Exemple de grandeurs proportionnelles : Le salaire (si on est payé à l’heure) est

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FONCTIONS NUMERIQUES PROPORTIONNALITE I DEFINITION

En français, dans une phrase du type « la taille est fonction de l’âge », « est fonction de » signifie « dépend de ».

En mathématiques la notion de fonction intervient également pour exprimer un lien entre deux quantités mais une condition doit être vérifiée :

SOIT X ET Y DEUX QUANTITES. DEFINIR UNE FONCTION QUI A X ASSOCIE Y C’EST DONNER UN PROCEDE QUI PERMET, SI X EST CONNU ET SI Y EXISTE, DE DETERMINER Y DE FACON UNIQUE. (on note une telle fonction x →y et si on appelle f cette fonction on pourra écrire y = f(x)).

Très souvent le procédé qui permettra de calculer y sera une formule mathématique (ou plusieurs formules mathématiques à condition que soit clairement précisée quelle formule on doit employer selon l’intervalle auquel appartient x)

Exemple : Un représentant reçoit mensuellement un fixe de 800 € et une commission égale à 10% des ventes réalisées à condition que celles-ci dépassent 3000 € . Si on note x le montant des ventes mensuelles réalisées par le représentant et y la valeur de son salaire mensuel en francs alors y est fonction de x et on a :

II REPRESENTATION GRAPHIQUE :

Soit une fonction qui à x associe y. A chaque valeur de x pour laquelle y existe on peut faire correspondre un point d’abscisse x et d’ordonnée y dans un repère bien choisi (se donner un repère c’est se donner deux axes gradués).

L’ensemble de tous les points obtenus s’appelle la représentation graphique de la fonction.

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent. La représentation de la fonction qui à x associe y est :

CAS PARTICULIERS QU’IL FAUT BIEN CONNAITRE :

1°) Si y=ax alors la fonction qui à x associe y est appelée fonction linéaire et sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère. C’est un type de fonction particulièrement important car on verra que ceci correspond au cas où la quantité y est proportionnelle à la quantité x, a étant le coefficient de

proportionnalité.

2°) Si y=ax+b alors la fonction qui à x associe y est appelée fonction affine et sa représentation graphique est une droite.

Remarques :

• si b=0 on retrouve y=ax donc les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines

• y est la somme d’une quantité b fixe et d’une quantité ax proportionnelle à x.

• sauf dans le cas où b=0, y n’est pas proportionnelle à x mais les variations de y sont proportionnelles aux variations de x.

Dominique Pernoux http://pernoux.perso.wanadoo.fr

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III PROPORTIONNALITE (« théorie »)

1°) DEFINITION et PROPRIETES

Soit x une quantité variable et f une fonction qui à x associe la quantité y ( Exemple 1 : x est la durée du travail en heures de M. Dupont et y est le salaire en francs de M. Dupont - Exemple 2 : x est l’âge de M. Dupont et y est le

« poids » de M. Dupont).

ON DIT QUE LA QUANTITE y EST PROPORTIONNELLE A LA QUANTITE X SI ON PEUT TROUVER UN NOMBRE a FIXE tel que y = ax

a est appelé alors coefficient de proportionnalité et la fonction qui à x associe y, qui vaut ax, est appelée fonction linéaire.

Remarque : x est proportionnel à y (coefficient de proportionnalité : 1/a).

Voir aussi : http://dpernoux.free.fr/ExPE1/affine.htm (page avec applet java)

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Exemple de grandeurs proportionnelles : Le salaire (si on est payé à l’heure) est

proportionnel à la durée du travail.

Exemples de grandeurs non proportionnelles : Le “poids” d’un individu donné n’est pas

proportionnel à sa taille Propriété n°1

Propriété n°2 :

Propriété n°3 :

Propriété n° 4 :

Si on fait un graphique les points sont tous sur

une même droite passant par l’origine. Si on fait un graphique les points ne sont pas tous sur une même droite passant par l’origine.

Remarques:

a) On peut écrire :

Si je travaille 4 heures, je gagne 32 € Si je travaille 1 heure, je gagne 32 : 4 = 8 €

Si je travaille 5 heures, je gagne 5 × 8 = 40 € b) On peut utiliser un “automatisme”appelé

a) Si j’ai 2 ans, je pèse 8 kg Si j’ai 1 an, je pèse 8 : 2 = 4 kg

b) On ne peut pas utiliser le "produit en croix".

x Durée du travail

(en heures) 4 12

y Salaire (en euro) 32 96

× 8

8 (€ / h) est le coefficient deproportionnalité

Age (en années) 2 6

“Poids” (en

kilogrammes) 8 10

×

Durée du travail

(en heures) 4 12 Salaire (en euro) 32 96

×3

Age (en années) 2 6

“Poids” (en

kilogrammes) 8 10

×3

+

Durée du travail

(en heures) 4 12 16

Salaire (en euro) 32 96 128

+

Age (en années) 2 8 10

“Poids” (en

kilogrammes) 8 10 16

+

:4

×5

Proportionnalité (rappels pour enseignants)

4 5

32 ?

4 x ? = 5 x 32

Remarque : la fonction qui à x associe y est la fonction linéaire x 8 x

Il s’agit de la propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre : f(kx) = kf(x)

Il s’agit de la propriété de linéari- té pour l’addition :

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

"produit en croix" qu'il ne semble pas souhaitable

d'enseigner à l'école primaire :

Pour la notion de "règle de trois" voir page suivante.

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Remarques concernant l’expression « règle de trois »

La signification précise de l’expression « règle de trois » peut varier d’un auteur à l’autre mais, dans tous les cas, ce qui est sous-jacent c’est la procédure de « passage par l’unité » suivante : .

4 pommes coûtent 2 €

1 pomme coûte 4 fois moins donc coûte 2 4 € 5 pommes coûtent 5 fois plus donc coûtent 2 5 × 4 €.

On appelle assez souvent, me semble-t-il, « règle de trois » le fait de produire rapidement le résultat final 2 5 × 4 € sans nécessairement écrire des explications.

Mais cette procédure peut garder du sens si on produit ce résultat de la manière suivante : On pense et/ou on dit : « 4 pommes coûtent 2 € ».

On écrit le nombre 2.

On pense et/ou on dit : « 1 pomme coûte 4 fois moins ».

On complète ce qu’on a commencé d’écrire : 2 4 .

On pense et/ou on dit dit : « 5 pommes coûtent 5 fois plus ».

On complète ce qu’on a commencé d’écrire : 2 5

× 4 €

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2°) Pourcentages

a) Pourcentages pour décrire une situation (exemples) :

Premier exemple : dans une classe de 32 élèves il y a 12,5 % de filles.

Nombre de filles : 32 ×

12,5 100

^{= 4}

Deuxième exemple : dans une classe de 32 élèves il y a 8 filles.

Première présentation possible des calculs : Pourcentage de filles :

8

32

= 0,25 = 25%

Deuxième présentation possible des calculs : Pourcentage de filles :

8

32

× 100 % = 0,25 × 100% = 25 % Troisième exemple :

b) Pourcentages pour décrire une évolution :

♦ Si des prix augmentent de t%, les nouveaux prix sont proportionnels aux anciens et le coefficient de proportionnalité est égal à 1 +

t

Exemple : un objet qui coûtait 32 € va coûter après augmentation de 25 %

100

32 × (1 +

25

100

) € soit 32 × 1,25 € soit 40 €.

(attention : on a multiplié l’ancien prix par 1,25 pour trouver directement le nouveau prix mais si on avait voulu calculer l’augmentation on aurait multiplié l’ancien prix par 0,25)

×

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♦ Si des prix diminuent de t%, les nouveaux prix sont proportionnels aux anciens et le coefficient de proportionnalité est égal à 1 -

t

Exemple : un objet qui coûtait 32 € va coûter après diminution de 25 %

100

32 × (1 -

25

100

) € soit 32 × 0,75 € soit 24 €.

(attention : on a multiplié l’ancien prix par 0,75 pour trouver le nouveau prix mais si on veut calculer seulement l’augmentation on multiplie l’ancien prix par 0,25)

♦ On peut aussi retenir les formules suivantes :

Si une quantité est multiplié par c avec c > 1, cette quantité augmente de (c - 1) × 100%

Si une quantité est multiplié par c avec c < 1, cette quantité diminue de (1 - c) × 100%

♦ Pour trouver un pourcentage d’augmentation ou de diminution, on peut présenter les calculs ainsi : Un prix passe de 130 à 133,38 €.

133,38

130

= 1,026 donc le prix est multiplié par 1,026 donc le prix augmente de (1,026 - 1) × 100 % donc le prix augmente de 2,6 %.

Un prix passe de 140 à 139,16 €.

139,16

140

= 0,994 donc le prix est multiplié par 0,994 donc le prix diminue de (1 - 0,994) × 100 % donc le prix diminue de 0,6 %.

4 3

Remarque : dans les deux cas, on a calculé . nouvelle valeur ancienne valeur

a

00)

a

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Pour introduire la notion de proportionnalité, il me semble intéressant de mettre les élèves devant une situation-problème qui les amène à produire eux-mêmes des écrits variés :

Exemple :

Nombre de gâteaux 5 20 25 Prix à payer en € 12 ? ?

Remarque : les choix des différents nombres me semblent particulièrement importants (ici les nombres sont choisis pour favoriser la mise en œuvre de procédures basées implicitement sur les propriétés de linéarité).

Lors de la mise en commun, les diverses procédures mises en œuvre spontanément par les élèves pourront être comparées et étudiées.

Il me semble important de proposer ensuite, très vite, une situation de ce type : Durée de la partie de foot (en min.) 20 40 60

Nombre de buts marqués 3 ? ?

L’objectif étant de bien faire apparaître qu’il y a des situations où je peux appliquer un certain nombre de propriétés et d’autres où je ne le peux pas.

Par exemple :

• il y a des situations où je peux dire : J’achète 5 kg de pommes ; je paie 7 €.

Si j’achetais trois fois plus de pommes (15 kg), je paierais trois fois plus (21 €).

On dit alors que le prix des pommes achetées est proportionnel au "poids" des pommes.

• il y a des situations où je ne peux pas dire la même chose : Je joue 20 mn au foot ; je marque 3 buts.

Si je jouais trois fois plus longtemps au foot (60 mn) ; je marquerais trois fois plus de buts (9).

Le nombre de buts marqués n'est pas proportionnel à la durée de la partie.

Le problème posé peut l’être sous la forme d’un tableau ou sous la forme d’un énoncé en français.

IV Comment introduire la notion de proportionnalité ?

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V Quelques compléments (utiles pour analyser les travaux d’élèves) 1°) CONNAISSANCES THEORIQUES UTILES

Supposons qu’un gâteau coûte 1,50 €.

• Si on appelle x le nombre de gâteaux et y le coût à payer en euros, la fonction :f xayest la fonction linéaire :f xa1,5x

• Le coût à payer est proportionnel au nombre de gâteaux (1,5 est appelé coefficient de proportionnalité)

• On peut distinguer, a priori, quatre procédures : Procédure n° 1 :

Si on utilise le prix d’un gâteau pour trouver tous les prix en multipliant à chaque fois le nombre de gâteaux par 1,5 on utilise, même de façon implicite, le fait que le prix à payer est proportionnel au nombre de gâteaux et on met en avant l’aspect fonctionnel ( :f xa1,5x). Le prix unitaire est le coefficient de proportionnalité.

Procédure n°2 :

Si on dit que « quand on achète 3 fois plus de gâteaux, on dépense 3 fois plus », on utilise une propriété de la fonction linéaire f, appelée dans ce cours propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre (ici 3).

Remarques :

1°) dans certains ouvrages, cette propriété pourra être appelée propriété de linéarité pour la multiplication par un scalaire, dans d’autres, propriété d’homogénéité.

2°)

Nombre de gâteaux 4 12

Prix à payer en € 6 18

f(3×4) = 3×f(4) et de façon générale f (kx) = kf(x) Procédure n° 3 :

Si on dit que « 16 gâteaux coûtent 24 € car 4 gâteaux coûtent 6 € et 12 gâteaux coûtent 18 € », on utilise une propriété de la fonction linéaire f, appelée dans ce cours propriété de linéarité pour l’addition.

Remarques :

1°) dans certains ouvrages, cette propriété pourra être appelée propriété d’isomorphisme pour l’addition, dans d’autres propriété d’additivité

2°)

Nombre de gâteaux 4 12 16

Prix à payer en € 6 18 24

.

f (4 + 12) = f(4) + f(12) et de manière générale f (x1 +x2) = f(x1) + f(x2)

×3

+

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Procédure n° 4 :

On peut également envisager une résolution graphique basée sur le fait que la fonction :f xa1,5x est représentée par une droite passant par l’origine.

• On peut aussi utiliser la "règle de trois" :

Premier exemple : 4 gâteaux coûtent 6 € donc 12 gâteaux coûtent 6 12 4

× €

2°) L’analyse des travaux d’élèves est parfois délicate : Si on écrit :

4 gâteaux coûtent 6 € 1 gâteau coûte 6

4 € soit 1,5 €

12 gâteaux coûtent 12 × 1,5 € on « passe par le prix unitaire ».

Les justifications peuvent utiliser explicitement ou pas la propriété de linéarité pour la multiplication : 4 gâteaux coûtent 6 €

1gâteau coûte 1,5 €

12 gâteaux coûtent 18 €

Si on écrit ensuite 24 gâteaux coûtent 18 × 2 = 36 € c’est bien la propriété de linéarité qui est mise en avant Si on écrit ensuite 24 gâteaux coûtent 24 x 1,5 = 36 € c’est bien l’aspect fonctionnel qui est mis en avant.

: 4 : 4

× 12

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Des remarques concernant une autre procédure (procédure dite de « conservation des écarts ») qui peut être utilisée par certains élèves

Il s’agit de la procédure suivante : Nombres de

gâteaux 5 10 20 25

Prix des gâteaux

en € 3 6 12 ?

Nombres de

gâteaux 5 10 20 25

Prix des gâteaux

en € 3 6 12 15

• Si on appelle f la fonction qui au nombre de gâteaux associe le prix des gâteaux en €, la propriété utilisée est la suivante :

Si x

4

- x

3

= x

2

- x

1

alors f(x

4

) - f(x

3

) = f(x

2

) - f(x

1

)

• Dans une situation de proportionnalité, cette propriété est effectivement toujours vérifiée.

• Mais ce n’est pas une propriété caractéristique des situations de proportionnalité car cette propriété est vérifiée par toutes les fonctions affines et pas seulement les fonctions linéaires.

+5 +5

+3 +3