SYSTEMES AUTOMATIQUES ASSERVIS

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Sciences Industrielles - Lycée Blaise Pascal - ORSAY - PCSI - 2020/2021

SYSTEMES AUTOMATIQUES ASSERVIS

I - Introduction à l’automatique.

1 - Définition de l’automatique.

L’automatique est l’ensemble des théories et des techniques qui permettent de réaliser la commande des systèmes.

Rappel : Dans le schéma d’un système automatique, on va s’intéresser à la partie commande.

2 - But de l’automatique.

Le but de l’automatique est de réaliser la commande de tous les systèmes qui doivent effectuer des opérations sans intervention humaine.

- Soit car les opérations sont trop complexes ( Ex : Certaines phases du pilotage d’un engin spatial...) - Soit car les opérations sont trop répétitives ou trop pénibles ( Ex. : Robots sur les chaînes de montage... )

3 - Histoire de l’automatique.

- XVIII^e siècle : Inventions intuitives d’inventeurs géniaux ( Régulateur à boules de Watt... ) - Fin du XIX^e siècle : Premier travaux analytiques ( Maxwell, Nyquist, Bode... )

- Fin du XX^e siècle : Apparition des calculateurs, tout s’automatise.

4 - Différents types de systèmes automatiques.

Les informations qui entrent ou sortent de la partie commande ( appelées aussi variables ) peuvent être de différents types.

- Variables logiques : Elles ne peuvent prendre que 2 valeurs ; 0 ou 1, ou autrement dit, vrai ou faux. On parle de variables binaires

Exemple : variable x = état d’une lampe. x = 0 → lampe éteinte x = 1 → lampe allumée

Remarque : Le comportement Tout Ou Rien (TOR) est un modèle. En effet, par exemple dans le cas de la lampe passant de l’état éteint à l’état allumé, il existe toujours un moment transitoire pendant lequel la lampe n’est plus vraiment éteinte, mais pas encore vraiment allumée.

- Variables analogiques : Elles peuvent prendre une infinité de valeurs. On parle aussi de variables continues.

Exemple : variable x = température.

- Variables numériques : Elles peuvent prendre un grand nombre de valeurs ( entières ou décimales ). On parle aussi de variables discrètes.

Exemple : variable x = nombre de bidons déjà en place lors du remplissage d’une caisse de bidons.

variable x = variable analogique convertie en variable numérique pour transiter dans un ordinateur.

Définition : - Dans un système automatique logique transitent des variables logiques.

- Dans un système automatique asservi transitent des variables analogiques.

Phase transitoire

t U_lampe

0 V 12 V

Comportement réel

t x

0 1

Modèle Modélisation

2

II - Généralités sur les systèmes asservis.

1 - Structure d’un système asservi.

x(t) : entrée, consigne y(t) : sortie, signal commandé z(t) : perturbation i_x(t) : image de x(t) i_y(t) : signal de retour (mesure), image de y(t) e(t) : signal d’erreur Les perturbations modifient le signal de sortie de façon incontrôlable et imprévisible. On appelle système asservi un système capable de corriger seul les erreurs dues aux perturbations. Il est nécessaire d’avoir une chaîne de retour pour prendre en compte ces perturbations.

Un système asservi, en observant le résultat obtenu et en réagissant en conséquence, permet d’obtenir un comportement précis même si on ne peut modéliser très précisément le système et son entourage ( Ex. : Pilotage, Train pendulaire ).

Un système asservi permet de stabiliser un système naturellement instable ( Ex : Cycliste, Avion à voilure inversée ).

Dans un asservissement, on trouve également les éléments suivants :

- Le point de sommation (comparateur) permet de comparer le signal de commande avec la mesure du résultat obtenu. Il en déduit le signal d’erreur.

- L’interface transforme la consigne en un signal homogène au signal de retour (pour pouvoir effectuer la comparaison).

- Le correcteur élabore l’ordre à donner à l’actionneur en fonction de l’erreur. Si l’erreur est grande, le correcteur peut

‘exagérer l’ordre’ pour forcer le système à annuler plus rapidement l’erreur.

Exemple : une position donnée de l’accélérateur fait accélérer la voiture jusqu’à atteindre un certaine vitesse. Si on veut atteindre cette vitesse plus rapidement, on accélère plus puis une fois la vitesse désirée atteinte, on relâche partiellement l’accélérateur. C’est une correction.

- Le système asservi régulé : On impose une variable d’entrée constante ou évoluant lentement et la variable de sortie doit suivre au mieux cette variable d’entrée, malgré les perturbations.

Exemple : variable = température dans un système de chauffage.

- Le système asservi suiveur : La variable d’entrée évolue rapidement, au moins aussi vite que les perturbations.

Exemple : variable = cap suivi par le missile cherchant à atteindre un avion.

2 - Qualités d’un système asservi.

Elles sont au nombre de trois principalement : PRECISION, RAPIDITE, STABILITE.

- Précision : Elle est quantifiée par deux erreurs.

L’erreur statique est la différence entre la sortie réalisée y(t) et la sortie demandée y_c(t) (consigne) lorsque celles ci n’évoluent plus ( régime permanent ) . On s’efforce toujours de l’annuler.

L’erreur dynamique est la différence entre la sortie et l’entrée à tout instant.

x(t)

t t

erreur statique erreur dynamique

x(t)

y(t)

erreur statique

erreur dynamique y(t)

Interface Correcteur Actionneur Effecteur

Capteur

+ - Partie Commande

i

y

(t)

x(t) i

_x

(t)

e(t) = i

_x

(t) - i

_y

(t)

_{signal de} ^ordre,

commande

z(t)

y(t)

Chaîne d’action

Chaîne d’acquisition

3 - Rapidité : Il s’agit de la rapidité à réagir à une variation brusque de la consigne d’entrée.

système lent système rapide

- Stabilité : Un système peut être instable à cause de son comportement dynamique (résonance) ou du bouclage (larsen).

Seul un système stable bien amorti pourra être utilisé.

système instable système stable mal amorti système stable bien amorti Ces trois qualités ne sont pas toujours compatibles, on cherchera le meilleur compromis.

3 - Etude d’un exemple.

L’exemple étudié est le vérin représenté en Annexe I. Ce vérin est un servomécanisme, c’est à dire un mécanisme qui se comporte à peu près comme un système asservi, mais dans lequel la partie commande est réalisée par des phénomènes mécaniques et est donc difficile à différencier de la partie opérative. Les mécanismes de robinet à flotteur (chasse d’eau) en sont les exemples les plus connus.

Fonctionnement : Le corps de vérin (noir) est fixe. L’utilisateur manipule horizontalement l’extrémité gauche du distributeur (vert ou gris foncé sur tirage), le fluide sous pression p (gris clair) déplace alors la tige de vérin (rouge ou gris moyen sur le tirage) dans la position voulue. Les endroits où le fluide est à la pression atmosphérique p_a sont en blanc.

Hypothèses : Le fluide est supposé incompressible.

Les efforts sur la tige de vérin sont faibles devant les efforts de pression exercés par le fluide sur le piston et on néglige également les efforts de frottement du piston et de la tige sur le corps de vérin. Donc le mouvement de l’ensemble (piston + tige) est défini par les seuls efforts de pression.

Rappels Si un fluide est incompressible, le débit volumique de fluide entrant dans une chambre du vérin est la dérivée par rapport aux temps du volume de cette chambre. Q(t) = lim

∆t→0

V(t + ∆t) - V(t)

(t + ∆t) - t = d V(t) dt = V

....

(t) La force F exercée par un fluide à la pression p sur un piston de section S est : F = p S

Vérification qualitative du fonctionnement annoncé:

x(t) représente la position du distributeur (entrée),

y(t) représente la position de l’ensemble (piston + tige) (sortie).

Tous les efforts de pression, les seuls que l’on retient, sont ‘horizontaux’. On les compte positivement s’ils sont dirigés vers la droite, négativement sinon.

- supposons, qu’à l’instant t, on soit dans une configuration x(t) < y(t),

la tige est soumise à - p S_d + p_a S_g < 0 car p_a << p alors que S_g > S_d ⇒⇒⇒⇒ y.... < 0 - supposons, qu’à l’instant t, on soit dans une configuration x(t) > y(t),

la tige est soumise à - p S_d + p S_g > 0 car S_g > S_d ⇒⇒⇒⇒ y.... > 0

x(t) x(t)

t t

y(t)

y(t)

t t t

x(t) y(t) x(t) x(t)

y(t)

y(t)

4 Mise en équation : Description quantitative du fonctionnement du servomécanisme = Modélisation du servomécanisme

- cas où x(t) < y(t) : Q(t) le débit de fluide passant de gauche au réservoir.

Le débit Q(t) diminue le volume V_g(t) de la chambre de gauche du vérin Q(t) = - V

....

g(t) = - S_g y

....

_(t)

Hypothèse : Proportionnalité entre le débit et la section de passage ( tant que ce qui limite le débit Q(t) ) est y(t) - x(t) ) Q(t) = Kd [ y(t) - x(t) ]

donc - Sg y

....

(t) = Q(t) = Kd [ y(t) - x(t) ] donc Sg y

....

_{(t) + K}

d y(t) = Kd x(t)

- cas où x(t) > y(t) : Q(t) le débit de fluide passant de droite à gauche.

Le débit Q(t) augmente le volume V_g(t) de la chambre de gauche du vérin Q(t) = V

....

g(t) = S_g y

....

_(t)

Hypothèse : Proportionnalité entre le débit et la section de passage ( tant que ce qui limite le débit Q(t) ) est x(t) - y(t) ) Q(t) = K_d [ x(t) - y(t) ]

donc S_g y

....

(t) = Q(t) = K_d [ x(t) - y(t) ] donc S_g y

....

_{(t) + K}

d y(t) = K_d x(t) Dans les deux sens de fonctionnement, le servomécanisme présenté obéit à la même équation reliant l’entrée x(t) , à laquelle on le soumet, à la sortie y(t) , qui en résulte.

Cette équation faisant apparaître y(t) et sa dérivée y

....

(t) , on l’appelle équation différentielle. On pourrait aussi avoir les dérivées seconde, troisième… de y(t) ainsi que les dérivées de x(t).

Dans cette équation x(t) , ses dérivées, y(t) , ses dérivées sont toutes dans des termes différents et sont toujours à la puissance 1. On parle donc d’équation différentielle linéaire.

Les coefficients de ces termes sont des constantes du servomécanisme ( S_g et K_d ) . On parle donc d’équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Dans le programme de CPGE, tous les éléments de systèmes asservis sont modélisés par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Il faut donc développer une méthode performante de résolution de ces équations.

III - Systèmes linéaires.

1 - Définitions.

Les systèmes étudiés ici sont monovariables, continus, linéaires et invariants.

- monovariable : une seule variable d’entrée (consigne) et une seule variable de sortie.

- continu : les variables sont continues (analogiques ).

- linéaire : le comportement du système asservi est représenté par une équation différentielle linéaire.

- invariant : le comportement du système ne ‘vieillit’ pas, l’équation différentielle est à coefficients constants (ne dépendant pas du temps).

2 - Représentations d’un système linéaire invariant.

Il peut être représenté par :

- une équation différentielle linéaire à coefficients constants : a_ndⁿy(t)

dtⁿ + . . . + a₂d²y(t)

dt² + a₁dy(t)

dt + a₀ y(t) = b_m d^mx(t)

dt^m + . . . + b₂d²x(t)

dt² + b₁dx(t)

dt + b₀ x(t) (second membre) = f(t) Dans les cas pratiques rencontrés, on a toujours m ≤ n, n est l’ordre du système. (principe de causalité)

(sinon la réponse à une entrée finie peut être infinie)

5 - un schéma bloc :

3 - Etude des systèmes linéaires invariants.

Il faut résoudre l’équation différentielle ci-dessus, c’est à dire :

pour une entrée x(t) donnée à laquelle on soumet le système ( c’est à dire pour une fonction f(t) donnée ), il faut trouver la sortie y(t) , c’est à dire la manière dont le système répond.

Dans le cas d’une équation différentielle linéaire du premier ou du deuxième ordre, une méthode sera abondamment utilisée en Mathématiques et en Physique.

Mais cette méthode étant délicate pour les équations d’ordres plus élevés, on va développer une autre méthode de résolution, plus adaptée à nos systèmes asservis, celle utilisant la transformée de Laplace.

4 - Transformée de Laplace.

4 - 1 - Définition de la transformée de Laplace.

Dans la suite on n’utilisera que des fonctions f(t) telles que f(t) = 0 pour t < 0.

La transformée de Laplace d’une telle fonction est la fonction F(p) :

F(p) = L (f(t)) = ∫

0

∞

e

^-pt

f(t) dt

avec p complexe à partie réelle strictement postive

4 - 2 - Fonctions usuelles et leurs transformées de Laplace.

- Fonction échelon ( fonction de Heaviside ) : u(t) = 1 pour t > 0 L(u(t)) =

∫

0

∞

e^-pt dt = 1

p [ - e^-pt ]

0

∞

∞

∞

∞ = 1

p LLLL(u(t)) = 1 p

- Fonction impulsion ( fonction de Dirac ) : δ(t) : c’est la limite quand t1 tend vers 0 de la fonction ci-contre :

δ(t) est nulle partout sauf en t = 0 où elle n’est pas définie ( discontinuité ) et son intégrale vaut :

∫

-∞

∞ δ(t) dt = 1 t₁ t₁ = 1

L (δ(t)) =

∫

0

∞

e^-pt δ(t) dt = lim t1→→→→0 1

t₁

∫∫∫∫

0 t1

e^-pt dt

= lim t1→→→→0 1

t₁ [ - 1 p e^-pt ]

0 t₁

= lim

t1→→→→0 1 - exp(-p t₁)

p t₁ = 1 LLLL(δδδδ(t)) = 1

- Les autres fonctions que l’on utilisera lors de l’étude des asservissements sont elles aussi nulles pour t < 0 . Ceci est obtenu en multipliant la fonction par une fonction échelon. Leurs transformées de Laplace sont données dans le tableau en Annexe II.

4 - 3 - Propriétés des transformées de Laplace.

Les propriétés utiles à la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants et à l’étude des asservissements sont résumées dans le tableau en Annexe II. Les démonstrations sont admises. (certaines sont très simples, d’autres…)

système linéaire

x(t)

entrée (consigne)

y(t) sortie

0 t 1

u(t)

0 t 1 t₁

δ(t)

t₁

6

5 - Application à un système linéaire - Fonction de transfert.

Le système est représenté par une équation différentielle linéaire à coefficients constants : a_ndⁿy(t)

dtⁿ + . . . + a₂d²y(t)

dt² + a₁dy(t)

dt + a₀ y(t) = b_m d^mx(t)

dt^m + . . . + b₂d²x(t)

dt² + b₁dx(t)

dt + b₀ x(t) En réalité, pour obtenir des fonctions nulles pour t < 0, on modifie en :

a_ndⁿy(t)

dtⁿ u(t) + . . . + a₂d²y(t)

dt² u(t) + a₁dy(t)

dt u(t) + a₀ y(t) u(t) = b_m d^mx(t)

dt^m u(t) + . . . + b₂d²x(t)

dt² u(t) + b₁dx(t)

dt u(t) + b₀ x(t) u(t) x(t) u(t) est l’entrée imposée y(t) u(t) est la sortie.

On applique la transformée de Laplace aux deux membres et on utilise la propriété de linéarité : a_nL ( dⁿy(t)

dtⁿ u(t) ) + . . . + a₂L ( d²y(t)

dt² u(t) ) + a₁L ( dy(t)

dt u(t) ) + a₀L ( y(t) u(t) )

= b_mL ( d^mx(t)

dt^m u(t) ) + . . . + b₂L ( d²x(t)

dt² u(t) ) + b₁L ( dx(t)

dt u(t) ) + b₀L ( x(t) u(t) ) Supposons que les conditions initiales soit nulles : x(0⁺) = 0 et y(0⁺) = 0 ; x

....

₍₀+) = 0 et y

....

₍₀+) = 0 ...

Notons X(p) = L ( x(t) u(t) ) et Y(p) = L ( y(t) u(t) ) alors l’équation (1) devient :

a_n pⁿ Y(p) + . . . + a₂ p² Y(p) + a₁ p Y(p) + a₀ Y(p) = b_m p^m X(p) + . . . + b₂ p² X(p) + b₁ p X(p) + b₀ X(p) D’où : Y(p) = b_m p^m + . . . + b₂ p² + b₁ p + b₀

a_n pⁿ + . . . + a₂ p² + a₁ p + a₀ X(p) soit Y(p) = H(p) X(p)

La fonction H(p) est un quotient de deux polynômes. On appelle ce genre de fonction en mathématiques, fonction rationnelle. Physiquement, c’est la fonction qui permet de passer de la transformée de Laplace X(p) de l’entrée à la transformée de Laplace Y(p) de la sortie. Elle est appelée fonction de transfert ou transmittance.

Pour les entrées x(t) usuelles, échelon, Dirac, rampe, sinus…la transformée de Laplace X(p) est aussi une fonction rationnelle (voir tableau des transformées de Laplace des fonctions usuelles en Annexe II).

Donc Y(p) = H(p) X(p) est aussi une fonction rationnelle.

Remarque : Si les conditions initiales ne sont pas nulles, on montre facilement que, Y(p) est tout de même une fonction rationnelle en p .

On est donc amené à chercher y(t) tel que Y(p) = d_r p^r + . . . + d₁ p + d₀

c_s p^s + . . . + c₁ p + c₀ avec r < s C’est à dire à chercher y(t) = L ^-1(Y(p)) L ^-1 : Transformée de Laplace inverse.

6 - Résolution.

Pour calculer la transformée de Laplace inverse de Y(p) on peut avoir la chance de posséder un tableau de transformées de Laplace beaucoup plus complet que celui donné en Annexe II et y retrouver la transformée inverse souhaitée. Mais de toutes façons, le jour du concours…

On montre, en mathématiques, que toute fonction rationnelle Y(p) = d_r p^r + . . . + d₁ p + d₀

c_s p^s + . . . + c₁ p + c₀ avec r < s peut se décomposer en une somme d’exactement s fonctions rationnelles très simples, on parle d’éléments simples, dont tous les types possibles sont en nombre très restreint et inclus dans le tableau donné en Annexe II.

Pour effectuer cette décomposition en éléments simples, il faut commencer par factoriser le dénominateur de Y(p), c_s p^s + . . . + c₂ p² + c₁ p + c₀

Le dénominateur de Y(p) est de degré s , on montre en mathématiques qu’il a donc s racines réelles ou complexes.

Les racines du dénominateur d’une fonction rationnelle sont appelées des pôles.

(1)

7 Les coefficients c₀, c₁, ..., c_s étant réels, on montre aussi que les racines complexes sont alors conjuguées deux à deux :

si - (a+iω) et - (a-iω) sont 2 racines du dénominateur,

on peut mettre en facteur [ p + (a+iω) ] [ p + (a-iω) ] = (p+a)² + ω² On factorise alors le dénominateur :

c_s p^s + . . . + c₂ p² + c₁ p + c₀ = c_s (p+α1) (p+α2) . . . (p+αk) [ (p+a₁)² + ω12 ] [ (p+a₂)² + ω22 ] . . . [ (p+a_e)² + ωe2 ] avec k + 2e = s La fonction rationnelle peut alors s’écrire sous la forme :

Y(p) = d_r p^r + . . . + d₁ p + d₀

c_s p^s + . . . + c₁ p + c₀ = A₁ p+α1

+ . . . + A_k p+αk

+ B₁ (p+a₁) (p+a₁)² + ω1

2 + C₁

(p+a₁)² + ω1

2 + . . . + B_e (p+a_e) (p+a_e)² + ωe

2 + C_e (p+a_e)² + ωe

2

(2)

A_j, B_j, C_j sont des constantes réelles que l’on peut déterminer à l’aide de la méthode suivante :

- pour chaque A_j , on multiplie les deux membres de l’équation (2) par (p+αj) et on prend p = - αj ; on résout l’équation réelle trouvée ( une équation réelle par A_j à trouver ) .

- pour chaque couple ( B_j , C_j ) , on multiplie les deux membres de l’équation (2) par [ (p+a_j)² + ωj

2 ] et on prend p = - (a_j+iωj) ; on résout l’équation complexe trouvée ( une équation complexe, c’est à dire deux équations réelles par couple (Bj , Cj ) à trouver).

Cas particulier : Si - α est une racine double du dénominateur, alors la décomposition en éléments simples de la fraction contient un terme du type A

p+α

et un terme du type A^* (p+α)²

Pour trouver A^* , on multiplie les deux membres de l’équation (2) par (p+α)² et on prend p = - α ; on résout l’équation.

Pour trouver A , on multiplie les deux membres de l’équation (2) par (p+α) et on fait tendre p vers l’infini ; on obtient une relation entre A et les autres A_j .

Lorsqu’on a les A_j , B_j , C_j , on cherche la transformée inverse de chaque terme ( voir tableau en Annexe II ) , et on en déduit y(t) , somme des transformées de Laplace inverses des s éléments simples.

En Annexe III, est présenté un résumé de la méthode de résolution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants par la transformée de Laplace.

7 - Application au servomécanisme du paragraphe II-3.

Le servo mécanisme étudié est modélisé par l’équation différentielle linéaire à coefficients constant S_g y

....

_{(t) + K}

d y(t) = K_d x(t) (3) Soit x(t) = x₀ et y(t) = x₀ la position de repos à l’instant t = 0 .

Posons le changement de variable x~

(t) = x(t) - x₀ soit x(t) = x~

(t) + x₀ y~

(t) = y(t) - x₀ y(t) = y~

(t) + x₀ En remplaçant dans l’équation (3), celle ci devient : S_g d

dt ( y~

(t) + x₀ ) + K_d ( y~

(t) + x₀ ) = K_d ( x~

(t) + x₀ ) La constante x₀ donne une dérivée nulle et

le terme K x₀ se simplifie de chaque coté, soit finalement : S_g d dt y~

(t) + K_d y~

(t) = K_d x~ (t) On obtient une équation analogue à l’équation (3),

mais les variables utilisées, x~ (t) et y~

(t) sont à conditions initiales nulles : y~

(0) = 0 et x~ (0) = 0 On peut donc partir de conditions initiales nulles et étudier l’équation (3) : S_g y

....

_{(t) + K}

d y(t) = K_d x(t)

8

IV - Représentations d’un système linéaire invariant. Schéma bloc.

1 - Schéma bloc.

Comme on l’a déjà vu, un système linéaire peut être représenté dans le domaine temporel par son équation différentielle ou par un schéma bloc :

Dans le domaine de Laplace, un système linéaire peut être représenté par sa fonction de transfert H(p) ou par un schéma bloc :

En pratique, le système linéaire ci-dessus est souvent constitué de plusieurs composants : actionneur, effecteur, correcteur, ...

qui sont des systèmes linéaires plus simples représentables chacun par une fonction de transfert propre. On peut donc préciser le schéma bloc dans le domaine de Laplace en utilisant :

- des blocs en cascade

H(p) = H₁(p) H₂(p)

- des blocs en parallèle

H(p) = H₁(p) + H₂(p )

On peut transformer des schémas blocs en déplaçant les points de jonction ou de sommation en respectant les équivalences données ci-dessous.

⇔

⇔

⇔

⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

système linéaire

x(t)

entrée (consigne)

y(t) sortie

H(p)

X(p) Y(p)

H

1

(p)

X(p) H₁(p) X(p) Y(p) = H₁(p) H₂(p) X(p)

H

2

(p)

H

1

(p)

X(p)

H2(p) X(p) H₁(p) X(p)

H

₂

(p)

+ +

Y(p) = ( H₁(p) + H₂(p) ) X(p)

1 G(p) G(p)

G(p) G(p)

+ - G(p)

G(p)

+ -

G(p) 1

G(p)

Point de sommation Point de jonction

G(p)

+ -

G(p) G(p)

+ - G(p)

9 Exemples : a - Structure de base d’un système asservi (système à retour unitaire).

On a G(p) [ X(p) - Y(p) ] = Y(p) soit G(p) X(p) = [ 1 + G(p) ] Y(p) d’où Y(p) = G(p)

1 + G(p) X(p)

b - Structure de base d’un système asservi (système à retour non unitaire).

On a G(p) [ X(p) - R(p) Y(p) ] = Y(p) soit G(p) X(p) = [ 1 + R(p) G(p) ] Y(p) d’où Y(p) = G(p)

1 + R(p) G(p) X(p)

On appelle fonction de transfert en boucle ouverte le quotient en transformées de Laplace Signal de retour Signal d'erreur - dans l’exemple a : H_BO(p) = G(p)

- dans l’exemple b : HBO(p) = R(p) G(p) Remarque : La fonction de transfert en boucle ouverte est sans dimension.

On appelle fonction de transfert en boucle fermée, le quotient en transformées de Laplace Signal de sortie Signal d'entrée - dans l’exemple a : H_BF(p) = G(p)

1 + G(p) - dans l’exemple b : H_BF(p) = G(p)

1 + R(p) G(p)

Remarque : La fonction de transfert en boucle fermée est sans dimension seulement dans le cas d’un retour unitaire.

c - Système asservi subissant une perturbation Z(p).

On a { G₁(p) [ X(p) - R(p) Y(p) ] - Z(p) } G₂(p) = Y(p) soit G₁(p) G₂(p) X(p) - G₂(p) Z(p)

= [ 1 + R(p) G₁(p) G₂(p) ] Y(p) d’où Y(p) = G₁(p) G₂(p)

1 + R(p) G₁(p) G₂(p) X(p) - G₂(p)

1 + R(p) G₁(p) G₂(p) Z(p) En posant G(p) = G₁(p) G₂(p) , on trouve Y(p) = G(p)

1 + R(p) G(p) X(p) - G2(p)

1 + R(p) G(p) Z(p)

Dans un tel cas, on ne peut parler de fonction de transfert donnant la sortie, qu’en l’absence d’une des deux entrées (soit la consigne X(p), soit la perturbation Z(p)).

En l’absence de perturbation, - la fonction de transfert en boucle ouverte est : H_BO(p) = R(p) G(p) - la fonction de transfert en boucle fermée est : H_BF(p) = G(p)

1 + R(p) G(p) En l’absence de consigne, - la fonction de transfert de perturbations est : H_pert(p) = G₂(p)

1 + R(p) G(p) On peut écrire : Y(p) = H_BF(p) X(p) - H_pert(p) Z(p)

Remarque : Certains aspects de la réponse y(t) étant liés à la nature des pôles de la fonction de transfert, on notera que les dénominateurs de H_BF(p) et H_pert(p) étant identiques, il y aura des similitudes fortes entre réponses avec ou sans perturbations…

G₁(p) G2(p)

X(p) Y(p)

+

- + -

Z(p)

R(p)

X(p) Y(p)

+ -

G(p)

X(p) Y(p)

+ -

G(p)

R(p) Signal d’entrée

Signal d’erreur Signal de retour Signal de sortie

10 d - Transformation d’un système à retour non unitaire en système à retour unitaire.

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

e - Système asservi à boucles imbriquées.

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔

⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔

⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2 - Fonctions de transfert simples usuelles.

Une fonction de transfert H(p) étant une fonction rationnelle, on peut toujours la représenter par des sommes et des produits des cinq fonctions simples suivantes.

H(p) = K d’où Y(p) = K X(p)

soit y(t) = K x(t) système proportionnel

H(p) = K

p d’où pY(p) = K X(p)

soit y

....

_{(t) = K x(t)} système intégrateur H(p) = K

1 + τ p d’où ( 1 + τ p) Y(p) = K X(p)

soit τ y

....

(t) + y(t) = K x(t) système du 1^er ordre H(p) = K 1 + a τ p

1 + τ p d’où ( 1 + τ p) Y(p) = K ( 1 + a τ p ) X(p)

soit τ y

....

(t) + y(t) = K a τ x

....

(t) + K x(t) système du 1^er ordre généralisé

H(p) = K

1 + 2 ξ p ω0

+ p² ω02

d’où ( 1 + 2 ξ p ω0

+ p² ω0

2 ) Y(p) = K X(p)

H(p) = K

1 + 2 ξ1 p ω1

+ p² ω12

1 + 2 ξ2 p ω2

+ p² ω22

d’où ( 1 + 2 ξ2 p ω2

+ p²

ω22 ) Y(p) = K ( 1 + 2 ξ1 p ω1

+ p²

ω12 ) X(p) soit 1

ω02 y

...

_{(t) +} ^{2 ξ}

ω0

y

....

(t) + y(t) = K x(t) système du 2^ème ordre ( ξ > 0 ) A(p) B(p) C(p)

1 + B(p) C(p) + A(p) B(p)

X(p) Y(p)

A(p) B(p)

X(p) Y(p)

+

- + -

C(p) X(p) A(p) B(p) Y(p)

+

- + -

C(p) 1 / C(p)

A(p) B(p) C(p)

1 + B(p) C(p)

X(p) Y(p)

+ -

1 / C(p)

A(p) B(p) C(p) 1 + B(p) C(p)

X(p) Y(p)

+ -

1 / C(p) A(p) B(p) C(p)

1 + B(p) C(p) 1 + A(p) B(p) 1 + B(p) C(p)

X(p) Y(p)

X(p) Y(p)

+ -

G(p)

R(p)

X(p) Y(p)

+ -

R(p) G(p) 1 / R(p)

soit 1

ω22 y

...

_{(t) +} ^{2 ξ2}

ω2

y

....

(t) + y(t) = K

ω12 x

...

_{(t) +} ^{2 K ξ1}

ω1

x

....

(t) + K x(t) système du 2^ème ordre généralisé ( ξ1 > 0 et ξ2 > 0 )

11 On cherchera donc à bien connaître ces systèmes fondamentaux pour ensuite les composer.

Remarques :

- Le 2^ème ordre généralisé n’est pas vraiment au programme, bien qu’il soit déjà tombé aux concours… ( filtre réjecteur ).

- Le système dérivateur seul, de fonction de transfert H(p) = p , n’existe pas. Cependant on peut trouver dans une fonction de transfert, un terme dérivateur, par exemple : H(p) = K p

1 + 2 ξ p ω0

+ p² ω02

c’est le filtre passe bande du cours de physique !

3 - Gain statique. Gain en vitesse. Forme canonique d’une fonction de transfert.

- Pour tous les systèmes ci-dessus sauf le système intégrateur, dans le cas où toutes les limites écrites ci-dessous existent, la valeur de la sortie au bout d’un temps ‘infini’ est :

lim t→∞ y(t) = lim

p→→→→0 p Y(p) = lim

p→→→0→ p H(p) X(p) = lim

p→→→→0 H(p) . p X(p) = H(0) . lim t→∞→∞→∞→∞ x(t)

soit lim

t→∞→∞→∞→∞ y(t) = K . lim t→∞→∞→∞→∞ x(t) où lim

t→∞x(t) est la valeur de l’entrée au bout d’un temps ‘infini’

K représente donc le rapport : lim t→∞

y(t)

x(t) . On appelle K gain statique du système.

D’une manière générale, cette définition s’applique à tous les systèmes sans intégrateur.

- Pour le système intégrateur, dans le cas où toutes les limites écrites ci-dessous existent, la valeur de la dérivée par rapport au temps de la sortie au bout d’un temps ‘infini’ est :

lim t→∞ y

....

(t) = lim

p→→→0→ p² Y(p) = lim

p→→→→0 p² H(p) X(p) = lim

p→→→→0 p H(p) . lim

p→→→→0 p X(p)

soit lim

t→∞→∞→∞→∞y

....

(t) = K . lim t→∞→∞→∞→∞ x(t) où lim

t→∞x(t) est la valeur de l’entrée au bout d’un temps ‘infini’

K représente donc le rapport : lim t→∞

y

....

_(t)

x(t) . On appelle K gain en vitesse du système.

D’une manière générale, cette définition s’applique à tous les systèmes avec un intégrateur.

- Une fonction de transfert quelconque est écrite sous forme canonique si elle est de la forme : H(p) = K

p^α 1 + b₁ p + b₂ p² + . . . + b_m p^m 1 + a₁ p + a₂ p² + . . . + a_n pⁿ Lorsque p tend vers 0, la fonction de transfert tend vers le quotient K

p^α Le nombre (entier) d’intégrations α est appelé classe du système.

Numérateur et dénominateur de la fonction rationnelle 1 + b₁ p + b₂ p² + . . . + b_m p^m

1 + a₁ p + a₂ p² + . . . + a_n pⁿ peuvent se factoriser, comme produits de termes exclusivement du type ( 1 + τ p) et ( 1 + 2 ξ p

ω0

+ p² ω02 )

Ceci montre que l’étude des systèmes de base ( proportionnel, intégrateur, premier et deuxième ordre ) est nécessaire et suffisante, pour avoir une idée du comportement de tous les types de systèmes linéaires.

On appelle : τ la constante de temps du terme de premier ordre,

ξ le coefficient d’amortissement et ω0 la pulsation propre du terme de second ordre.

Rappel : La somme α + n est appelée ordre du système.

12

V - Réponse indicielle des systèmes linéaires.

On appelle réponse indicielle d’un système, la réponse à une entrée en échelon : x(t) = X₀ u(t).

1 - Réponse indicielle d’un système linéaire du premier ordre.

1 - 1 - En boucle ouverte.

X(p) = X₀

p conduit à Y(p) = K X₀ p ( 1 + τ p ) , y

....

₍₀+) = lim

p→∞ p² Y(p) = K X₀ τ , y(+∞) = lim

p→0 p Y(p) = K X₀ La décomposition en éléments simples donne : Y(p) = K X₀

p - K X₀ τ 1 + τ p d’où y(t) = K X₀ [ 1 - exp( - t

ττττ ) ] u(t )

Pour quantifier la rapidité de la réponse indicielle d’un système du premier ordre, on définit le temps de réponse t_5% , temps au bout duquel la réponse a atteint 95 % de sa valeur finale, soit y(t_5%) = 0.95 y(+∞) = 0.95 K X0

On obtient : exp( - t_5%

τ ) = 0.05 soit t_5% = - τ Ln(0.05) ≈ 3 τ

1 - 2 - En boucle fermée.

On a alors la relation K

1 + τ p [ X(p) - Y(p) ] = Y(p) ,

d’où après un rapide calcul Y(p) = K K + 1 1 + τ

K + 1 p X(p)

Conclusions : Boucler un système linéaire du premier ordre conduit donc à un second système du premier ordre - de gain statique K

K + 1 - de constante de temps τ

K + 1

Sa réponse indicielle aura donc une allure semblable à celle obtenue en §1a pour la boucle ouverte, seulement pour des grandes valeurs du gain K, le fait d’avoir un système en boucle fermée conduit à un système ayant à la fois :

- un gain statique proche de 1 donc assez précis

- un temps de réponse faible par rapport à celui en boucle ouverte ( 3 τ

K + 1 << 3 τ ).

2 - Réponse indicielle d’un système linéaire intégrateur.

2 - 1 - En boucle ouverte.

X(p) = X₀ p conduit à Y(p) = K X₀

p² , d’où la réponse y(t) = K X0 t u(t )

X(p) K 1 Y(p)

1 + τ p

X(p) K 1 Y(p)

p

K

X(p) 1 Y(p)

1 + τ p +

-

K X₀

X₀

ττττ

x(t) y(t) 0.05 K X₀

3τ3τ3τ

3τ t

y(t)

x(t)

t K X₀

X₀

1 sec

13 2 - 2 - En boucle fermée.

On a alors la relation K

p [ X(p) - Y(p) ] = Y(p) , d’où après un rapide calcul

Y(p) = 1 1 + p

K

X(p) = X₀ p ( 1 + p

K ) = X₀

p - X₀

K + p , soit y(t) = X₀ [ 1 - e ^{- K t} ] u(t )

Conclusions : Boucler un système linéaire intégrateur conduit donc à un système du premier ordre - de gain statique unitaire

- de constante de temps 1 K

Sa réponse indicielle sera donc semblable à celle obtenue en §1a, mais le gain unitaire permet d’obtenir une précision parfaite dans le cas d’une réponse indicielle, puisque y(+∞) = X0.

3 - Réponse indicielle d’un système linéaire du deuxième ordre.

3 - 1 - En boucle ouverte.

X(p) = X₀

p conduit à Y(p) = K X0

p ( 1 + 2 ξ p ω0

+ p² ω02 )

= K X0 ω02

p ( ω02 + 2 ξ ω0 p + p²) ,

On retrouve par applications du théorème de la valeur initiale les deux hypothèses sur les conditions initiales que l’on doit poser dans le cas d’un système du second ordre, à savoir : y(0⁺) = lim

p→∞ p Y(p) = 0 et y

....

₍₀+) = lim

p→∞ p² Y(p) = 0 Par ailleurs, on obtient : y(+∞) = lim

p→0 p Y(p) = K X₀

La poursuite de l’étude de la réponse indicielle d’un système linéaire du deuxième ordre doit se faire en distinguant différents cas selon la nature des pôles de la fonction de transfert, c’est à dire de la nature des zéros du dénominateur, polynôme en p de degré 2.

En fait, selon la valeur du coefficient d’amortissement ξ , les zéros sont soit complexes conjugués ( ξ < 1 ), soit réels ( ξ > 1 ).

Pour ξ = 1 la fonction de transfert a un pôle réel double.

-

Cas où ξξξξ = 1.

Le dénominateur ω02 + 2 ξ ω0 p + p² = ω02 + 2 ω0 p + p² se factorise en ( ω0 + p )². On a donc : Y(p) = K X₀ ω0

2

p ( ω0 + p )² = K X₀

p - K X₀

ω0 + p - K X₀ ω0

( ω0 + p )² , d’où une réponse y(t) = K X₀ [ 1 - ( 1 + ωωωω0t ) exp( - ωωωω0t) ] u(t )

-

Cas où ξξξξ > 1.

Le dénominateur ω02 + 2 ξ ω0 p + p² se factorise en ( ω1 + p ) ( ω2 + p )

avec : ω1 = ω0 ( ξ + ξ² - 1 ) > 0 , ω2 = ω0 ( ξ - ξ² - 1 ) > 0 ω1 ω2 = ω0

2 et ω1 > ω2

On a donc : Y(p) = K X₀ ω02

p ( ω1 + p ) ( ω2 + p ) = K X₀

p - K X₀

ω1 + p . ω02

ω02 - ω12 - K X₀

ω2 + p . ω02

ω02 - ω22 , d’où une réponse

X(p) K 1 Y(p)

1 + 2 ξ p ω0

+ p² ω02

K

X(p) 1 Y(p)

p + -

K X₀

X0

x(t) y(t)

t

14 y(t) = K X₀

[

^{1 -} _ωωωω^ωωωω02

02 - ωωωω12 exp( - ωωωω1t) - ωωωω02

ω ω ω

ω02 - ωωωω22 exp( - ωωωω2t )

]

^{u(t )}

Remarque : En posant τ1 = 1 ω1

et τ2 = 1 ω2

, soit τ1 < τ2 , on obtient :

y(t) = K X₀ [ 1 - ττττ1

ττττ1 - ττττ2

exp( - t ττττ1

) - ττττ2

ττττ2 - ττττ1

exp( - t ττττ2

) ] u(t)

Cas particulier où ξ >> 1, c’est à dire ω1 >> ω2 ou τ1 << τ2.

On a alors ξ² - 1 ≈ ξ , d’où ω1 ≈ 2 ξ ω0 et ω2 = ω02

ω1

≈ ω0

2 ξ , d’où pour t suffisamment ‘grand’,

|

_ω ^ω02

02 - ω12

|

exp( - ω1t) ≈

|

_{1 - 4 ξ}¹ 2

|

exp( - ω1t ) << ω02

ω02 - ω22 exp( - ω2t ) ≈ 1 1 - 1

4 ξ²

exp( - ω2t ) ≈ exp( - ω2t )

La réponse indicielle est donc y(t) = K X₀

[

1 - exp( - ω2t )

]

u(t ) pour t suffisamment ‘grand’.

soit y(t) = K X₀ [ 1 - exp( - t ττττ2

) ] u(t)

Conclusion : La réponse indicielle d’un système du second ordre à coefficient d’amortissement très grand, c’est à dire d’un système du second ordre produit de 2 systèmes du premier ordre de constantes de temps très différentes, est approximativement la même que celle du système du premier ordre ayant la constante de temps la plus grande. La seule différence significative se situe à l’origine des temps. Pour le système du deuxième ordre, la tangente est horizontale. Pour le système du premier ordre, rappelons que la tangente a une pente K X₀ / τ2 .

-

Cas où ξξξξ < 1.

Le dénominateur ω02 + 2 ξ ω0 p + p² se factorise en ( p₁ + p ) ( p₂ + p ) avec : p₁ = ω0 ( ξ + j 1 - ξ² ) , p₂ = ω0 ( ξ - j 1 - ξ² )

p₁ p₂ = ω02

Pour déterminer les transformées de Laplace inverses des éléments simples de la décomposition de Y(p), il faut effectuer cette décomposition sur IR, malgré la nature complexe des pôles. On écrit donc Y(p) sous la forme :

Y(p) = K X0 ω02

p [ ( p + ξ ω0 )² + ( 1 - ξ² ) ω02 ] = α K X0

p + β K X0 ( p + ξ ω0 )

( p + ξ ω0 )² + ( 1 - ξ² ) ω02 + γ K X0

( p + ξ ω0 )² + ( 1 - ξ² ) ω02 En multipliant par p , et en prenant p = 0, on obtient facilement α = 1

En multipliant par ( p + ξ ω0 )² + ( 1 - ξ² ) ω02 , en prenant p = - p₁,

et en isolant partie réelle et partie imaginaire, on obtient β = - 1 et γ = - ξ ω0

La décomposition conduit donc à Y(p) = K X₀

p - K X₀ ( p + ξ ω0 )

( p + ξ ω0 )² + ( 1 - ξ² ) ω02 - K X₀ ξ ω0

( p + ξ ω0 )² + ( 1 - ξ² ) ω02 ,

d’où une réponse : y(t) = K X₀

[

1 - exp( - ξ ω0 t ) cos( 1 - ξ² ω0 t ) - ξ

1 - ξ² exp( - ξ ω0 t ) sin( 1 - ξ² ω0 t )

]

^{u(t ).}

En factorisant les termes en exponentielles de la façon suivante, y(t) = K X₀

[

1 - exp( - ξ ω0 t )

1 - ξ²

{

1 - ξ² cos( 1 - ξ² ω0 t ) + ξ sin( 1 - ξ² ω0 t )

} ]

u(t ) K X₀

X₀

x(t) y(t)

t ξξξξ croissant

< 0 > 0

15 on obtient : y(t) = K X₀

[

^{1 - exp( - ξ ωξ ωξ ωξ ω0 t )}

1 - ξξξξ² cos( 1 - ξξξξ² ωωωω0 t - ϕϕϕϕ )

]

^{u(t )}

avec sin ϕϕϕϕ = ξξξξ

Il s’agit d’un mouvement oscillatoire amorti, de pseudo-période T_a = 2 π

ω0 1 - ξ² = T₀

1 - ξ² où T₀ = 2 π ω0

est la période des oscillations propres non amorties du système.

Il est très utile de définir l’instant T_m et la valeur y(T_m) du premier maximum de la réponse.

On obtient T_m par résolution de l’équation y

....

_(T

m) = 0 , soit après un rapide calcul : T_m = π

ω0 1 - ξ² = T_a 2 La valeur de la réponse au premier maximum est :

y(T_m) = K X₀

[

^{1 -}

exp( - ξπ 1 - ξ² )

1 - ξ² cos( π - ϕ )

]

^{= K X}0

[

1 + exp( - ξ π 1 - ξ² )

]

Pour tous les systèmes du second ordre à réponse indicielle oscillatoire, on définit le dépassement indiciel D = y(T_m) - y(+∞) y(+∞) c’est à dire la fonction de ξ D = exp( - ξ π

1 - ξ² ) La fonction réciproque, très utile, est ξ = Ln²D π² + Ln²D

De la même manière que dans le cas d’un système du premier ordre, pour quantifier la rapidité de la réponse indicielle d’un système du second ordre, on définit le temps de réponse t_5% , temps au bout duquel la réponse a atteint sa valeur finale à 5% près.

Dans le cas des réponses apériodiques ( ξ ≥ 1 ) , ce temps de réponse est obtenu en résolvant y(t_5%) = 0.95 y(+∞) = 0.95 K X0

Dans le cas de réponse oscillatoire ( ξ < 1 ) il convient de déterminer le temps au bout duquel la valeur de la réponse ‘entre’

dans l’intervalle [ 0.95 y(+∞) , 1.05 y(+∞) ] et n’en ‘sort’ plus.

On peut montrer que le système le plus rapide, au sens du temps de réponse à 5 % uniquement, est le système pour lequel ξ≈ 0.69 ≈ 0.7. Il correspond à un dépassement de 5%, c’est à dire que y(t_5%) = 0.95 y(+∞) et y(T_m) = 1.05 y(+∞).

La résolution de y(t_5%) = 0.95 y(+∞) pour ξ ≈ 0.7 conduit à t_5% ≈ 3 ω0

Pour mémoire, ce résultat est à rapprocher du temps de réponse indicielle d’un système du premier ordre t_5% ≈ 3 τ = 3

ωc

Les systèmes dont le coefficient d’amortissement est plus grand que 0.7 sont plus lents à atteindre 0.95 y(+∞).

Les systèmes dont le coefficient d’amortissement est plus petit que 0.7 sont trop ‘nerveux’ et leur réponse indicielle oscille plusieurs fois avant de rester définitivement dans l’intervalle [ 0.95 y(+∞) , 1.05 y(+∞) ].

Des courbes plus précises sont données en Annexe IV

y(t) K X₀

X₀

x(t)

T_m T_a t

K X₀

X₀ x(t)

t5% t

0.95 K X₀ 1.05 K X₀

t_5%

minimal

y(t)

t_5%

16 Remarques importantes : Il est important de noter que le dépassement indiciel existe dès que ξ < 1.

Le coefficient d’amortissement ξ = 1 est appelé amortissement critique. La réponse indicielle correspondante est appelée réponse apériodique critique.

Pour certaines applications, le dépassement peut être proscrit ( robot d’assemblage...), on doit alors choisir une valeur de ξ supérieure à 1.

Si le dépassement est autorisé, la valeur de ξ ≈ 0.69 ≈ 0.7 est optimale pour le temps de réponse à 5%.

3 - 2 - En boucle fermée.

On a alors la relation K 1 + 2 ξ p ω0

+ p² ω02

[ X(p) - Y(p) ] = Y(p)

d’où après un rapide calcul Y(p) =

K K + 1 1 + 2 ξ p

( K + 1 ) ω0

+ p² ( K + 1 ) ω0

2 X(p)

Conclusions : Boucler un système linéaire du deuxième ordre conduit donc à un second système du deuxième ordre

- de gain statique K

K + 1 - de pulsation propre K + 1 ω0

- de coefficient d’amortissement ξ K + 1

Sa réponse indicielle aura donc une allure semblable à celle obtenue en §3.1 pour la boucle ouverte, seulement - la pulsation propre du système bouclé est supérieure à celle du système en boucle ouverte

- le coefficient d’amortissement du système bouclé est inférieur à celui du système en boucle ouverte - pour de grandes valeurs du gain statique K en boucle ouverte, le gain en boucle fermée est proche de 1 Exemple :

Pour 3

1 + 2 . 1,2 p 10 + p²

10²

en boucle ouverte, soit K = 3 , ω0 = 10 rad/s et ξ = 1,2 , on obtient en boucle fermée 0.75

1 + 2 0.6 p 20 + p²

20²

, soit une pulsation double et un coefficient d’amortissement moitié moindre.

Sur cet exemple, la réponse, non oscillatoire en boucle ouverte, l’est devenue en boucle fermée. Cette tendance d’un système à devenir de plus en plus oscillatoire en boucle fermée, lorsque le gain en boucle ouverte augmente, sera développée lors de l’étude de la stabilité des systèmes asservis en 2^ème année.

De même, l’effet bénéfique, sur la précision en boucle fermée, de l’augmentation du gain en boucle ouverte sera développé lors de l’étude générale de la précision des systèmes asservis en 2^ème année.

On peut, dès maintenant, noter le caractère incompatible de ces deux propriétés de stabilité et de précision. Quelques manières de les concilier seront données lors de l’étude de la correction des systèmes asservis, troisième et dernière partie du cours d’asservissement de 2^ème année.

K

X(p) Y(p)

+ -

1 1 + 2 ξ p ω0

+ p² ω02

y_f(t)

X₀ x(t)

t_5% t 0.75 X0

3 X₀

t_5%

y_o(t)