majorer

Majorer

Id´ee : Le but de cette fiche ´etait de d´egager les id´ees essentielles qui permettent d’´etablir `a peu pr`es n’importe quelle majoration au CAPES. On n’y a ´evidemment pas r´eussi. Voici en tout cas une batterie d’exemples o`u on met l’accent sur la majoration, sans toujours se poser la question de savoir pourquoi on veut cette majoration. A charge du lecteur d’en d´eduire des principes.

I Situations simples

1^◦ Avec des manipulations “alg´ebriques”

a) (In´egalit´e triangulaire –´evidemment un outil fondamental !) A l’aide du “cˆot´e bien connu” de l’in´egalit´e triangulaire, |a − b| ≤ |a| + |b|, d´emontrer le “cˆot´e d´elaiss´e” :

¯

¯

¯|a| − |b|

¯

¯

¯ ≤ |a − b|.

b) Application g´eom´etrique. Soit a, b, c trois r´eels positifs (ou nuls). Montrer que ce sont les longueurs des cˆot´es d’un triangle du plan si et seulement si on a : |b − c| ≤ a ≤ b + c.

Trouver une condition analogue pour que quatre r´eels a, b, c, d soient les longueurs des cˆot´es d’un quadrilat`ere.

c) (Quantit´e conjugu´ee.) Montrer que la suite (√

n + 37 −√

n)_n∈N converge vers 0.

d) (Idem.) Calculer la 99^e d´ecimale de (45 +√

2024)²⁰⁰³.

e) (Pas idem.) Montrer que pour tout 0 ≤ x ≤ y on a : 0 ≤√y −√ x ≤√

y − x.

f ) (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz.) Soit E un espace vectoriel r´eel et h., .i un produit scalaire euclidien sur E. Soit u, v ∈ E et λ ∈ R. Remarquer que la fonction λ 7→ hu+λv, u+λvi est un polynˆome de degr´e 2. Avec son discriminant, montrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :

∀u, v ∈ E, hu, vi² ≤ hu, ui hv, vi.

g) (Exemple.) Soit m1, . . . , mn > 0. Montrer que pour tous x1, . . . , xn ∈ R, on a : (P_n

i=1m_ix_i)² ≤ (P_n

i=1m_i)(P_n

i=1m_ix²_i). (Prendre u = (1, . . . , 1).) (CAPES 1999.)

h) (Autre exemple.) On prend E = les fonctions continues sur [a, b] et hu, vi = Rb

au(t)v(t) dt. Ecrire l’in´egalit´e correspondante.

i) (Mˆeme id´ee.) Soit f de classe C² sur R, positive, telle que f^′′ soit major´ee par M ≥ 0.

Avec la formule de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout x, λ ∈ R on a : f(x) + λ f^′(x) + M λ²/2 ≥ 0. En d´eduire :

∀x ∈ R, |f^′(x)| ≤p2 f(x) M.

j) (Application de la formule du binˆome.) Soit a > 1. Pour tout n ∈ N, on a : aⁿ≥ n(a − 1) + 1.

Cons´equences : lim_n→+∞aⁿ= +∞ ; limn→+∞ln n = +∞.

k) On admet que lim_x→+∞ ^{ln x}_x = 0 (voir ci-dessous). En d´eduire que pour tout a > 0, on a : lim_x→+∞ ^{ln x}_x^a = 0.

2^◦ Avec des manipulations simples

a) On d´efinit une suite par r´ecurrence avec w₁ et la relation w_n+1= (1 +_n(n+1)ⁱ )w_n (n ≥ 1).

Montrer que cette suite est major´ee. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral w_n+1− wn converge et en d´eduire que la suite (w_n)_n∈N∗ converge.

b) V´erifier que sup_t∈R2t/(1 + t²) = 1 de deux fa¸cons diff´erentes : en utilisant (t − 1)² et avec une ligne trigonom´etrique. Cas d’´egalit´e ?

Application : Montrer que sup

x∈R⁺

x

n(1 + nx²) = 1 2n√

n.

c) La fonction (a, x) 7→ ^sin(ax)_e^x₋₁ est-elle born´ee sur R × R^∗+ ? Peut-on la prolonger en une fonction continue sur R × R+ ?

3^◦ Avec une r´ecurrence

a) On consid`ere une suite de la forme u<sub>n+1</sub> = f (u<sub>n</sub>). Selon le sens de variation de f et le signe de f (x) − x, on ´etudie par r´ecurrence la monotonie de (un)<sub>n</sub> et le signe de u<sub>n</sub>− ℓ, o`u ℓ est une solution de f (x) = x (unique ou presque dans les bons cas). Exemples :

u₀=√

3, f (x) =√

1 + x u₀ = 8, f (x) = 6 +√ x u0= 3, f (x) = 2x − 1

x u0 = 3, f (x) = 3 2 + x

b) Soit v_n = r

n + q

(n − 1) +p ... +√

1, i.e. v₁ = 1 et v_n = √n + v_n−1. Montrer que vn≤ n. En d´eduire vⁿ≤√

2n et la nature de P 1/vn. II Avec le sens de variation de fonctions

1^◦ A vue

a) Faire une ´etude rapide des fonctions d´efinies par les formules suivantes (d´efinition, limites aux bords, surtout variations, sans calcul de d´eriv´ee) :

√1 + x, 1

√1 + x, √

1 − x, 1

√1 − x, e^−x2, e^−1/x, e^1/(1−x).

b) Montrer que 1 p + 1 ≤

Z p+1 p

dt t ≤ 1

p (CAPES 1988 entre autres).

c) Montrer que lim

n→+∞

Z ₁

0

tⁿ

(1 + t)²dt = 0.

d) On donne 0 < a < b. Trouver les meilleures constantes possibles C et D telles que l’on ait

∀x ≥ 0, C

x + a ≤ 1

x + b ≤ D x + a.

e) Calculer sup

x≥0,t∈R

cos(xt + π/4) 1 + x² , sup

x>0,t∈R

cos(xt + π/4) 1 + x² , sup

x,t∈R

e^−x2/(1+t2) 1 + x + x².

f ) Soit x_n > 0 le terme g´en´eral d’une s´erie convergente. On veut montrer que la s´erie de terme g´en´eral y_n= x^n/(n+1)_n converge.

V´erifier que si − ln(xn)/(n + 1) ≥ ln 2, alors yn ≤ 2⁻ⁿ et que dans le cas contraire, on a : y_n≤ 2xn. En d´eduire que y_n≤ 2⁻ⁿ+ 2x_n et conclure.

g) Pour n ∈ N et x ≥ 0, on pose un(x) = e^−nx2/n². D´eterminer sup_x∈Ru_n(x) ; sup_x∈Ru^′_n(x) ; sup_x≥au^′_n(x) pour a > 0 donn´e. Qu’en d´eduit-on sur la convergence des s´eries de fonctions P un etP u^′_n ?

2^◦ En utilisant la d´eriv´ee d’une fonction auxiliaire

a) Montrer que pour h ∈ [0, 1/2] on a : (1 − h)⁻¹ ≤ 1 + 2h.

b) Montrer que pour x < 1 on a : _x−1^x ≤ ln(1 − x) ≤ −x.

c) Comparer sin x et x −^x₆³ +₁₂₀^x5 .

d) (In´egalit´e de H¨older.) On donne p ∈ [0, 1] et q = 1 − p. Montrer que pour x, y > 0 on a : 1 + x^py^q ≤ (1 + x)^p(1 + y)^q. (Consid´erer t 7→ (t + x)^p(t + y)^q− t − x^py^q.)

En d´eduire que pour a1, . . . , an, b1, . . . , bn> 0, on a :

n

X

i=1

a^p_ib^q_i ≤ Ã _n

X

i=1

ai

!pà _n X

i=1

bi

!q

.

e) Montrer que pour n ∈ N^∗ et t ∈ [0, 1] on a : n^t−2≤ 6(n + 2)^t−1 n + 1 .

f ) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions d´efinie par f_n(x) = nxe^−nxsin x sur [0, π] ; sur R⁺ ; sur R.

3^◦ Par convexit´e

a) Montrer que 1 + x ≤ e^x ; que e^−x2 ≤ (1 + x²)⁻¹ ; que si x ≥ −1 on a : ln(1 + x) ≤ x.

Am´elioration : si x ≥ −1 on a : | ln(1 + x)| ≤ |x|.

b) (Classique `a connaˆıtre.) Montrer que pour t ∈ [0, π/2] on a : ²_πt ≤ sin t ≤ t.

En d´eduire que lim_R→+∞Rπ/2

0 Re^{−R2sin t}dt = 0.

c) Montrer que pour y ≥ 0 on a : y ≤ sh y.

Application : si z = x + iy avec |z| ≤ 1, on a : | sin z|² ≤ sh²y/y². En d´eduire enfin sup_|z|≤1| sin z|.

d) On se donne a₁, . . . , a_n> 0. ComparerP_n

i=1a_i/n, pQⁿ n

i=1a_i et¡P_n

i=1a⁻¹_i /n¢−1

. III Intervention de constantes

Il arrive qu’on ne puisse pas ˆetre aussi explicite que dans ce qui pr´ec`ede. On n’a alors que des in´egalit´es “`a partir d’un certain point” ou qui font intervenir une constante plus ou moins connue.

1^◦ Intervention de constantes non eplicites mais presque quelconques a) Soit ε ∈]0, 1[. Montrer qu’il existe α ∈]0, 1[ tel que

√1 − ε ≤ 1

√1 + α ≤ 1

√1 − α ≤√ 1 + ε.

b) Soit f continue sur R, admettant des limites en +∞ et −∞. Montrer que f est born´ee sur R.

c) Soit f de classe C¹ sur un intervalle compact. Montrer que f est lipschitzienne.

Situation typique : on a une famille de fonctions/suites “de r´ef´erence” et on veut comparer sa fonction/suite `a l’une de celles-ci.

d) Soit a > 1, posons pour n ∈ N : un= n/aⁿ. En consid´erant u_n+1/u_n, montrer que u_n est major´ee par une suite g´eom´etrique de raison c ∈]1, a[ `a partir d’un certain rang. En d´eduire la limite de (u_n)_n.

Application : montrer que lim_x→+∞x/a^x= 0 ; que lim_x→+∞ln(x)/x = 0.

e) (Important.) En comparant la fonction int´egr´ee `a une exponentielle e^−a′tavec 0 < a^′<

a, montrer que l’int´egraleR+∞

1 e^−att^bdt converge pour a > 0 et tout b.

Etudier le cas des fonctions e^−atαt^bln^ct.

2^◦ Intervention d’un param`etre interm´ediaire

On introduit un param`etre, g´en´eralement grˆace `a une condition asymptotique, qui sert pendant le calcul et disparaˆıt `a la fin (en principe).

Id´ee : “on coupe le probl`eme en deux sous-probl`emes que l’on traite s´epar´ement. En recollant les morceaux, on se d´ebarasse du param`etre interm´ediaire.”

a) (Th´eor`eme de Cesaro.) Soit (u_n)_n∈N une suite de limite ℓ ∈ R. On veut montrer que la suite des moyennes d´efinie par v_n= (u₀+ · · · + un)/n converge ´egalement vers ℓ.

Tout d’abord, quitte `a remplacer un par u^′_n= un− ℓ, on peut supposer que ℓ = 0 (que devient v_n ?). On veut donc montrer que (v_n)_n tend vers 0.

Fixons ε > 0. Il existe n₀ tel que pour n ≥ n0 on ait : |un| ≤ ε. On ´ecrit alors, pour n ≥ n0 : v_n= u₀+ · · · + un

n = u₀+ · · · + un0−1

n +u_n0 + · · · + un

n .

Le premier terme est major´e par ε pour n ≥ n1 convenable ; le deuxi`eme l’est d´ej`a. Le n₀ n’a servi que d’interm´ediaire, on peut l’oublier et conclure.

IV Applications des formules de Taylor On en a d´ej`a vu : I1^◦i), III1^◦c)

1^◦ Exemples imm´ediats

a) (Comme en terminale !) Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction de classe C¹ ayant un unique point fixe ℓ = f (ℓ) tel que sup_[a,b]|f^′(x)| < 1. Montrer que la suite d´efinie par uⁿ⁺¹ = f (un) converge vers ℓ. A quelle vitesse ?

b) D´eduire de la formule de Taylor-Lagrange l’in´egalit´e :

∀n ≥ 1, ∀t ∈ [0, 1], 0 ≤ (n + 1)^t− n^t− t (n + 1)^t−1≤ t − t²

2 n^t−2≤ 1 8n^t−2. 2^◦ Application aux d´eveloppements en s´erie

Id´ee : on consid`ere le d´eveloppement de Taylor comme le d´ebut d’un d´eveloppement en s´erie : il s’agit d’en contrˆoler le reste.

a) Soit f (a) = Z _+∞

0

sin(at) e^t− 1 dt.

V´erifier la convergence de l’int´egrale pour tout a ∈ R.

On ´ecrit (e^t− 1)⁻¹ =P_n−1

k=0e^−(k+1)t+ e^−(n+1)t/(1 − e^−t).

En int´egrant la premi`ere somme on obtiendra le d´eveloppement souhait´e. On s’int´eresse donc

` a

R_n(a) = Z _+∞

0

e^−(n+1)tsin(at) 1 − e^−tdt.

Notons ϕ(t) = sin(at)/(1 − e^−t). V´erifier que ϕ est born´ee sur R⁺. En d´eduire que R_n(a) tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Conclure.

b) Soit f une fonction de classe C^∞ telle que pour tout n on ait : f⁽ⁿ⁾≥ 0 sur un voisinage fix´e V = ]−α, α[ de 0. Soit x > 0. On ´ecrit le reste de la formule de Taylor-reste int´egral sous la forme :

R_n(x) xⁿ =

Z 1 0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) n!

µ 1 − t

x

¶n

dt.

Avec la formule de Taylor et l’hypoth`ese, montrer que x 7→ Rn(x)/xⁿest croissante sur V ∩R⁺. En d´eduire que R_n(x^′) ≤ (x^′/x)ⁿR_n(x) ≤ (x^′/x)ⁿf (x) pour 0 ≤ x^′ < x, et que R_n(x^′) tend vers 0 si n tend vers l’infini.

On conclut : pour 0 ≤ x^′ < x, on a : f (x) =P+∞

n=0f⁽ⁿ⁾(0) x^′n.

Proc´eder de mˆeme pour x < 0. Ainsi, f est somme de sa s´erie de Taylor. Donner un contre- exemple en supposant seulement que f⁽ⁿ⁾(0) ≥ 0.

V Cas des int´egrales Ingr´edients de base :

• si f ≤ g alors R f ≤ R g.

• si f int´egrable, |R f| ≤ R |f|.

• pour majorer Rb

a, on fixe c ∈]a, b[ et on majore s´epar´ement Rc a et Rb

c. (Id´ee du fameux

“param`etre interm´ediaire” ci-dessus.) 1^◦ Trivialit´es

a) En int´egrant t⁻¹ entre n et n + 1, montrer que (n + 1)⁻¹ ≤ ln(1 + n⁻¹) ≤ n⁻¹.

b) A l’aide du crit`ere de Cauchy, montrer qu’une int´egrale g´en´eralis´ee absolument convergente est convergente.

2^◦ D´ecoupage de l’int´egrale

a) Soit f continue positive sur [a, b]. Montrer que lim_n→+∞³ Rb

afⁿ(t) dt´1/n

= max_[a,b]f . (Un peu hypocrite ici, il s’agit d’une minoration. Choisir c ∈ [a, b] o`u le maximum M de f est atteint. On fixe ε > 0, on choisit α tel que |f(t) − M| ≤ ε pour |t − c| ≤ α et on minore alors Rb

afⁿ≥Rc+α

c−α fⁿ≥ 2 α (M − ε)ⁿ, quantit´e dont la puissance 1/n`eme est proche de M .

b) Soit f continue sur [0, 1] avec lim_t→1f (t) = 0. On fixe ε > 0 et α tel que si |t − 1| ≤ α, on a |f(t)| ≤ ε. MajorerR1

αntⁿf (t) dt. Majorer d’autre partRα

0 ntⁿf (t) dt en faisant intervenir M = sup_[0,1]|f|.

Montrer que pour n assez grand, on peut rendreR1

0 ntⁿf (t) dt inf´erieur `a 2ε. Ainsi, α a disparu...

Cons´equence : pour f continue quelconque, on a : limn→+∞R1

0 ntⁿf (t) dt = f (1).

Dans les deux derni`eres parties, les choses deviennent plus complexes car il y a plus d’´etapes `a enchaˆıner. La derni`ere partie en particulier demande plus de pr´erequis et constituera un bon probl`eme de r´evisions.

VI Un exemple complexe : la m´ethode du col Soit b > 0 et ϕ : [0, b] → R de classe C² telle que :

ϕ(0) = ϕ^′(0) = 0, ϕ^′′(0) > 0, ∀t ∈]0, b], ϕ(t) > 0.

On veut obtenir un ´equivalent de Z _b

0

e^−xϕ(t)dt lorsque x → +∞.

On fixe une fois pour toutes ε ∈]0, 1[.

a) Montrer qu’il existe α ∈]0, 1[ tel que (∗) √

1 − ε ≤ 1

√1 + α ≤ 1

√1 − α ≤√ 1 + ε.

On choisit d´esormais α v´erifiant cette relation.

b) Montrer qu’il existe β ∈]0, b] tel que :

∀t ∈ [0, β], 1 − α²

2 ϕ^′′(0) t²≤ ϕ(t) ≤ 1 + α²

2 ϕ^′′(0) t². c) On pose H(c) =√

c Z β

0

e^−t2cdt. Calculer limc→+∞H(c).

d) Montrer que l’on a : 1

q1+α 2 ϕ^′′(0)

H(1 + α

2 ϕ^′′(0) x) ≤√ x

Z _β

0

e^−xϕ(t)dt ≤ 1 q1−α

2 ϕ^′′(0)

H(1 − α

2 ϕ^′′(0) x).

e) Montrer qu’il existe X > 0 tel que pour x ≥ X on ait :

r π

2ϕ^′′(0)(1 − ε) ≤√ x

Z β 0

e^−xϕ(t)dt ≤

r π

2ϕ^′′(0)(1 + ε).

f ) Montrer enfin que lim

x→+∞

√x Z b

β

e^−xϕ(t)dt = 0.

g) Conclure :

Z b 0

e^−xϕ(t)dt∼

r π

2ϕ^′′(0)

√1

x si x −→ +∞.

VII Estimations asymptotiques pour certaines suites r´ecurrentes 1^◦ Premi`ere situation

Soit f une fonction continue sur un intervalle [0, a[ (a > 0) telle que

∀x ∈ [0, a[, 0 < f (x) < x.

a) Etant donn´e x₀ ∈ [0, a[, montrer que la relation xn+1= f (x_n) permet de d´efinir une suite (x_n)_n∈N qui est d´ecroissante et converge vers 0.

On veut estimer la vitesse de convergence de (xn)n∈N. On suppose que f est de la forme : f (x) = λ x + O(ϕ(x)), o`u λ ∈ ]0, 1[, ϕ : ]0, a[ → R⁺ est continue, telle que x 7→ x⁻¹ϕ(x) est croissante et

Z a/2 0

x⁻²ϕ(x) dx converge.

On pose w(x) = f (x) − λ x. Par hypoth`ese, il existe K ∈ R^∗ tel que |w(x)| ≤ K ϕ(x).

b) Exemple. V´erifier que ces conditions sont satisfaites pour ϕ(x) = x^α, avec α > 1. Idem pour f de classe C² au voisinage de 0, avec f (0) = 0 et f^′(0) ∈ ]0, 1[.

c) Montrer que pour n ∈ N^∗, on a :

x_n= λⁿx₀

n−1

Y

k=0

µ 1 +1

λ w(x_k)

x_k

¶ .

d) Montrer que lim_x→+∞x⁻¹ϕ(x) = 0. En d´eduire que lim_n→+∞x_n/x_n−1= λ.

e) V´erifier qu’il existe C > 0 tel que : Z _xn−1

xn

x⁻²ϕ(x) dx ≥ x⁻¹n ϕ(x_n) lnx_n−1

x_n ≥ Cϕ(x_n) x_n . f ) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral x⁻¹_n ϕ(x_n) converge et que :

+∞

X

n=0

ϕ(x_n) x_n ≤ 1

C Z _x0

0

ϕ(x) x² dx.

g) En d´eduire que le produit

+∞

Y

n=0

µ

1 +w(x_n) λ x_n

¶

converge. (Sens ?)

h) Avec c), en d´eduire un ´equivalent simple de x_n. Comparer au II du CAPES de 1998.

2^◦ Deuxi`eme situation

Soit (w_n)_n∈N une suite de nombres complexes qui converge vers w et λ ∈ C. On consid`ere les suites (xn)_n∈N telles que pour tout

∀n ∈ N, x_n+1= λ x_n+ w_n. On veut montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) Pour tout x₀ ∈ C, la suite (xn)_n∈N converge ; (ii) λ = 1 etP w_n converge, ou |λ| < 1.

a) Rappeler pour quelles valeurs de λ ∈ C la suite (λⁿ)n∈N poss`ede une limite dans C.

b) Soit (x⁽⁰⁾_n )_n∈N (resp. (x⁽¹⁾_n )_n∈N) la suite correspondant `a x⁽⁰⁾₀ = 0 (resp. x⁽¹⁾₀ = 1). En consid´erant z_n= x⁽⁰⁾n − x⁽¹⁾ⁿ , montrer que |λ| < 1 ou que λ = 1.

c) Traiter `a part le cas λ = 1. (Sens direct et sens r´eciproque.) On suppose d´esormais |λ| < 1.

d) Montrer que l’on a : ∀n ∈ N, xn+1 =

n

X

k=0

λ^n−kw_k+ λⁿ⁺¹x₀. e) Soit y_n+1 =Pn

k=0λ^n−kw, z_n = x_n− yn, W_N = sup_k≥N|wk− w|. Que peut-on dire de la suite (WN)_{N ∈N} ? Montrer que pour n ≥ N, on a :

|zn+1| ≤ |λ|^n−N

1 − |λ|W₀+ 1

1 − |λ|W_N + |λ|ⁿ⁺¹|x0|.

f ) En d´eduire que (z_n)_n∈N tend vers z´ero, puis que (x_n)_n∈N converge et donner sa limite.

***