II - Calcul de puissance

Fiche - Algèbre : Le point sur les matrices

I - Généralités

Proposition 1 : Règles de calcul

SoientAetBdeux matrices deMn(R). etX∈Mn,1(R) une matrice colonne. Alors :

• Transposée :^t(A+B)=^tA+^tB et ^t(AB)=^tB^tA.

• SiAetBsont inversibles, alorsABest inversible et : (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹.

• Deux matrices sont égales ssi tous leurs coefficients sont égaux.

Attention

• Le produit matriciel n’est pas commutatif : AB6=B A en général et (AB)ⁿ6=AⁿBⁿ en général.

• On ne peut pas simplifier un produit : AB=AC n’implique pas B=C en général.

C’est cependant vrai siAest inversible car : AB=AC =⇒A⁻¹AB=A⁻¹AC=⇒B=C.

• AB=0 n’implique pas A=0 ouB=0.

Cependant, siAest inversible, alors : AB=0=⇒A⁻¹AB=A⁻¹0=⇒B=0.

II - Calcul de puissance

Méthode 1 : Puissance d’une matrice diagonale

SiDest une matrice diagonale, alors∀n∈N,Dⁿest une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les puissancesn^ièmedes éléments diagonaux deD.

II.2 - Formule du binôme de Newton

Méthode 2 : Utiliser la formule du binôme de Newton

SoitAetBdeux matrices carrées quicommutent(AB=B A). Alors, pour toutn∈N:

(A+B)ⁿ= Xn k=0

Ãn k

! A^kB^n−k.

Cette méthode est souvent utilisée pour des matrices de la forme (I+N) avec une matriceNayant une puissance nulle, ce qui facilite le calcul.

Exemple 1

CalculonsAⁿavecA=





1 1 1

0 1 1

0 0 1



.

On a : A=I3+N avec N=





0 1 1

0 0 1

0 0 0



. On a alors :N²=





0 0 1

0 0 0

0 0 0



etN³=0 (et doncN^k=0,∀k>3) et comme les matricesI3etNcommutent, on peut écrire pour toutn>^{2 :}

Aⁿ=(I3+N)ⁿ= n X k=0

Ãn k

! N^kI3^n−k=

2 X k=0

Ãn k

!

N^kI3^n−k puisque les puissances de N suivantes sont nulles.

Ainsi, on a, pour toutn>^{2 :} Aⁿ= Ãn

0

! I₃ⁿ+

Ãn 1

! N+

Ãn 2

!

N²=I₃ⁿ+nN+n(n−1) 2 N²=









1 n n(n−1) 2

0 1 n

0 0 1







 .

II.3 - Cas général

Dans le cas général, il n’y a pas de méthode systématique.

Une méthode courante (guidée par l’énoncé) est d’obtenir une relation du type A=P B P⁻¹ oùBest une matrice dont on peut facilement calculer les puissances (Bdiagonale par exemple).

On obtient alors les puissances deAgrâce à la formule ∀n∈N,Aⁿ=P BⁿP⁻¹ qui se démontre par récurrence.

–1/2–

III - Inversibilité

Méthode 3 : Revenir à la définition

Une matriceAdeMn(R) est inversible ssi il existe une matriceB∈Mn(R) telle que AB=B A=I_n. La matriceBs’appelle alors l’inverse de la matriceAque l’on noteA⁻¹.

Dans la pratique, il suffit de vérifier que AB=In ouB A=In. Exemple 2 (Utilisation d’un polynôme annulateur)

SoitA∈Mn(R). On suppose queP(X)=X³+2X²−3 est un polynôme annulateur deA, c’est à dire queAvérifie l’équation A³+2A²−3I=0.

On peut alors écrire : A³+2A²−3I=0⇐⇒A³+2A²=3I⇐⇒A¡ A²+2A¢

=3I⇐⇒A

·1 3

¡A²+2A¢

¸

=I. Ainsi, la matriceAest inversible d’inverse :A⁻¹=1

3

¡A²+2A¢ .

III.2 - Matrices particulières

Méthode 4 : Matrices triangulaires, matrices diagonales

• Une matrice triangulaire est inversible ssi tous ses éléments diagonaux sont non nuls.

Ainsi, une matrice triangulaire n’est pas inversible si au moins un de ses éléments diagonaux est nul.

• En particulier, une matrice diagonaleDest inversible ssi tous ses éléments diagonaux sont non nuls.

Dans ce cas, la matriceD⁻¹est aussi une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les inverses des éléments diagonaux deD.

Exemple 3





1 0 0

−4 2 0

−2 2 −1



est inversible ;



 1 2 −2

0 0 2

0 0 −1



n’est pas inversible ; µ2 0

0 3

¶

est inversible d’inverse µ1/2 0

0 1/3

¶ .

Méthode 5

• Une matrice ayant au moins une colonne (ou une ligne) nulle n’est pas inversible.

• Une matrice ayant deux colonnes (ou deux lignes) proportionnelles n’est pas inversible.

En particulier, une matrice ayant deux colonnes (ou deux lignes) égales n’est pas inversible.

• Une matrice ayant une colonne (ou une ligne) combinaison linéaire des autres n’est pas inversible.

• La matrice µa c

b d

¶

est inversible ssi ad−bc6=0.

Exemple 4

Les matrices





1 0 −2

−4 0 3

−2 0 −1



,





1 2 −2

−3 0 6 2 4 −4



,



 2 4 −2

3 0 3

1 2 −1



, et µ12a 6ab

10 5b

¶

ne sont pas inversibles.

III.3 - Matrices quelconques Méthode 6 : Pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss permet de déterminer si une matriceA∈Mn(R) est inversible ou non.

Lorsque la matriceAest inversible, cette méthode permet également de déterminer son inverseA⁻¹

Méthode 7 : Autres méthodes

• Utilisation du noyau ou du rang :

A∈Mn(R) est inversible⇐⇒Ker(A)=0⇐⇒rg(A)=n.

• Utilisation des valeurs propres :

A∈Mn(R) est inversible⇐⇒0 n’est pas valeur propre¡ 06∈Sp(A)¢

.

–2/2–