3.2 Formules de Newton-Cotes ferm´ ees

(1)

Chapitre 3

INT ´ EGRATION NUM ´ ERIQUE

3.1 Introduction

On cherche `a calculer l’int´egrale :

I = Z _b

a

f(x)w(x)dx (3.1)

avec w(x) et f(x) deux fonctions d´efinies sur [a, b] telles quew(x)>0 sur ]a, b[ etf(x)w(x) est int´egrable sur [a, b].

Hormis quelques cas simples, où une primitive def w peut être trouvée (et il faut inclure dans ce cas le calcul par changement de variables où l’intégration par parties), on ne sait pas calculer cette intégrale.

En outre, il arrive fréquemment qu’on ne connaisse la fonction que par ses valeurs en certains points. Il est alors hors de question de calculer exactement l’intégraleI. L’intégration numérique est une idée ”naturelle”. L’intégrale de Riemann en fournit l’idée première.

On consid`ere une subdivision uniforme : a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b de l’intervalle [a, b], (x_i=a+i ^b⁻_n^a,i∈ {0,1, ...., n}) et on remplace I par :

I = Z _b

a

f(x)w(x)dx≈ Xn

i=1

(x_i−x_i₋₁)f(α_i)w(α_i) = b−a n

Xn

i=1

f(α_i)w(α_i) =S_n avec α_i ∈[x_i₋₁, x_i]

Et on a : lim

n→+∞ S_n=I = Z b

a

f(x)w(x)dx

La procédure de l’intégration numérique est donc de chercher à remplacer Z b

a

f(x)w(x)dx par une somme finie :

(2)

Z _b

a

f(x)w(x)dx = Xn

i=1

λ_i f(α_i) + E_n(f) (3.2)

o`u E_n(f) d´esigne le terme de l’erreur commise en rempla¸cant I par Xn

i=1

λ_i f(α_i).

De telles formules sont appel´ees formules de quadrature.

L’idée de base dans la recherche des points xi (noeuds de la formule de quadrature) et des coefficients λ_i (poids de la formule de quadrature), c’est de remplacer la fonction f par un polynôme d’interpolation. Dans ce cas, deux formules seront présentées :

-Les formules de Newton-Cotes.

-Les formules de quadrature de Gauss.

Remarque 3.1

Lorsque les poids λ_i sont ind´ependants de la fonction f (c’est le cas pour les formules de type interpolation), les applications :

f → Xn

i=1

λ_if(α_i) etf → E_n(f) sont lin´eaires.

Remarque 3.2 En remarquant que : Z _b

a

g(x)dx= b−a 2

Z ₁

−1

g(b−a

2 t + b+a 2 )dt

On peut toujours ramener l’intégration sur [a, b] à une intégration sur [−1,+1] qu’on peut prendre comme intervalle de référence.

D´efinition 3.1.1

On dira que la formule de quadrature (4.2) est de degré k si E_n(P) = 0 pour tout P dans IP_k et s’il existe P ∈IP_k+1 tel que E_n(P)6= 0, où IP_j est l’ensemble des polynômes de degré ≤j.

Autrement dit, en tenant compte de la remarque 3.1, la formule de quadrature (4.2) est de degr´e k si : pour toute base (P_0,P_1,...P_k, P_k+1) de IP_k+1 avec deg(P_i) =i, on a :

E_n(P_i) = 0 ∀i∈ {0, ..., k} et E_n(P_k+1)6= 0.

Exemple 3.1 : (Formule du rectangle `a gauche )

On prend dans la formule (4.2) αi=xi−1 etw(x) = 1, on obtient alors la formule suivante : Z b

a

f(x)dx = b−a n

Xn

i=1

f(xi−1) + En(f)

= b−a n

n−1

X

i=0

f(a+i b−a

n ) + E_n(f) D´etermination du terme d’erreurE_n(f) :

Supposons que f est de classe C¹ sur [a, b]. D’apr`es la formule des accroissements finis, on a : Pour toutx∈[xi, xi+1], il existe ξi∈[xi, xi+1] tel que :

f(x) = f(x_i) + (x−x_i)f⁰(ξ_i)

(3)

d’o`u Z _x_i+1

xi

f(x)dx = (x_i+1−x_i)f(x_i) + Z _x_i+1

xi

(x−x_i)f(ξ_i)dx

Or, puisque f⁰ est continue et x −xi ≥ 0 sur [xi,xi+1], il existe, d’après le théorème de la moyenne appliqué à f⁰, un élément η_i ∈[x_i, x_i+1] tel que :

Z _x_i+1

xi

(x−x_i)f(ξ_i)dx = f⁰(η_i) Z _x_i+1

xi

(x−x_i)dx= (x_i+1 − x_i)² 2 f⁰(η_i) On a alors :

Z _b

a

f(x)dx =

n−1

X

i=0

Z _x_i+1

xi

f(x)dx

=

n−1

X

i=0

(x_i+1−x_i)f(x_i) +

n−1

X

i=0

(x_i+1−x_i)² 2 f⁰(η_i)

= b−a n

n−1

X

i=0

f(x_i) + (b−a)² 2n²

n−1

X

i=0

f⁰(η_i)

D’après le théorème de la moyenne, il existeη ∈[a, b] tel que : 1

n

n−1

X

i=0

f⁰(η_i) = f⁰(η).

On obtient enfin : Z _b

a

f(x)dx= b−a n

n−1

X

i=0

f(a +ib−a

n ) + (b−a)²

2n f⁰(η) avec η ∈[a, b]

Exemple 3.2 : (Formule du rectangle `a droite )

On prend dans la formule (4.2) α_i = x_i et w(x) = 1, on obtient de la même manière que précédemment la formule suivante :

Z _b

a

f(x)dx= b−a n

Xn

i=1

f(a +ib−a

n ) + (b−a)²

2n f⁰(η) avec η ∈[a, b]

Exemple 3.3 : (Formule du point milieu) On prend dans la formule (4.2) α_i= x_i+ x_i₋₁

2 etw(x) = 1, on obtient la formule suivante : Z b

a

f(x)dx= b−a 2

n−1

X

i=0

f(x_i+x_i+1

2 ) + E_n(f) D´etermination de l’erreur E_n(f)

Supposons que f est de classe C² sur [a, b]. D’apr`es la formule de Taylor, on a : pour tout x∈[x_i, x_i+1], il existe ξ_i ∈[x_i, x_i+1] tel que :

f(x) =f(x_i+x_i+1

2 ) + (x−x_i+x_i+1

2 )f⁰(x_i+x_i+1 2 ) +1

2(x− x_i+x_i+1

2 )²f⁰⁰(ξ_i) En proc´edant comme dans l’exemple 3.1 et en remarquant que :

Z _x_i+1

xi

(x−x_i+x_i+1

2 )dx = 0 , on aboutit `a la formule :

Z _b

a

f(x)dx= b−a n

n−1

X

i=0

f(a + (2i+ 1)b−a

2n ) + (b−a)³

24n² f⁰⁰(η) avec η ∈[a, b]

(4)

3.2 Formules de Newton-Cotes ferm´ ees

3.2.1 Formules simples

Ce sont des formules de type interpolation en des points équidistants. Compe tenu de la remarque 3.2, considérons l’intervalle de référence [−1,+1]. Il s’agit alors de construire des formules du type :

Z 1

−1

g(t)dt = 2 Xp

i=0

λi,p g(ti) + Ep+1(g) (3.3)

Avecp un entier naturel donn´e. Posons I_p(g) = 2 Xp

i=0

λ_i,pg(t_i) Les formules de Newton-Cotes ferm´ees consistent `a choisir :

1/ Les noeudst_i ´equidistants avec t₀=−1 et t_p = 1 donct_i=−1 +²_pipour i= 0, ..., p.

2/ Les poids λ_i,p tels que I_p(g) = Z ₁

−1

P_p(t)dt o`u P_p est le polynˆome d’interpolation de la Lagrange de g relativement aux pointst₀, t₁, ...., t_p.

Lemme 3.2.1

Les coefficients λ_i,p (p fix´e, et i= 0,1, ..., p) sont donn´es par la formule suivante : λ_i,p = 1

2 Z 1

−1

L_i(t)dt

o`u L_i(t) est le polynˆome de Lagrange de base relativement aux points t₀, t₁, ...., t_p. ou encore

λ_i,p = ¹_p Z _p

0

Yp

j= 0 j 6=i

(t − j

i − j)dt pour i∈ {0,1, ..., p}.

D´emonstration

Soient L₀, L₁, ...., L_p les polynômes de base de Lagrange associés aux points t₀, t₁, ..., t_p. Le polynômeP_p(t) d’interpolation de la fonction g aux pointst₀, t₁, ..., t_p s’écrit alors :

P_p(t) = Xp

i=0

g(t_i)L_i(t) On a

I_p(g) = 2 Xp

i=0

λ_i,pg(t_i) etZ 1

−1

P_p(t)dt= Xp

i=0

g(t_i) Z 1

−1

L_i(t)dt D’o`u :

λ_i,p = 1 2

Z ₁

−1

L_i(t)dt 1 2

Z ₁

−1

Yp

j= 0 j6=i

(t − t_j

t_i − t_j)dt pour i∈ {0,1, ..., p}

(5)

Soit le changement de variable suivant :t=−1 + ²_psalors : λ_i,p = 1

p Z _p

0

Yp

j= 0 j 6=i

(s − j

i − j)ds pour i∈ {0,1, ..., p}

Lemme 3.2.2

Les coefficients λ_i,p (p fix´e , et i= 0,1, ..., p ) v´erifient :

λ_p₋_i,p =λ_i,p pour i∈ {0,1, ..., p} D´emonstration

D’apr`es le lemme 3.1 λ_p−i,p= ¹_p

Z p

0

Yp

j= 0 j6=p−i

( s − j

p− i − j)ds pour i∈ {0,1, ..., p}

Si on calcule cette int´egrale en faisant le changement de variables suivant :t=p−son obtient : λ_p₋_i,p = 1

p Z p

0

Yp

j= 0 j 6=p−i

(p−t − j

p− i − j)dt = 1 p

Z p

0

Yp

j= 0 j6=i

(t − j

i − j)dt =λ_i,p

Lemme 3.2.3

Si la fonction g est une fonction impaire sur [−1,1], alors l’erreur de la formule d’int´egration (4.3) est nulle : E_p+1(g) = 0.

D´emonstration

Puisque la fonction g est une fonction impaire sur [−1,1], on ag(0) = 0 et Z ₁

−1

g(t)dt= 0.

Comme Z 1

−1

g(t)dt= 2 Xp

i=0

λ_i,p g(t_i) + E_p+1(g) on tire que

E_p+1(g) =−2 Xp

i=0

λ_i,p g(t_i) d’autre part on a :

Xp

i=0

λ_i,p g(t_i) = X

i≺p/2

λ_i,p g(t_i) + X

ip/2

λ_i,pg(t_i) sip est impair Xp

i=0

λ_i,pg(t_i) = X

i≺p/2

λ_i,p g(t_i) +λ^p

2,pg(t^p

2) + X

ip/2

λ_i,p g(t_i) sip est pair Comme t^p

2 = 0 , g(0) = 0 , t_p₋_i=−t_i donc

g(tp−i) =−g(ti) et queλp−i,p =λi,p

(6)

on a : Xp

i=0

λ_i,pg(t_i) = X

i≺p/2

λ_i,pg(t_i) + X

ip/2

λ_p₋_i,pg(t_p₋_i)

= X

i≺p/2

λ_i,pg(t_i) − X

i≺p/2

λ_i,pg(t_i) = 0.

On conclut donc que E_p+1(g) = 0.

Proposition 3.2.1

Si p est impair, alors la formule (4.3) est de degr´e ≥p.

Si p est pair, alors la formule (4.3) est de degr´e ≥p+ 1.

D´emonstration On a pouri≤p Z 1

−1

Li(t)dt = 2 λi,p

Or par construction les polynˆomes Li v´erifient : L_i(t_j) =

( 1 si i =j 0 si i 6=j doncp

X

j=0

λj,pLi(tj) = λi,p .

Si on applique la formule (4.3) aux polynˆomes de base de Lagrange L_i, on obtient : Z 1

−1

L_i(t)dt = 2 Xp

j=0

λ_j,p L_i(t_j) + E_p+1(L_i) on tire donc que E_p+1(L_i) = 0

Comme les polynˆomes de Lagrange L₀, L₁, ...., L_p forment une base de l’espace vectoriel IP_p on a alors : pour tout P ∈IP_p E_p+1(P) = 0. Donc la formule est de degr´e≥p.

Si, de plus, p est un entier pair alors la fonctiong(t) = t^p+1 est une fonction impaire et donc Ep+1(t^p+1) = 0,d’apr`es le lemme 3.3.

Proposition 3.2.2 Soit N =

( p si p est impair

p+ 1si p est pair on ap

X

j=0

λ_j,pt^k_j =

( 0 pour k ≤N , k impair

1

k+1 pour k≤N , k pair En particulier

Xp

i=0

λj,p = 1.

D´emonstration

D’apr`es la proposition 3.1, on a ∀k ≤ N E_p+1(t^k) = 0.Ce qui donne : 2

Xp

i=0

λ_j,pt^k_j = Z ₁

−1

t^kdt =

( 0 si k≤N et k impair

2

k+1 si k≤N , k pair

(7)

Exemple 3.4 (Formule du Trap`eze)

On consid`ere le cas p= 1, w(t) = 1, t₀=−1, t₁ = 1, λ_0,1 = λ_1,1= ¹₂, on obtient la formule suivante :

Z 1

−1

g(t)dt=g(−1) +g(1) +E₂ (g) D´etermination de l’erreur E₂(g)

Supposons queg est de classeC² sur [−1,1] et soitP₁ le polynˆome d’interpolation de Lagrange de g aux points−1, +1, alors on a

g(t)−P₁(t) = g⁰⁰(η_t)

2 (t−1)(t+ 1) avecη_t∈[−1,1]

d’o`u

E₂(g) = R1

−1(g(t)−P₁(t))dt = Z 1

−1

(g⁰⁰(η_t)

2 (t−1)(t+ 1) )dt

Puisque le polynôme (t²−1) garde un signe constant sur [−1,1] et g⁰⁰ est une fonction continue sur [−1,1], on peut donc appliquer le théorème de la moyenne et on obtient :

il existeη ∈[−1,1] tel que E₂(g) = g⁰⁰(η)

2 Z ₁

−1

(t²−1)dt=−2 3 g⁰⁰(η)

Et d’apr`es la remarque 3.2, on aura pour tout f de classeC² sur [a, b] on a : Z _b

a

f(x)dx= b−a

2 (f(a) +f(b)) − (b−a)³

12 f⁰⁰(η) η∈[−1,1]

3.2.2 Etude de l’erreur dans les formules de Newton-Cotes

Th´eor`eme 3.2.1

1/ Si p est pair , si f est de classe C^p+2([a.b]), alors il existe η∈ [a, b] tel que : Z _b

a

f(x)dx= (b−a) Xp

i=0

λ_i,pf(a +i b−a

p ) − (b−a

p )^p+3 f^(p+2)(η) (p+ 2)!

Z _p

0

t² Yp

j=1

(t−j)dt 2/ Si p est impair, si f est de classe C^p+1([a, b]), alors il existe η ∈[a, b]tel que :

Z b

a

f(x)dx= (b−a) Xp

i=0

λ_i,pf(a +i b−a

p ) − (b−a

p )^p+2 f^(p+1)(η) (p+ 1)!

Z p

0

Yp

j=0

(t−j)dt

D´emonstration

Nous donnons la démonstration dans le cas oùp est pair. Le cas où pest impair est à traiter en exercice.

Soit g ∈ C^p+2([−1,1]). Soit x ∈ [−1,1]. Soit P le polynˆome d’interpolation de Lagrange aux pointst_j =−1 + ²_pj , j = 0,1, ...., p.

Posons :

* Q (t) =

Yp

j=0

(t−j)

(8)











h(x) = g(x)−P(x)

Q(x) si x6∈ {t₀, ...t_p} et

h(t_k) = g⁰(t_k)−P⁰(t_k) Q₀

(t_k) pour k= 0, ...., p

(3.4)

* α(x) = g⁰(x)−P⁰(x)−h(x)Q₀ Q (x)

(x) si x6∈ {t₀, ...t_p} et

* α(t_k) = ^Q⁰^(t^k^{) [g}⁰⁰^(t^k⁾⁻^P⁰⁰₂₍^(tQ^k^)]₀⁻^Q⁰⁰^(t^k^{) [g}⁰^(t^k⁾⁻^P^(t^k^)]

(tk))² pour k = 0, ...., p On v´erifie facilement que lim

x→tk

h(x) =h(t_k) et lim

x→tk

α(x) =α(t_k) En effet

xlim→tk

h(x) = lim

x→tk

g(x)−P(x) Q(x)

(t−t_k)

(t−t_k) = lim

x→tk

g(x)−P(x) (t−t_k)

(t−t_k) Q(x)

= g⁰(t_k)−P⁰(t_k) Q₀

(t_k) =h(t_k)

De la même manière, on obtient la deuxième égalité.

On conclut donc que les fonctions h etα sont continues sur [−1,1].

Lemme 3.2.4

La fonctionh d´efinie par (3.4) est de classe C¹ sur [−1,1]. De plus, ∀x∈[−1,1], h⁰(x) =α(x) et il existe ξ =ξ(x)∈[−1,1]tel que h⁰(x) = g^(p+2)(ξ)

(p+ 2)!

D´emonstration

1/ En d´efinissant les fonctions h,Q

et α comme précèdemment, on voit que la fonction h est dérivable en tout pointx tel quex6∈ {t₀, t₁, ..., t_p} et on ag(x)−P(x) =Q

(x)h(x) d’o`u

g⁰(x)−P⁰(x) =Q₀

(x)h(x) +Q

(x)h⁰(x) et donc

g⁰(x)−P⁰(x)−Q₀

(x)h(x) = Q

(x)h⁰(x)

D’apr`es la d´efinition de la fonction α, on obtient α(x) = h⁰(x). Et comme α est continue, on conclut donc que la fonctionhest de classeC¹ sur [−1,1] etα(x) =h⁰(x) pour toutx∈[−1,1].

2/ Posons, pour x ∈ [−1,1], Q_x(t) = P(t) +h(x)Q

(t) + (t−x)α(x) Q

(t). On peut v´erifer facilement qu’on a :

* Le polynômeQ_x est un polynôme de degré (p+ 2),carQ

est est un polynˆome de degr´e (p+ 1) et doncQ_x ∈IP_p+2.

* Q_x(t_i) =g(t_i) pour i= 0,1, ..., p

* Q_x(x) =g(x) et Q⁰_x(x) =g⁰(x) pour tout x

* Q⁰⁰_x(x) =g⁰⁰(x) pourx∈ {t₀, t₁, ..., t_p} Posonsφ(t) =g(t) −Q_x(t) alors on a :

* φ(ti) = 0 pouri∈ {0, ..., p}

* φ(x) =φ⁰(x) = 0

(9)

* φ⁰⁰(x) = 0 pourx ∈ {t0, t1, ..., tp}

En appliquant le théorème de Rolle successivement à φ, φ⁰, φ⁰⁰, ..., φ^(p) , on aboutit à l’existence de ξ=ξ(x) ∈[−1,1] tel queφ^(p+1)(ξ) = 0.

Or

Q^(p+2)_x (t) = (p+ 2)!α(x) car

P^(p+2)(t) =Q_(p+2) (t) = 0 et ((t−x)Q

(t))^(p+2)= (p+ 2)!

donc :φ^(p+1)(ξ) = 0 d’o`u α⁰(x) = ^g^(p+2)_(p+2)!^(ξ) Lemme 3.2.5

Si p est un entier pair, p= 2m, et Q (t) =

mY−1

j=0

(t−t_j) alors la fonction d´efinie par : u(x) =

Z _x

−1

Y(t)dt ∀x∈[−1,1]

v´erifie

u(x)≥0 ∀x∈[−1,1]

u(1) =u(−1) = 0 D´emonstration

1/ on a : Q(t) =

Y2m

j=0

(t−t_j) =t

mY−1

j=0

(t²−t²_j) cart_2m₋_j =−t_j et doncQ

(t) est une fonction impaire et alorsu(1) =u(−1) = 0.

2/Soit k ∈ {0,1, ..., p}. On a Q

(t) ≥0 pour t∈ [t_2k, t_2k+1] et Q

(t)≤ 0 pourt∈ [t_2k+1, t_2k+2].

La fonction u est donc croissante sur [t_2k, t_2k+1] et elle est d´ecroissante sur [t_2k+1, t_2k+2].

3/On a, pour tout ktel que : 2k+ 2≤m, Z _t_2k+2

t2k

Y(t)dt =

Z _t_2k+1

t2k

Y(t)dt+ Z _t_2k+2

t2k+1

Y(t)dt

=

Z _t_2k+1

t2k

Y2m

j=0

(t−t_j)dt+ Z _t_2k+2

t2k+1

Y2m

j=0

(t−t_j)dt (posons s=t−_2m² )

=

Z t_2k+1

t2k

Y2m

j=0

(t−t_j)dt+ Z t_2k+1

t2k

2mY−1

j=−1

(s−t_j)ds

=

Z t_2k+1

t2k

(t−t_2m+t−t₋₁) Y2k

j=0

(t−t_j)

2mY−1

j=2k+1

(t−t_j)dt (Comme t_j =−1 +_2m² j)

=

Z t_2k+1

t2k

2(t+ 1 2m)

Y2k

j=0

(t−t_j)

2mY−1

j=2k+1

(t−t_j)dt Or, pour t∈[t_2k, t_2k+1], on a :

(10)

* (t+ 1

2m)≤(t_2k+1+ 1

2m) =−1 + 2

2m(2k+ 1) + 1 2m

=−1 + 1

2m(4k+ 2 + 1)≤ −1

2 ≤0 (car2k+ 2≤m)

* Y2k

j=0

(t−t_j) ≥0 ( produit de (2k+ 1) facteurs positifs).

*

2mY−1

j=2k+1

(t−tj)≤0 (produit de (2m−2k−1) facteurs n´egatifs).

donc

Z _t_2k+2

t_2k

Y(t)dt ≥0 pour tout ktel que 2k+ 2≤m 4/on a pour tout ktel quem <2k+ 2≤2m

u(t_2k+2) =

Z _t_2k+2

−1

Y(t)dt

=

Z _t_2m−2k−2

−1

Y(t)dt +

Z _t_2k+2

t_2m−2k−2

Y(t)dt

=u(t_2m₋_2k₋₂) +

Z _t_2k+2

t_−2k−2

Y(t)dt car t_2m₋_2k₋₂=−t_2k+2

=u(t_2m₋_2k₋₂) car Q

est impaire D’o`u u(t_2k+2)≥0 d’apr`es 3/ et puisque 2m−2k−2 ≤m.

En conclusion, on a u(t_2k+2) ≥ 0 pour tout k ∈ {0, ...., m−1}. Et comme la fonction u est donc croissante sur [t_2k, t_2k+1] et d´ecroissante sur [t_2k+1, t_2k+2] (d’apr`es 1/ et 2/ ), on a alors u(x) ≥0 pour toutx∈[−1,1].

Démonstration du théorème 3.1 On a :

E_p+1(g) = Z ₁

−1

g(t)dt −2 Xp

i=0

λ_i,p g(t_i)

= Z 1

−1

(g(t)−P(t))dt = Z 1

−1

h(t)Y (t)dt Par int´egration par parties, on obtient :

E_p+1(g) = [h(t)u(t)]⁺¹₋₁− Z 1

−1

h⁰(t)u(t)dt =− Z 1

−1

h⁰(t)u(t)dt d’o`u d’apr`es le lemme 3.4,

E_p+1(g) =− Z ₁

−1

g^(p+2)(ξ_t) (p+ 2)! u(t)dt

Comme la fonction u est de signe constant et g^(p+2) est continue sur [−1,1], on en déduit, en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, l’existence d’un réel θ∈[−1,1] tel que :

E_p+1(g) =−g^(p+2)(θ) (p+ 2)!

Z 1

−1

u(t)dt

Or, par une int´egration par parties, on obtient :

(11)

Z 1

−1

u(t)dt = [(t+ 1)u(t)]⁺¹₋₁−R1

−1(t+ 1)Q

(t)dt = Z 1

−1

(t+ 1) Yp

j=0

(t−t_j)dt

= Z ₁

−1

(t+ 1)² Yp

j=1

(t+ 1− j

m)dt changement de variable s=t+ 1

=− Z 2

0

s² Yp

j=1

(s− j

m)ds changement de variable s= _m¹ t

=− 1

m

p+3 Z p

0

t² Yp

j=1

(t−j)dt D’o`u :

Z 1

−1

g(t)dt = 2 Xp

i=0

λ_i,pg(t_i) + 1

m

p+3 g^(p+2)(θ) (p+ 2)!

Z p

0

t² Yp

j=1

(t−j)dt En utilisant la remarque 3.2, on obtient :

Z _b

a

f(x)dx= (b−a) Xp

i=0

λ_i,pf(a +i b−a

p ) − (b−a

p )^p+3 f^(p+2)(η) (p+ 2)!

Z _p

0

t² Yp

j=1

(t−j)dt avec η ∈[a, b]

Exemple 3.5 (Formule de Simpson ) Cas p= 2. On aλ_0,2 =λ_2,2 = 1

6, λ_1,2 = 2 3 et

Z 2

0

t²(t−1)(t−2)dt =− 4

15. On a donc : Z _b

a

f(x)dx= (b−a) 6

f(a) + 4f( a+b

2 ) + f(b)

− (b−a)⁵

2880 f⁽⁴(η) avec η ∈[a, b]

Exemple 3.6 (Formule De Boole)

Cas p= 4.On aλ_0,4 =λ_4,4 = ₉₀⁷ , λ_1,4 =λ_3,4 = ¹⁶₄₅ , λ_2,4 = ₁₅² . L’application du th´eor`eme 3.1 donne en posanth= b−a

4 : Z b

a

f(x)dx = (b−a)

90 (7f(a) + 32f(a+h) + 12f(a+ 2h) + 32f(a+ 3h) +7f(b) ) +E

avec E=− 8 945

b−a 4

7

f⁽⁶⁾(η) et η∈[a, b]

3.3 Formules de Newton-Cotes compos´ ees

D’après l’expression du terme d’erreur dans les formules de Newton-Cotes, on constate que ces formules sont d’autant plus précises que la longeur de l’intervalle d’intégration b−a est petit. C’est pour cela que ces formules sont en général utilisées d’une manière ”composée”. Plus précisément : on subdivise l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles de même longueur : a=α₀ <

... < α_n=b avec α_i=a+i ^b⁻_h^a (i= 0,1, ...., n),) puis on ´ecrit : Z _b

a

f(x)dx=

nX−1

i=0

Z _α_i+1

αi

f(x)dx

(12)

On applique alors la formule de quadrature sur [αi, αi+1], on obtient le : Th´eor`eme 3.3.1

Soientp , n ∈IN^∗ .On a, en posant h = b−a

n et λi,p = 1 p

Z p

0

Yp

j= 0 j6=i

(t − j i − j)dt

Z _b

a

f(x)dx =h λ₀[f(a) +f(b) ] + 2λ₀

n−1

X

i=1

f(a+ih) +

p−1

X

j=1

λ_j

n−1

X

i=0

f(a+ih+jh p)



+E_p+1,n(f)

(3.5)

avec :

1/ Si p est pair et la fonction f est de classe C^p+2 sur [a, b]

E_p+1,n(f) =

b−a p

p+3 1 n

p+2

f^(p+2)(η) (p+ 2)!

Z _p

0

t² Yp

j=1

2/ Si p est impair et la fonction f est de classe C^p+1 sur [a, b]

E_p+1,n(f) =

b−a p

p+2 1 n

p+1 f^(p+1)(η) (p+ 1)!

Z _p

0

Yp

j=1

D´emonstration

On a d’après le théorème 3.1 : Z b

a

f(x)dx =

n−1

X

i=0

Z αi+1

αi

f(x)dx

=

n−1

X

i=0

(α_i+1 −α_i)



 Xp

j=0

λ_j f(α_i+jα_i+1 − α_i

p ) + E_i(f)





avec :

1/Sip est pair et la fonctionf est de classeC^p+2 sur [a, b]

E_i(f) =

α_i+1 −α_i p

p+3 f^(p+2)(η_i) (p+ 2)!

Z p

0

t² Yp

j=1

(t−j)dt avec η_i ∈[α_i, α_i+1] 2/ Si pest impair et la fonction f est de classe C^p+1 sur [a, b]

E_i(f) =

α_i+1 −α_i p

p+2

f^(p+1)(η_i) (p+ 1)!

Z _p

0

Yp

j=0

(t−j)dt avec η_i ∈[α_i, α_i+1] Or :

* α_i+1 −α_i

p = h

p d’o`u :

(13)

n−1

X

i=0

(αi+1 −αi)



 Xp

j=0

λj f(αi+jα_i+1 − α_i

p )





=h





n−1

X

i=0

((λ0f(αi) +λpf(αi+1)) +

n−1

X

i=0 p−1

X

j=1

λj f(αi+jh p)





=h



(λ₀[f(a) +f(b)] + 2λ0 n−1

X

i=1

f(a+ih) +

p−1

X

j=1

λj nX−1

i=0

f(αi+jh p)





* D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on a 1

n

n−1

X

j=1

f^(k)(η_i) = f^(k)(η) avec η∈[a, b],

o`u k=p+ 1 si pest impair et k=p+ 2 si pest pair.

En utilisant ces trois égalités dans la formule donnée au début de la démonstration, on obtient la formule du théorème.

Exemple 3.7 : (Formule du trap`eze compos´ee) Pour p= 1 et n∈IN^∗ on a :

Z b

a

f(x)dx = (b−a

2n ) f(a) +f(b) + 2

n−1

X

i=1

f(a+ib − a n )

!

−(b−a) 12n²

3

f⁰⁰(η)

Exemple 3.8 : (Formule de Simpson compos´ee) Pour p= 2 et n∈IN^∗ on a :

Z b

a

f(x)dx = (b−a 6n )

"

f(a) +f(b) + 2

n−1

X

i=1

f(a+ib − a n ) +4

n−1

X

i=0

f(a+ (i+1

2)(b − a n )

#

− 1 90n⁴

b−a 2

5

f⁰⁰(η) Exemple 3.9 :(Formule de Boole compos´ee) Pour p= 4 et n∈IN^∗ on a :

Z b

a

f(x)dx = (b−a)

90 (7f(a) + 32f(a+h) + 12f(a+ 2h) +32f(a+ 3h) + 7f(b) ) +E

avec E= − 8 945

b−a 4

7

f⁽⁶⁾(η) et η ∈[a, b]

(14)

Z b

a

f(x)dx = (h

90) 7[f(a) +f(b)] + 14

n−1

X

i=1

f(a+ih) +32

n−1

X

i=0

f(a+ (i+ 1

4)h)) + f(a+ (i+3 4)h)

+12

n−1

X

i=0

f(a+ (i+1 2)h)

!

− 8 945n⁶

b−a 4

7

f⁽⁶⁾(η)

3.4 Formule de quadrature de Gauss

On consid`ere la formule de quadrature : Z b

a

f(x)w(x)dx = Xp

i=0

λ_if(α_i) + E_p+1(f) (3.6) Choisissons les poids λ_i ainsi que les noeuds x_i tels que la formule (4.3) soit de degr´e le plus

´elev´e possible . Exemple 3.10 :

Cas o`u p= 1, w(x) = 1 et [a, b] = [−1,1].

Cherchons λ0,λ1,x0,x1 tels que la formule : Z _b

a

f(x)w(x)dx = λ₀ f(x₀) +λ₁ f(x₁) +E₂(f),

soit de degré le plus élevé possible, c’est à dire tels que : E2(f) = 0 pour f(x) = x^k avec k= 0,1, .., m, etm le plus élevé possible. On aura donc :

Z ₁

−1

1dx = λ₀ +λ₁ = 2 Z 1

−1

xdx = λ₀ x₀+λ₁x₁ = 0 Z 1

−1

x²dx = λ0 x²₀+λ1x²₁ = 2 Z 1 3

−1

x³dx = λ₀ x³₀+λ₁x³₁ = 0 etc...

Les quatres premières équations forment un système non linéaire qui admet comme solution λ₀=λ₁ = 1, x₀ =−x₁ = ^√₃³

On obtient donc la formule : Z 1

−1

f(x)dx = f(−

√3

3 ) + f(

√3

3 ) +E2(f) où E2(f) est un polynôme de degré 3.

3.4.1 Polynˆomes orthogonaux Soit w: [a, b]→IR telle que :

(15)

* wsoit continue sur ]a, b[ et w(x)>0,∀x∈]a, b[

*x→x^kw(x) soit int´egrable sur [a, b],∀k∈IN

On définit surIP (l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels) le produit scalaire : (P, Q)_w =

Z ₁

−1

w(x)P(x)Q(x)dx

Th´eor`eme 3.4.1

Il existe une suite(Q_n)_n_∈_IN unique de polynˆomes telle que :

1/deg(Q_n) =n et Q_n est monique (i.e : Le coefficient de xⁿ est 1 dans Q_n)

2/ Pour tout Pdans IP_n₋₁ (le sous espace vectoriel de IP des polynˆomes de degr´e ≤n−1) (P, Q_n)_w = 0

Et la suite (Q_n) est d´efinie par : Q₀(x) = 1

Q₁(x) =x−^(1,x)_(1,1)_w^w

Q_n(x) = (x−α_n)Q_n₋₁(x)−β_nQ_n₋₂(x) avec α_n= (xQ_n₋₁, Q_n₋₁)_w

γ_n₋₁ , β_n= γ_n₋₁

γ_n₋₂ et γ_k = (Q_k, Q_k)_w D´emonstration

1/Existence :

En utilisant le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur la base canonique 1, x, x², ..., on obtient :

Q₀(x) = 1

Q₁(x) =x−(1, x)_w (1,1)_w Q_n(x) =xⁿ−

n−1

X

i=0

a_i,nQ_i(x) avec a_i,n= (xⁿ, Q_i)_w γ_i

Les polynˆomes Q₀, Q₁, ..., Q_n forment une base de l’espace vectoriel IP_n.Ils sont orthogonaux entre eux par construction et ils v´erifient les conditions 1/ et 2/. Il est clair que 1/ et 2/

entrainent l’unicit´e deQn. 2/ Calcul des coefficients

On a que, pour toutk∈ IN^∗, les polynômesQ₀, Q₁, ..., Q_kforment une base de l’espace vectoriel IP_k et que tous les polynômes Q_k sont moniques. Alors, pour toutk∈IN^∗,Q_k−xQ_k₋₁∈IP_k₋₁ et il s’écrit d’une fa¸con unique sous la forme Q_k −xQ_k₋₁ =

Xk−1

i=0

µ_iQ_i. Comme les Q_i sont orthogonaux on a :

* (Q_k−xQ_k₋₁, Q_k)_w = (

k−1

X

i=0

µ_iQ_i, Q_k)_w =

k−1

X

i=0

µ_i(Q_i, Q_k)_w = 0 d’o`u

(Q_k, Q_k)_w = (xQ_k₋₁, Q_k)_w pour tout k∈IN^∗

* (Q_k−xQ_k₋₁, Q_j)_w = 0 pour tout j < k−1 et pour tout k∈IN^∗

(16)

Soit n ∈ IN^∗. Alors on a Q_n −xQ_n₋₁ =

n−1

X

i=0

µ_iQ_i et on peut calculer les produits scalaires suivants :

* (Q_n−xQ_n₋₁, Q_n₋₁)_w =

n−1

X

i=0

µ_iQ_i , Q_n₋₁

!

w

=µ_n₋₁(Q_n₋₁ , Q_n₋₁)_w D’autre part

(Q_n−xQ_n₋₁, Q_n₋₁)_w = (Q_n, Q_n₋₁)_w−(xQ_n₋₁, Q_n₋₁)_w =−(xQ_n₋₁, Q_n₋₁)_w d’o`u

µ_n₋₁= −(xQ_n₋₁, Q_n₋₁)_w (Q_n₋₁ , Q_n₋₁)_w (Q_n−xQ_n₋₁, Q_n₋₂)_w =

n−1

X

i=0

µ_iQ_i , Q_n₋₂

!

w

=µ_n₋₂(Q_n₋₂, Q_n₋₂)_w D’autre part

(Q_n−xQ_n₋₁, Q_n₋₂)_w = (Q_n, Q_n₋₂)_w−(xQ_n₋₁, Q_n₋₂)_w =−(xQ_n₋₁, Q_n₋₂)_w d’o`u

µn−2= −(xQ_n₋₁, Q_n₋₂)_w

(Q_n₋₂ , Q_n₋₂)_w =−(Q_n₋₁, xQ_n₋₂)_w (Q_n₋₂ , Q_n₋₂)_w

* (Qn−xQn−1, Qj)w = 0 pour tout j < n−2

On obtient doncQ_n−xQ_n₋₁=µ_n₋₁Q_n₋₁ +µ_n₋₂Q_n₋₂ d’o`u Q_n= (x−µ_n₋₁)Q_n₋₁ +µ_n₋₂Q_n₋₂

avec

µ_n₋₁= (xQ_n₋₁, Q_n₋₁)_w (Qn−1 , Qn−1)w

etµ_n₋₂ =−(Q_n₋₁, xQ_n₋₂)_w (Qn−2 , Qn−2)w

Et en posant

αn=µn−1 etβn= −µn−2, on obtient les formules du th´eor`eme.

D´efinition 3.4.1

Les polynômes(Q_n)_n_∈_IN définis au théorème 3.3, s’appellent les polynômes orthogonaux sur[a, b]

relativement `a la fonction poids w.

Exemples classiques 3.11 : 1/[a, b] = [−1,1] etw(x) = 1. on a : Q₀(x) = 1

Q₁(x) =x Q₂(x) =x²−1

3 Q₃(x) =x(x²−3

5) Q₄(x) =x⁴−6

7x²+ 3 35 etc...

Ces polynômes sont appelés les polynômes de Legendre.

2/[a, b] = [−1,1] etw(x) = √ ¹

1−x² on a : Q₀(x) = 1

Q_n(x) = 1

2ⁿ⁻¹ cos(n Arccos(x))n∈IN^∗

Ces polynômes sont appelés les polynômes de Tchebytchev et sont en général notés

(17)

T_n(x) = 1

2ⁿ⁻¹ cos(n Arccos(x)) n∈IN^∗ Th´eor`eme 3.4.2

Soit (Q_n)_n_∈_IN la suite des polynˆomes orthogonaux sur [a, b] relativement `a la fonction poids w.

Alors les racines de Q_n sont réelles, distinctes et appartiennent à ]a, b[ pour n∈IN^∗. Démonstration

Soient α1, α1, ..., αm, les racines distinctes de Qn appartenant `a ]a, b[. On a bien m ≤ n.

Montrons alors quem=n. Raisonnons par l’absurde et supposons que m < n PosonsQ

(x) = Ym

i=0

(x−α_i) alors le polynˆomeQ

(x) ∈IP_n₋₁carm < ndonc (Q

(x), Q_n(x))_w = 0 d’o`u

Z b

a

w(x)Q

(x)Q_n(x)dx= 0, comme w(x)Q

(x)Q_n(x) garde un signe constant sur ]a, b[ alors Q

(x)Q_n(x) ≡ 0 ce qui est absurde car deg(Q_n) =n≥1.

Th´eor`eme 3.4.3

Pour tout n∈IN; il existe une formule de quadrature unique, Z b

a

f(x)w(x)dx = Xn

i=0

λ_if(x_i) + E_n+1(f) de degr´e≥ 2n+ 1. De plus :

1/ Les noeuds xi sont les racines de Qn+1 (le (n+ 1)î`ême polynôme orthogonal sur ]a, b[relativement à w).

2/λ_i = Z b

a

L_i(x)w(x)dx o`u

L_i(x) = Yn

j = 0 j6=i

(x − xj

x_i− x_j) pour i∈ {0,1, ..., n}

3/ Si f est de classe C²ⁿ⁺² sur [a, b]alors il existe η∈[a, b] tel que : E_n+1(f) = f⁽²ⁿ⁺²⁾(η)

(2n+ 2)!

Z _b

a

[Q_n+1(x)]²w(x)dx D´emonstration

1/ unicit´e Posons Q(x) =

Yn

j=0

(x− x_j) et soit P ∈IP_n alors Z _b

a

Y(x)P(x)w(x)dx = 0

(18)

car Q

(x)P(x) ∈ IP2n+1. Donc Q

est nécessairement le (n+ 1)î`ême polynôme orthogonal sur ]a, b[ relativement à w. Ses racines x₀, x₁, ...., x_n sont donc définies d’une manière unique. De plus, en écrivant que la formule est exacte pour toutL_i(x) (les polynômes de base de Lagrange) appartenant à IP_n, on obtient :

λ_i= Z _b

a

L_i(x)w(x)dx

Ce qui implique l’unicit´e des coefficientsλ_i. 2/Existence

SoitQ_n+1le (n+ 1)î`ême polynôme orthogonal sur ]a, b[ relativement àw.On sait que ses racines sont distinctes et appartiennent à ]a, b[. Notonsx₀, x₁, ..., x_n ces racines alors

Q_n+1(x) = Yn

j=0

(x− x_j).

Posons λi=

Z b

a

Li(x)w(x)dx

Considérons (L₀, ...., L_n) la base de l’espaceIP_nformé par les polynômes de Lagrange, alors tout polynôme P de IP_n s’écrit d’une manière unique sous la forme P(x) =

Xn

i=0

α_i L_i(x) o`u les α_i sont des constantes r´eelles.

Or puisque L_i(x_j) =

( 1 si i=j 0 si6=j on a

P(x) = Xn

i=0

P(x_i)L_i(x) d’o`u

Z b

a

P(x)w(x)dx = Z b

a

Xn

i=0

P(x_i)L_i(x)w(x)dx = Xn

i=0

P(x_i) Z b

a

L_i(x)w(x)dx et donc

Z _b

a

P(x)w(x)dx = Xn

i=0

λ_iP(x_i) .

La formule est donc exacte pour tout polynˆomeP appartenant `aIP_n.

Soit maintenant le polynômeS ∈IP_2n+1, la division Euclidienne du polynômeSpar le polynôme Q_n+1 donne l’existence de deux polynômes P etR dansIP_n tels que :

S(x) =P(x)Qn+1(x) +R(x) d’o`u, on a donc :

Z b

a

S(x)w(x)dx = Z b

a

P(x)Q_n+1(x)w(x)dx + Z b

a

R(x)w(x)dx

= Z b

a

R(x)w(x)dx = Xn

i=0

λiR(xi) = Xn

i=0

λiS(xi) Car la formule est exacte surIPn etQn+1(xi) = 0.

La formule est donc exacte pour tout S dansIP_2n+1.

Pour S=L²_i qui est un polynˆome de IP_2n la formule est aussi exacte et on obtient : λ_i =R_b

a L²_i(x)w(x)dx et doncλ_i >0 pouri= 0,1, ...., n.