Nombres Complexes : Annexes

1.I.1 - Chap. 01 Nombres Complexes 1 / 4

Nombres Complexes : Annexes

A Construction du corps C

A.1 Notion de groupe

On munit l’ensemble R² d’une loi not´ee + d´efinie par :

∀(x, y, x⁰, y⁰)∈R⁴, (x, y) + (x⁰, y⁰) = (x+x⁰, y+y⁰)

D´efinition A.1.1 Cette loi est appel´eeloi de composition internec’est-`a-dire que :

∀(x, y, x⁰, y⁰)∈R⁴, (x, y) + (x⁰, y⁰)∈R² On constate que cette loi interne + poss`ede les propri´et´es suivantes : (i) Elle estassociative, c’est-`a-dire que :

∀(x, y, x⁰, y⁰, x⁰⁰, y⁰⁰)∈R⁶, (x, y) + (x⁰, y⁰)+ (x⁰⁰, y⁰⁰) = (x, y) + (x⁰, y⁰) + (x⁰⁰, y⁰⁰) (ii) La loi + admet pour´el´ement neutrele couple (0,0), en effet :

∀(x, y)∈R², (x, y) + (0,0) = (x, y) (iii) Tout ´el´ement deR² admet un´el´ement sym´etrique, c’est-`a-dire que :

∀(x, y)∈R², il existe (x⁰, y⁰)∈R²tel que (x, y) + (x⁰, y⁰) = (0,0) Cet ´el´ement est ´evidemment (x⁰, y⁰) = (−x,−y).

D´efinitions A.1.2

(i) Tout ensemble muni d’une loi interne v´erifiant les trois assertions pr´ec´edentes est appel´e groupe. Ainsi (R²,+) est un groupe.

(ii) En outre la loi + v´erifie :

∀(x, y, x⁰, y⁰)∈R⁴, (x, y) + (x⁰, y⁰) = (x⁰, y⁰) + (x, y)

On dit que cette loi estcommutative. Par cons´equent le groupe (R²,+) est appel´e groupecommutatif (on dit aussi groupeab´elien).

A.2 Notion de corps

On munit R²d’une seconde loi interne not´ee ×d´efinie par :

∀(x, y, x⁰, y⁰)∈R⁴, (x, y)×(x⁰, y⁰) = (xx⁰−yy⁰, xy⁰+yx⁰)

D´efinitions A.2.1 R²muni des deux lois internes + et ×verifie les trois assertions suivantes : (i) (R²,+) est un groupe commutatif d’´el´ement neutre (0,0).

(ii) (R²\{(0,0)},×) est un groupe.

(iii) La loi×est distributivepar rapport `a la loi +, c’est-`a-dire que :

∀(x, y, x⁰, y⁰, x⁰⁰, y⁰⁰)∈R⁶,

ß (x, y)× (x⁰, y⁰) + (x⁰⁰, y⁰⁰)= (x, y)×(x⁰, y⁰) + (x, y)×(x⁰⁰, y⁰⁰) (x⁰, y⁰) + (x⁰⁰, y⁰⁰)

×(x, y) = (x⁰, y⁰)×(x, y) + (x⁰⁰, y⁰⁰)×(x, y)

On dit alors que (R²,+,×) est un corps. Ce corps est not´e (C,+,×). Par commodit´e on note i le couple (0,1) et pour tout (x, y)∈R², on notex+ iy le couple (x, y).

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1.I.1 - Chap. 01 Nombres Complexes 2 / 4

D´emonstration : Le point (i) a d´ej`a ´et´e abord´e. Concernant le point (ii), la seule difficult´e est l’existence d’un ´el´ement sym´etrique. On v´erifiera que :

∀(x, y)∈R²\{(0,0)}, (x, y)× Å x

x²+y²,− y x²+y²

ã

= (0,1) Ainsi tout ´el´ement (x, y)∈R²\{(0,0)}admet pour ´el´ement sym´etrique Ä _x

x²+y²,−_x2+y^{y 2}

ä. Le point (iii) est simplement calculatoire. V´erifions la premi`ere partie :

(x, y)× (x⁰, y⁰) + (x⁰⁰, y⁰⁰)= (x, y)× x⁰+x⁰⁰, y⁰+y⁰⁰

= x(x⁰+x⁰⁰)−y(y⁰+y⁰⁰), x(y⁰+y⁰⁰) +y(x⁰+x⁰⁰)

= xx⁰+xx⁰⁰−yy⁰−yy⁰⁰, xy⁰+xy⁰⁰+yx⁰+yx⁰⁰

= xx⁰−yy⁰, xy⁰+yx⁰+ xx⁰⁰−yy⁰⁰, xy⁰⁰+yx⁰⁰

= x, y

× x⁰, y⁰+ x, y

× x⁰⁰, y⁰⁰

On proc`ede de mˆeme pour la seconde partie.

C.Q.F.D.

Propri´et´e A.2.2 (R²\{(0,0)},×) autrement dit (C^∗,×) est un groupe commutatif. On dit alors que (C,+,×) est uncorps commutatif.

D´emonstration : On sait d´ej`a que (R²\{(0,0)},×) est un groupe. V´erifions qu’il est commutatif en comparant, pour tout (x, y, x⁰, y⁰)∈R⁴, les produits (x+ iy)(x⁰+ iy⁰) et (x⁰+ iy⁰)(x+ iy) :

(x+ iy)(x⁰+ iy⁰) =xx⁰−yy⁰+ i(xy⁰+x⁰y) (x⁰+ iy⁰)(x+ iy) =x⁰x−y⁰y+ i(x⁰y+xy⁰)

=xx⁰−yy⁰+ i(xy⁰+x⁰y) car la multiplication est commutative dansR.

= (x+ iy)(x⁰+ iy⁰)

C.Q.F.D.

B Formules de trigonom´ etrie

B.1 Trigonom´ etrie dans un triangle rectangle

Propri´et´e B.1.1 SoitABC un triangle rectangle enA: cosABC’= AB

BC sinABC’ = AC

BC tanABC’ =AC AB

B.2 Propri´ et´ e fondamentale

Propri´et´e B.2.1

∀θ∈R, cos²θ+ sin²θ= 1

Remarque B.2.2 La propri´et´e pr´ec´edente traduit le fait que tout point M de coordonn´ees cartesiennes (cosθ,sinθ) est situ´e sur le cercle d’´equationx²+y²= 1 c’est-`a-dire le cercle trigonom´etriqueC.

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1.I.1 - Chap. 01 Nombres Complexes 3 / 4

B.3 P´ eriodicit´ e

Propri´et´e B.3.1

(i) Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-p´eriodiques : cos(θ+ 2π) = cosθ

sin(θ+ 2π) = sinθ (ii) La fonction tangente estπp´eriodique :

tan(θ+π) = tanθ

b

b

#»ı O

#»

θ

θ+π

θ+ 2π

tanθ

cosθ sinθ

C

1

B.4 Propri´ et´ es li´ ees aux sym´ etries

Propri´et´e B.4.1 (i) cos(π−θ) =−cosθ. (ii) sin(π−θ) = sinθ.

(iii) Siθ6= ^π₂ (π) alors tan(π−θ) =−tanθ Propri´et´e B.4.2

(i) cos(π+θ) =−cosθ. (ii) sin(π+θ) =−sinθ.

(iii) Siθ6= ^π₂ (π) alors tan(π+θ) = tanθ Propri´et´e B.4.3

(i) cos(−θ) = cosθ. (ii) sin(−θ) =−sinθ.

(iii) Siθ6= ^π₂ (π) alors tan(−θ) =−tanθ

b

bb b

#»ı O

#» π−θ θ

π+θ −θ

1

b

b b

#»ı O

#»

θ

π2+θ ^π₂ −θ

1

Propri´et´e B.4.4 (i) cos ^π₂−θ

= sinθ. (ii) sin ^π₂ −θ

= cosθ. Propri´et´e B.4.5 (i) cos ^π₂+θ=−sinθ. (ii) sin ^π₂ +θ

= cosθ.

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1.I.1 - Chap. 01 Nombres Complexes 4 / 4

B.5 Addition et duplication

Propri´et´e B.5.1 Les trois formules suivantes sont appel´ees formules d’addition.aet b d´esignent deux r´eels quelconques.

(i) cos(a+b) = cosacosb−sinasinb. (ii) sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa.

(iii) Sia6=^π₂ (π) etb6= ^π₂ (π) eta+b6=^π₂ (π) alors tan(a+b) =_1−tan^tana+tan_atan^b_b.

Propri´et´e B.5.2 Les trois formules suivantes sont appel´eesformules de duplication. (i) cos 2θ= cos²θ−sin²θ= 1−2 sin²θ= 2 cos²θ−1.

(ii) sin 2θ= 2 sinθcosθ.

(iii) Siθ6= ^π₂ (π) etθ6=^π₄ ^π₂alors tan 2θ= _1−tan^{2 tan}2^θθ.

B.6 Formules de l’arc moiti´ e

Propri´et´e B.6.1 Soitθ∈Rtel queθ6=π(2π), on notet= tan^θ₂ et on a alors :

(i) On a :

cosθ= 1−t² 1 +t² sinθ= 2t

1 +t² e^iθ= 1 + it

1−it (ii) Si de plusθ6=^π₂ (π) alors :

tanθ= 2t 1−t²

Remarque B.6.2 Ces formules peuvent se com- prendre de la fa¸con suivante : `a tout point M de co- ordonn´ees cart´esiennes (1, t) avec t ∈

−^π₂,^π₂ on peut associer le point M⁰ de coordonn´ees polaires (1, θ) avec θ∈]−π, π[. On obtient alors«par enroulement»le cercle trigonom´etrique priv´e du pointAde coordonn´ees cart´e- siennes (−1,0).

b b b

#»ı O

#»

M^′(1, θ)

θ2

1−t² 1+t² 1+t2t²

M(1, t)

A(−1,0)

1

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