SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE :

COURS MECANIQUE VIBRATOIRE

ONDES ACOUSTIQUE

Chapitre 1

SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE :

OSCILLATIONS LIBRES DU SYSTEME NON AMORTI SYSTEME MASSE RESSORT SANS FROTTEMENT

I - SYSTEME CONSIDERE

II - ETUDE A L’EQUILIBRE

A l’équilibre, la somme des forces s’exerçant sur un système est nulle.

La force F de rappel d’un ressort est proportionnelle à l’allongement du ressort :

y0

y0 + y mg

F

mg F y

Le système :

Ressort indéformable, parfaitement élastique, sans masse et sans hystérésis, de raideur k (N m^-1)

Masse m (kg) Pas de frottement

En projection sur l’axe Oy orienté positivement vers le bas on obtient :

Remarque 1 : Remarque 2 :

III - ETUDE EN DYNAMIQUE

La masse est écartée de sa position d’équilibre par une intervention extérieure.

On note y l’allongement par rapport à la position d’équilibre.

L’allongement total est donc y₀ + y.

D’après le principe fondamental de la dynamique, nous avons :

En projection sur l’axe Oy :

D’où l’équation différentielle : d²y/dt² + (k/m) y = 0

IV - SOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE

1°/ SOLUTION

On sait que pour un système sans frottement, le ressort écarté de sa position d’équilibre va osciller indéfiniment de façon sinusoïdale.

La solution de l’équation différentielle du second ordre sans frottement est sinusoïdale :

2°/ PULSATION PROPRE

La fréquence propre (en Hz) est : f₀ = ω₀ /(2π) La période propre (en s) est : T₀ = 1/f₀

3°/ REMARQUES

ω₀ = √ (k/m) montre que :

On a vu au I – 2°/ que :

Si on ne connaît pas la masse suspendue et la raideur du ressort, on peut déterminer la pulsation propre à partir de la mesure de l’allongement en statique.

Chapitre 2

SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE :

OSCILLATIONS LIBRES DU SYSTEME AMORTI SYSTEME MASSE RESSORT AVEC FROTTEMENTS

I - SYSTEME CONSIDERE

II - ETUDE A L’EQUILIBRE

A l’équilibre, la vitesse étant nulle, le frottement fluide n’introduit pas de force.

On a donc toujours :

Le système :

Ressort indéformable, parfaitement élastique, sans masse et sans hystérésis, de raideur k (N m^-1)

Frottement fluide (visqueux). Le coefficient de frottement est noté f (N s m^-1)

Masse m (kg)

0 y0

y0 + y mg

F

F y

F_f

En projection sur l’axe Oy orienté positivement vers le bas on obtient :

III - ETUDE EN DYNAMIQUE

La masse est écartée de sa position d’équilibre par une intervention extérieure.

On note y l’allongement par rapport à la position d’équilibre.

L’allongement total est donc y₀ + y.

Le frottement fluide introduit une force de frottement notée F_f dont l’intensité est proportionnelle à la vitesse : F_f = f v

D’après le principe fondamental de la dynamique, nous avons :

En projection sur l’axe Oy :

D’où l’équation différentielle :

Le fonctionnement du système est une équation différentielle du 2^nd ordre linéaire à coefficients constants. Elle est identique à celle d’un circuit RLC.

IV - SOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE

1°/ FORME NORMALISEE DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE

Sous forme normalisée, l’équation s’écrit :

On a :

2°/ SOLUTION

Les résultats sont les mêmes qu’en électricité pour le circuit RLC.

L’équation caractéristique tirée de l’équation différentielle est : r² + 2zω₀ r + ω₀² = 0 son discriminent est : ∆ = ω₀² (z² – 1) Les différents cas possibles sont :

z < 1 => ∆∆∆∆ < 0

2 racines r₁ et r₂ complexes conjuguées sol eq diff type A e^{r1 t} + B e^{r2 t}

Les parties imaginaires des exp complexes donnent une sinusoïde (Cf formules d’Euler) Les parties réelles des exp donnent une enveloppe d’amortissement

La solution est oscillatoire amortie : régime pseudopériodique.

d²y/dt² + 2 z ω₀ dy/dt + ω₀² y = 0

Pulsation propre ω₀ = √ (k/m) Coefficient d’amortissement : z = f / ( 2 √ (km) )

y(t) = C e ^{– z ω0 t} cos (ω_ps t + ϕ )

ω_ps pseudopulsation : pulsation des oscillations amorties ω = ω √ ( 1 – z² )

z > 1 => ∆∆∆∆ > 0

2 racines r₁ et r₂ réelles négatives sol eq diff type A e^{r1 t} + B e^{r2 t} Les exp tendent vers 0.

La solution apériodique.

z = 1 => ∆∆∆∆ = 0

1 racine réelle double

Cas limite entre les deux régimes : régime critique.

Les constantes sont déterminées par les conditions initiales.

y(t) = e ^{– z ω0 t} [ A exp [ ω₀√(z² –1) ] + B exp [ ω₀√(z² –1) ] ]

y(t) = (A t + B ) e ^{– z ω0 t}

y(t)

t

D1

D2

Tps

z > 1

z < 1

3°/ REMARQUES

ω_ps = ω₀ √ ( 1 – z² ) montre que :

- ω_ps < ω₀

- ω_ps tend vers ω₀ quand l’amortissement diminue … - ω_ps diminue quand l’amortissement augmente

4°/ DECROISSANCE DES PSEUDO-OSCILLATIONS

En reprenant l’expression de y(t) dans le cas oscillatoire amorti, on exprime le rapport des amplitudes de 2 oscillations consécutives.

Le sin est alors a sa valeur minimale (soit 1). On obtient :

D₁ / D₂ = C exp (- z ω₀ t ) / [ C exp [- z ω₀ ( t + T_ps ) ] ] Ceci donne après calculs l’expression du décrément logarithmique :

Chapitre 3

SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE : OSCILLATIONS FORCEES

SYSTEME MASSE RESSORT AVEC FROTTEMENTS

I - SYSTEME CONSIDERE

II – EQUATION DIFFERENTIELLE DU MOUVEMENT

La force de rappel du ressort est :

Le principe fondamental de la dynamique donne :

0 y0

y0 + y mg

F

mg F y

F_f

On fait vibrer cette extrémité à l’aide d’un système extérieur (vibreur, moteur + bielle …)

y_e (t) = Y_emax cos ωt ye(t)

mg – k (y + y

0

– y

e

) – f d(y + y

0

- y

e

)/dt = m d

²

(y + y

0

) / dt

²

mg – k y

0

– k y + ky

e

- f dy/dt + f dy

e

/dt – f dy

0

/dt = m d

²

y/dt

²

+ m d

²

y

0

/dt

²

= 0 Cf §I = 0 car y

₀

cst = 0 car y

₀

cst

D’où l’équation différentielle :

Sous forme normalisée :

III – REPONSE TEMPORELLE

d

²

y/dt

²

+ (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) Y

emax

cos ω

ωωωt - (f/m) Y_emax

ω

ωω sinωω ωωtω

d

²

y/dt

²

+ (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) y

e

+ (f/m) dy

e

/dt

d

²

y/dt

²

+ ( 2 z ω

ωωω₀

) dy/dt + ω

ωωω₀²

y = ω

ωωω₀²

y

e

+ ( 2 z ω

ωωω₀

) dy

e

/dt

La solution de cette équation différentielle est :

y(t) = SGESSM + SPEC

z < 1 pseudopériodique ωps = ω0 √ (1 – z² )

z > 1 apériodique

Le régime transitoire disparaît au bout d’un certain temps

IV – REPONSE HARMONIQUE

1°/ METHODE UTILISEE

La réponse harmonique (en régime sinusoïdal forcé permanent) est, comme en électricité, abordée à l’aide de la représentation complexe des grandeurs sinusoïdales.

Ainsi :

y_e (t) = Y_emax cos ωt engendre y(t) = Y_max cos ( ωt + ϕ )

Y _e = [ Y_emax ; 0 ] Y = [ Y_max ; ϕ ]

2°/ FONCTION DE TRANSFERT

d²y/dt² + (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) y_e

On retrouve la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du second ordre, identique à celle d’un

3°/ REPONSE EN FREQUENCE

On montre que la bande passante est approximativement donnée par : si z faible :

Plus l’amortissement est faible : -

-

1

| Y / Ye |

Z < 1/√2

Z = 1/√2 Z > 1/√2

ωr = ω0 √ (1 – 2 z² ) ω ω0

1/ [ 2z √ (1 – z² ) ]

On voit apparaître un phénomène de résonance :

Cette pulsation de résonance est toujours inférieure à la pulsation propre : ω_r < ω ₀

Plus l’amortissement est faible plus ω_r se rapproche de ω₀

4°/ DEPHASAGE

Plus l’amortissement est faible, plus ϕ_s/e varie rapidement autour de ω₀ Excitation BF :

Excitation HF :

Excitation à la pulsation propre :

ϕs/e

log ω

- 90°

- 180°

ω₀

Chapitre 4

GENERALITES SUR LES ONDES

I – DEFINITION D’UNE ONDE 1°/ DEFINITION

2°/ EXEMPLE

Jeter un caillou dans une étendue d’eau provoque une modification locale du niveau d’eau et engendre une perturbation qui se propage.

Un objet qui flotte reste toujours à la même position lors du passage de la perturbation, il monte et il descend, mais ne se déplace pas horizontalement. Ainsi cette perturbation n’entraîne pas de courant d’eau mais un déplacement d’énergie capable de mettre l’objet en mouvement.

II - DIFFERENTES SORTES D’ONDES 1°/ AVEC OU SANS SUPPORT MATERIEL

C’est le cas dans l’exemple précédent. De même l’oscillation de l’extrémité d’une corde se propagera le long de la corde. Les signaux sonores se propagent dans l’air et non dans le vide. Ce sont des ondes mécaniques : la perturbation met en jeux une grandeur mécanique.

comme les ondes électromagnétiques qui se propagent dans l’air comme dans le vide. La perturbation met en jeux le champ électromagnétique.

2°/ ONDES LONGITUDINALES OU TRANSVERSALES

Soient u vecteur unitaire dans la direction du déplacement de l'énergie et v la vitesse de l'onde :

• u // v : l'onde est longitudinale.

Exemple : Ressort à boudin.

Si on comprime deux spires, on voit se former après les avoir libérées, une onde de compression des spires qui se propage suivant la droite que constitue l'axe de symétrie du ressort. L’onde et l’énergie se propagent dans la même direction, l’onde est longitudinale à une dimension.

• u ⊥ v : l'onde est transversale.

Exemple : Corde

Si on agite l’extrémité d’une corde très longue, le mouvement de la corde se fait verticalement alors que l’onde se propage horizontalement. L’onde est transversale.

• u ⊥ v et la direction de u n’est pas constante : Onde de cisaillement.

Exemple : torsion dans une barre 3°/ DIMENSIONS DES ONDES

2 dimensions : ondes de

surface

3 dimensions : Ondes Sphérique 1 dimension :

Ex : corde / ressort

Pour les ondes tridimensionnelles, l’ensemble des points d’égale déformation constituent la surface d’onde. C’est la surface d’une sphère pour les ondes sphériques.

A grande distance de la source, le rayon de courbure de la sphère R est tel que : R >> λ. La sphère est assimilable à un plan. On parle alors d’onde plane. La surface d’onde devient un plan d’onde.

III – AFFAIBLISSEMENT 1°/ DISSIPATION

2°/ ONDES SPHERIQUES SANS DISSIPATION

L’énergie émise par unité de surface est :

Un capteur de surface s placé à la distance R recueille donc une énergie : L’énergie recueillie est inversement proportionnelle au carré de la distance.

Quand la distance double, l’énergie est divisée par 4.

Si R >> λ

Surface d’onde ≈ plan d’onde.

=> Onde plane

R

IV – CELERITE 1°/ DEFINITION

Exemple : Vitesse des ondes sonores dans l’air à 15 °C et 1 Bar : 340 m s^-1 Vitesse des ondes mécaniques longitudinales dans l’acier : 3200 m s^-1 Vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide : 3 . 10⁸ m s^-1

Vitesse des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial : 2 . 10⁸ m s^-1 2°/ FACTEURS AFFECTANT LA CELERITE

Pour une onde matérielle :

Pour une onde électromagnétique, la vitesse de propagation sera généralement d'autant plus grande que le milieu est dilué. (voir l’indice de réfraction n = C_vide/V)

Photo à t1

Photo à t2

d = distance parcourue

Célérité de l’onde :

IV – ONDE PROGRESSIVE PERIODIQUE 1°/ INTRODUCTION

Au lieu de jeter un seul petit caillou dans l’eau, on recommence à intervalle de temps régulier appelé période T.

Au lieu d’avoir une perturbation unique (onde circulaire) qui se propage, on obtient des vagues successives. Une photo à un instant donné de la surface de l’eau montre des cercles concentriques correspondant chacun au jet d’un caillou.

En réalité, on réalise cette expérience avec la cuve à onde. Un vibreur vient perturber périodiquement la surface de l’eau.

L’intervalle de temps entre deux excitations est T.

L’onde se propage à la vitesse c

La distance parcourue par l’onde pendant T est appelée longueur d’onde λ.

Elle apparaît encore comme la distance entre deux creux sur la photo.

λ

2°/ DOUBLE PERIODICITE

On prend une photo du milieu à un moment donné :

- La hauteur de l’eau dans une direction donnée varie de façon périodique (ici presque sinusoïdalement) en fonction de la position.

-

On se place en un point donné :

- La hauteur de l’eau décrit une oscillation sinusoïdale au cours du temps.

- .

Ainsi une onde progressive périodique est caractérisée par une double périodicité : - Période spatiale λ en m

- Période temporelle T en s.

x (m)

y (m) λ (m)

t (s)

y (t) T (s)

3°/ CELERITE DES ONDES PERIODIQUES

On a déjà vu que la célérité des ondes dépend des propriétés du milieu.

- Pour une onde matérielle, plus le milieu est rigide, plus la célérité est grande. Sur une corde, la célérité d'une onde est d'autant plus grande que la corde est tendue. La célérité du son est plus grande dans un solide que dans l'air.

- Plus l'inertie du milieu est grande, plus la célérité diminue. Sur une corde, la célérité est d'autant plus grande que la masse linéique (masse par unité de longueur) est faible.

- Pour une onde électromagnétique, la vitesse de propagation sera généralement d'autant plus grande que le milieu est dilué (dans le cas général, il convient cependant de considérer les propriétés électromagnétiques du milieu, qui peuvent compliquer la physique du problème). Ainsi, la vitesse de propagation de la lumière est maximale dans le vide. Dans du verre, elle est environ 1,5 fois plus faible.

De façon générale, la célérité dépend aussi de la fréquence de l'onde.

De tels milieux sont qualifiés de dispersifs.

Les milieux pour lesquels la célérité est indépendante de la fréquence sont dits non-dispersifs.

L'air est un milieu non dispersif pour les ondes sonores !

Le phénomène de dispersion est à l'origine de l'arc-en-ciel : les différentes couleurs se propagent différemment dans l'eau, ce qui permet

de décomposer la lumière du soleil suivant ses différentes composantes.

Le verre est un milieu dispersif : La différence de vitesse de propagation des ondes électromagnétiques de différentes fréquences constituant une lumière blanche permet de réaliser la décomposition de cette lumière par un prisme.

Chapitre 5

PROPAGATION DES ONDES

I – PROPAGATION D’UNE DEFORMATION 1°/ CAS DE LA CORDE

On considère une corde sans raideur, infiniment longue de masse linéique µ

Un opérateur (émetteur) positionné à l’extrémité gauche de la corde, donc au point d’abscisse x=0, agite la corde selon un mouvement de faible amplitude.

Les photos de la corde à deux instants t₁ et t₂ montre que la perturbation engendrée se propage.

Quel a été le mouvement de l’émetteur en x = 0 ? Attention : Il s’agit de donner le chronogramme au point d’abscisse x = 0 ! Au vu de la photo de la corde, l’émetteur a d’abord agité la corde vers le bas puis vers le haut pour ensuite revenir en position initiale.

d = distance parcourue

Photo à t1

Photo à t2

x

x

C : Célérité de l’onde

De même le chronogramme d’un point d’abscisse x₁ de la corde donnera :

Pour décrire la perturbation, il faut trouver une fonction définie en tout point x et à chaque instant t.

C’est forcément une fonction de deux variable x et t. On la notera ψ.

On peut écrire que :

2°/ GENERALISATION ONDE PROGRESSIVE

En tout point x, une onde progressive peut être décrite par une fonction ψ définie par :

3°/ PROPAGATION EN SENS INVERSE Il suffit de remplacer c par –c …

On obtient ainsi pour une propagation dans le sens des x négatifs :

4°/ PROPAGATION DANS LES DEUX SENS

Durée pour que la déformation apparaisse :

II – EQUATION DE D’ALEMBERT

Il s’agit de trouver l’équation différentielle dont ψ est la solution.

Cette équation décrit le phénomène de propagation d’une onde dans une direction x donnée.

c est la vitesse de propagation de cette onde, appelée vitesse de phase exprimée en m s^-1 .

La solution générale de l’équation de d’Alembert est la superposition de deux ondes progressives se propageant en sens opposés à la même vitesse c.

ψ (x,t) = e (t – x/c) + s (t + x/c )

∂ψ/∂t = e’ (t – x/c) + s’ (t + x/c)

∂ ²ψ/∂ t² = e’’ (t – x/c) + s’’ (t + x/c)

∂ψ/∂x = (-1/c) e’ (t – x/c) + (1/c) s’ (t + x/c)

∂ ²ψ/∂ x² = (1/c² ) e’’ (t – x/c) + (1/c² ) s’’ (t + x/c) = (1/c² ) [ e’’ (t – x/c) + s’’ (t + x/c) ]

∂ ²ψ/∂ x² = (1/c ² ) ∂ ²ψ/∂ t ²

∂ ²ψ/∂ t ² - c ² ∂ ²ψ/∂ x² = 0 Equation de d’Alembert Equation de propagation

ψ (x_B , t ) = ψ (x_A , t - τ) = ψ (x_A , t – (x_B – x_A)/c )

t

ψ(x_A , t)

Evolution temporelle en xA

t

Evolution temporelle en xB

τ ψ(x_B , t)

x

ψ(x , t-τ)

Photo corde à t - τ

x

Photo corde à l’instant t x_B

ψ(x , t)

x_A

xB - xA = c τ

ψ (x_B , t ) = ψ (x_A , t - τ) = ψ ( x_A + cτ , t)

ψ(x , t₂)

x

ψ(x , t₁)

Photo corde à t₁ x_A

x

Photo corde à t₂

x_A x_B

t

t2

t1

t

τ = t_{2 –} t₁ ψ(x,t)

Pour représenter la fonction ψ de deux variables, on peut utiliser un graphique 3D.

REMARQUES SUR LA FONCTION ψψψψ

IV – PROPAGATION D’UNE DEFORMATION PERIODIQUE L’extrémité gauche de la corde est agitée à la période T.

On représente la corde à différents instants :

x

Photo corde à l’instant T ψ(x , t)

x

ψ(x , 2T)

Photo corde à 2T

λ = c T

x

ψ(x , 3T)

Photo corde à 3T

t

e(t)

Evolution temporelle en x = 0 T

Si l’excitation est périodique, alors la perturbation le long de la corde est périodique.

La période spatiale est la longueur d’onde, reliée à la période temporelle de l’excitation par : λ = cT.

V – ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE 1°/ EXEMPLE DE DISPOSITIF

L’extrémité d’une corde infiniment longue est reliée à un vibreur qui engendre une onde progressive sinusoïdale se propageant le long de la corde.

La corde étant infiniment longue, il n’y a pas de réflexion à son extrémité.

t

Evolution temporelle en x= λ

λ ψ( λ , t)

Evolution temporelle en x = 0

x

y(x)

x

λ

Photo à t₀

M

e(t)

t

T Ces deux graphiques

montrent de nouveau la double périodicité spatiale et temporelle.

t₀

2°/ EXPRESSION INSTANTANEE DE L’ONDE

La perturbation créée à la source est sinusoïdale.

Elle s’écrit donc :

Soit un point M de la corde situé à l’abscisse x

M reproduit le même mouvement que l’origine de la corde avec un retard τ = x/c.

Ainsi : ψ (x,t) =

Posons k = ω/c = 2π /( T c ) = 2 π / λ

On remarque que k joue le même rôle pour la période spatiale que la pulsation ω pour la période temporelle.

k est appelé nombre d’ondes.

On a alors : ψ(x,t) = ψ(x,t) =

Chapitre 6

REFLEXION DES ONDES – ONDES STATIONNAIRES

I – REFLEXION D’UNE DEFORMATION

On considère une onde progressive se propageant de gauche à droite le long d’une corde.

L’extrémité droite de la corde est attachée à un obstacle. Le point b est donc immobile.

Extrémité attachée Extrémité libre

En arrivant à cette extrémité, l’impulsion exerce une force verticale sur le point d’ancrage. Celui-ci exerce, par réaction, une force opposée sur la corde.

Cette force renverse l’onde réfléchie par rapport à l’onde incidente.

Onde réfléchie opposée à l’onde incidente

Cette extrémité monte poussée vers le haut par l’énergie de l’onde. Cette énergie n’étant pas nulle quand l’extrémité libre atteint la hauteur de la déformation, la corde continue de se déplacer.

L’extrémité libre exerce alors une force sur la corde et produit l’onde réfléchie de même forme que l’onde incidente.

Le déplacement vertical maximum est le double de la hauteur de crête incidente.

L’onde réfléchie reste dans le même sens.

L’onde réfléchie se propage à la même vitesse que l’onde incidente.

L’onde réfléchie se propage à la même vitesse que l’onde incidente.

Pour une onde périodique sinusoïdale Changement de phase de 180 °

Pour une onde périodique sinusoïdale Pas de changement de phase

Extrémité attachée Extrémité libre

Cas de la reflexion partielle : lorsque l’onde rencontre une secdtion de corde plus lourde, une partie de l’onde incidente est transmise alors que l’autre partie est réfléchie avec inversion du signe de la perturbation. Si la deuxième portion est moins lourde, l’onde réfléchie ne subit pas ce changement de signe.

c

c

II – INTERFERENCE ENTRE DEUX ONDES EN SENS INVERSE

On considère deux ondes progressives se propageant en sens inverses le long d’une corde. Les perturbations considérées sont de faible amplitude.

1°/ ONDES OPPOSEES ^c

Point toujours au repos :

Interférence destructrice en ce point.

2°/ ONDES IDENTIQUES

c

Point d’amplitude de déplacement maximum :

Interférence constructive en ce point.

III – ONDES STATIONNAIRES

1°/DEFORMATIONS PERIODIQUES OPPOSEES PROGRESSANT EN SENS INVERSE

On considère deux ondes périodiques progressant en sens inverse, de même amplitude et de même longueur d’onde.

On se retrouve dans le cas II – 1°/

Il existe des points où les ondes interfèrent de façon destructrice. Ces points sont toujours au repos et appelés nœuds de vibration.

2°/ CAS SINUSOÎDAL

Soit ψ1(x,t) la déformation se propageant de gauche à droite ( x croissant)

Soit ψ2(x,t) la déformation se propageant de droite à gauche ( x décroissant)

La déformation résultante en un point x le long de la corde sera : ψ (x,t) = ψ1(x,t) + ψ2 (x,t)

= =

Distance entre deux nœuds : Si kx = n π

sin (kx) = 0

ψ est nulle à chaque instant nœud de vibration

2π x /λ = nπ

x = n λ/2

Les nœuds sont distants de λ/2

Position des ventres : Si kx = π/2 + nπ

sin (kx) = + - 1

amplitude de ψ maximale ventre de vibration

2π x/λ = π/2 + nπ

x = λ/4 + n λ /2

Les ventres sont distants de λ/2

Rappel : k = 2π / λ

3°/ ONDES STATIONNAIRES La corde de longueur L est

maintenant fixée à ses deux extrémités.

Un vibreur agite transversalement l’extrémité gauche de la corde.

Le point d’attache engendre la réflexion de l’onde.

La superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie de même fréquence et de même amplitude, peut engendrer dans certain cas l’apparition de nœuds et ventres de vibration.

L’onde apparaît alors immobile, on parle d’ondes stationnaires.

Les extrémités attachées imposent les conditions aux limites : ψ

ψ ψ

ψ(0,t) = 0 et ψψψψ(L,t) = 0

or λ = c/f donc :

Point d’attache

Vibreur

m Réglage de la tension.

Tension augmente => c augmente

Cette relation montre que :

Les ondes stationnaires n’apparaissent que : -

-

Pour une tension de corde donnée, la variation de f fera apparaître successivement les différents modes.

Pour une fréquence donnée, la variation de la tension de la corde fera apparaître les différents modes.

Modes de vibration d’une corde tendue λ = 2L

λ = 2L/2 = L λ = 2 L/3 λ = 2L/4 = L/2 λ = 2L/5 Tension cste

c cste f augmente

f cste T augmente c augmente

4°/ ONDES STATIONNAIRES ET RESONANCE

En réalité, compte tenu des réflexions multiples, l’amplitude de vibration des ventres est supérieure à 2A.

Lors de l’apparition du phénomène d’ondes stationnaires, il apparaît un mouvement de grande amplitude correspondant à un phénomène de résonance :

Les différentes fréquences propres de la corde font penser à la série de Fourier, pour cette raison, le premier mode de vibration en onde stationnaire f1 = c/2L constitue le fondamental. Les fréquences propres multiples sont les harmoniques propres de la corde.

5°/ EXCITATION PAR UN SIGNAL PERIODIQUE QUELCONQUE Le signal d’excitation peut être décomposé en série de Fourier.

Si la fréquence f du fondamental du signal d’excitation correspond à une fréquence propre de la corde, prenons pour simplifier son fondamental : f = c/2L => Onde stationnaire, résonance sur le premier mode

Mais l’harmonique 2 de l’excitation : 2f = 2 c/2L => Apparition du deuxième mode avec une amplitude plus faible du fait de la décroissance de l’amplitude de l’excitation.

Idem pour les harmoniques suivants de l’excitation.

On remarque que si on diminue la longueur d’une corde (violon) la fréquence augmente => son plus aigu.

f 2f 3f

f Spectre de l’excitation

Amplitude Excitation du 1^er mode

Excitation du 2^nd mode Excitation du 3^ème mode

Superposition des 3 modes Superposition des ondes stationnaires

Onde stationnaire complexe

La corde entre en résonance aux fréquences c/2L, c/L, 3c/2L

Timbre sonore d’un

instrument de musique

Chapitre 7 ONDES ACOUSTIQUES, ONDES SONORES

I – NATURE PHYSIQUE DES ONDES ACOUSTIQUES ET SONORES 1°/ NATURE PHYSIQUE

Les ondes acoustiques sont classées en : Infrasons : f < 20 Hz

Ondes sonores : 20 Hz < f < 20 kHz => 17,2 m > λ > 1,72 cm Ultrasons : f > 20 kHz

Hypersons : f > 1 GHz

Dans les fluides compressibles, l’onde sonore est une onde élastique longitudinale qui modifie la densité du milieu et donc la pression.

L’onde sonore est donc la propagation d’une variation de pression.

Il n’y a pas de déplacement du fluide, l’onde sonore ne produit pas de courants d’air ou de débit du fluide ! 2°/ PRODUCTION D’ONDE SONORE

Considérons un piston en mouvement sous l’effet d’oscillations à une fréquence f.

Les molécules ne se déplacent pas sur de grandes distances …. Elles oscillent légèrement autour d’une position moyenne.

L’évolution temporelle de la pression et de la position sont en quadrature.

La pression acoustique est p = P – P₀

Si p > 0 il y a compression du fluide Si p < 0 il y a dilatation du fluide.

3°/ PRESSION ACOUSTIQUE

Soit P₀ la pression dans le fluide au repos Soit P la pression absolue du fluide.

II – VITESSE DE PROPAGATION 1°/ HYPOTHESES

Une onde sonore est une perturbation mécanique qui modifie les propriétés locales : pression, masse volumique, température et vitesse du milieu dans lequel elle se propage.

Par suite :

Les zones comprimées voient leur température augmenter.

On peut considérer les transformations adiabatiques si les variations de volume sont suffisamment rapides par rapport aux temps mis en jeux dans les transferts thermiques entre particules. Ceci est justifié car les fluides sont peu conducteurs de la chaleur.

Si on considère le fluide comme parfait, on néglige les phénomènes dissipatifs, les transformations sont alors réversibles.

L’hypothèse de transformations adiabatiques et réversibles est une hypothèse d’iso-entropie des transformations. (transformations isentropiques).

V(x,t) = v(x,t) ρ_t (x,t) = ρ₀ + ρ(x,t) P (x,t) = P₀ + p(x,t)

2°/ EQUATION DE PROPAGATION

On considère une onde acoustique qui se propage à la vitesse c selon une direction x.

L’équation de propagation est obtenue à partir des deux relations fondamentales de l’acoustique :

Le fluide étant caractérisé par :

- sa masse volumique ρ₀ (kg.m^-3 )

- son coefficient de compressibilité isentropique χ_S = - 1/V [∂V/∂P]_S (Pa^-1)

L’équation de propagation s’écrit : ₂

0

2 2 0

2

∂ =

− ∂

∂

∂

t p x

p

χ

S

ρ

x x + dx

x + ε(x) x + dx + ε(x+dx)

∂ε(x,t) / ∂x = - χ_s p(x,t)

∂p / ∂x = - ρ₀ ∂²ε(x,t)/∂t²

Equation d’Euler (principe fond de la dyn)

Equation de continuité (conservation de la masse)

Entropie S constante

3°/ VITESSE DE PROPAGATION

Pour les gaz parfaits : χ_S = 1/(γ P) γ = C_P/C_v = 1,401 pour l’air

Pour une mole de gaz parfait : PV = RT ρ = M/V

Ce qui donne :

R = 8,314 J mol^-1 K^-1 T température en K

M masse molaire en kg mol^-1 c =

Cp : capacité thermique isobare Cv : capacité thermique isochore

Pour les gaz : M augmente

ρ augmente

car le volume molaire est constant

4°/ SOLUTION DE L’EQUATION

La solution de l’équation de d’Alembert est la superposition d’une onde progressive et d’une onde régressive : p(x,t) = f(t-x/c) + g(t+x/c)

Cas sinusoïdal : p(x,t) = P_m cos (ωt – kx) + P’_m cos (ωt + kx)

Si l’onde sonore résulte du déplacement d’amplitude A d’un piston, l’amplitude de la variation de pression est :

III – IMPEDANCE ACOUSTIQUE

1°/ DEFINITION

Rappel : En électricité, en régime sinusoïdal, l’impédance d’un dipôle est définie par : Z = U / I Analogie :

U p : pression acoustique

I ט : vitesse de déplacement des particules.

Pour une onde sinusoïdale, on définit l’impédance acoustique du milieu pour relier en un point x la pression acoustique à la vitesse de déplacement des particules :

P_m =

2A

Z(x) = p(x) / ט(x)

2°/ PRESSION ACOUSTIQUE ET VITESSE

On considère une onde acoustique plane sinusoïdale qui se propage à la vitesse c selon une direction x.

Ainsi p(x,t) = P_m cos ω(t – x/c) = P_m cos (ωt – kx) =>

avec k = ω/c

∂ε(x,t) / ∂x = - χ_s p(x,t) (Equation d’Euler Cf p 46)

ε(x,t) = - χ_s ∫ p(x,t) dx => ε = - χ_s P_m∫ e ^{j(ωt – kx)} dx = - χ_s P_m e ^{j(ωt – kx)}/ (- jk)

or χ_s = 1/(ρ₀ c² ) et k = ω/c entraîne : D’où la vitesse :

Pression acoustique et vitesse sont en phase

Pression acoustique et déplacement sont en quadrature

x x + dx

x + ε(x) x + dx + ε(x+dx)

ε (x,t) =

ט (x,t) = ∂ε/∂t =

p(x,t) =

3°/ EXPRESSION DE L’IMPEDANCE ACOUSTIQUE

En un point x : Z(x) = p (x,t) / ט(x,t) = ρ₀ c = √(ρ₀/χ_s )

Dans le cas d’une onde progressive plane, l’impédance acoustique est constante et la même en tout point dans la direction de propagation.

Cette impédance est appelée impédance caractéristique Z_c du fluide.

S’exprime en Pa s m^-1 ou N s m^-3.

L’impédance acoustique augmente quand la densité du milieu augmente L’impédance acoustique augmente quand la compressibilité diminue Pour P_m donnée, quand Z augmente, l’amplitude de la vitesse diminue.

L’impédance acoustique caractérise en quelque sorte l’aptitude du milieu à diminuer la vitesse pour une surpression donnée.

Ordre de grandeurs : ρ₀ = 1,21 kg m^-3

γ = 1,402

T = 20 ° C = 293,15 K P_atm = 10⁵ N/m²

M = ρ₀ / V_M = 1,21 . 0,0224 = 27,1 g

IV – ENERGIE ACOUSTIQUE

1°/ ENERGIE CINETIQUE

Ec = ½ m (∂ε/∂t )² = ½ ρ₀ V (∂ε/∂t )²

Densité volumique d’énergie cinétique :

E

c =½ ρ₀ (∂ε/∂t )²

2°/ ENERGIE POTENTIELLE

dEp = - F . dε = - p S dε = - p dV

dEp = p χ_s V dp dV = - χ_s V dp

Ep = χ_s V ∫ p dp = χ_s V p² / 2 Densité volumique d’énergie potentielle :

E

p χ_s p² / 2

x x + dx

x + ε(x) x + dx + ε(x+dx) ε

3°/ ENERGIE MECANIQUE TOTALE

Densité volumique d’énergie :

E

^{= ½ ρ}0 (∂ε/∂t )² + χ_s p² / 2 Cas d’une onde progressive plane harmonique :

E

^{= 1/(ρ}0 c² ) P_m² e ^{2j ( ωt – kx)} =>

E

^{= 1/(ρ}0 c² ) P_m² cos² ( ωt – kx) En moyenne :

L’onde sonore propage une énergie capable de mettre en mouvement la membrane d’un micro ou du tympan. L’énergie est liée au carré de l’amplitude de la pression acoustique.

V – INTENSITE ACOUSTIQUE DE L’ONDE

1°/ DEFINITION

Intensité acoustique en W m ^–2 :

<

E

^{> = P}m

2 /( 2 ρ₀ c² )

2°/ EXPRESSION EN FONCTION DE LA PRESSION ACOUSTIQUE

P

^{= dE / dt}

Energie mise en jeux : dE =

E

. volume =

E

^{S c dt}

D’où :

P

⁼

E

S c => I =

P /S = E

^{c or}

E

^{= 1/(ρ}0 c² ) P_m² cos² ( ωt – kx) = 1/(ρ₀ c ) P_m² cos² ( ωt – kx)

En moyenne : I s’exprime en W/m²

Remarques : Pour une même amplitude de pression acoustique, l’intensité sonore augmente quand l’impédance caractéristique du milieu diminue (par exemple quand la densité du milieu diminue.)

=> Les matériaux d’isolation sonore ont une forte densité.

=> Les isolants multicouches utilisés dans le bâtiment sont valables pour l’isolation thermique mais pas bons pour l’isolation phonique !

3°/ EVOLUTION AVEC LA DISTANCE

Pour une source sonore émettant une puissance

P

e dans tout l’espace et ainsi source d’ondes sphériques, l’intensité acoustique à la distance d est : I =

P

e /4πd² et décroît avec le carré de la distance.

Ainsi un capteur de surface s à distance r d’une source reçoit une puissance : < I > =

< I > =

c

c dt

Chapitre 8

PERCEPTION DES SONS

I – CONSTITUTION ET PROPRIETES DE L’OREILLE 1°/ CONSTITUTION

1 - Partie osseuse 2 - Pavillon

3 - Conduit auditif 4 - Tympan

5 - Marteau 6 - Enclume 7 - Etrier

8 - Trompe d'eustache 9 - Cochlée

10 - Nerf auditif

2°/ DESCRITION

A - L'oreille externe : C’est la seule partie visible de l’oreille humaine. Elle prend la forme d’un pavillon qui va collecter les sons et canaliser sa transmission par le conduit auditif jusqu’au tympan. Ce dernier fonctionne comme la partie supérieure d’un tambour : il se met à vibrer au contact des ondes sonores. Au niveau du CAE (conduit auditif externe) s’accumule le cérumen, produit par le corps, qui permet de protéger le tympan.

B. L'oreille moyenne : Elle est composée d’une chaîne de trois osselets, les plus petits du corps humain : tout d'abord, le marteau rattaché sur l’autre face du tympan, puis l’enclume et enfin, l’étrier en relation avec la cochlée. Leur rôle est de transformer les ondes acoustiques en ondes vibratoires (de la même manière qu’un micro) et de les acheminer vers l’oreille interne.

C. L'oreille interne : C'est la partie complexe du système auditif. En effet, les vibrations sonores pénétrant dans la cochlée (en forme d’escargot) provoquent la transmission d’une onde dans l’organe auditif rempli de fluide. Ce mouvement met en action les cellules ciliées qui émettent alors un signal électrochimique au nerf auditif. Au bout de cette chaîne, ce signal est renvoyé vers le cerveau qui le perçoit comme un son.

3°/ PROPRIETES

Le système auditif humain est sensible à des fréquences allant de 20 Hz à un maximum d'environ 20 000 Hz. Mais l'étendue des fréquences audibles diminue avec l'âge du fait de la presbyacousie. Dans cette gamme de fréquences, l'oreille humaine est plus sensible entre 1 et 5 kHz. Cela est dû principalement à la résonance du canal auditif et à la fonction de transfert des osselets dans l'oreille moyenne. L’oreille est particulièrement sensible aux fréquences autour de 3 kHz.

Plus de sensibilité à basse fréquence entraînerait la perception des bruits internes liés au fonctionnement interne du corps humain.

II – HAUTEUR DU SON

La hauteur du son est liée à sa fréquence :

Cependant pour deux sons de même fréquence, le plus intense semblera plus aigu.

f augmente hauteur du son

augmente

III – TIMBRE

L’oreille permet de faire la distinction entre deux même notes (même hauteur, donc même fréquence) de même intensité sonore jouée par deux instruments différents.

Chaque instrument a son propre timbre lié au spectre des sons qu’il émet.

La décomposition en série de Fourier indique :

Un instrument de musique est plus complexe.

y(t) = Y₁ cos (ωωωt + ϕω ϕϕϕ₁) + ∑ Y_n cos (nωωωωt + ϕϕϕϕ_n)

n=2

+∞

Fondamental :

fréquence la plus basse Harmoniques physiques : fréq multiples

Sous

harmoniques : modulations, vibratos …

Fondamental : hauteur de la note

Harmoniques : Timbre

Harmoniques musicaux : pas forcément

multiples.

+

Exemple : son d’une cloche !

IV – NIVEAU SONORE OU NIVEAU D’INTENSITE SONORE (SL - SPL)

1°/ CONSTAT

L’oreille permet d’entendre les ondes ayant des intensités sonores variant dans des proportions considérables : de 10^-12 à 1 W m^-2 . On constate :

Ces constatations montrent que l’oreille est un détecteur de niveau sonore qui fonctionne logarithmiquement.

La sensation sonore doit donc être chiffrée par une grandeur logarithmique.

I 2 I

x 2

I 10 I

x 10

I₁ n I₁

x n

I₂ n I₂

x n

2°/ DEFINITION : Niveau d’intensité ou niveau sonore (SL)

Le niveau d’intensité sonore (Sound Level : SL) d’une onde est le nombre de multiplications par 10 nécessaires pour obtenir sa valeur à partir du seuil d’audibilité I₀ = 10^-12 W m^-2.

Il s’exprime en Bel.

Ainsi le niveau d’intensité sonore se définirait par L = log I/I₀ et s’exprimerait en Bels.

On utilise en réalité le décibel comme unité.

D’où la définition :

3°/ DEFINITION : Niveau de pression sonore (SPL)

La grandeur mise en jeux n’est plus l’intensité mais la pression efficace.

Or I = P² / ( ρ₀ c) d’où L = 10 log [ P² / ( ρ₀ c) ] / [ P₀² / ( ρ₀ c) ] = 10 log [ P² / P₀² ]

= 20 log [ P/ P₀ ]

Avec P₀ = √ (I₀ ρ₀ c ) = 20 µPa (efficace)

Le niveau de pression sonore (Sound Pressure Level : SPL) d’une onde est défini par : S’exprime en dB SL

S’exprime en dB SPL

4°/ REMARQUES

Ne pas confondre avec les dB utilisés en électronique pour caractériser un quadripôle.

V – VOLUME SONORE

La sensation auditive de volume sonore est subjective et dépend du spectre de fréquence en jeux, de la durée de l’exposition et de l’intensité du son.

Ces notions seront développées ultérieurement et sont du domaine de la psycho-acoustique.

1°/ REPONSE AUDITIVE

L'unité de mesure de niveau de son est le phone.

Deux ondes sinusoïdales d'égal phone correspondent au même niveau sonore pour l'oreille humaine.

Etablies en 1933 par Fletcher et Munson, revues en 1956 par Robinson et Dadson et base du standard ISO226, actualisées en 2003 pour donner la nouvelle norme ISO226:2003

Quadripôle (ampli/filtre)

E S G = 20 log S_max / E_max

Pas de référence fixe Comparaison de deux tensions.

Courbes isosoniques

2°/ SEUIL D’AUDIBILITE

La courbe 2 représente le seuil d’audibilité : intensité acoustique minimale audible. Il dépend de la fréquence. Le niveau sonore correspondant est de 0 phone

3°/ SEUIL DE LA DOULEUR

La courbe 1 représente le seuil de la douleur : intensité acoustique maximale au-delà de laquelle l’oreille subit des lésons irréversibles. Il dépend de la fréquence dans de moindres proportions que le seuil d’audibilité. Le niveau sonore correspondant est de 120 phones.

1000 Hz Amplitude

vibration : 1 µm

I = 10 ^–12 W m^-2 P0 = 2.10 ^–5 Pa

= 2.10^-10 Bar

≈≈≈≈ 0 dB_SPL

1000 Hz Amplitude

vibration : 10 µm

I = 1 W m^-2 P₀ = 20 Pa

= 2 .10^-4 Bar

≈≈≈≈ 120 dB_SPL

4°/ CONSEQUENCES

A faible niveau sonore, les graves et les aigus sont très mal perçus. Sur les appareils de reproduction sonore, on utilise un correcteur physiologique « loudness » pour compenser ce phénomène. Ce correcteur n’a d’utilité qu’à faible niveau d’écoute.

Les instruments de mesure (sonomètres) possèdent des corrections (appelées pondérations) permettant de compenser ce phénomène.

(Voir module acoustique du semestre 4).

VI – OPERATIONS SUR LES dB

1°/ SUPERPOSITION DE DEUX SOURCES SONORES

Source A IA

L_A

Source B I_B LB

I = I_A + I_B L ≠ L_A + L_B

On additionne les W/m² On n’additionne pas les dB

Calcul du niveau sonore résultant :

2°/ SOURCES SONORES IDENTIQUES NON COHERENTES

Démonstration : L = 10 log [ (2 I_A )/I₀ ]

= 10 log 2 + 10 log [ I_A /I₀ ] = 3 + L_A

L_A = 10 log [ I_A /I₀ ] => I_A = I₀ 10 ^L_A^/10 L_B = 10 log [ I_B /I₀ ] => I_B = I₀ 10 ^L_B^/10

L = 10 log [ (I_A + I_B)/I₀ ] L = 10 log ( 10 ^L_A^/10 + 10 ^L_B^/10 )

Sources sonores identiques : I_A = I_B => L = L_A + 3 dB

Chapitre 9

ONDES STATIONNAIRES DANS UN TUBE

I – PRINCIPE

L’air comme le fil tendu agité à une de ses extrémité peut être le siège d’ondes stationnaires. Pour cela il doit être contenu dans une cavité résonante de forme quelconque.

Les instruments de musique utilisent souvent une cavité résonante pour amplifier le son.

Bois Cuivres Orgues

Flutes

Voix Anche

vibrante

Lèvres Jet d’air Cordes

vocales Excitation :

large bande de fréquences

Seules subsistent et s’amplifient les fréquences générant des ondes stationnaires résonantes.

Différentes configurations sont possibles pour un tuyau sonore :

Ouvert

Ouvert Orgue / Flute

P = Pa

p = 0 P = Pa

p = 0

Nœuds de pression Ventres de déplacement

Fermé

Ouvert Cuivre / Bois

p = maxi P = Pa

p = 0

Nœud de pressions Ventre de déplacement Ventre de pression

Noeud de déplacement

II – MODES DE VIBRATION

1°/ TUBE OUVERT-OUVERT

Mode Fondamental :

Harmonique 2 :

Pour la pression acoustique, ce cas est identique à celui de la corde attachée aux 2 extrémités

λ/2 = L

Pressionacoustique

λ = L

n^ième mode : λ_n = 2L/n f_n = n c / (2L)

déplacement

Pressionacoustique

2°/ TUBE FERME-OUVERT

Mode Fondamental :

Harmonique 2 :

Pressionacoustique

λ/4 = L λ = 4L

λ/2 = 2L/3 λ = 4L/3

n^ième mode : λn = 4L/(2k+1) f_n = (2k+1) c / (4L)

k = n - 1

Pressionacoustique

3°/ TUBE FERME-FERME

Mode Fondamental :

Harmonique 2 :

Pression acoustique

Pression acoustique

λ/2 = L

n^ième mode : λn = 2L/n fn = n c / (2L) λ = L

III - REFLEXION TOTALE

1°/ RAPPEL DU PHENOMENE

ψ(x,t) = A cos (ωt – kx) + A cos (ωt + kx + ϕ_r/i )

Rappel du phénomène étudié dans le cas de la corde vibrante : La superposition de deux ondes de même amplitude progressant en sens inverse engendre la formation d’ondes stationnaires.

2°/ REMARQUE SUR ϕϕϕϕ_r/i

Extrémité ouverte : Nœud de pression => ϕr/i = π pour la pression acoustique Ventre de déplacement => ϕr/i = 0 pour le déplacement

Extrémité fermée : Ventre de pression => ϕr/i = 0 pour la pression acoustique Nœud de déplacement => ϕr/i = π pour le déplacement

3°/ DEMONSTRATION GRAPHIQUE

Etudions le cas du tube fermé à ces deux extrémités et observons la pression acoustique : p(x,t) = A cos (ωt – kx) + A cos (ωt + kx)

Chaque sinusoïde peut être représentée par un vecteur de Fresnel : I = [A , -kx ] et R = [A , kx ]

R

I

P

Pmax = 2A => L’amplitude est maxi : Ventre de vibration.

kx = 0 + nπ

R

I

Pmax = 0 => L’amplitude est nulle : Noeud de vibration.

kx = π/2 + nπ

-kx kx R

I

P

kx = quelconque

4°/ CONCLUSION

Tube fermé aux deux extrémités.

Etude de l’onde stationnaire de pression acoustique :

Position des ventres : kx = nπ x = n π / k x = n λ/2

Position des noeuds : kx = π/2 + nπ x = π /2k + nπ/k x = λ/4 + n λ/2

IV – TAUX D’ONDES STATIONNAIRES

En réalité la réflexion totale n’est pas très réaliste. Il y a toujours une partie de l’onde incidente qui est absorbée voire transmise.

Pression acoustique

λ/4 λ/2

λ/2

Rappel : k = 2π/λ

Onde incidente Onde réfléchie

Onde transmise

Une partie absorbée

Ainsi l’expression de l’onde résultante est :

ψ(x,t) = A_i cos (ωt – kx) + A_r cos (ωt + kx + ϕ_r/i )

Le coefficient de réflexion est défini par :

Si r = 1 => Ai = Ar => Ondes stationnaires

Si r = 0 => Ar = 0 : pas de réflexion, onde progressive incidente

Si 0 < r < 1 => Cas intermédiaire : onde progressive et onde stationnaire se superposent.

On définit le Taux d’Ondes Stationnaires :

Le TOS est aussi appelé Rapport d’Ondes Stationnaires (ROS).

r = A_r / A_i

TOS = Pmax (ventre) / Pmin (nœud) = (1+r)/(1-r)

Chapitre 10

QUELQUES PHENOMENES

I – PHENOMENE DE BATTEMENT

1°/ ADDITION DE DEUX SINUSOIDES DE MEME FREQUENCE

Si ϕ = 0 :

Si ϕ = π/2 :

Si ϕ = π :

+ u₁

u₂

s u₁(t) = U_max sinωt

s = u₁ + u₂ u₂(t) = U_max sin(ωt + ϕ)

U2

U₁

S u₁ et u₂ en phase

s est sinusoïdal Amplitude 2U_max

u₁ et u₂ en quadrature s est sinusoïdal

Amplitude U_max √2

U₁ U₂

S

u₁ et u₂ en opposition de phase s est nul

U₁ U₂

S

2°/ ADDITION DE DEUX SINUSOIDES DE FREQUENCES VOISINES

a) expression instantanée

s(t) = U_max sin ω₁t + U_max sin ω₂t or : ω₂ = ω₁ + ∆ω d’où :s(t) = U_max sin ω₁t + U_max sin (ω₁ + ∆ω)t

s(t) = U_max sin ω₁t + U_max sin (ω₁ t + ∆ω t )

Dans la représentation de Fresnel du I, le vecteur U₂ tourne par rapport à U₁ à la vitesse angulaire ∆ω.

Le signal somme voit son amplitude varier dans le temps à la pulsation ∆ω d’autant plus faible que ω₁ est proche de ω₂.

+ u₁

u2

s u1(t) = Umax sinω1t

s = u₁ + u₂ u₂(t) = U_max sinω₂t

ϕ = ∆ω t