Note sur les formules d'interpolation de Lagrange et de Newton

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Note sur les formules d’interpolation de Lagrange et de Newton

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 16

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(O

( 3 ' 7 )

NOTE SUR LES FORMULES D'INTERPOLATION RE LAGRANGE ET DE NEWTON.

Si F (x) représente une fonction algébrique entière dont le degré ne soit pas supérieur au nombre entier m, et qui prenue les (m 4- i) valeurs i/0, fil5 M , , . . . , wm_j, w^m_i ? "m lorsqu'on y remplace la variable x par les m 4-1 valeurs différentes x0, xt, #*,..., ^m.2 ? J?m-i> ^n ) on sait que

('T <** \ (

(jr '(7-L ⁽⁰

(x —x.) ) ( -

( * -

X )

— * .

- * , )

. . ( X -

). . . ( x - . . . ( x -

• xM) (

-x„_,)

•^ro —

X,

( x -

Tm) H I

* . ) ' ' '

C'est la formule d'interpolation de Lagrange.

Nous allons établir, au moyen de cette formule, un principe qui nous sera utile; en voici l'énoncé :

Soit ƒ (x) le produit des (m 4- i) facteurs consécutifs

x, (x-\-i)9 ( # 4 - a ) , . . . , (x-j-m— i ) , {x-h m) ; on

aura, pour toute valeur de x ,

. /(*) - /(*) • m("»-i)/(x) I . 2 . 3 .

1 . 2 X 4 - 2

1 . 2 . 3

Par exemple, on a , quelle que soit la valeur de x,

comme on peut le reconnaître par un calcul très-simple.

Pour établir d'une manière générale l'égalité ( i ) , pro- posons-nous de déterminer une fonction algébrique en- tière <p [x) qui soit, au plus, du degré m et qui prenne les valeurs u^ux, ua,..., Mm_i, z/r«, lorsqu'on y remplacera la variable x par o, — i , — 2,..., —[m — 1), — m . La for- mule d'interpolation de Lagrange donne immédiatement

1 . 2 . . ( « - ! ) . « ° + 2)...(O7 4 - W l ) (jC - h Wl)

1 . i . . .{m — 2 ) [m — 1)

— O(.r-f- iw)

— 1). . . 1 .1 . . . (m — p — 1) ( m — p)

( /w — 1 ) ( m — 2) (/w — 3 ) . . . 1. î

n i . [ m — î ) . . . 2 . i

II est d'ailleurs évident q u e , quelles que soient les valeurs supposées à z/0, w,, f/*,..., um_t, wm, la fonction précé- dente prend ces valeurs lorsque l'on remplace x p a r o,

— i , — a , . , , , (m — i ) , — m . O r , si Ton suppose que chacun des nombres M0, i/l 5 M2, . . . , WW__I , ufn est égal au produit 1.2.3... (m—i) m , l'égalité (i) deviendra

l

)

Z £ f ) _ .

( ) ^ ( ( ) (

a: J7-HI 1.2 X-+-2 1 . 2 3

1.2.../? x + />~* *~ X+/7* — 1 x + m'

et il est facile de reconnaître que le premier membre <p (x) est la quantité constante 1.2.3.., (m — 1) m. Car, s'il en était autrement, l'équation

— i)m = o ,

qui ne peut être d'un degré supérieur à wi, admettrait les [m -+- 1) racines o, — 1, — 2,..., (m— 1), — m, puis- qu'en remplaçant x par chacune de ces dernières valeurs,

<p [x) devient égal au produit 1.2.3... (m — 1) m. On voit donc que l'égalité (i) a lieu pour toute valeur de x: c'est ce qu'il fallait démontrer. G.

La fin au prochain numéro.