Processus stochastiques – Feuille d’exercices 4 Temps d’arrêt

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UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES Année 2015-2016

D. Piau, L. Coquille M1 – MAT414

Processus stochastiques – Feuille d’exercices 4 Temps d’arrêt

1 Contre-exemple et propriétés

Question 1.1. Temps de dernière sortie d’un ensemble

Soit(X_n)_n un processus adapté à la filtration (F_n)_n. SoitB ∈ B.

Montrer que L= sup{n≥0 :X_n∈B} n’est pas toujours un temps d’arrêt.

Question 1.2.

SoitT, T₁, T₂ des temps d’arrêt etk∈N. On notea∨b= max{a, b} eta∧b= min{a, b}.

Montrer que :

1. T∧kest un temps d’arrêt.

2. T₁+T₂,T₁∨T₂, etT₁∧T₂ sont des temps d’arrêt.

2 Tribu des événements antérieurs à T

SoitT un temps d’arrêt pour une filtration(F_n)n↑ F. On définit la tribu des événements antérieurs à T ainsi :

F_T :={A∈ F :A∩ {T ≤n} ∈ F_n∀n≥1}

Montrer que :

1. F_T ⊂ F est une tribu.

2. T est F_T-mesurable.

3. Si T₁ ≤T₂, alors F_T₁ ⊂ F_T₂

3 Identité de Wald

Soit(Sn)n≥0la marche aléatoire simple symmétrique surZpartant de 0 etT = inf{n≥0 :Sn= 1}.

1. Montrer queE(ST)6=E(T)E(X1).

2. Montrer queT n’est pas intégrable.

4 Propriété de Markov forte des marches aléatoires

Question 4.1. Soit S = (Sn)n≥0 une marche aléatoire sur Z^d de loiµ etT un temps d’arrêt presque sûrement fini pour la filtrationF^S. Montrer que le processus ( ˜S_n)n≥0 défini par S˜_n=S_T_+n−S_T est une marche aléatoire surZ^d de loiµ, indépendante deF_T^S.

Question 4.2. Dans le cas d= 1, soit τ_a= inf{n≥0 :S_n=a}. Montrer queτ_a=Pa

i=1τ₁ⁱ, où les τ₁ⁱ sont indépendants et suivent tous la même loi queτ1. Montrer que(τa)a≥0 est une marche aléatoire.

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5 Pile ou face : temps d’atteinte d’une séquence

Question 5.1. Soit(U_n)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi de Bernoulli, c’est-à-dire telles queP(U_i= 1) =p= 1−P(U_i= 0). Soit τ₁ = inf{n≥1 :U_n= 1} etτ₀= inf{n≥1 :U_n= 0}.

Quelle est la loi deτ1? de τ0?

Quelle est la loi de la première apparition de la séquence10?