GIN FA INSTRUMENTATION P Breuil

GIN FA 4 02 01 – INSTRUMENTATION P Breuil

OBJECTIFS :

• connaitre les bases des statistiques de la mesure afin de pouvoir d’une part comprendre les spécifications d’un composant et d’autre part évaluer avec rigueur les performances d’une chaine de mesure.

• Etre capable de comprendre le suivi des solutions d’instrumentation (étalonnage, vérification du fonctionnement,…).

• Comprendre le fonctionnement d’une chaîne d’acquisition de mesure, les différents signaux mis en œuvre et les principales opérations de traitement de signaux associés.

• Comprendre les notions d’échantillonnage et de quantification et leur influence sur la mesure, comprendre les informations du domaine fréquentiel.

• Etre capable de choisir des capteurs et de superviser leur mise en œuvre en fonction de l’information souhaitée (type, précision,…), de l’environnement, et du système de traitement de l’information

• Pour cela, connaître les principes physiques et les principales technologies utilisés dans les capteurs

GIN FA 4 02 01 – INSTRUMENTATION – P Breuil

1. Statistiques de la mesure

2. La chaîne d’acquisition de mesure et signaux associés

3. Les capteurs

Total : 24 heures

Autonomie

Cours TD TP

12 4 8 >12

Calendrier

Mer 10/12/2014 am cours La mesure

Jeu ou Ven 11 ou 12/12/2014m ouam TP Mesure Excel Mar 27/01/2015 am cours Signal, acquisition…

Lun 2/02/2015 am cours capteurs

Jeu 5/02/2015 m ouam TP* TP signal, capteurs Xx Mars 2015

ENSMSE, 158 cours Fauriel ½ journée

TP* signal

* évalué

Contact & lien:

Ressources du cours d’instrumentation:

http://campus.emse.fr/course/view.php?id=260

[email protected]

(accès anonyme: GINFA2013)

Evaluation 1 TPs (coef 1/4)

Evaluation sur les « rendus » en fin de séance d’un TP, dépôt sur « Campus »

Evaluation 2 Rapport (coef 3/4)

Etude d’une solution d’instrumentation, si possible dans l’entreprise.,

Mise en œuvre des éléments du cours.

•Objectif, cahier des charges initial,

•Moyens mis en œuvre (capteurs, chaines de mesure et d’acquisition),

•Justification métrologique, spécifications attendues justifiées,

•Aspect coût

•Rapport ~20 pages + annexes (format électronique)

•Eventuellement fichier excel (calculs, simulations etc…)

•Date limite: 13 mai 2015, dépôt sur « Campus »

•Vous devrez proposer un sujet (pour éventuelle validation ou ajustement) au plus tard lors de la dernière séance de TPs (15 - 24 mars 2015), mais si possible avant…

Statistiques de la Mesure

Philippe Breuil, décembre 2014

• Mesure

Measurement

• Incertitude

uncertainty

• Etalonnage

Calibration

La Mesure

Mesure=??

Instrument de mesure, unité de mesure, méthode de mesure…

Mesurage = action de mesurer (measurement)

« L'objectif d'un mesurage consiste à déterminer la valeur du mesurande (measurand), c'est-à-dire la valeur de la grandeur particulière à mesurer » (GUM* 2008)

« En général, le résultat d'un mesurage est seulement une approximation ou estimation de la valeur du mesurande et, de ce fait, est seulement complet lorsqu'il est accompagné par une expression de l'incertitude de cette estimation » (GUM 2008)

*Guide to the expression of Uncertainty in Measurement

Métrologie

Métrologie = science de la mesure

•Aspect physique et mathématique

• Statistiques de la mesure:

• - calcul des incertitudes

• - Etalonnage

• Moyens de mesure: Capteurs

•Aspect légal

• Obligations lors d’une transaction commerciale

• Obligations lors de la publication d’une mesure

•Aspect économique

• Traçabilité et fiabilité

• Optimisation de la qualité

Mesure d’une grandeur:

Le mesurage se fait à l'aide d'un instrument de mesure:

•Par comparaison: ex, mètre, rapporteur…

• Plus généralement, l’instrument de mesure va servir à transformer un phénomène physique en un autre plus facilement mesurable par l’intermédiaire d’un capteur

-- pHmètre: grandeur chimique -> grandeur électrique -- boussole: grandeur magnétique -> grandeur géométrique (angle)

Cf cours suivant…

11

Métrologie, chaine de mesure

Laboratoire National d’Essais

NIST (US), PTB (D), NPL (UK)…

Etalons

CGPM: tous les 4 ans

Comite Français d’accréditation

Unités de Mesure: Système International

Système International (SI): basé sur 7 grandeurs étalon

Unités de Mesure: Système International

Système International (SI): 1960, basé sur le système métrique (CGS puis MKSA)

Unités de Mesure

Autres unités autorisées:

-Composées à partir des unités primaires:

joule (J)=kg.m².s-²

-Autorisées car signification physique universelle: °C, heure, eV…

-Multiples puissances de 10

10^-18 atto a

Vocabulaire (1)

15

Erreur absolue:

différence entre la valeur réelle et la mesure

Erreur relative:

erreur / |mesure|

Erreur systématique:

erreur de valeur moyenne non nulle

Erreur aléatoire:

erreur non prévisible, de valeur moyenne nulle.

Exactitude de mesure:

Etroitesse de l’accord entre UNE valeur mesurée et la valeur vraie Le vocabulaire est normalisé par le BIPM:

VIM: Vocabulaire International de Métrologie

Vocabulaire (2)

16

Justesse de mesure:

Etroitesse de l’accord entre la moyenne d’un grand nombre de valeurs mesurées et la valeur vraie

Sensibilité d’un SDM*:

dy/dx pour x donné (x=mesurande, y=valeur fournie par le SDS) Ex, capteur de pression: mV/hPa

Résolution d’un SDM*:

plus petite variation du mesurande détectable.

Incertitude:

« Paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande à partir des informations utilisées »

Incertitude relative:

incertitude/|mesure|

* Système de mesure

Vocabulaire (3)

17

Non linéarité:

déviation maximale par rapport à la droite approximant la réponse

Offset d’un SDM*:

valeur du signal de sortie quand le mesurande est à 0

« Slew rate »:

vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion

Temps de réponse:

« à X% »: Temps ou bout duquel, en réponse à un « échelon » de grandeur à mesurer, le signal a atteind X% de sa valeur asymptotique (typiquement 95%)

Hysteresis d’un SDM*:

aptitude d’un SDM dont le signal de sortie à l’état stationnaire ne dépend pas que du mesurande mais aussi de l’histoire des signaux antérieurs

* Système de mesure

Vocabulaire (4)

18

Dérive:

Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la température, à entrée constante

Limite de détection d’un SDM*:

plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine

probabilité d’erreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non

MTBF:

Mean Time Between Failure…

Répétabilité:

Etroitesse de l’accord entre les valeurs obtenues par des mesurages répétés dans les mêmes conditions.

Reproductibilité:

Etroitesse de l’accord entre les valeurs obtenues par des mesurages répétés en faisant varier certaines conditions de mesure.

* Système de mesure

19

Quelques rappels sur l'erreur et l'incertitude…

Erreur systématique: ε_B Systematic error

Erreur accidentelle ou aléatoire: ε_A Random or accidental error

Mesure x d’une variable de valeur réelle x_R:

A B

x

R

x = + ε + ε

Erreur: variable ε=x_R-x

) (x E x

_R

=

(espérance de x)

Expectation

20

Erreur systématique ou aléatoire?

Par définition, l'erreur aléatoire est imprévisible (et donc non corrigeable) et de valeur

moyenne nulle

Le caractère systématique ou aléatoire de

l'erreur peut dépendre du contexte…

21

Erreur systématique ou aléatoire?

Ex: mesure d'une masse à l'aide d'une balance numérique:

εa: Erreur aléatoire non expliquée εT: Dérive en température εo: Erreur "opérateur"

εu: Erreur propre à l'appareil εs: Erreur systématique de la série (!) Erreur: ε= εa+εT+εo+εu+εs

Conditions des expériences εa εT εo εu εs

1 opérateur le même jour, 1 appareil Idem + étalé sur plusieurs jours Idem + plusieurs opérateurs Idem + tests sur un lot d'appareils

22

Caractérisation de la mesure (et de l’erreur aléatoire):

Moyenne estimée de n mesures

d'une même valeur x

_R

⁼ ∑

ⁿ

x

i

x n

1

1

x_R= valeur réelle

)

) (

lim( ^x

^R

^{E x}

n

x ^{= =}

∞

→

(loi des grands nombres)

(Si erreur aléatoire) Estimated mean

Law of large numbers

(espérance de x)

Expectation

23

∑

⁻

= − ⁿ x_i x s n

1

)2

1 ( Ecart-type estimé de 1

l'erreur aléatoire

Ecart-type de l'erreur aléatoire:

( )

( ^{x x}

^{R 2}

)

E V = −

Variance (de l’erreur aléatoire):

r x

σ

=

σ

Ecart type relatif :

( )

(

⁻

)

⁼

^∑

⁻

= i R ⁿ xi xR

x n x

1 2 2

) 1 (

σ Valeur réelle,

À priori inconnue…

Standard deviation of random error

Variance (of random error)

σ

= ) (s E

Ecart-type de

l'erreur aléatoire

σ = V

24

Distributions d’erreurs

Gaussienne ou normale*, Uniforme,

Poissonnienne, Etc…

* La plus répandue, grâce au Théorème central limite…

ε 0

P(ε) Courbe de probabilité de l'erreur

Distributions of errors

Gaussian or normal*, Uniform,

Poissonnian,

25

La distribution Gaussienne (ou normale)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−3σ −2σ −σ 0 σ 2σ 3σ

E cart à la mo yenne x-x

σ = écart-type

σ: 68.3% des valeurs 2σ: 95.5% des valeurs 3σ: 99.7% des valeurs

P N=5 N=10 N=20 N> 100

50 % 0,73·σ 0,70·σ 0,69·σ 0,67·σ

68 % 1·σ

70 % 1,16·σ 1,09·σ 1,06·σ 1,04·σ

87 % 1,5·σ

90 % 2,02·σ 1,81·σ 1,73·σ 1,65·σ 95 % 2,57·σ 2,23·σ 2,09·σ 1,96·σ 99 % 4,03·σ 3,17·σ 2,85·σ 2,56·σ

99,7 % 3·σ

99,9 % 6,87·σ 4,59·σ 3,85·σ 3,28·σ

99,999 999 8 % 6·σ

Tableau des coefficients

« t » de Student

[ ^{X X t . σ} ]

proba

P = −

_R

<

=1-LOI.STUDENT(t;N;2)

N= nb échantillons utilisés pour le calcul de s

2 2 1

2 ) 1 (



 



 −

= − ^σ

π σ

x x

e x

F

26

Théorème central limite

Si une variable est la résultante d'un grand nombre de causes, petites, à effet additif, cette variable tend vers une loi normale.

C'est à cause de cette interprétation que la loi normale est très souvent employée comme modèle (malheureusement pas toujours à raison).

Demo Central Limit Theorem

27

Distribution d’erreur uniforme

5δ 6δ 7δ

δ δ σ δ

δ

δ

29 . 3 0 2 1

²

2

2

= =

= ∫

−

dx

d

x

Erreur équiprobable sur tout un intervalle Peu courant, sauf erreur de discrétisation:

28

Distribution de Poisson Ex: comptage d’évènements non

simultanés (désintégration radioactive, queue…)

Moyenne: µ Variance: µ

demo

Les tests d’hypothèse

29

Significance tests

Tests d’une hypothèse («null hypothesis», ex: 2 échantillons ont même moyenne) à partir d’un nombre fini d’échantillons, entachés d’erreur aléatoire.

Le résultat du test n’est pas absolu mais est une probabilité qui est une aide à la validation ou non de l’hypothèse initiale, il ne constitue donc jamais une preuve.

Tests paramétriques

(hypothèse sur distribution + ou – nécessaire)

1-sample T-test Comp. Échantillon à valeur de référence, intervalle de confiance 2-samples T-test Comparaison de 2 échantillons

F-Test Comparaison de la variance de 2 échantillons

ANOVA Analyse de variance: analyse des variances de K échantillons, comparaison des moyennes

Chi-Square test Utilisation notamment pour vérifier une hypothèse de distribution Grubbs’ test Détection des valeurs aberrantes (« outliers »)

Tests non paramétriques (pas d’hypothèse sur distribution)

Test Wilcoxon.M.W Comparaison de 2 échantillons, méthode de rang

En rouge: tests décrits + loin, sinon voir biblio ou google

30

95%

one-sample T-test « simplifié »

Comparaisonde la mesureMd’un échantillon à une valeur de référence R, on suppose que la distribution est normale.

Hypothèses:

• « M est différent de R »?

• « M est probablement différent de R »?

• « la différence entre la valeur de la mesure Met une valeur de référence R

n’est pas

due qu’aux erreurs aléatoires »

Cette hypothèse de différence H1 est retenue si sa probabilité est supérieure à 95% (par exemple) (ou si la probabilité d’égalité est inférieure à 5% (H2)

1 mesure: M, écart-type estimé de la mesure connu: s, distr. gaussienne

Μ R

-4s’ -3s’ -2s’ –s’ 0 s’ 2s’ 3s’ 4s’

Hypothèse retenue si:

s t R M − ≥ .

si s est calculable « précisément »:

(t=coef de Student)

H1: 95% (ou H2: 5%)

H1: 99% (ou H2: 1%)

H1: 99.9%

(ou H2: 0.1%)

t 1.96 2.56 3.28

31

95%

one-sample T-test « officiel »

Comparaison de la moyenned’un échantillon à une valeur de référence R, on suppose que la distribution est normale*.

Hypothèse: « la différence entre la moyennede n mesures et une valeur de référence n’est pas due qu’aux erreurs aléatoires »

Cette hypothèse est retenue si sa probabilité est supérieure à 95% (par exemple)

n mesures: moyenne µ, écart-type estimé de chaque mesure: s On montre (+ loin…) que l’écart-type estimé de la moyenne est:

n s ' = s

µ R

-4s’ -3s’ -2s’ –s’ 0 s’ 2s’ 3s’ 4s’

Hypothèse retenue si:

n t s R ≥ µ −

si s est calculable « précisément »:

(t=coef de Student)

H1: 95% (ou H2: 5%)

H1: 99% (ou H2: 1%)

H1: 99.9%

(ou H2: 0.1%)

t 1.96 2.56 3.28

one-sample T-test, exemple

Hypothèse: « la différence entre la moyenne de n pesages d’une masse étalon et la valeur de cette masse n’est pasdue qu’aux erreurs aléatoires »

n t s R ≥ . µ −

?

n s t − R

= µ

1 1.04946993

2 1.11917309 Etalon R (kg) 1.0000 3 0.99865798

4 1.01040713 5 1.14655592 6 0.97054733 7 1.14894136

8 1.08005111 moyenne µ: 1.04614199 9 1.03044121 Ecart-type s: 0.05326172 10 0.98202478

11 1.05094267 0.0461

12 1.06252219 13 1.02608401

14 1.04961426 0.02381937 (t=2)

15 1.03483134 (n=20)

16 1.03475702 17 0.98306671 18 1.09287381 19 0.97490694 20 1.07697103

0.8 0.9 1 1.1 1.2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

− R µ

n t . s

Il existe un « biais »…

33

two-sample T-test

Comparaison de 2 moyennes de 2 échantillons, on suppose que la distribution est normale.

Hypothèse: « la différenceentre les 2 moyennes n’est pas due qu’aux erreurs aléatoires »

Ech 1 Ech 2

Nb mesures n₁ n₂

Ecart type estimé s1 s2

Moyenne estimée µ1 µ2

Comparaison de µ1et µ2:

Peut se ramener à un 1-sample-test en comparant |µ1-µ2| à 0

On prend alors, comme écart- type de |µ1-µ2| :

2 2 2 1 2 1

n s n

s = s +

(démontré dans partie « lois de propagation de l’erreur »)

Et le nombre de degrés de liberté est en 1ere approx: n₁+n₂-2

s

2

t.

1

− µ ≥

µ

Hypothèse retenue si:

Cette hypothèse est retenue si sa probabilité est supérieure à 95% (par exemple)

2 2 2 1 2 1 2

1

n

s n t s +

≥

− µ µ

two-sample T-test: exemple

2 2 2 1 2 1 2

1

.

n s n t s +

≥

− µ µ

op1 op2 op1 op2

3.59385514 3.49673556 moyenne µ 3.54463973 3.55551443 3.58810682 3.50481358 écart-type s 0.04510027 0.04809217 3.53371004 3.47201328

3.52760094 3.553306 |µ1-µ2| 0.0108747

3.44867115 3.57512954 3.51024893 3.55717682 3.60880932 3.62969549

3.53927667 3.66487781 0.0139361

3.55719746 3.54702026

3.52552333 3.54598904 n: 43 t=2

3.49798625 3.48741103

3.49706929 3.56409401 s.t: 0.02787228 3.56771949 3.56622487

3.59781434 3.54564972 3.54032574 3.50388551 3.57799787 3.65577103 3.49003712 3.55839436 3.57276739 3.53637213 3.61263276 3.57229694 3.50544464 3.56392763 3.60261554 3.52637678 3.5652033 3.58384532 3.50903522 3.3

3.35 3.4 3.45 3.5 3.55 3.6 3.65 3.7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2 2 2 1 2 1

n s n s= s + Hypothèse: « la différence

entre les moyennes de pesages d’une même masse par 2 opérateurs n’est pas due qu’aux erreurs aléatoires »

?

1 2

Il existe un « biais entre les 2 opérateurs»…

35

Intervalle de confiance

L'intervalle de confiance à p(95%) d’une mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabilité centrée p(95%) de contenir la vraie valeur x_Rdu paramètre estimé.

[ ^{x − α , x + β} ]

La calcul de αet βen fonction de la probabilité P (généralement 95%) dépend de la loi de distribution de l'erreur

0

α β

αet β= incertitude à p (95%)

Distribution symétrique:

•α=β

•Valeur moyenne de la mesure

= la plus probable

0

α β

Confidence interval

( ¹ ) ^{/ 2}

) (

)

( x x P x x p

P

_R

< − α =

_R

> + β = −

Distribution normale

36

Intervalle de confiance, cas de la distribution normale:

L'intervalle de confiance à p(95%) d’une mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabilité centrée p(95%) de contenir la vraie valeur x_Rdu paramètre estimé.

[ ^{x − α , x + α} ]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−3σ −2σ −σ 0 σ 2σ 3σ

E cart à la mo yenne x-x

σ = écart-type

σ: 68.3% des mesures 2σ: 95.5% des mesures 3σ: 99.7% des mesures

[ ^{x − t . s , x + t . s} ]

Coefs de Student t

intervalle de conf. 90.0% 95.0% 98.0% 99.0% 99.9%

p 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

deg lib

1 6.31 12.71 31.82 63.66 636.62 2 2.92 4.30 6.96 9.92 31.60 3 2.35 3.18 4.54 5.84 12.92 4 2.13 2.78 3.75 4.60 8.61 5 2.02 2.57 3.36 4.03 6.87 6 1.94 2.45 3.14 3.71 5.96 7 1.89 2.36 3.00 3.50 5.41 8 1.86 2.31 2.90 3.36 5.04 9 1.83 2.26 2.82 3.25 4.78 10 1.81 2.23 2.76 3.17 4.59 12 1.78 2.18 2.68 3.05 4.32 14 1.76 2.14 2.62 2.98 4.14 17 1.74 2.11 2.57 2.90 3.97 20 1.72 2.09 2.53 2.85 3.85 30 1.70 2.04 2.46 2.75 3.65 40 1.68 2.02 2.42 2.70 3.55 50 1.68 2.01 2.40 2.68 3.50 100 1.66 1.98 2.36 2.63 3.39 100000 1.64 1.96 2.33 2.58 3.29

Nombre de points -1 pour le calcul de σ

37

Loi normale:

95%

Écriture d’une mesure (distribution normale)

Le résultat d’une mesure doit comporter4 éléments : Ex : C_NO= 125.3 ppb ± 1.7 ppb (à 95% ou k=2)

1 2 3 4

1 :Valeur numériqueavec un nombre correct de décimales 2 :Unité

3 :Incertitude élargie= t.σ

4 :Le coefficient d’élargissement t utilisé

Probabilité en % pour que la mesure soit dans l’intervalle

[ ^{x − ts , x + ts} ]

1 : Numerical value with a correct number of decimals

2 : Unit

3 : expanded uncertainty= t.s 4 : Coverage factor t

38

Évaluation de l’incertitude :

Évaluation par analyse statistique de séries de mesures (« type A ») (généralement mesure, mais aussi simulation)

Évaluation par calcul de l’effet sur l’incertitude finale des différentes sources d’incertitude (« type B »: « par tout autre moyen »!), elles même évaluées :

par une méthode de type A,

par des données constructeur, d’étalonnage etc…

Il est alors nécessaire de connaître les lois de propagation de l’erreur…

39

Évaluation par analyse statistique de séries de mesures

V V R E

R =

₀

−

R₀ E R ?

V mesuré

0 0

R R E R V = +

Mesure et calcul avec un grand nombre N de résistances « étalon » (R connu)

Calcul de l’écart-type σ (en fait, écart-type estimé s…)

Incertitude à 95% = t.σ, # 2σ(si N>15…) Ne tient pas compte:

-De l’incertitude du Vmètre (V)

-Des incertitudes sur E, R₀, les résistances étalon…

Exemple: évaluation d’une méthode de mesure d’une résistance:

40

Évaluation par calcul de l’effet sur l’incertitude finale des différentes sources d’incertitude

V V R E

R =

₀

−

2 2

0 2 0

2

0) ( ) ( )

( )

( 



 

 +



 

 +



 



 −

= V

V E E R

V R R

U U

R E

σ σ σ

σ

σ(R0), σ(E), σ(V) connus

R₀ E R ?

V mesuré

Explication

Loi de propagation des écart-types

combined standard uncertainty

Exemple: évaluation d’une méthode de mesure d’une résistance:

Quelle est la pesée la plus précise?

42

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aléatoires indépendantes (1)

Exemple de la somme: s=a+b

e_s e_b e_a

e_s=e_a+e_b

Rappel: les erreurs s’ajoutent algébriquement:

Et leur écart-type?

combined standard uncertainty for random & independant errors

a b a+b

2.82 1.51 4.33

2.61 1.71 4.32

2.64 1.68 4.32

3.45 2.02 5.48

3.32 1.90 5.23

2.79 2.08 4.88

3.17 1.55 4.72

2.70 2.09 4.79

3.10 1.86 4.96

3.40 1.56 4.95

moyenne 3.00 1.80 4.80 4.80somme moyennes variance 0.11 0.05 0.16 0.16somme variances ecartype 0.33 0.23 0.39 0.55somme écart-types

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a b a+b

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aléatoires indépendantes (2)

Exemple de la somme: s=a+b

Erreur aléatoire

:

) ( ) ( )

( s σ a σ b

σ ≤ +

combined standard uncertainty for random & independant errors

) ( )

( )

( a b Var a Var b

Var + = +

Les écart-types ne s’ajoutent pas!!

Les variances si!!

( ) ( ) ( ) ^{a b} σ ^a

²

σ ^b

²

σ + = +

( )

( ^{σ a + b} )

²

^{= σ} ( ) ^a

²

^{+ σ} ( ) ^b

²

Les écart-types s’ajoutent quadratiquement

45

Écart type de l'erreur aléatoire de la somme de variables

Exemple de la somme: s=a+b ^(suite)

Variance:

( )

²

1 ) 1

( ⁼ ₋

∑

^{a −a}

a n

Var _i

( )

²

1 ) 1

(

∑

−

= − b b

b n

Var _i

( )

²

1 ) 1

(^s=_n−

∑

^a−a+b−b

Var i i ⁼_n¹₋₁

( ^∑ ( )

^ai−a2+

^∑ ( )

^bi−b2+2

^∑ ( ( )

^ai−a

( )

^bi−b

) )

) ( )

( a b Var a

Var + =

Somme quadratiquedes écart-types

( ) ( ) ( ) ^{a b σ a}

²

^{σ b}

²

σ + = +

=0 si erreurs indépendantes

) (b

+ Var + 2 Cov ( a , b )

Les variances s’ajoutent,

Et les écarts-types?

Quelle est la pesée la plus précise?

Rappel: loi de propagation d’une « petite »

erreur

∑ _ ^∆





 

= 

∆

ⁿ _i

i

x x y f

1

)

( ∂ ∂

,..) ,..

( x

₁

x

_i

f

y =

Fonction quelconque:

) (x f

y = x

dx x df f x x

f ( + ∆ ) = ( ) + . ∆ dx x

y = df ∆

∆ .

Cas particulier, produit:

2 / 1

.

3

. d

c b y = a

d d c

c b

b a

a y

y = ∆ + ∆ + ∆ − ∆

∆ 3 1 / 2

Loi de propagation de la

variance et de l’écart-type

∑ _ ^∆





 

= 

∆

ⁿ _i

i

x x y f

1

)

( ∂

∂ ,..) ,..

( x

₁

x

_i

f

y =

Fonction quelconque:

La variance est additive, donc si les variables xisont indépendantes:

) ( )

(

1

∑ _





 

=

ⁿ



_i

i

x x V y f

V ∂

∂

) ( )

(

1

2 2 2

i n

i

x x y ∑ f _





 

=  σ

σ _∂ ^∂

Ecart type: V(x)=(σ(x))²

) , ( 2

) ( )

(

1

1 1

1

2 2 2

j i n

i n

i

j i j

i n

i

x x x

f x x f

x

y

∑

f

∑ ∑

⁻

Cov

= =+

 +







= 

∂

∂

∂

∂

∂

∂

σ

σ

Cas général (variables non indépendantes):

!

49

Lois de propagation des

incertitudes

des erreurs aléatoires (1)

) ( )

(

1

2 2 2

i n

i

x x

y f I

I ∑ _





 

= 

∂

∂

,..) ,..

( x

₁

x

_i

f

y =

Fonction quelconque:

Incertitude pour une dist. normale: I(y)=t.σ(y), généralement, t~2

(rappel: variables x_i indépendantes)

50

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aléatoires indépendantes (2)

Ex: somme ou différence:

c b a

y= + −

σ

(y)=

σ

(a)²+

σ

(b)² +

σ

(c)²

∑

=

i i ix a

y

⁼ ∑

i

i

i

x

a

y )

²

( ( ))

²

( σ

Combinaison linéaire:

σ

Application fondamentale en instrumentation: La moyenne

51

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aléatoires indépendantes (3)

∑

= ⁿ xi

x n

1

1

n x x x n

n ( )

) 1 (

) (

1

2 σ

σ

σ =

∑

=

Application fondamentale en instrumentation: La moyenne

Demo Exc Loi "des grands nombres"

Théorème de la moyenne:

Si une série de mesures a une erreur aléatoire et indépendante d’écart-type σ , alors la moyenne de n de ces mesures a une erreur aléatoire dont l’écart- type est divisé par racine carrée de n.

Theorem of the mean

52

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aléatoires (4)

Produits et puissances:

∏

=

i i

x

i

A

y

^α

∑ _





 

= 

 



 



i i

i

i

x

x y

y )

²

( )

²

( α σ

σ

Somme quadratique des écart-types relatifs

x x) σ (

Propriété intéressante des écart-types relatifs:

2 / 1

.

3

. d

c b y = a

2 2

2

2

( )

2 / ) 1 3 ( ) ( )

( )

( 



 

 + 

 

 

 + 

 

 

 + 

 

 



= 

d d c

c b

b a

a y

y σ σ σ σ

σ

Exemple:

53

Lois de propagation des erreurs aléatoires:

exemple de la droite d’étalonnage

Etalonnage

Débit: D=a.V

0 ≤ D ≤ 10 L/h

a=0.8 L/h/mV * ±0.01 (t=2) Inc. Sur V : 0.1mV (t=2) Incertitude relative sur débit D?

2

2 ( )

) 2 ( ) 2 ( )

( 



 

 +



 



= 

= V

V a

a D

D D

D

I σ σ σ

2

2 ( )

)

2 ( 



 

 +



 



= 

D V a a

a σ

σ

V = tension fournie par capteur…

2

2 ( )

)

( 



 

 +



 



= 

D V aI a

a I

Mesure des faibles valeurs peu précise!

* a = inverse de la sensibilité

Calcul de l’incertitude par

simulation de l’erreur aléatoire ou de Monte-Carlo

Ex: y=f(x₁,x₂),

x₁et x₂ont des erreurs aléatoires (pas forcement indépendantes) caractérisées par leur écart-type s₁et s₂

•Simuler un certain nombre d’expériences avec les mêmes valeurs x₁et x₂+ erreur aléatoire (tirages ≠)

yi=f(x₁+ε₁,x₂+ε₂) N fois

•Calcul de l’écart type des y_i

•Les ε_isont calculés à l’aide d’un générateur de nombre aléatoires à distribution adéquate (généralement normale*)

Calcul de l’incertitude par simulation de l’erreur aléatoire, exemple

moyenne des D 5.0012 Dmax 10.0000

Débit: 5.0000E Type des D 0.0526 a 0.8000

tension V: 6.2500Incertitude 0.1052I(a) 0.0100

I(V) 0.1000

N° tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=a.V

1 -0.0010 0.0253 0.7990 6.2753 5.0142

2 0.0011 -0.0518 0.8011 6.1982 4.9654

3 0.0032 0.0436 0.8032 6.2936 5.0551

4 -0.0098 0.0026 0.7902 6.2526 4.9407

5 0.0021 0.0867 0.8021 6.3367 5.0824

6 -0.0064 -0.0202 0.7936 6.2298 4.9437

7 0.0017 -0.0820 0.8017 6.1680 4.9450

8 -0.0065 0.0444 0.7935 6.2944 4.9949

9 0.0009 0.0757 0.8009 6.3257 5.0663

10 -0.0049 -0.0318 0.7951 6.2182 4.9439

11 0.0130 0.0109 0.8130 6.2609 5.0901

12 0.0004 0.0084 0.8004 6.2584 5.0092

13 -0.0046 0.0031 0.7954 6.2531 4.9737

14 -0.0024 0.0249 0.7976 6.2749 5.0049

15 0.0047 0.0311 0.8047 6.2811 5.0543

16 -0.0021 -0.0251 0.7979 6.2249 4.9668

) Rnd' 2 cos

* Ln(Rnd)

2 ( π

− ε=

D=a.V

0 ≤ D ≤ 10 L/h

a=0.8L/h/mV ±0.01 (t=2) Inc. Sur V = 0.1mV (t=2)

Tirage aléatoire normal:

+

56

l’incertitude due à la discrétisation :

La discrétisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un

ensemble discret.

Résolution δ du système d’acquisition, àne pas confondre avec l’incertitude, ou la sensibilité.

δ V

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0 0.05 0.1

Tension réelle

Tension affichée

Discretization uncertainty

57

l’incertitude due à la discrétisation : (2)

3 2 σ

_d

= δ

Ecart type de l’erreur due à la discrétisation:

2 2

( ) )

( X σ x σ

_d

σ = +

Ecart type de l’erreur totale:

5δ 6δ 7δ

Erreur maxi: δ/2

58

Le « Dithering »

La présence d’erreur aléatoire permet ici d’améliorer la « précision » de la mesure!!!

Pas de « bruit », pas de moyennage Pas de « bruit », moyenne 50 signaux

« bruit », pas de moyennage « bruit », moyenne 50 signaux

La méthode du moyennage peut réduire aussi l’erreur de discrétisation (=

quantification):

On peut gagner 1 bit de résolution chaque fois que l’on multiplie par 4 la fréquence

d’échantillonnage…

… à condition que le signal avant numérisation contienne un bruit (aléatoire et indépendant) de valeur efficace supérieure à la résolution initiale…

demo

59

l’incertitude due à la discrétisation : (3) les décimales significatives

Ecriture d’un nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discrétisation Pour une mesure, l’écart type de l’erreur introduite doit être petit devant celui

de l’erreur de mesure initiale

Ex: mesure = 438.2659872 Écart-type mesure = 0.55 (soit 0.125 % en relatif)

Doit-on écrire:

438.2659872 ?

438.265 ?

438 ?

Mais les systèmes numériques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifs…

60

Mesure affichée résolution

E.T. erreur discrétisation

E.T. erreur finale % d’erreur due à la

discrétisation

438.265987 0.000001

2.9 10-7 0.55 < 10^-3%

438.27 0.01

2.9 10-3 0.550008 10^-3%

438.3 0.1

0.029 0.5506 0.14 %

438 1

0.29 0.62 13 %

440 10

2.89 2.94 434 %

l’incertitude due à la discrétisation : (3) les décimales significatives:

exemple

3 2 σd = δ

2 2( ) )

(X σ x σ_d

σ = +

Ex: mesure = 438.2659872 Écart-type mesure = σ(x)=0.55(soit 0.125 % en relatif)

•On peut choisir la résolution immédiatement plus petite que l’écart-type de la mesure.

•L’écart-type (ou l’incertitude) affiché ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs.

Capabilité d’un système de mesure

Va dépendre de la tolérance désirée…

… et du coût de la mesure

Capabilité = adéquation entre l’incertitude de la méthode de mesure et l’incertitude globale de la mesure désirée

Vérification de la tolérance:

Tolérance, capabilité d’un système de mesure

-SL T +SL

Capabilité=T/U

« certaines normes »: T/U=8

Notion de risque:

-risque « client » (à rejeter mais retenue) -risque « fabricant » (à retenir mais rejetée)

Mesure moyenne

T

Pièce à rejeter Pièce à retenir

? ?

T=Tolérance U=incertitude

Distrib. des erreurs de fabrication

Val. réelle

Limite de détection

plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabilité d’erreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non

18 36

Niveau signal

seuil de decision type 1 type 2 >0

nb erreurs 11 9

% bonnes décisions: 95

écart type bruit analyseur: 11 -20

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

1

signal théorique signal réel seuil de décision erreur type 1 erreur type 2

-20 0 20 40 60 80

Si distr. Normale et probabilité de 95%:

LDD=3.3 σ On prend souvent:

LDD=3 σ

Etalonnage d’un système de mesure

Etalonnage:« Opération consistant à établir une relation entre les valeurs de la grandeur indiquées par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur réalisées par des étalons » (VIM)

160 165 170 175 180 185 190 195

0 20 40 60 80 100

H%

C pF

65

Etalonnage: Création d’un modèle de comportement

ETALONNAGE Variables X

mesurées (capteurs)

Variables Y mesurées (analyses…)

modèle ou Prédicteur F

Création modèle de comportement

Y=F(X)

PREDICTION Variables X

mesurées (capteurs)

Estimation des variables Y Modèle

Calcul de prédiction tensions

Calibration: Creation of a behavior model

66

Étalonnage - calibrage

Étalonnage (calibration!) = calcul complet du modèle, nécessite un

« grand » nombre d’expériences.

tension

pression

• Calibrage (gauging) =

«recalage » du modèle, nécessite 1 expérience (« zéro »), voire 2 (« zéro + gain »).

tension

pression

•Correction variations de fabrication

•Correction dérive

•Correction changement conditions expérimentales (température, tarage d’une balance…)

•Etc…

Si le modèle n’est pas linéaire, le calibrage ne peut corriger que de faibles variations…

6723:28

Le coût de l’étalonnage - calibrage

En « usine »:

Problème de la portabilitédu modèle

•Étalonnage par modèle de connaissance

•Étalonnage modèle de connais. + calibrage 1 ex.

•Étalonnage mod. de connais. + calibrage tous

•Étalonnage 1 ex.

•Étalonnage 1 ex + calibrage tous

•Étalonnage tous

Performance croissante Coût croissant

68

Les moindres carrés

Méthode des moindres carrés :

( )

E = − Y F X ( ) = y

ⁱ_j

− f x

_j

( ,...,

₁ⁱ

x

ⁱ_j

)

minimal On veut modéliser: Y = F(X), en fait, à partir des expériences, on a:

Y = F(X) + E où E = « résidu » ou erreur

( ^y

^ij

^f

^j

^x

ⁱ

^x

^ki

)

i j

∑ − ^{( ,..., )}

,

1

2

On utilise généralement la distance Euclidienne:

« minimale » The least Squares