Processus stochastiques et temps d’arrêt Exercices

Processus stochastiques et temps d’arrêt Exercices

Exercice 2.1. Aujourd’hui lundi, vous avez un dollar dans votre tirelire. À partir de de- main matin et ce, tous les matins jusqu’à vendredi inclusivement, vous tirez à pile ou face pour savoir si vous retirez un dollar (si possible) de la tirelire (pile) ou si vous y en mettez un (face). Modélisez l’évolution du contenu de votre tirelire en répondant aux questions suivantes :

a) Quel est l’ensemble fondamental ?

b) Dé…nissez le processus stochastique que vous utilisez et donnez en la signi…cation. Nou- bliez pas de dé…nir ce que vous signi…ez par une période de temps.

c) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ?

d) Quelles sont les tribus de la …ltration engendrée par le processus pour les journées de lundi, mardi, mercredi et vendredi ?

e) Interprétez, en fonction de l’information disponible, la structure d’information que vous avez construite à la question précédente pour la journée du mercredi.

f) Quelle est la distribution du contenu de la tirelire vendredi midi ?

g) Démontrez que le premier instant ou la tirelire est vide est un temps d’arrêt.

Exercice 2.2. Soit ( ; F ), un espace probabilisable tel que Card ( ) < 1 et muni de la

…ltration F = fF ^t : t 2 f 0; 1; ::: gg . Si les variables aléatoires 1 et 2 sont des temps d’arrêt par rapport à la …ltration F , alors démontrez que 1 _ ² = max f ¹ ; ₂ g est aussi un temps d’arrêt.

Exercice 2.3. Possédant 20 dollars, nous décidons de jouer au jeu de hasard suivant. Nous lançons quatre fois un sou. Au premier lancer, nous gagnons 10 dollars si le résultat est

« pile» et perdons 10 dollars si le résultat est « face» . Pour les autres lancers, si le résultat obtenu est le même que celui du lancer précédent, nous ne réalisons aucune perte ni aucun gain. Par contre, si le résultat obtenu est di¤érent du lancer précédent, nous gagnons 10 dollars si le résultat est « pile» et perdons 10 dollars si le résultat est « face» .

a) Dé…nissez les variables aléatoires et la notation que vous utilisez a…n de modéliser cette situation.

b) Donnez la tribu représentant l’information disponible après le deuxième lancer. Inter- prétez.

c) Quelle est la distribution du montant que nous possédons à la …n du jeu?

Exercice 2.4 La ruine du joueur.

Deux joueurs possédant initialement des fortunes de r et n r dollars respectivement (r et n sont des entiers positifs tels que r < n), misent et jouent jusqu’à la ruine de l’un d’eux.

Disons que le deuxième joueur représente le croupier tandis que le premier joueur détermine

la mise. Ce dernier gagne sa mise avec probabilité p (0 < p < 1) ou la perd avec probabilité q = 1 p; et ce, indépendamment de l’histoire du jeu. Les seules mises possibles sont des multiples d’un dollar et il n’y a pas d’emprunt possible.

Étudions deux stratégies populaires pour ce jeu :

1) l’approche audacieuse qui consiste pour le premier joueur à miser à chaque tour le minimum entre sa fortune personnelle et le montant requis pour sa victoire;

2) l’approche timide qui consiste pour le premier joueur à miser un dollar à chaque tour.

Supposons que X _t représente la fortune du premier joueur après le t ième jeu lorsque ce dernier emploi la stratégie timide. La variable aléatoire Y _t représente la fortune du premier joueur après le t ième jeu lorsque ce dernier emploi la stratégie audacieuse.

Pour les …ns de cet exercice, nous supposerons que les joueurs jouent à pile ou face avec un sou possiblement mal balancé. Le premier joueur remporte sa mise si le sou tombe du coté pile et la probabilité d’obtenir pile lors d’un lancé de ce sou est de p. Nous étudierons les résultats des quatre premiers lancers seulement. Le croupier débute avec 4 dollars tandis que le premier joueur possède initialement 6 dollars.

a) Quel est l’ensemble fondamental correspondant à cette expérience aléatoire ? b) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ?

c) Quelles sont les tribus de la …ltration engendrée par le processus X = f X _t : t 2 f 0; 1; 2; 3; 4 gg pour les instants 0; 1; 2 et 4 ?

d) Quelles sont les tribus de la …ltration engendrée par le processus Y = f Y _t : t 2 f 0; 1; 2; 3; 4 gg pour les instants 0; 1; 2 et 4 ?

e) Interprétez, en fonction de l’information disponible, la structure d’information que vous avez construite à la question c) pour l’instant t = 3.

f) Donnez les fonctions de masse de X ₄ et de Y ₄ .

Pour les prochaines questions, nous ne nous limiterons pas à l’étude des quatre premiers lancers mais laisserons le jeu se poursuivre jusqu’à la ruine d’un des deux joueurs.

g) Soit la variable aléatoire donnant l’instant auquel le jeu s’est arrêté, c’est-à-dire que (!) min f t 2 f 0; 1; 2; ::: g : X _t = 0 ou X _t = n g :

Montrer que est un temps d’arrêt.

Exercice 2.5. Soit 1 et 2 , deux ( ; F ; F ) temps d’arrêt où est un ensemble fonda- mental contenant un nombre …ni d’éléments, et F = fF ^t : t 2 f 0; 1; 2; ::: gg est une …ltration.

Est-ce que la somme de ces deux temps d’arrêt est aussi un temps d’arrêt ? Si oui, démontrez-

le. Sinon, donnez un contre exemple.

Exercice 2.6. On lance deux dés et on observe le nombre X de points sur le premier et le nombre Y de points sur le deuxième. Nous recevrons un paiment d’un montant de max (X; Y ) au temps = min (X; Y ). Le processus f S _t : t 2 f 1; 2; :::; 6 gg modélise l’évolution des paiments qui nous seront versés.

a) Quel est l’ensemble fondamental ?

b) Déterminez la …ltration fF ^t : t 2 f 1; 2; :::; 6 gg engendrée par le processus stochastique f S t : t 2 f 1; 2; :::; 6 gg :

c) Est-ce que est un fF ^t : t 2 f 1; 2; :::; 6 gg temps d’arrêt ? Justi…ez votre réponse.

Les solutions

1 Exercice 2.1

a) Quel est l’ensemble fondamental ?

= P P P P; P P P F; P P F P; P P F F; P F P P; P F P F; P F F P; P F F F;

F P P P; F P P F; F P F P; F P F F; F F P P; F F P F; F F F P; F F F F

b) Dé…nissez le processus stochastique que vous utilisez et donnez en la signi…cation. Noubliez pas de dé…nir ce que vous signi…ez par une période de temps.

Posons t = 0 pour la journée de lundi (aujourd’hui). 8 t 2 f 0; 1; 2; 3; 4 g

X _t = montant dans la tirelire après la transaction de la t ième journée.

c) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ?

! X ₀ (!) X ₁ (!) X ₂ (!) X ₃ (!) X ₄ (!)

! ₁ = P P P P 1 0 0 0 0

! ₂ = P P P F 1 0 0 0 1

! ₃ = P P F P 1 0 0 1 0

! ₄ = P P F F 1 0 0 1 2

! ₅ = P F P P 1 0 1 0 0

! ₆ = P F P F 1 0 1 0 1

! ₇ = P F F P 1 0 1 2 1

! ₈ = P F F F 1 0 1 2 3

! ₉ = F P P P 1 2 1 0 0

! ₁₀ = F P P F 1 2 1 0 1

! ₁₁ = F P F P 1 2 1 2 1

! ₁₂ = F P F F 1 2 1 2 3

! ₁₃ = F F P P 1 2 3 2 1

! ₁₄ = F F P F 1 2 3 2 3

! ₁₅ = F F F P 1 2 3 4 3

! ₁₆ = F F F F 1 2 3 4 5

La tribu F doit faire en sorte que X ₀ , X ₁ , X ₂ , X ₃ et X ₄ soient des variables aléatoires.

Comme les 16 trajectoires sont di¤érentes les unes des autres, F est engendrée par la partition f ! ₁ ; :::; ! ₁₆ g . Ainsi

F = ensemble de tous les événements de ainsi que ? .

d) Quelles sont les tribus de la …ltration engendrée par le processus pour les journées de lundi, mardi, mercredi et vendredi ?

F ⁰ = f? ; g F ¹ = f? ; A; A ^c ; g

où A = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F; P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g

F ² = 8 >

> <

> >

:

? ; B ₁ ; B ₂ ; B ₃ ; B ₄ ; B ₁ [ B ₂ ; B ₁ [ B ₃ ; B 1 [ B 4 ; B 2 [ B 3 ; B 2 [ B 4 ; B 3 [ B 4 ;

B ₁ [ B ₂ [ B ₃ ; B ₁ [ B ₂ [ B ₄ ; B ₁ [ B ₃ [ B ₄ ; B ₂ [ B ₃ [ B ₄ ;

9 >

> =

> >

; où B ₁ = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F g

B ₂ = f P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g B ₃ = f F P P P; F P P F; F P F P; F P F F g B ₄ = f F F P P; F F P F; F F F P; F F F F g F ⁴ = F

e) Interprétez, en fonction de l’information disponible, la structure d’information que vous avez construite à la question précédente pour la journée du mercredi.

F ² = 8 >

> <

> >

:

? ; B ₁ ; B ₂ ; B ₃ ; B ₄ ; B ₁ [ B ₂ ; B ₁ [ B ₃ ; B ₁ [ B ₄ ; B ₂ [ B ₃ ; B ₂ [ B ₄ ; B ₃ [ B ₄ ;

B ₁ [ B ₂ [ B ₃ ; B ₁ [ B ₂ [ B ₄ ; B ₁ [ B ₃ [ B ₄ ; B ₂ [ B ₃ [ B ₄ ;

9 >

> =

> >

; où B ₁ = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F g

B ₂ = f P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g B ₃ = f F P P P; F P P F; F P F P; F P F F g B ₄ = f F F P P; F F P F; F F F P; F F F F g

Les atomes qui engendrent F ² partitionnent selon les résultats obtenus lors des deux

premiers lancers (soit ceux de mardi et mercredi matins) mais sont incapables de distinguer

les événements qui impliquent les lancers des deux derniers matins (soit ceux de jeudi et vendredi).

f ) Quelle est la distribution du contenu de la tirelire vendredi midi ?

Supposons que nous obtenons ”pile” avec probabilité p et ”face” avec probabilité 1 p:

Remarquez que cela signi…e que j’ai utilisé le même sou tout au cours de la semaine.

! P (!) X ₄ (!)

P P P P p ⁴ 0

P P P F p ³ (1 p) 1 P P F P p ³ (1 p) 0 P P F F p ² (1 p) ² 2 P F P P p ³ (1 p) 0 P F P F p ² (1 p) ² 1 P F F P p ² (1 p) ² 1 P F F F p (1 p) ³ 3

! P (!) X ₄ (!)

F P P P p ³ (1 p) 0 F P P F p ² (1 p) ² 1 F P F P p ² (1 p) ² 1 F P F F p (1 p) ³ 3 F F P P p ² (1 p) ² 1 F F P F p (1 p) ³ 3 F F F P p (1 p) ³ 3 F F F F (1 p) ⁴ 5 La fonction de masse est :

x f _X (x) = P f ! 2 : X (!) = x g 0 p ⁴ + 3p ³ (1 p) = 2p ⁴ + 3p ³

1 p ³ (1 p) + 5p ² (1 p) ² = +4p ⁴ 9p ³ + 5p ² 2 p ² (1 p) ² = p ⁴ 2p ³ + p ²

3 4p (1 p) ³ = 4p 12p ² + 12p ³ 4p ⁴

4 0

5 (1 p) ⁴ = 1 4p + 6p ² 4p ³ + p ⁴

x P ! 2 : X (!) = x p = ¹ ₂ 0 ₁₆ ⁴ = ¹ ₄

1 ₁₆ ⁶ = ³ ₈

2 ₁₆ ¹

3 ₁₆ ⁴ = ¹ ₄

4 0

5 ₁₆ ¹

La fonction de répartition est :

x F _X (x) = P f ! 2 : X (!) x g 0 p ⁴ + 3p ³ (1 p) = 2p ⁴ + 3p ³

1 p ⁴ + 4p ³ (1 p) + 5p ² (1 p) ² = 2p ⁴ 6p ³ + 5p ² 2 p ⁴ + 4p ³ (1 p) + 6p ² (1 p) ² = 3p ⁴ 8p ³ + 6p ²

3 p ⁴ + 4p ³ (1 p) + 6p ² (1 p) ² + 4p (1 p) ³ = p ⁴ + 4p ³ 6p ² + 4p

4 p ⁴ + 4p ³ 6p ² + 4p

5 p ⁴ + 4p ³ (1 p) + 6p ² (1 p) ² + 4p (1 p) ³ + (1 p) ⁴ = 1

g) Démontrez que le premier instant où la tirelire est vide est un temps d’arrêt.

! X ₀ (!) X ₁ (!) X ₂ (!) X ₃ (!) X ₄ (!) (!)

! ₁ = P P P P 1 0 0 0 0 1

! ₂ = P P P F 1 0 0 0 1 1

! ₃ = P P F P 1 0 0 1 0 1

! ₄ = P P F F 1 0 0 1 2 1

! ₅ = P F P P 1 0 1 0 0 1

! ₆ = P F P F 1 0 1 0 1 1

! ₇ = P F F P 1 0 1 2 1 1

! ₈ = P F F F 1 0 1 2 3 1

! ₉ = F P P P 1 2 1 0 0 3

! ₁₀ = F P P F 1 2 1 0 1 3

! ₁₁ = F P F P 1 2 1 2 1 1

! ₁₂ = F P F F 1 2 1 2 3 1

! ₁₃ = F F P P 1 2 3 2 1 1

! ₁₄ = F F P F 1 2 3 2 3 1

! ₁₅ = F F F P 1 2 3 4 3 1

! ₁₆ = F F F F 1 2 3 4 5 1

f ! 2 : (!) = 0 g

= ? 2 F ⁰

f ! 2 : (!) = 1 g

= f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F; P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g 2 F ¹ f ! 2 : (!) = 2 g

= ? 2 F ²

f ! 2 : (!) = 3 g

= f F P P P; F P P F g 2 F ³ f ! 2 : (!) = 4 g

= ? 2 F ⁴ :

2 Exercice 2.2

Comme 8 k 2 f 0; 1; ::: g ;

f ! 2 : ₁ (!) _ ² (!) k g

= f ! 2 : ₁ (!) k et 2 (!) k g

= f | ! 2 : {z ₁ (!) k g }

2F

\ f | ! 2 : {z ₂ (!) k g }

2F

2 F ^k ;

alors 8 t 2 f 0; 1; ::: g ;

f ! 2 : ₁ (!) _ ² (!) = t g

= f ! 2 : t 1 < ₁ (!) _ ² (!) t g

= f ! 2 : ₁ (!) _ ² (!) t g \ f ! 2 : ₁ (!) _ ² (!) > t 1 g

= f | ! 2 : ₁ (!) {z _ ² (!) t g }

2F

\ f | ! 2 : ₁ (!) {z _ ² (!) t 1 g }

2F

F

c

| {z }

2F

F

2 F ^t :

3 Exercice 2.3

a) Dé…nissez les variables aléatoires et la notation que vous utilisez a…n de modéliser cette situation.

L’ensemble fondamental comporte 16 éléments qui sont énumérés dans le tableau ci- dessous. Pour i 2 f 0; 1; 2; 3; 4 g , la variable aléatoire X _i représente le montant que nous détenons après le i ième lancer.

! X ₀ X ₁ X ₂ X ₃ X ₄

pppp 20 30 30 30 30

pppf 20 30 30 30 20

ppf p 20 30 30 20 30 ppf f 20 30 30 20 20 pf pp 20 30 20 30 30 pf pf 20 30 20 30 20 pf f p 20 30 20 20 30 pf f f 20 30 20 20 20

! X ₀ X ₁ X ₂ X ₃ X ₄ f ppp 20 10 20 20 20

f ppf 20 10 20 20 10

f pf p 20 10 20 10 20 f pf f 20 10 20 10 10 f f pp 20 10 10 20 20 f f pf 20 10 10 20 10 f f f p 20 10 10 10 20 f f f f 20 10 10 10 10

b) Donnez la tribu représentant l’information disponible après le deuxième lancer. Inter- prétez.

F ² = f pppp; pppf; ppf p; ppf f g ; f pf pp; pf pf; pf f p; pf f f g ;

f f ppp; f ppf; f pf p; f pf f g ; f f f pp; f f pf; f f f p; f f f f g :

En observant le processus stochastique X jusqu’au deuxième lancer, nous sommes en mesure de déterminer quels étaient les résultats obtenus aux deux premiers lancers mais nous sommes incapables de déterminer quels sont les résultats des deux derniers lancers.

c) Quelle est la distribution du montant que nous possédons à la …n du jeu ? Si q représente la probabilité d’obtenir ”pile” à un lancer alors

P (X ₄ = 30) = q ⁴ + 2q ³ (1 q) + q ² (1 q) ²

= q ²

P (X ₄ = 20) = 2q ³ (1 q) + 4q ² (1 q) ² + 2q (1 q) ³

= 2q ² + 2q

= 2q (1 q)

P (X ₄ = 10) = q ² (1 q) ² + 2q (1 q) ³ + (1 q) ⁴

= 1 2q + q ² = (1 q) ²

4 Exercice 2.4

a) Quel est l’ensemble fondamental correspondant à cette expérience aléatoire ?

= P P P P; P P P F; P P F P; P P F F; P F P P; P F P F; P F F P; P F F F;

F P P P; F P P F; F P F P; F P F F; F F P P; F F P F; F F F P; F F F F

Dans le cas où la stratégie audacieuse est employée, l’ensemble fondamental peut aussi être décrit par

f P; F P P P; F P P F; F P F; F F g

puisque le jeu peut s’arrêter au bout de très peu de lancers du sou. Cela est une question

d’interprétation. On peut supposer que le sou est lancé malgré l’absence de mise (le jeu est

terminé) pour nous permettre de construire les deux processus stochastiques sur le même

espace probabilisable.

b) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ?

! X ₀ X ₁ X ₂ X ₃ X ₄ Y ₀ Y ₁ Y ₂ Y ₃ Y ₄

! ₁ = P P P P 6 7 8 9 10 6 10 10 10 10

! ₂ = P P P F 6 7 8 9 8 6 10 10 10 10

! ₃ = P P F P 6 7 8 7 8 6 10 10 10 10

! ₄ = P P F F 6 7 8 7 6 6 10 10 10 10

! ₅ = P F P P 6 7 6 7 8 6 10 10 10 10

! ₆ = P F P F 6 7 6 7 6 6 10 10 10 10

! ₇ = P F F P 6 7 6 5 6 6 10 10 10 10

! ₈ = P F F F 6 7 6 5 4 6 10 10 10 10

! ₉ = F P P P 6 5 6 7 8 6 2 4 8 10

! ₁₀ = F P P F 6 5 6 7 6 6 2 4 8 6

! ₁₁ = F P F P 6 5 6 5 6 6 2 4 0 0

! ₁₂ = F P F F 6 5 6 5 4 6 2 4 0 0

! ₁₃ = F F P P 6 5 4 5 6 6 2 0 0 0

! ₁₄ = F F P F 6 5 4 5 4 6 2 0 0 0

! ₁₅ = F F F P 6 5 4 3 4 6 2 0 0 0

! ₁₆ = F F F F 6 5 4 3 2 6 2 0 0 0

La tribu F doit faire en sorte que X ₀ , X ₁ , X ₂ , X ₃ et X ₄ ainsi que Y ₀ , Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ et Y ₄ soient des variables aléatoires. Comme les 16 trajectoires sont di¤érentes les unes des autres, F est engendrée par la partition f ! ₁ ; :::; ! ₁₆ g . Ainsi

F = ensemble de tous les événements de ainsi que ? . F contient 2 ¹⁶ = 65 536 événements.

c) Quelles sont les tribus de la …ltration engendrée par le processus X = f X _t : t 2 f 0; 1; 2; 3; 4 gg

pour les instants 0; 1; 2 et 4 ? F ⁰ = f? ; g F ¹ = f? ; A; A ^c ; g

où A = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F; P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g

F ² = 8 >

> <

> >

:

? ; B ₁ ; B ₂ ; B ₃ ; B ₄ ; B ₁ [ B ₂ ; B ₁ [ B ₃ ; B ₁ [ B ₄ ; B ₂ [ B ₃ ; B ₂ [ B ₄ ; B ₃ [ B ₄ ;

B ₁ [ B ₂ [ B ₃ ; B ₁ [ B ₂ [ B ₄ ; B ₁ [ B ₃ [ B ₄ ; B ₂ [ B ₃ [ B ₄ ;

9 >

> =

> >

; où B ₁ = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F g

B ₂ = f P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g B ₃ = f F P P P; F P P F; F P F P; F P F F g B ₄ = f F F P P; F F P F; F F F P; F F F F g F ⁴ = F

d) Quelles sont les tribus de la …ltration engendrée par le processus Y = f Y _t : t 2 f 0; 1; 2; 3; 4 gg

pour les instants 0; 1; 2 et 4 ? G ⁰ = f? ; g G ¹ = f? ; A; A ^c ; g

où A = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F; P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g G ² = f? ; B ₁ ; B ₃ ; B ₄ ; B ₁ [ B ₃ ; B ₁ [ B ₄ ; B ₃ [ B ₄ ; B ₁ [ B ₃ [ B ₄ ; g où B ₁ = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F; P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g

B ₃ = f F P P P; F P P F; F P F P; F P F F g B ₄ = f F F P P; F F P F; F F F P; F F F F g

G ⁴ = 8 >

> >

> >

> >

> >

> <

> >

> >

> >

> >

> >

:

? ; C ₁ ; C ₂ ; C ₃ ; C ₄ ; C ₅ ;

C ₁ [ C ₂ ; C ₁ [ C ₃ ; C ₁ [ C ₄ ; C ₁ [ C ₅ ; C ₂ [ C ₃ ; C ₂ [ C ₄ ; C ₂ [ C ₅ ; C ₃ [ C ₄ ; C ₃ [ C ₅ ; C ₄ [ C ₅ ; C ₃ [ C ₄ [ C ₅ ; C ₂ [ C ₄ [ C ₅ ; C ₂ [ C ₃ [ C ₅ ; C ₂ [ C ₃ [ C ₄ ; C ₁ [ C ₄ [ C ₅ ; C ₁ [ C ₃ [ C ₅ ;

C ₁ [ C ₃ [ C ₄ ; C ₁ [ C ₂ [ C ₅ ; C ₁ [ C ₂ [ C ₄ ; C ₁ [ C ₂ [ C ₃ ; C ₁ [ C ₂ [ C ₃ [ C ₄ ; C ₁ [ C ₂ [ C ₃ [ C ₅ ; C ₁ [ C ₂ [ C ₄ [ C ₅ ;

C ₁ [ C ₃ [ C ₄ [ C ₅ ; C ₂ [ C ₃ [ C ₄ [ C ₅ ;

9 >

> >

> >

> >

> >

> =

> >

> >

> >

> >

> >

; C ₁ = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F; P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g C 2 = f F P P P g

C ₃ = f F P P F g

C ₄ = f F P F P; F P F F g

C ₅ = f F F P P; F F P F; F F F P; F F F F g

e) Interprétez, en fonction de l’information disponible, la structure d’information que vous avez construite à la question c) pour l’instant n = 3.

F ² = 8 >

> <

> >

:

? ; B ₁ ; B ₂ ; B ₃ ; B ₄ ; B ₁ [ B ₂ ; B ₁ [ B ₃ ; B ₁ [ B ₄ ; B ₂ [ B ₃ ; B ₂ [ B ₄ ; B ₃ [ B ₄ ;

B ₁ [ B ₂ [ B ₃ ; B ₁ [ B ₂ [ B ₄ ; B ₁ [ B ₃ [ B ₄ ; B ₂ [ B ₃ [ B ₄ ;

9 >

> =

> >

; où B ₁ = f P P P P; P P P F; P P F P; P P F F g

B ₂ = f P F P P; P F P F; P F F P; P F F F g

B ₃ = f F P P P; F P P F; F P F P; F P F F g

B ₄ = f F F P P; F F P F; F F F P; F F F F g

Les atomes qui engendrent F ² partitionnent selon les résultats obtenus lors des deux premiers lancers mais sont incapables de distinguer les événements qui impliquent les 2 derniers lancers.

f) Donnez les fonctions de masse de X 4 et de Y 4 .

! X ₀ X ₁ X ₂ X ₃ X ₄ Y ₀ Y ₁ Y ₂ Y ₃ Y ₄ P

! ₁ = P P P P 6 7 8 9 10 6 10 10 10 10 p ⁴

! ₂ = P P P F 6 7 8 9 8 6 10 10 10 10 p ³ (1 p)

! ₃ = P P F P 6 7 8 7 8 6 10 10 10 10 p ³ (1 p)

! 4 = P P F F 6 7 8 7 6 6 10 10 10 10 p ² (1 p) ²

! ₅ = P F P P 6 7 6 7 8 6 10 10 10 10 p ³ (1 p)

! ₆ = P F P F 6 7 6 7 6 6 10 10 10 10 p ² (1 p) ²

! ₇ = P F F P 6 7 6 5 6 6 10 10 10 10 p ² (1 p) ²

! ₈ = P F F F 6 7 6 5 4 6 10 10 10 10 p (1 p) ³

! ₉ = F P P P 6 5 6 7 8 6 2 4 8 10 p ³ (1 p)

! ₁₀ = F P P F 6 5 6 7 6 6 2 4 8 6 p ² (1 p) ²

! 11 = F P F P 6 5 6 5 6 6 2 4 0 0 p ² (1 p) ²

! ₁₂ = F P F F 6 5 6 5 4 6 2 4 0 0 p (1 p) ³

! ₁₃ = F F P P 6 5 4 5 6 6 2 0 0 0 p ² (1 p) ²

! ₁₄ = F F P F 6 5 4 5 4 6 2 0 0 0 p (1 p) ³

! ₁₅ = F F F P 6 5 4 3 4 6 2 0 0 0 p (1 p) ³

! ₁₆ = F F F F 6 5 4 3 2 6 2 0 0 0 (1 p) ⁴

f _Y

(y) = 8 >

> >

> >

> >

> <

> >

> >

> >

> >

:

p ² + p ³ p + 1 si y = 0 p ² 2p ³ + p ⁴ = p ² (1 p) ² si y = 6 p ⁴ + p ³ + p si y = 10

0 sinon

9 >

> >

> >

> >

> =

> >

> >

> >

> >

;

f _X

(y) = 8 >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> <

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

:

(1 p) ⁴ si x = 2 4p (1 p) ³ si x = 4 6p ² (1 p) ² si x = 6 4p ³ (1 p) si x = 8 p ⁴ si x = 10

0 sinon

9 >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> =

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

;

g) Soit la variable aléatoire donnant l’instant auquel le jeu s’est arrêté, c’est-à-dire que (!) min f t 2 f 0; 1; 2; ::: g : X _t = 0 ou X _t = n g :

Montrer que est un temps d’arrêt.

Nous voulons montrer que pour tout t 2 f 0; 1; 2; ::: g , l’événement f ! 2 : (!) = t g 2 F ^t . Or,

f ! 2 : (!) = t g

= f ! 2 : X 0 (!) ; X 1 (!) ; :::; X t 1 (!) 2 f 1; 2; :::; n 1 g et X t (!) 2 f 0; n gg

=

t \ 1 k=0

f ! 2 : X _k (!) 2 f 1; 2; :::; n 1 gg

| {z }

2F

F

| {z }

2F

\ f | ! 2 : X _t {z (!) 2 f 0; n gg }

2F

2 F ^t

Autre méthode plus simple: est le premier contact avec l’ensemble f 0; n g donc est un

temps d’arrêt par le théorème démontré dans les notes de cours (ch.2).

5 Exercice 2.5

Oui, la somme de ces deux temps d’arrêt est un temps d’arrêt car t 2 f 0; 1; 2; ::: g . En e¤et, soit t 2 f 0; 1; 2; ::: g quelconque. Alors

f ! 2 : ₁ + ₂ = t g

= [ t k=0

8 >

<

> : f | ! 2 {z : ₁ = k g }

2F

F

\ f | ! 2 : {z ₂ = t k g }

2F

F

9 >

=

> ;

| {z }

2F

2 F ^t :

Ce qu’il fallait démontrer.