieur à 1 : P(0 X 1) P(0 X 1) P(0 X 1) P(0 X 1) P(X 1) P(X 1) 1 e ^1,25 b. Pour cal cul er P(X 2), on passe par l événement contraire : X 2 ou encore 0 X 2 P(X 2) 1 P(X 2) 1 

0

2f(x)dx 1



 e ^1,25x

0 2

1 ( ^{e 2,5 e0})^{) e 2,5}

L aire sous la courbe à droite de la droite d équation x 2 est e ^2,5.

c. P(1 X 2) 1 (P(X 1) P(X 2)) 1 (1 e ^1,25 e ^2,5) e ^1,25 e ^2,5 0,204.

3.

a. E(X) 1 1

1,25 0,8

b. D après le cours, E(X) lim

t 

0

txf(x)dx lim

t 

0

t xe ^xdx

On a donc li m

t 

0

t xe ^xdx 0,8.

Exercice 6 page 386

T suit la loi exponentielle de paramètre 0,005 donc T suit la loi de densité f où f est la fonction définie sur [0 [ par f(x) 0,005e ^0,005x.

1.

a. P(T 300) 1 P(X 300) 1 

0

300f(x)dx 1



 e ^0,005x

0 300

1 ( ^{e 1,5 e0})

P(T 300) e ^1,5 0,223.

La probabili té qu e l a durée d e vie dép asse 300 jou rs es t en viron 0,223.

b. P(X 365) 

0

365f(x)dx 1



 e ^0,005x

0 365

( ^{e 1,825 e0}) ^0,839

La probatilité que la durée de vie soit d au plus une année est environ 0,839.

c. P(365 X 730)= 

365

730f(x)dx 1



 e ^0,005x

365 730

e ^3,65 e^1,825 0,135

La probatilité que la durée de vie soit comprise entre 1 et 2 ans est environ 0,135.

2. On a P



 T t₁

2

P

 T t₁

2

: le composant a la même probabilité de durer moins de t₁

2

que de dure plus de t1

2

.

a. On sait que P(^{T t12}) ^{1 P}_^{T t1}2_^

Alors P



 T t₁

2

1 P



 T t₁

2

donc 2 P



 T t₁

2

1 et donc P



 T t₁

2

1 2. b. P



 T t₁

2

1 2 





0 t

1

2f(x)dx 1

2

P

 T t₁

2

1 2



 e ^0,005x

0 t

1

2 1

2 P

 T t₁

2

1

2  e ^{0,005 t12} e⁰ 1

2

P

 T t₁

2

1

2  e ^{0,005 t12} 1 2 P

 T t1

2

1

2  0,005 t¹

2

ln

 1 2

P

 T t₁

2

1 2  t¹

2

ln

 1 2 0,005

ln(2)

0,005 car ln



 1

2 ln(2) d après le cours sur la fonction ln.

ln(2)

0,005 139 donc la demie-vie du composant est environ 139 jours.