6 Exercices 435
EXERCICE 21. Inégalités de Kolmogorov
Soit f ∈Cn(�,�) avecn≥2. Pour toutk∈ 0,n, on suppose que f(k) est bornée sur�et on noteMk=sup
x∈�
¯¯f(k)(x)¯
¯.
1. (a) À l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral, vérifier que pour toutx ∈� et h>0 :
|f(x+h)−f(x)−h f′(x)|≤M2 2 h2 puis que :
|f(x+h)−f(x−h)−2h f′(x)|≤M2h2 (b) En déduire que pour touth>0 :M1≤hM2
2 +M0 h . (c) Conclure queM1≤p
2M0M2.
2. En raisonnant par récurrence forte, montrer que pour toutk∈ 0,n:
Mk≤2k(n−k)2 M01−knMnkn
Hint : pour l’hérédité montrer que Mk2 ≤2Mk−1Mk+1, que Mk−1 ≤2(k−1)/2M01/kMk(k−1)/k, que Mk≤2k(n+1−k)/2M01−k/(n+1)Mn+1k/(n+1)puis conclure.
PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/
