1 Caract` ere additif et mesure auto-duale globaux

(1)

Expos´e III :

Construction des noyaux globaux par la formule de Poisson

Laurent Lafforgue

Expos´ e ` a l’IH´ ES le 24 juin 2008

1 Caract` ere additif et mesure auto-duale globaux

Choisissons une fois pour toutes un caract`ere additif non trivial ψ_q :Fq→C^×.

En toute placex∈ |X|, il induit un caract`ere additif du corps r´esiduel ψ_q_x:κ(x)−→^Tr Fq

ψ_q

−→C^×, d´efini par composition avec l’homomorphisme de trace

Tr :κ(x)→Fq.

Puis consid´erons une forme diff´erentielle rationnelle non nulleωX sur la courbeX.

En toute placex∈ |X|, la composition de l’homomorphisme de résidu Res et du caractère additif résiduel ψ_q_x définit un caractère additif non trivial du corps local F_x

ψ_x : F_x → C^×,

a 7→ ψ_q_x(Res(a·ω_X)).

On remarque que le conducteur N_ψ_x de ψ_x est égal à l’ordre d’annulation (ou de pôle, si c’est un entier négatif) de la forme différentielle rationnelleω_X au point xde la courbeX. En particulier, le caractèreψ_x est régulier si et seulement si la formeω_X est régulière au pointx.

En presque toute placex∈ |X|, ωX est régulière si bien queψxest trivial surOx. On peut donc définir le produit de tous lesψx,x∈ |X|, en tant que caractère additif

ψ= Y

x∈|X|

ψ_x:AF = aY

x∈|X|

F_x→C^×.

On connaˆıt le lemme suivant :

(2)

Lemme III.1.–Le caractère additif non trivialψq :Fq →C^×étant fixé, les caractères additifsψ:AF →C^× associés comme ci-dessus à une forme différentielle rationnelle non nulleωXde la courbeX sont exactement les caractères additifs continus non triviaux

AF →C^×

dont la restriction au sous-groupe discret cocompactF deAF est triviale.

Fixons d´esormais la formeωX, donc aussi le caract`ereψ:AF →C^× et ses composantesψx:Fx→C^×. Sur l’extensionE deF, on dispose de l’homomorphisme de trace deE surF

Tr :E→F .

En toute placex∈ |X|, son produit tensoriel avecFxsurFest l’homomorphisme de trace local déjà rencontré Tr :E_x→F_x.

Il envoieO_E_x dontO_F_x.

Enfin, son produit tensoriel avecAF est l’homomorphisme global de trace Tr :AE →AF.

Il se confond avec la somme sur toutes les placesx∈ |X|des homomorphismes locaux de trace Tr :Ex→Fx. En toute placex∈ |X|, on dispose du caract`ere additif non trivial d´efini par composition

ψx◦Tr :Ex→Fx→C^×.

Le produit sur toutes les placesx∈ |X| de ces caract`eres n’est autre que le compos´e ψ◦Tr :AE →AF →C^×.

Il est trivial sur le sous-groupe discretE deAE.

Comme dans la discussion qui précède l’énoncé de la proposition I.15 du paragraphe I.6, munissons chaque Ex,x∈ |X|, de la mesure de Haar additive dtx qui attribue au sous-groupe ouvert compactOEx le volume qx^N^ψx.

On dispose alors de laψ_x-transformation de Fourier locale f_x7→

fˆ_x:t⁰_x7→fˆ_x(t⁰_x) = Z

E_x

dt_x·f_x(t_x)·ψ_x◦Tr(t_x·t⁰_x)

et de sa r´eciproque, la ¯ψ_x-transformation de Fourier locale f_x7→

t⁰_x7→

Z

Ex

dt_x·f_x(t_x)·ψ¯_x◦Tr(t_x·t⁰_x)

. MunissonsAE de la mesure de Haar additive produitdt= N

x∈|X|

dtx. On a le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme III.2.– (i)La transformation

f 7→

fˆ:t⁰ 7→fˆ(t⁰) = Z

AE

dt·f(t)·ψ◦Tr(t·t⁰)

(3)

d´efinit un automorphisme de l’espace des fonctions localement constantes `a support compact surAE. On l’appelle laψ-transformation de Fourier sur AE.

Son automorphisme r´eciproque n’est autre que laψ-transformation de Fourier sur¯ AE : f 7→

t⁰7→

Z

AE

dt·f(t)·ψ¯◦Tr(t·t⁰)

(ii)(Formule de Poisson)

Pour toute fonction localement constante `a support compact f sur AE, on a X

δ∈E

f(δ) =X

δ∈E

fˆ(δ).

Sif est une fonction sur AE de la forme

f = O

x∈|X|

fx

où chaquefxest une fonction localement constante à support compact surEx et où, en presque toute place x,fxest la fonction caractéristique 1IO_Ex deOE_x, on a

fˆ= O

x∈|X|

fˆ_x.

Autrement dit, laψ-transformation de Fourier globale surAEest le produit tensoriel, sur toutes les places x∈ |X|, desψx-transformations de Fourier locales sur Fx.

2 Construction locale et identification des termes compl´ ementaires

Dans ce paragraphe, fixons une placex∈ |X|.

Nous avons introduit dans le paragraphe I.4 les fonctions de Whittaker W_x,λ^H,ψ^x

• :H(F_x) = GL₂(F_x)→C associ´ees aux choix du caract`ere additif non trivial

ψx:Fx→C^× et d’une paire de nombres complexes unitairesλ_•= (λ1, λ2).

Nous avons besoin d’introduire d’autres fonctions

V_x,λ^H,N_•^ψx : GL2(Fx)→C

qui vont permettre de réinterpréter les “valeurs en 0” calculées dans le paragraphes II.6.

Proposition III.3.– Soitλ_•= (λ₁, λ₂) un couple de nombres complexes de module1.

Consid´erons la fonction

V_x,λ^H,N^ψx

• : GL₂(F_x)→C

(4)

qui associe à tout élément écrit sous forme d’Iwasawa, g=

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

·g_∅, la valeur

V_x,λ^H,N^ψx

• (g) =q

x(µ2 )−x(µ1 )+Nψx

x 2 ·λ^x(µ₁ ¹^)−N^ψx ·λ^x(µ₂ ²⁾. Alors cette fonction vérifie les propriétés suivantes, qui la caractérisent :

• elle est invariante `a droite par K_x,0^H = GL2(Ox);

• elle est invariante `a gauche par le radical unipotent N_B(F_x) =

1 u 0 1

u∈F_x

;

• V_x,λ^H,N^ψx

• ∗h_x=S_x^H(h_x)(λ₁, λ₂)·V_x,λ^H,N^ψx

• ,∀h_x∈ H^H_x,∅;

• pour tout ´el´ementγ0∈F_x^× de valuation x(γ0) =Nψ_x, on a V_x,λ^H,N^ψx

•

γ0 0

0 1

= 1 ;

• on a

V_x,λ^H,N^ψx

•

γ1 0 0 γ2

·g

= λ1

q

1

x2

!^x(γ1)

·(q

1

x2 ·λ2)^x(γ²⁾·V_x,λ^H,N^ψx

• (g), ∀γ1, γ2∈F_x^×.

Remarque.A la diff´` erence des fonctions de Whittaker W_x,λ^H,ψ^x

• , les fonctionsV_x,λ^H,N^ψx

• dépendent de l’ordre des deux composantes λ1 et λ2 de λ_• = (λ1, λ2). C’est pourquoi les quatre premières propriétés énoncées dans la proposition ci-dessus ne suffisent pas à les caractériser.

De mˆeme que nous avions introduit dans la d´efinition I.13 du paragraphe I.5 les “noyaux locaux”

K_x,P^G,H,ψ^x

x :G(HF)×H(Fx)→C, on pose la d´efinition que voici :

D´efinition III.4.– On note

K_x,P^G,H,0

x :G(F_x)×H(F_x)→C les fonctions d´efinies de la mani`ere suivante :

• Dans le cas o`u la placexse scinde dansE en deux placesx1 etx2, K_x,P^G,H,0

x (t, g) = Z

|λ|=1

dλ·Px(λ, λ)·Φ^G_x,(λ,λ)(t)·V_x,(λ,λ)^H,N^ψx(g) o`u

Pxest un polynôme, élément deC[X₁^±1, X₂^±1],

t est élément deG(Fx) =E_x^×=E^×_x₁×E_x^×₂ =F_x^××F_x^×, g est élément de H(Fx) = GL2(Fx),

λd´ecrit le cercle unit´e deC^×,

dλ d´esigne la mesure invariante de volume 1sur ce cercle.

(5)

• Dans le cas o`u la placexreste inerte dansE, K_x,P^G,H,0

x (t, g) = Z

|λ|=1

dλ·P_x(λ²)·Φ^G_x,λ(t)·V_x,(λ,−λ)^H,N^ψx (g) o`u

Pxest un polynôme pair, élément deC[X^±2], t décritG(Fx) =E_x^×,

g d´ecritH(Fx) = GL2(Fx), λetdλ sont comme plus haut.

Les fonctions

K_x,P^G,H,0

x :G(Fx)×H(Fx)→C sont invariantes `a droite parK_0,x^G ×K_0,x^H .

Pour toute fonction sph´eriquehx∈ H^H_x,∅, on a la formule K_x,P^G,H,0

x ∗hx=K_x,P^G,H,0

x ∗⁻¹(ρ^∗_x(hx))

où le premier produit de convolution ∗ est relatif à la variable gx ∈ H(Fx) et le second ∗⁻¹ à la variable t⁻¹_x ∈G(Fx).

Enfin, on a pour toute fonction sph´eriqueϕx∈ H^G_x,∅

K_x,P^G,H,0

x ∗⁻¹ϕx=K_x,P^G,H,0

x·S_x^G(ϕ_x). L’introduction des fonctions K_x,P^G,H,0

x dans la d´efinition III.4 ci-dessus est justifi´ee par la proposition suivante :

Proposition III.5.– Dans la situation et avec les notations ci-dessus, et pour tout caractère multiplicatif (éventuellement ramifié)

ω:F_x^×→C^×, les deux fonctions surF_x^×

t7→f_ψ⁰(t) =ω(Nm(t))⁻¹· |Nm(t)|⁻x¹² · Z

F_x^×

dµ·ω(µ)·K_x,P^G,H,0

x

t,

µ 0 0 1

·g

,

t7→f_ψ⁰⁰(t) =ω(Nm(t))· |Nm(t)|⁻x¹² · Z

F_x^×

x

t⁻¹,

0 1 1 0

· µ 0

0 1

·g

, sont constantes.

Elles co¨ıncident avec les valeurs en0 des deux fonctions localement constantes `a support compact surEx

dont les restrictions `aE_x^× sont d´efinies par f_ψ(t) =ω(Nm(t))⁻¹· |Nm(t)|⁻x¹² ·

Z

F_x^×

dµ·ω(µ)·K_x,P^G,H,ψ

x

t,

µ 0 0 1

·g

,

f_ψ⁰(t) =ω(Nm(t))· |Nm(t)|⁻x¹² · Z

F_x^×

dµ·ω(µ)·K_x,P^G,H,^ψ^¯

x

t⁻¹,

0 1 1 0

· µ 0

0 1

·g

.

(6)

Démonstration.Comme dans l’énoncé des corollaires II.13 et II.14 du paragraphe II.6, nous allons utiliser les deux décompositions d’Iwasawa de l’élément gde GL2(Fx)

g=

µ₁ 0 0 µ₂

· 1 u

0 1

·g_∅,

g=

µ⁰₁ 0 0 µ⁰₂

· 1 0

u⁰ 1

·g⁰_∅.

Traitons d’abord le cas o`u la placexse scinde dansEen deux placesx1etx2. On peut supposer quePx

est un monˆome, de la formeX₁^−k¹·X₂^−k². Alors on peut ´ecrire

K_x,P^G,H,0

x

t,

µ 0 0 1

·g

= Z

|λ|=1

dλ·Px(λ, λ)·Φ^G_x,(λ,λ)(t)·V_x,(λ,λ)^H,N^ψx

µ 0 0 1

·g

avec

Φ^G_x,(λ,λ)(t) =λ^x(Nm(t)) et

V_x,(λ,λ)^H,N^ψx

µ 0 0 1

·g

=q

x 2 ·λ^x(µ¹^)+x(µ²^)−N^ψx · λ q

1

x2

!x(µ)

. Par cons´equent, la fonction

K_x,P^G,H,0

x

t,

µ 0 0 1

·g

est support´ee dans la zone d´efinie par la condition

k₁+k₂+x(Nm(t)) =x(µ₁µ₂) +x(µ)−N_ψ_x, et elle vaut dans cette zone

q

x 2 ·q⁻x¹²^x(µ). L’int´egrale

Z

F_x^×

x

t,

µ 0 0 1

·g

s’annule si le caractère ω est ramifié. Si au contraire il est non ramifié, de valeur proprezω, cette intégrale vaut

q

x 2 · zω

q

1

x2

!^k1+k₂+x(Nm(t))−x(µ1µ₂)+N_ψx

= z_ω^x(Nm(t))·q⁻

1 2x(Nm(t))

x ·zω^N^ψx ·z_ω^k¹^+k²^−x(µ¹^µ²⁾·q^x(µ²⁾⁻

k1 +k2

x 2 .

On voit que la fonction f_ψ⁰(t) est constante comme annoncée. D’après la première formule du corollaire II.13, sa valeur co¨ıncide avec la valeur en 0 de la fonctionfψ(t).

Consid´erons maintenant la fonction K_x,P^G,H,0

x

t⁻¹,

0 1 1 0

· µ 0

0 1

·g

. Elle est support´ee dans la zone d´efinie par la condition

k1+k2−x(Nm(t)) =x(µ⁰₁µ⁰₂) +x(µ)−Nψ_x,

(7)

et elle vaut dans cette zone

q

x(µ0 1 )−x(µ0

2 )+Nψx

x 2 ·q

1 2x(µ)

x .

L’int´egrale

Z

F_x^×

x

t⁻¹,

1 0 0 1

· µ 0

0 1

·g

q

x(µ0 1 )−x(µ0

2 )+Nψx

x 2 ·

q

1

x2 ·zω

^k1+k2−x(Nm(t))−x(µ⁰₁µ⁰₂)+N_ψx

= z_ω^−x(Nm(t))·q⁻

1 2x(Nm(t))

x ·(zω·qx)^N^ψx ·z^k¹^+k²^−x(µ

0 1µ⁰₂)

ω ·q

k1 +k2 2 −x(µ⁰₂)

x .

On voit que la fonctionf_ψ⁰⁰(t) est constante comme annonc´ee. D’apr`es la seconde formule du corollaire II.13, sa valeur co¨ıncide avec la valeur en 0 de la fonctionf_ψ⁰(t).

Traitons maintenant le cas o`u la placexreste inerte dansE. On peut supposer queP_xest un monˆome, de la formeX^−2k.

Alors on peut ´ecrire K_x,P^G,H,0

x

t,

µ 0 0 1

·g

= Z

|λ|=1

dλ·Px(λ²)·Φ^G_x,λ(t)·V_x,(λ,−λ)^H,N^ψx

µ 0 0 1

·g

avec

Φ^G_x,λ(t) =λ^x(Nm(t)) et

V_x,(λ,λ)^H,N^ψx

µ 0 0 1

·g

=q

x 2 ·λ^x(µ¹^)+x(µ²^)−N^ψx· λ qx¹²

!^x(µ)

·(−1)^x(µ²⁾. Par cons´equent, la fonction

K_x,P^G,H,0

x

t,

µ 0 0 1

·g

est support´ee dans la zone d´efinie par la condition

2k+x(Nm(t)) =x(µ₁µ₂) +x(µ)−N_ψ_x, et elle vaut dans cette zone

(−1)^x(µ²⁾·q

x 2 ·qx⁻¹²^x(µ). L’int´egrale

Z

F_x^×

x

t,

µ 0 0 1

·g

s’annule si le caractère ω est ramifié. Si au contraire il est non ramifié, de valeur proprez_ω, cette intégrale vaut

(−1)^x(µ²⁾·q

x 2 · zω

qx¹²

!2k+x(Nm(t))−x(µ1µ2)+N_ψx

= z^x(Nm(t))_ω ·q⁻

1 2x(Nm(t))

x ·(−1)^x(µ²⁾·zω^N^ψx ·z_ω^2k−x(µ¹^µ²⁾·q_x^x(µ²^)−k.

(8)

On voit que la fonction f_ψ⁰(t) est constante comme annoncée. D’après la première formule du corollaire II.14, sa valeur co¨ıncide avec la valeur en 0 de la fonctionfψ(t).

Consid´erons la fonction

K_x,P^G,H,0

x

t⁻¹,

0 1 1 0

· µ 0

0 1

·g

. Elle est support´ee dans la zone d´efinie par la condition

2k−x(Nm(t)) =x(µ⁰₁µ⁰₂) +x(µ)−N_ψ_x, et elle vaut dans cette zone

(−1)^x(µ⁰¹^)+x(µ)·q

x(µ0 1 )−x(µ0

2 )+Nψx

x 2 ·qx¹²^x(µ)= (−1)^x(µ⁰²⁾·(−1)^N^ψx·q

x(µ0 1 )−x(µ0

2 )+Nψx

x 2 ·qx¹²^x(µ). L’int´egrale

Z

F_x^×

x

t⁻¹,

1 0 0 1

· µ 0

0 1

·g

(−1)^x(µ⁰²⁾·(−1)^N^ψx·q

x(µ0 1 )−x(µ0

2 )+Nψx

x 2 ·(q

1

x2 ·zω)2k−x(Nm(t))−x(µ⁰₁µ⁰₂)+N_ψx

= z_ω^−x(Nm(t))·q⁻x¹²^x(Nm(t))·(−1)^x(µ⁰²⁾·(−z_ω·q_x)^N^ψx ·z^2k−x(µ

0 1µ⁰₂)

ω ·q^k−x(µ

0 2)

x .

On voit que la fonction f_ψ⁰⁰(t) est constante comme annonc´ee. D’apr`es la seconde formule du corollaire II.14, sa valeur co¨ıncide avec la valeur en 0 de la fonctionf_ψ⁰(t).

Cela termine la preuve de la proposition III.5.

3 Construction de noyaux globaux de la fonctorialit´ e

Considérons une familleP = (P_x)_x∈|X|de polynômes indexés par les placesx∈ |X|, telle que

• en toute placexscindée dansE,Pxest élément de C[X₁^±1, X₂^±1],

• en toute placexinerte dansE,Pxest ´el´ement de C[X^±2],

• en presque toute placex∈ |X|, le polynômePxest égal à 1.

On peut alors d´efinir les fonctions globales suivantes des variables t = (tx)_x∈|X| ∈ G(A^F) = A^×E = Q

`

x∈|X|

E_x^× et g= (gx)_x∈|X|=H(AF) = GL2(AF) = `Q

x∈|X|

GL2(Fx) :

K_P^G,H,ψ(t, g) = Y

x∈|X|

K_x,P^G,H,ψ

x (t_x, g_x) K_P^G,H,0(t, g) = Y

x∈|X|

K_x,P^G,H,0

x (tx, gx)

Nous allons d´emontrer :

Théorème III.6.– Pour toute famille de polynômes P= (Px)_x∈|X|comme ci-dessus, la fonction des deux variablest∈G(AF) =A^×E etg∈H(AF) = GL2(AF)

K_P^G,H,ρ(t, g) = X

δ∈E^×,γ∈F^×

K_P^G,H,ψ

δt, γ 0

0 1

·g

+ X

γ∈F^×

K_P^G,H,0

t, γ 0

0 1

·g

(9)

est aussi ´egale au produit de la fonction (t, g)7→ X

δ∈E^×,γ∈F^×

K_P^G,H,^ψ^¯

δt, 0 1

1 0

· γ 0

0 1

·g

+ X

γ∈F^×

K_P^G,H,0

t, 0 1

1 0

· γ 0

0 1

·g

et du signe

ε= Y

x∈|X|

xinerte dansE

(−1)^N^ψx.

La fonction

A^×_E×GL2(AF)→C (t, g)7→K_P^G,H,ρ(t, g)

est invariante `a droite par le sous-groupe ouvert compact maximalK₀^G×K₀^H=O_A^×

E×GL2(O_A)et invariante

`

a gauche par le sous-groupe discretE^××GL2(F).

Démonstration. Translater par un élément t ∈ A^×E dans les fonctions K_P^G,H,ψ(•,•), K_P^G,H,0(•,•) et K_P^G,H,^ψ^¯(•,•) équivaut à multiplier certains des polynômesPxpar un monôme.

Pour démontrer l’égalité de la première assertion du théorème, on peut donc supposer quet= 1.

Il est équivalent de prouver que, pour tout caractère automorphe unitaire éventuellement ramifié ω= Y

x∈|X|

ωx:F^×\A^×F →C^×,

on a l’´egalit´e

X

δ∈E^×

Z

A^×_F

dµ·ω(µ)·K_P^G,H,ψ

δ, µ 0

0 1

·g

+ Z

A^×F

dµ·ω(µ)·K_P^G,H,0

1, µ 0

0 1

·g

= ε·

X

δ∈E^×

Z

A^×F

dµ·ω(µ)·K_P^G,H,^ψ^¯

δ⁻¹, 0 1

1 0

· µ 0

0 1

·g

+ Z

A^×_F

1, 0 1

1 0

· µ 0

0 1

·g .

Or on a les d´ecompositions en produits Z

A^×_F

dµ·ω(µ)·K_P^G,H,ψ

t, µ 0

0 1

·g

= Y

x∈|X|

Z

F_x^×

dµx·ωx(µx)·K_x,P^G,H,ψ^x

x

tx,

µ_x 0

0 1

·gx

,

Z

A^×F

1, µ 0

0 1

·g

= Y

x∈|X|

Z

F_x^×

dµ_x·ω_x(µ_x)·K_x,P^G,H,0

x

1,

µx 0

0 1

·g_x

,

(10)

Z

A^×F

dµ·ω(µ)·K_P^G,H,^ψ^¯

t⁻¹, 0 1

1 0

· µ 0

0 1

·g

= Y

x∈|X|

Z

F_x^×

dµ_x·ω_x(µ_x)·K_x,P^G,H,^ψ^¯^x

x

t⁻¹_x ,

0 1 1 0

·

µx 0

0 1

·g_x

,

Z

A^×_F

1, 0 1

1 0

· µ 0

0 1

·g

= Y

x∈|X|

Z

Fx^×

dµx·ωx(µx)·K_x,P^G,H,0

x

1,

0 1 1 0

·

µx 0

0 1

·gx

.

L’égalité voulue résulte alors de la formule de Poisson pour le sous-groupe discretE deAÊ (c’est-à-dire du théorème III.2(ii)), du théorème I.16 et de la précédente proposition III.5.

En effet, commeω est un caract`ere automorphe, les caract`eres deA^×E

t7→ω(Nm(t))⁻¹· Y

x∈|X|

|Nm(tx)|⁻x¹²

et

t7→ω(Nm(t))· Y

x∈|X|

|Nm(tx)|⁻x¹²

prennent la valeur 1 en tous les pointsδ∈E^×.

Il r´esulte aussi de la proposition III.5 que, pour tout caract`ere automorphe unitaireω:F^×\A^×_F →C^×, les fonctions surA^×E

t7→

Z

F_x^×

t, µ 0

0 1

·g

,

t7→

Z

F_x^×

t, 0 1

1 0

· µ 0

0 1

·g

sont invariantes par le sous-groupe discretE^×. Il en est donc de mˆeme des fonctions t7→ X

γ∈F^×

K_P^G,H,0

t, γ 0

0 1

·g

,

t7→ X

γ∈F^×

K_P^G,H,0

t, 0 1

1 0

· γ 0

0 1

·g

.

Par rapport `a la variableg∈GL2(Fx), ces fonctions sont invariantes `a gauche par les sous-groupes discrets Γ1 =

γ η 0 1

γ∈F^×, η∈F

et Γ2 =

γ 0 η 1

γ∈F^×, η∈F

respectivement. Il en est de mˆeme des deux expressions

X

δ∈E^×,γ∈F^×

K_P^G,H,ψ

δt, γ 0

0 1

·g

et

X

δ∈E^×,γ∈F^×

K_P^G,H,^ψ^¯

δt, 0 1

1 0

· γ 0

0 1

·g

.

(11)

Comme le groupe GL2(F) est engendr´e par ses deux sous-groupes Γ1 et Γ2, on conclut que la fonction (t, g)7→K_P^G,H,ρ(t, g)

est invariante `a gauche par le sous-groupe discretE^××GL2(F).

Enfin, toutes les fonctions utilis´ees dans la construction sont invariantes `a droite par K₀^G×K₀^H donc

K_P^G,H,ρ(•,•) l’est aussi.

Les fonctions sph´eriques

K_P^G,H,ρ:E^×\A^×E×GL₂(F)\GL₂(AF)→C

seront appelées des “noyaux globaux de la fonctorialité”, à cause de la proposition suivante : Proposition III.7.–

(i)Pour toute famille de polynômesP = (Px)_x∈|X| et pour tout caractère automorphe unitaire partout non ramifié

χ= (χx)_x∈|X|:E^×\A^×E/O^×

AE →C, la forme sph´erique

GL₂(F)\GL2(AF)/GL₂(O_A_F)→C g7→

Z

E^×\A^×_E

d^×t·χ(t)·K_P^G,H,ρ(t, g) =Kχ(g) est un vecteur de la repr´esentation π= N

x∈|X|

(ρx)∗(χx)de l’alg`ebre de Hecke sph´eriqueH^H_∅ = N

x∈|X|

H^H_x,∅. Autrement dit, on a en toute placex∈ |X|et pour tout ´el´ement hx∈ H^H_x,∅

Kχ∗hx=











S_x^H(hx)(zx1(χ), zx2(χ))·Kχ

si la place xse scinde dans E en deux placesx₁ etx₂, S_x^H(h_x)(z_x(χ)²)·K_χ

si la place xreste inerte dans E.

(ii)Si de plus tous les polynômesPxsont des monômes, toutes les formesg7→Kχ(g)associées aux caractères automorphes unitaires non ramifiésχ deA^×E sont non nulles.

D´emonstration.

(i) En toute placex∈ |X|, les noyaux locauxK_x,P^G,H,ψ^x

x (•,•) etK_x,P^G,H,0

x (•,•) ont été définis de telle fa¸con que, pour tout élément h_x∈ H^H_x,∅, on ait

K_x,P^G,H,ψ

x ∗hx=K_x,P^G,H,ψ

x ∗⁻¹ρ^∗_x(hx), K_x,P^G,H,0

x ∗hx=K_x,P^G,H,0

x ∗⁻¹ρ^∗_x(hx). Il résulte alors de sa définition que la fonctionK_P^G,H,ρvérifie encore

K_P^G,H,ρ∗hx=K_P^G,H,ρ∗⁻¹ρ^∗_x(hx), ∀x∈ |X|, ∀hx∈ H^H_x,∅. L’assertion de (i) s’en d´eduit imm´ediatement.

(ii) Pour tous élémentst∈G(A),g∈H(A), on dispose des égalités Z

F\AF

du·ψ(u)·K_P^G,H,ψ

t, γ 0

0 1

· 1 u

0 1

·g

=

K_P^G,H,ψ(t, g) si γ= 1 dansF^×, 0 si γ∈F^× et γ6= 1,

(12)

et Z

F\AF

du·ψ(u)·K_P^G,H,0

t, 1 u

0 1

·g

= 0,

sidud´esigne la mesure de Haar sur AF qui attribue le volume 1 au quotient compactF\AF. On en d´eduit

Z

F\AF

du·ψ(u)·K_P^G,H,ρ

t, 1 u

0 1

·g

= X

δ∈E^×

K_P^G,H,ψ(δt, g). Puis, si

χ:E^×\A^×E/O^×

AE→C^× est un caract`ere automorphe unitaire partout non ramifi´e, on obtient

Z

F\AF

du·ψ(u)·Kχ

1 u 0 1

·g

= Z

E^×\A^×E

d^×t·χ(t)· Z

F\AF

du·ψ(u)·K_P^G,H,ρ

t, 1 u

0 1

·g

= Z

A^×_E

d^×t·χ(t)·K_P^G,H,ψ(t, g)

= Y

x∈|X|

Z

F_x^×

d^×tx·χx(tx)·K_x,P^G,H,ψ^x

x (tx, gx)

=







Y

x∈|X|

xscind´ee dansEen deux placesx1etx2

Px(zx₁(χx), zx₂(χx))·W_x,(z^H,ψ^x

x1(χ_x),z_x₂(χ_x))(gx)







·





 Y

x∈|X|

xinerte dansE

P_x(z_x(χ_x)²)·W_x,(z^H,ψ^x

x(χx),−zx(χx))(g_x)





.

Comme tous les polynômes Px sont des monômes et que presque tous sont égaux à 1, cette fonction définie comme un produit sur toutes les placesx∈ |X|ne peut être nulle.

A fortiori, la forme

g7→Kχ(g) n’est pas nulle.

C’est ce que l’on voulait.