On considère une onde progressive se propageant de gauche à droite le long d’une corde.
L’extrémité droite de la corde est attachée à un obstacle. Le point b est donc immobile.
Extrémité attachée Extrémité libre
En arrivant à cette extrémité, l’impulsion exerce une force verticale sur le point d’ancrage. Celui-ci exerce, par réaction, une force opposée sur la corde.
Cette force renverse l’onde réfléchie par rapport à l’onde incidente.
Onde réfléchie opposée à l’onde incidente
Cette extrémité monte poussée vers le haut par l’énergie de l’onde. Cette énergie n’étant pas nulle quand l’extrémité libre atteint la hauteur de la déformation, la corde continue de se déplacer.
L’extrémité libre exerce alors une force sur la corde et produit l’onde réfléchie de même forme que l’onde incidente.
Le déplacement vertical maximum est le double de la hauteur de crête incidente.
L’onde réfléchie reste dans le même sens.
L’onde réfléchie se propage à la même vitesse que l’onde incidente.
L’onde réfléchie se propage à la même vitesse que l’onde incidente.
Pour une onde périodique sinusoïdale Changement de phase de 180 °
Pour une onde périodique sinusoïdale Pas de changement de phase
Extrémité attachée Extrémité libre
Cas de la reflexion partielle : lorsque l’onde rencontre une secdtion de corde plus lourde, une partie de l’onde incidente est transmise alors que l’autre partie est réfléchie avec inversion du signe de la perturbation. Si la deuxième portion est moins lourde, l’onde réfléchie ne subit pas ce changement de signe.
c
c
II – INTERFERENCE ENTRE DEUX ONDES EN SENS INVERSE
On considère deux ondes progressives se propageant en sens inverses le long d’une corde. Les perturbations considérées sont de faible amplitude.
1°/ ONDES OPPOSEES c
Point toujours au repos :
Interférence destructrice en ce point.
2°/ ONDES IDENTIQUES
c
Point d’amplitude de déplacement maximum :
Interférence constructive en ce point.
III – ONDES STATIONNAIRES
1°/DEFORMATIONS PERIODIQUES OPPOSEES PROGRESSANT EN SENS INVERSE
On considère deux ondes périodiques progressant en sens inverse, de même amplitude et de même longueur d’onde.
On se retrouve dans le cas II – 1°/
Il existe des points où les ondes interfèrent de façon destructrice. Ces points sont toujours au repos et appelés nœuds de vibration.
2°/ CAS SINUSOÎDAL
Soit ψ1(x,t) la déformation se propageant de gauche à droite ( x croissant)
Soit ψ2(x,t) la déformation se propageant de droite à gauche ( x décroissant)
La déformation résultante en un point x le long de la corde sera : ψ (x,t) = ψ1(x,t) + ψ2 (x,t)
= =
Distance entre deux nœuds : Si kx = n π
sin (kx) = 0
ψ est nulle à chaque instant nœud de vibration
3°/ ONDES STATIONNAIRES La corde de longueur L est
maintenant fixée à ses deux extrémités.
Un vibreur agite transversalement l’extrémité gauche de la corde.
Le point d’attache engendre la réflexion de l’onde.
La superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie de même fréquence et de même amplitude, peut engendrer dans certain cas l’apparition de nœuds et ventres de vibration.
L’onde apparaît alors immobile, on parle d’ondes stationnaires.
Les extrémités attachées imposent les conditions aux limites : ψ
Tension augmente => c augmente
Cette relation montre que :
Les ondes stationnaires n’apparaissent que :
-Pour une tension de corde donnée, la variation de f fera apparaître successivement les différents modes.
Pour une fréquence donnée, la variation de la tension de la corde fera apparaître les différents modes.
Modes de vibration d’une corde tendue λ = 2L
4°/ ONDES STATIONNAIRES ET RESONANCE
En réalité, compte tenu des réflexions multiples, l’amplitude de vibration des ventres est supérieure à 2A.
Lors de l’apparition du phénomène d’ondes stationnaires, il apparaît un mouvement de grande amplitude correspondant à un phénomène de résonance :
Les différentes fréquences propres de la corde font penser à la série de Fourier, pour cette raison, le premier mode de vibration en onde stationnaire f1 = c/2L constitue le fondamental. Les fréquences propres multiples sont les harmoniques propres de la corde.
5°/ EXCITATION PAR UN SIGNAL PERIODIQUE QUELCONQUE Le signal d’excitation peut être décomposé en série de Fourier.
Si la fréquence f du fondamental du signal d’excitation correspond à une fréquence propre de la corde, prenons pour simplifier son fondamental : f = c/2L => Onde stationnaire, résonance sur le premier mode
Mais l’harmonique 2 de l’excitation : 2f = 2 c/2L => Apparition du deuxième mode avec une amplitude plus faible du fait de la décroissance de l’amplitude de l’excitation.
Idem pour les harmoniques suivants de l’excitation.
On remarque que si on diminue la longueur d’une corde (violon) la fréquence augmente => son plus aigu.
f 2f 3f
f Spectre de l’excitation
Amplitude Excitation du 1er mode
Excitation du 2nd mode Excitation du 3ème mode
Superposition des 3 modes
Chapitre 7 ONDES ACOUSTIQUES, ONDES SONORES
I – NATURE PHYSIQUE DES ONDES ACOUSTIQUES ET SONORES 1°/ NATURE PHYSIQUE
Les ondes acoustiques sont classées en : Infrasons : f < 20 Hz
Ondes sonores : 20 Hz < f < 20 kHz => 17,2 m > λ > 1,72 cm Ultrasons : f > 20 kHz
Hypersons : f > 1 GHz
Dans les fluides compressibles, l’onde sonore est une onde élastique longitudinale qui modifie la densité du milieu et donc la pression.
L’onde sonore est donc la propagation d’une variation de pression.
Il n’y a pas de déplacement du fluide, l’onde sonore ne produit pas de courants d’air ou de débit du fluide ! 2°/ PRODUCTION D’ONDE SONORE
Considérons un piston en mouvement sous l’effet d’oscillations à une fréquence f.
Les molécules ne se déplacent pas sur de grandes distances …. Elles oscillent légèrement autour d’une position moyenne.
L’évolution temporelle de la pression et de la position sont en quadrature.
La pression acoustique est p = P – P0
Si p > 0 il y a compression du fluide Si p < 0 il y a dilatation du fluide.
3°/ PRESSION ACOUSTIQUE
Soit P0 la pression dans le fluide au repos Soit P la pression absolue du fluide.
II – VITESSE DE PROPAGATION 1°/ HYPOTHESES
Une onde sonore est une perturbation mécanique qui modifie les propriétés locales : pression, masse volumique, température et vitesse du milieu dans lequel elle se propage.
Par suite :
Les zones comprimées voient leur température augmenter.
On peut considérer les transformations adiabatiques si les variations de volume sont suffisamment rapides par rapport aux temps mis en jeux dans les transferts thermiques entre particules. Ceci est justifié car les fluides sont peu conducteurs de la chaleur.
Si on considère le fluide comme parfait, on néglige les phénomènes dissipatifs, les transformations sont alors réversibles.
L’hypothèse de transformations adiabatiques et réversibles est une hypothèse d’iso-entropie des transformations. (transformations isentropiques).
V(x,t) = v(x,t) ρt (x,t) = ρ0 + ρ(x,t) P (x,t) = P0 + p(x,t)
2°/ EQUATION DE PROPAGATION
On considère une onde acoustique qui se propage à la vitesse c selon une direction x.
L’équation de propagation est obtenue à partir des deux relations fondamentales de l’acoustique :
Le fluide étant caractérisé par :
- sa masse volumique ρ0 (kg.m-3 )
- son coefficient de compressibilité isentropique χS = - 1/V [∂V/∂P]S (Pa-1)
L’équation de propagation s’écrit : 2
0
2
Equation d’Euler (principe fond de la dyn)
Equation de continuité (conservation de la masse)
Entropie S constante
3°/ VITESSE DE PROPAGATION
Pour les gaz parfaits : χS = 1/(γ P) γ = CP/Cv = 1,401 pour l’air
Pour une mole de gaz parfait : PV = RT ρ = M/V
Ce qui donne :
R = 8,314 J mol-1 K-1 T température en K
M masse molaire en kg mol-1 c =
Cp : capacité thermique isobare Cv : capacité thermique isochore
Pour les gaz : M augmente
ρ augmente
car le volume molaire est constant
4°/ SOLUTION DE L’EQUATION
La solution de l’équation de d’Alembert est la superposition d’une onde progressive et d’une onde régressive : p(x,t) = f(t-x/c) + g(t+x/c)
Cas sinusoïdal : p(x,t) = Pm cos (ωt – kx) + P’m cos (ωt + kx)
Si l’onde sonore résulte du déplacement d’amplitude A d’un piston, l’amplitude de la variation de pression est :
III – IMPEDANCE ACOUSTIQUE
1°/ DEFINITION
Rappel : En électricité, en régime sinusoïdal, l’impédance d’un dipôle est définie par : Z = U / I Analogie :
U p : pression acoustique
I ט : vitesse de déplacement des particules.
Pour une onde sinusoïdale, on définit l’impédance acoustique du milieu pour relier en un point x la pression acoustique à la vitesse de déplacement des particules :
Pm =
2A
Z(x) = p(x) / ט(x)
2°/ PRESSION ACOUSTIQUE ET VITESSE
On considère une onde acoustique plane sinusoïdale qui se propage à la vitesse c selon une direction x.
Ainsi p(x,t) = Pm cos ω(t – x/c) = Pm cos (ωt – kx) =>
avec k = ω/c
∂ε(x,t) / ∂x = - χs p(x,t) (Equation d’Euler Cf p 46)
ε(x,t) = - χs ∫ p(x,t) dx => ε = - χs Pm∫ e j(ωt – kx) dx = - χs Pm e j(ωt – kx)/ (- jk)
or χs = 1/(ρ0 c2 ) et k = ω/c entraîne : D’où la vitesse :
Pression acoustique et vitesse sont en phase
Pression acoustique et déplacement sont en quadrature
x x + dx
x + ε(x) x + dx + ε(x+dx)
ε (x,t) =
ט (x,t) = ∂ε/∂t =
p(x,t) =
3°/ EXPRESSION DE L’IMPEDANCE ACOUSTIQUE
En un point x : Z(x) = p (x,t) / ט(x,t) = ρ0 c = √(ρ0/χs )
Dans le cas d’une onde progressive plane, l’impédance acoustique est constante et la même en tout point dans la direction de propagation.
Cette impédance est appelée impédance caractéristique Zc du fluide.
S’exprime en Pa s m-1 ou N s m-3.
L’impédance acoustique augmente quand la densité du milieu augmente L’impédance acoustique augmente quand la compressibilité diminue Pour Pm donnée, quand Z augmente, l’amplitude de la vitesse diminue.
L’impédance acoustique caractérise en quelque sorte l’aptitude du milieu à diminuer la vitesse pour une surpression donnée.
Ordre de grandeurs : ρ0 = 1,21 kg m-3
γ = 1,402
T = 20 ° C = 293,15 K Patm = 105 N/m2
M = ρ0 / VM = 1,21 . 0,0224 = 27,1 g
IV – ENERGIE ACOUSTIQUE
1°/ ENERGIE CINETIQUE
Ec = ½ m (∂ε/∂t )2 = ½ ρ0 V (∂ε/∂t )2
Densité volumique d’énergie cinétique :
E
c =½ ρ0 (∂ε/∂t )22°/ ENERGIE POTENTIELLE
dEp = - F . dε = - p S dε = - p dV
dEp = p χs V dp dV = - χs V dp
Ep = χs V ∫ p dp = χs V p2 / 2 Densité volumique d’énergie potentielle :
E
p χs p2 / 2x x + dx
x + ε(x) x + dx + ε(x+dx) ε
3°/ ENERGIE MECANIQUE TOTALE
Densité volumique d’énergie :
E
= ½ ρ0 (∂ε/∂t )2 + χs p2 / 2 Cas d’une onde progressive plane harmonique :E
= 1/(ρ0 c2 ) Pm2 e 2j ( ωt – kx) =>E
= 1/(ρ0 c2 ) Pm2 cos2 ( ωt – kx) En moyenne :L’onde sonore propage une énergie capable de mettre en mouvement la membrane d’un micro ou du tympan. L’énergie est liée au carré de l’amplitude de la pression acoustique.
V – INTENSITE ACOUSTIQUE DE L’ONDE
1°/ DEFINITION
Intensité acoustique en W m –2 :
<
E
> = Pm2 /( 2 ρ0 c2 )
2°/ EXPRESSION EN FONCTION DE LA PRESSION ACOUSTIQUE
Remarques : Pour une même amplitude de pression acoustique, l’intensité sonore augmente quand l’impédance caractéristique du milieu diminue (par exemple quand la densité du milieu diminue.)
=> Les matériaux d’isolation sonore ont une forte densité.
=> Les isolants multicouches utilisés dans le bâtiment sont valables pour l’isolation thermique mais pas bons pour l’isolation phonique !
3°/ EVOLUTION AVEC LA DISTANCE
Pour une source sonore émettant une puissance
P
e dans tout l’espace et ainsi source d’ondes sphériques, l’intensité acoustique à la distance d est : I =P
e /4πd2 et décroît avec le carré de la distance.Ainsi un capteur de surface s à distance r d’une source reçoit une puissance : < I > =
< I > =
c
c dt
Chapitre 8