SURFACES SELECTIVES. RUGOSITE.PROPRIÉTÉS OPTIQUES DES SURFACES RUGUEUSES

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SURFACES SELECTIVES. RUGOSITE.PROPRIÉTÉS OPTIQUES DES SURFACES RUGUEUSES

F. Abelès

To cite this version:

F. Abelès. SURFACES SELECTIVES. RUGOSITE.PROPRIÉTÉS OPTIQUES DES SUR- FACES RUGUEUSES. Journal de Physique Colloques, 1981, 42 (C1), pp.C1-33-C1-42.

�10.1051/jphyscol:1981103�. �jpa-00220653�

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JOURNAL DE PHYSIQUE

CoZloque Cl, supplément au nO1, Tome 42, janvier 1981 page Cl-33

SURFACES SELECTNES

.

^RUGOSiTE.

PROPRIÉTÉS OPTIQUES DES SURFACES RUGUEUSES

L a b o r a t o i r e d 'Optique d e s S o l i d e s In), U n i v e r s i t é P i e r r e e t Narie C u r i e , 4 , P l a c e J u s s i e u , 75230 P a r i s Cedex 0 5 , France.

m.-

Résumé des principaux résultats connus relatifs à la refle- xion d'une onde plane par une surface rugueuse. La théorie "scalaire"

est utilisable uniquement pour des rugosités "douces" et pour des hauteurs quadratiquesmoyennes des rugosités 6 faiblesvis-à-vis de la longueur d'onde A . La théorie "vectorielle1' suppose toujours S<<X, mais permet une répartition quelconque des rugosités sur la surface.

Bbçtract.- Summary of the main known results concerning the refle- xion of a plane wave by a rough surface. The "scalar" theory is appropriate only for slowly varying roughness and for root mean square heights 6 which are small with respect to the wavelength

A . The "vectorial" theory still assumes 6<<X but allows for an

arbitrary roughness distribution along the surface.

1. Introduction.- Les capteurs photothermiques sont constitués par des matériaux dont la surface est capable d'absorber une fraction aussi grande que possible du rayonnement solaire qu'elle reçoit sans la ré- émettre à son tour. Pour rendre maximum le rappartde ces deux quantités,on fait appel à des matériaux convenablement choisis, mais une fois le choix de ceux-ci décidé, on peut encore en améliorer le rendement par une rugosité convenable de la surface.

On sait calculer, donc prédire, exactement l'absorption d'un matériau de constante diélectriaue donnée et dont la surface est lisse. Par contre, lorsque la surface est rugueuse, il n'est plus possible de résou- dre exactement le problème de l'absorption. Il y a 2 i cela deux raisons.

La plus importante est liee au fait que l'on ne connaît pas exactement la forme de la surface ; on en connart, en général, une description

"statistique'', qui ne peut conduire qu'à une solution du même type pour l'absorption. Mais, même si l'on avait une connaissance très précise de la surface du matériau absorbant, il ne serait quand même pas toujours qossible ni d'écrire les expressions rigoureuses des champs associés aux ondes réfléchie spéculairement et diffusée, ni même d'en calculer la valeur exacte. Bien entendu, lorsque la surface a une forme relativement simple ou périodique, ou bien lorsque les rugosités sont grandes par

( x ) Equipe de recherche associée au C.N.R.S.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1981103

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JOURNAL DE PHYSIQUE

rapport à la longueur d'onde du rayonnement incident, on sait effectuer le calcul exact.

Nous présentons dans ce qui suit un résumé bref et, nécessairement, in- complet des principaux résultats connus pour la réflexion d'une onde électromagnétique plane par une surface rugueuse. Ceux-ci concernent essentiellement le cas oïl la hauteur moyenne 6 des rugosités est faible par rapport à la longueur d'onde X du rayonnement incident, ce qui permet de se limiter à la solution approchée du premier ordre en & / A , les termes d'ordre supérieur étant négligés. Des problèmes analogues ont été étudiés et discutés dans d'autres domaines de la physique : diffusion des ondes acoustiques, réflexion des ondes radio par les fluctua- tions atmosphériques, effets sur la réflexion des ondes radar, etc.

L'ouvrage de Beckmann et Spizzichino /1/ sur la diffusion des ondes électromagn6tiques par les surfaces rugueuses resbstoujours un "classi- que" de la question. Il convient de compléter sa lecture par celle du chapitre dû à D.E. Barrick /2/ dans le "Radar Cross Section Handbook", qui contient l'essentiel de la théorie du premier ordre que nous résu- mons ci-dessous.

Nous laissons systématiquement de côté les verres dont l'étude est pour- suivie actuellement, car le plus ou moins bon poli de la surface se ma- nifeste par une diffusion non négligeable.

2. Theorie scalaire.- Le cas le plus simple à considérer est celui qui correspond à des rugosités "douces". On entend par là que la distance moyenne entre les rugosités est supérieure, ou tout a u moins égale, à

X et que la normale à la durface ne s'écarte jamais beaucoup de la ver- ticale, lorsque la surface est horizontale, par exemple. On tient compte alors uniquement des variations de phase (chemin optique) des ondes incidente et réflechie dues aux variations de niveau de la surface. Si l'on suppose que la distribution des rugosités est normale avec un écart quadratique moyen 6, on trouve que, pour une incidence O O et une pola- risation données, la réflectivité Rr de la surface rugueuse est liée à

celle Ro de la surface lisse par la relation R r = Ro exp(-(4~6 cos~~/X)~).

On remarquera déjà ici que la réflectivité se présente sous la forme d'un produit de deux facteurs : le premier, "optique", dépend des constantes optiques de la surface réfléchissante et de l'angle d'incidence, tandis que le second caractérise uniquement les propriétés statistiques de la surface / 3 / . Dans le cas présent, le deuxième facteur ressemble à un facteur Debye-Waller. On peut remarquer aussi que dans cette théorie des perturbations scalaire les corrections dues aux rugosités sont in- dépendantes de la polarisation du rayonnement incident. Il s'ensuit que les mesures ellipsométriques effectuées sur une telle surface ont les mêmes valeurs que pour la surface lisse /4/. Du côté expérimental,

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Beaglehole et Hunderi/5/ ont trouvé que pour Au, Ag et In dans le pro- che ultraviolet les variations de Rn (Rr/RO) en fonction de

x - ~

sont des droites surtout lorsque les rugosités ne sont pas "douces" (la distance

O

moyenne entre les rugosités étant de l'ordre de 500 A, donc inférieure à la longueur d'onde). Par contre, pour des rugosités plus "douces", ils

O

ont trouvé, pour l'argent, que Rn (R /Ro) varie comme A-' pour X<3000 A.

r

Enfin, il est clair de ce qui précède que, dans l'approximation scalaire la diffusion totale intégrée (DTI) est /6/ :

DTI(QO) = Ro (Oo) (1- exp [ - ( 4 ~ r 6 cosOO/A) 1

3. Théorie vectorielle.- Nous abordons maintenant un cas plus général, où l'on abandonne l'hypothèse d'une rugosité "douce" tout en supposant que & < < A . On part alors des équations de Maxwell et l'on effectue un développement qui ne retient que les termes du premier ordre en Y ( X , ~ ) / ~ où Z = f(xIy) représente l'équation de la surface rugueuse. Les techni- ques de calcul utilisées diffèrent : (a) méthode due a Rayleigh et Fano /7-10/ ; (b) passage à un système de coordonnées curvilignes /11-12/; (c) utilisation d'équations intégrales ou de fonctions de Green /13-19/. En fin de compte, tous ces calculs aboutissent au même résultat. Le proces- sus physique est le suivant : le faisceau lumineux incident sur la surface rugueuse engendre des courants de polarisation. L'énergie contenue dans ces courants est rayonnée en partie sous forme de lumière réfléchie spéculairement ou diffusée, absorbée en partie pour l'excitation de plas mons de surface et en partie par les autres excitations électroniques.

C'est la présence des rugosités qui permet le rayonnement dans les di- rections non spéculaires ou celui des plasmons de surface. Ce dernier est, en général, un effet du second ordre et nous le négligerons ici.

De même que dans la théorie scalaire, ici encore l'énergie diffusée est le produit de deux termes : un facteur optique, qui dépend de la longueur d'onde, des constantes optiques de la surface diffusante et des angles d'incidence et de diffusion et un facteur de surface, qui ne dépend que des propriétés statistiques de celle-ci. La figure 1 précise les notations. Le rayonnement est incident dans le plan xz sous l'angle OO et diffusé dans la direction caractérisée par les angles Os et

as.

Les projections des vecteurs d'onde incident et diffusé sur le plan xy (plan moyen de la surface) sont ko et -+

gs

respectivement et le milieu diffusant (réflechissant) est caractérisé par sa constante diélectrique complexe E. Les indices s et p caractérisent un vecteur champ electri- que perpendiculaire ou parallèle au plan d'incidence respectivement.

Lorsque deux tels indices se succèdent (ss, sp, ps ou pp), le premier indique la polarisation du faisceau incident et le second celle du fais-

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ceau diffusé.

Fig.1.- Géométrie de la diffusion : notations.

[scattering geometry : notations .]

Le calcul contient en fait deux étapes. La première comporte le calcul 6lectromagnétique proprement dit, tandis que la seconde fait intervenir les propriétés statistiques de la surface, caractérisée par l'équation

Z = Q(x, y)

.

Nous supposerons que Z = O est le plan moyen, c'est-à-dire

que

< T >

⁼O. Nous avons déjà introduit la hauteur quadratique moyenne

des rugosités :

où A est l'aire irradiée et + x = (x,y). Il nous faut décrire aussi la distribution des rugosités dans le plan xy. Celle-ci étant isotrope,

+ + +

soit s

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la transformée de Fourier de \Q(x,y), où k = k

-

k est un

S 0

vecteur plan xy :

La théorie du premier ordre conduit à des intensités diffusées proportionnelles à

1

s

(g) 1 '.

Soit

~ ( 2 )

la fonction d'autocarrélation normalisée des rugosités :

(6)

Sa transformée de Fourier est

ce qui montre que les intensités diffusées sont proportionnelles à S~.~(Z).

En réalité, compte tenu de l'hypothèse d'isotropie pour la distribution des rugosités, g ne dépend que de k =

121 .

On obtient alors la valeur de ô à l'aide de la relation

Avec ces hypothèses, Maradudin et Mills /17/ montrent que :

1

5

^{= B} ^cos^<PS

-

_Io

' d Rs

lcosOs

+

JE-sinLO 12.1cos00

+

^J~-sin'O~

l 2

S

d 1

1 pp =

1

^{COS^}^J~-sin'O

.

^/€-sin%

-

^-sin@

.

^sinOs

1 -

S O O

Io dRs

IE

^{cos Os}+ /€-sin20

1 '. 1

^ECOSO_O

+

J ~ - s i n ~ @ ~

1

03 (dI /dRs)/Io, etc. représentent les sections de diffusion dans l'an- s

!

gle solide d Rs autour de la direction (Os, QS) ? ( ' ) . On notera la présen- ce du facteur ( w / c )

"

= (27~/A) bien connu.

La figure 2 présente les résultats obtenus par Bodesheim et Otto /20/

O O

pour une surface d'argent lisse (X = 6328 A) et O0 = O , a représentant l'angle Os. D'après les équations (l), on devrait avoir

(dIsp/d Qs)/Io = tdIps/d Os)/Io = O

( ' 1 Pour la diffusion pp, nous avons corrigé une erreur qui a été recon-

nue aussi par Maradudin et Mills Far la suite.

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Cl-38 JOURNAL DE PHYSIQUE

parce que Qs = O. on constate, en effet, que la diffusion sp est négli- geable par rapport à la diffusion pp. La figure 3, d'après les memes auteurs, correspond à des mesures analogues effectuées sur une surface d'argent rugueuse (une couche épaisse d'argent évaporée sur une couche

O

de 5100 A de Ca F2). Ici, les diffusions sp et ps ne sont plus négli- geables, ce qui montre que l'approximation du premier ordre (équation

(1)) n'est plus valable.

Fig.2.- Résultats obtenus par Bodesheim et Otto /20/ pour la diffusion sur une surface d'argent "lisse'' (X=6328 A,

@,=O0). a représente l'angle de diffusion.

[~odesheim and Otto /20/ results for scattering on a "smooth"

silver surface (X=6328 A, OO=oO). a is the scattering ahgle.]

A partir des résultats obtenus pour la surface lisse, on peut déduire

O

la valeur de 6. Bodesheim et Otto ont trouvé 6 Q, 5 A. Pour g(k), on prend, en général, une gaussienne proportionnelle a a2. exp(-a2k2/4) oa a reprgsente la longueur de corrélation entre les rugosités. En fait, les expÉrxiences et les mesures directes des rugosités /3/ montrent qu'il n' en est pas ainsi, en ggnéral /21-22/. la figure 4 représente les valeurs

d

de g(k) déduites par Jansen /23/ de ses mesures sur un fiim de 1600 A de cuivre déposé sur un support de quartz poli (X = 4416 A). La courbe n'est pas une gaussienne. En utilisant I'6qu:tion (1) avec la courbe k.g(k) de la figure 4, Jansen trouve ô > 4,4 A. On obtient une limite inférieure pour 6 parce que les valeurs de g ne sont connues que ^pour

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kWAin < < m a x avec k % 2 , 4 x I O - ~ X (2n/h e t k m a x % l , 5 x (2 n / h ) . min

Fig.3.- Résultats obtenus par Bodesheim et Otto /20/ pour, la diffusion sur une surface d'argent "rugueuse" (X=6328 A, OO=O0). a représente l'angle de diffusion.

[~odesheim and Otto /20/ results for a "rough" silver surface (A=6328 A, 00=00)

.

^ais the scattering angle.]

D'après les équations (l), par exemple, dIpp/dIss > 1 et ne dépend pas de la géométrie de la surface. Il s'ensuit que l'on doit pouvoir déter- miner les constantes optiques du matériau diffusant en ajustant E pour reproduire au mieux dIDD/dIss pour tous les Os. Ceci n'a pas été fait par Bodesheim et Otto />O/, mais Jansen / 2 3 / l'a fait pour sa surface de cuivre lisse avec un assez bon succès.

Dans le cas de la théorie vectorielle, les mesures ellipsométriques sont influencées par les rugosités, contrairement à ce que nous avons vu dans le cas de la théorie scalaire. Il y a actuellement des essais d'utiliser l'ellipsométrie pour caractériser les surfaces métalliques usinées /24/, mais l'analyse des résultats expérimentaux est difficile dans l'absence d'une théorie adéquate.

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Fig.4.- ~6suitats des mesures de g(k) et k.g(k) pour une surface "lisse" de cuivre ( X= 4416 A), d'après Jansen /23/.

[~easured g(k) and k-g(k) vs.k for a "smooth" copper surface ( A= 4416 A), after Jansen /23/.]

4. Conclusion.- Ce qui résulte d'abord de cette brève revue, c'est qu'il manque une théorie valable pour des rugosités qui ne sont pas très fai- bles devant la longueur d'onde. Dans le domaine visible, par exemple, on ne sait pas si la théorie vectorielle du premier ordre est valable pour

O O

6 6 10 A ou 6

*

¹⁰⁰^A.Il est probable que les limites de validité dé- pendent aussi de E et de Bo et Os et non seulement du rapport 6/X. Pour les rugosités "douces", la théorie scalaire ne tient pas compte des corrections pour les doubles réflexions et les effets d'ombrage

.

^Ceci

a été pris en compte par Lynch et Wagner /25/. On manque aussi de ré- sultats expérimentaux pour une incidence quelconque (eO # O) et en de- hors du plan d'incidence (Qs # O). Il est probable qu'un perfectionne- ment de la théorie permettrait non seulement d'améliorer le rendement des capteurs photothermiques, mais fournirait aussi une méthode de con- trôle globale, nondestructive et rapide des pièces métalliques usinées.

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Bibliographie

Beckmann, P. et Spizzichino, A., The Scattering of Electromagnetic Waves from Rough Surfaces (Pergamon, New York,) (1963)

Barrick, D.E., in Radar Cross Section Handbook, ed G.T. Ruck (Plenum, New York) (1970), vo1.2, p. 706 Elson, J.M. et Bennett,J.M., J. Opt. Soc. Am.

69,

(19791, 31

Church, E.L. et Zavada, J.M., J. Opt. Soc. Am.

64,

(1974), 547 A

Beaglehole, D. et Hunderi, O., Phys. Rev. B2 (19701, 309 et 321.

Church, E.L. et Zavada, J.M., Appl. Opt.

M

^(19751,

1788

Lord Rayleigh, Proc. Roy. Soc. A E , (1907), 399 Fano, U., J.Opt. Soc. Am.

31,

(1941), 213

Celli, V., Marvin, A. et Toigo, F., Phys. Rev. B G , (1975), 1779

Marvin, A., Toigo, F. et Celli, V., Phys. Rev. B s , (1975), 2777

Elson, J.Y. et Ritchie, R.H., Phys. Status Solidi.

B g (1974), 461

Elson, J.M., Phys. Rev. B g (1975), 2541

Rice, S.O., Commun. Pure Appl. Math.

4

(1951), 351 Juranek, H., Z. Phys.

233

(1970), 324

Kroger, E. et Kretschmann, E., Z. ~ h y s .

237,

(1970),1 Kretschmann, E. et Kroger, E., J. Opt. Soc. Am.

65

(1975), 150

.%radudin,A. et Mills, D.L., Phys. Rev. B G (19751, 1392

Agarwal, G.S., Phys. &Y. B e (1976), 846 Agarwal, G.S., Phys. Rev. B e (1977), 2371

Bodesheim, J. et Otto, A., Surf. Sci. (1974), 441 Bennett, J.M., Appi. Opt. (1976), 2705

(11)

JOURNAL DE PHYSIQUE

/ 2 2 / Eastman, J. et Baumeister, P.FJ., Opt. Commun.

(1974), 418

/23/ Jansen, F., Thèse, Case Flestern Reserve University, (1977)

/24/ Vorburger, T.V. et Ludema, K.C., Appl. Opt.

19,

(1980), 561

/ 2 5 / Lynch, P.J. et V!agner, R.J., J.Math. Phys. ~ , ( 1 9 7 0 ) , 3032