Proportionnalité
I) Tableau de proportionnalité :
Définition :Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes où l’on passe des valeurs de la première à celles de la deuxième en multipliant par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple :
Le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité de coefficient 5 car on passe des valeurs de la ligne du haut à celles du bas en multipliant toujours par 5.
II) Quatrième proportionnelle :
Introduction :Prenons une partie du tableau de proportionnalité ci-dessus, par exemple les deux premières colonnes et multiplions entre eux les nombres reliés par les flèches rouge et verte :
2 × 25 = 50 5 × 10 = 50
On constate que les deux produits, appelés « produits en croix » sont égaux.
De même, si on prend deux autres colonnes de ce tableau, on constate la même chose.
5 × 40 = 200 8 × 25 = 200
Ainsi, dans un tableau de proportionnalité, tous les produits en croix sont égaux.
Soit alors, un tableau de proportionnalité à 3 colonnes où une valeur est inconnue :
Grandeur 1 4 6
Grandeur 2 10 x
Le nombre x, que l’on peut calculer à partir des trois autres nombres connus, s’appelle quatrième proportionnelle.
Voici la méthode pour déterminer sa valeur :
Première étape : On écrit l’égalité des produits en croix :
4 × x = 6 × 10
Deuxième étape : On détermine la valeur du nombre manquant : 4 × x = 6 × 10
4x = 60 x = x = 15
La valeur de x est 15.
Exemple d’application :
Au cinéma, le prix payé est proportionnel au nombre de places achetées.
Pour l’achat de 5 places on paye 37,5 €.
Calculer le prix payé pour 7 places.
Les deux grandeurs proportionnelles en présence dans la situation sont : nombre de places achetées et prix payé en euros.
Première étape : On dresse le tableau de proportionnalité : On note x le prix payé pour 7 places de cinéma.
Nombre de places achetées 5 7
Prix payé (€) 37,5 x
Deuxième étape : On écrit l’égalité des produits en croix : 5 × x = 37,5 × 7
Troisième étape : On détermine la valeur du nombre manquant : 5 × x = 37,5 × 7
5x = 262,5 x = , x = 52,5
Quatrième étape : On répond à la question posée :
Le prix de 7 places de cinéma est 52,50 €.
III) Proportionnalité et représentation graphique :
Propriété :Si on représente dans un repère une situation de proportionnalité alors on obtient des points alignés avec l’origine du repère.
Exemple :
Le périmètre P d’un losange est proportionnel à la longueur a de son côté car P = 4a.
Déterminons quelques valeurs de son périmètre P en fonction de la longueur de son côté a, en utilisant le tableau de proportionnalité ci-dessous :
Plaçons ensuite les points dans un repère ( les points sont repérés par l’abscisse qui correspond à la longueur a du côté du losange et par l’ordonnée qui correspond au périmètre P du losange ) :
Les points A, B, C et D sont bien alignés avec l’origine du repère.
Propriété :
Si une situation est représentée graphiquement par des points alignés avec l’origine du repère alors il s’agit d’une situation de proportionnalité.
Exemple :
Situation n°1 Situation n°2 Situation n°3
Cette situation ne représente pas une
situation de proportionnalité car les points ne sont pas alignés
avec l’origine du repère.
Cette situation représente une situation de proportionnalité car les points sont alignés avec
l’origine du repère.
Cette situation ne représente pas une situation de proportionnalité car les points ne sont pas alignés.
IV) Application de la proportionnalité :
a) La vitesse :1) Propriété :
Si un mobile parcourt une distance d en un temps t alors la vitesse moyenne v de ce mobile est v =
.
Remarque :
On a aussi, d’après l’égalité des produits en croix : d = v × t et t =
.
Exemple n°1 ( calcul d’une vitesse moyenne ) :
Un TGV parcourt 1 080 km en 3 h. Quelle est sa vitesse moyenne ?
On sait que v = avec ici d = 1 080 km et t = 3 h.
On en déduit que v = = 360 km/h.
La vitesse moyenne du TGV est 360 km/h (ou 360 km.h-1)
Exemple n°2 ( calcul d’un temps de parcours ) :
Une voiture parcourt 480 km à la vitesse moyenne de 80 km/h. Quel est le temps de parcours ?
On sait que t = avec ici d = 480 km et v = 80 km/h.
Pour calculer la valeur de t, il faut vérifier que les unités de distance de la distance d et de la vitesse v sont les mêmes ce qui est le cas ici ( km ).
On en déduit que t = = 6 h ( h car c’est l’unité de temps de la vitesse ).
Le temps de parcours est de 6 h.
Exemple n°3 ( calcul d’une distance ) :
Un cycliste roule pendant 40 min à la vitesse de 400 m/min. Quelle est la distance parcourue par le cycliste ?
On sait que d = v × t avec ici v = 400 m/min et t = 40 min.
Pour calculer la valeur de d, il faut vérifier que les unités de temps du temps t et de la vitesse v sont les mêmes ce qui est le cas ici ( min ).
On en déduit que d = 400 × 40 = 16 000 m ( m car c’est l’unité de distance de la vitesse ).
La distance parcourue par le cycliste est 16 000 m.
2) Conversion des unités de vitesse :
Lorsque dans le calcul d’un temps ou d’une distance, l’unité utilisée pour la distance ou le temps et l’unité utilisé pour la vitesse ne sont pas les mêmes ( par exemple calculer d sachant que v = 10 km/h et t = 15 min ( h ≠ min ) ou calculer t sachant que d = 100 km et v = 30 m/s ( km ≠ m )), il faut faire des conversions.
a) Cas de la vitesse :
Exemple n°1 : convertir 54 km/h en m/s.
Méthode :
• On convertit les km en m ( 1 km = 1 000 m) et les heures en secondes ( 1 h = 3 600 s ) :
54 km / h s’écrit alors 54 000 m / 3 600 s
• On divise ensuite par 3 600 la distance 54 000 m et le temps 3 600 s : 54 000 m / 3 600 s s’écrit alors 15 m/s.
Conclusion : une vitesse de 54 km/h correspond à une vitesse de 15 m/s.
Exemple n°2 : convertir 12 m/s en km/h.
Méthode :
• On multiplie par 3 600 la distance 12 m et le temps 1 s : 12 m / s s’écrit alors 43 200 m / 3 600 s.
• On convertit les m en km ( 1 km = 1 000 m) et les heures en secondes ( 1 h = 3 600 s ) :
43 200 m / 3 600 s s’écrit alors 43,2 km/h
Conclusion : une vitesse de 12 m/s correspond à une vitesse de 43,2 km/h.
b) Exemple d’application :
Un cycliste roule pendant 900 s à la vitesse de 18 km/h. Quelle est la distance parcourue par le cycliste ?
On sait que d = v × t avec ici v = 18 km/h et t = 900 s.
Pour calculer la valeur de d, il faut que les unités de temps du temps t et de la vitesse v soient les mêmes ce qui n’est pas le cas ici ( h ≠ s ).
On doit donc convertir la vitesse ou le temps pour déterminer la distance :
Premier cas : conversion de la vitesse :
L’unité du temps étant la seconde ( s ), on va convertir la vitesse en m/s.
On applique la méthode précédente :
v = 18 km/h soit v = 18 000 m/ 3 600 s c’est-à-dire v = 5 m/s.
On peut à présent calculer d : d = v × t avec ici v = 5 m/s et t = 900 s.
d = 5 × 900 d = 4 500 m
La distance parcourue par le cycliste est 4 500 m.
Deuxième cas : conversion du temps :
L’unité de temps de la vitesse étant l’heure ( h ), on va convertir le temps en h.
On sait que t = 900 s et qu’une heure correspond à 3 600 s.
Ainsi :
• pour passer d’un temps exprimé heures à un temps exprimé en secondes, il faut multiplier le nombre d’heures par 3 600 ( par exemple, 2 h = 2 × 3 600 s = 7 200 s ).
• pour passer d’un temps exprimé secondes à un temps exprimé en heures, il faut diviser le nombre de secondes par 3 600 ( par exemple, 5 400 s = h = 1,5 h ).
On en déduit que t = 900 s = h = 0,25 h.
On peut à présent calculer d : d = v × t avec ici v = 18 km/h et t = 0,25 h.
d = 18 × 0,25 d = 4,5 km
La distance parcourue par le cycliste est 4,5 km.
b) Les pourcentages :
b.1) calculer un pourcentage : Propriété :
Le pourcentage d’une quantité Q par rapport à un total T est égal à × 100
Exemple : 80 habitants d’un village de 500 habitants possèdent une voiture.
Le pourcentage d’habitants qui possèdent une voiture est × 100.
Puis :
× 100 =
×
= = 1616 % des habitants du village possèdent une voiture.
b.2) Appliquer un pourcentage : Propriété :
Calculer P % d’une quantité Q revient à calculer le produit × Q
Exemple : 25 % des 120 boutiques d’une ville sont ouvertes le dimanche.
Le nombre de boutiques ouvertes le dimanche dans cette ville est × 120.
Puis :
× 120 =
×
= = 3030 boutiques sont ouvertes le dimanche.
b.3) Exercice d’application :
30 filles et 25 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un devoir commun en mathématiques. 70 % des filles et 60 % des garçons ont obtenu la moyenne.
Déterminer le pourcentage des élèves qui ont obtenu la moyenne dans ces deux classes.
a) Nombre de filles qui ont eu la moyenne :
70 % des 30 filles ont eu la moyenne ce qui correspond à × 30.
× 30 = × = × = = 21.
21 filles ont eu la moyenne au devoir commun.
b) Nombre de garçons qui ont eu la moyenne :
60 % des 25 garçons ont eu la moyenne ce qui correspond à × 25.
× 25 = × = × = = 15.
15 garçons ont eu la moyenne au devoir commun.
c) Pourcentage d’élèves qui ont eu la moyenne :
On détermine le nombre total d’élèves des deux classes : 30 + 25 = 55.
On détermine le nombre d’élèves qui ont obtenu la moyenne : 21 + 15 = 36.
On utilise enfin la quatrième proportionnelle pour déterminer le pourcentage cherché :
Nombre d’élèves ayant obtenu la moyenne 36 x
Nombre total d’élèves 55 100
On en déduit que x = × = ≅ 65,5 %
Conclusion : 65,5 % d’élèves ont eu la moyenne au devoir commun.
