Condensateur: Alès 1990

A)Le volume occupé par 1 kg d'un liquide compressible et dilatable est donné par l'équation d'état:

V=V01αt−k P

V₀,α et k sont des constantes, t est la température dans l'échelle Celsius et P la pression exprimée en pascals.

V₀=1,14 10⁻³m³ ; t=T−T₀ avec T₀=273 K.

1. Ecrire les différentielles du volume V, de l'énergie interne U et de l'entropie S en fonction des variables indépendantes P et T (température thermodynamique).

On écrira la quantité de chaleur échangée au cours d'une transformation élémentaire (dT, dP) sous la forme:

δQ=c_pdTh dP

2. Exprimer le coefficient calorimétrique h en fonction de T,α et V₀.

3. En admettant que c_pest indépendant de T , montrer que c_pest une constante.

4. Etablir les expressions de l'énergie interne U(T,P), de l'enthalpie H(T,P) et de l'entropie S(T,P) du fluide.

On posera UT₀,0 =U₀ , HT₀,0 =H₀, ST₀,0 =S₀. 5. Montrer que le rapport γ=c_p

c_v peut s'écrire sous la forme γ= c_p

c_p−a T, a étant une constante que l'on explicitera.

6. Le liquide étant initialement à 0°C et sous une pression pratiquement nulle, on le comprime réversiblement à cette température jusqu'à 50 bars.

On constate que son volume diminue de 5,3 cm³ et que la quantité de chaleur dégagée est égale à 1 560 J.

En déduire la valeur de k et celle de α.

Calculer le travail reçu par le fluide, la variation de son énergie interne et la variation de son entropie.

7. On reprend la compression précédente de 0 à 50 bars mais de façon adiabatique et en établissant brusquement la pression finale dès le début de l'opération.

Calculer les variations de température et de volume du liquide avec c_p=1740 J kg⁻¹K⁻¹.

B)Un condensateur plan est enfermé dans un réservoir de volume V fermé par un piston mobile sans frottement et rempli avec le liquide étudié en A).

Lorsque la différence de potentiel aux bornes du condensateur est égale à u, celui-ci porte une charge q=C u avec C=A C₀.

C₀ est une constante positive et A une grandeur également positive, u dépendant uniquement de la température T et de la pression P du liquide.

On donne : A−1

A2=b

∣

L'état du système (condensateur, liquide) est alors défini par les trois variables indépendantes T, P et u.

On charge le condensateur de manière réversible en maintenant P et T constantes, la ddp u passant de 0 à u_m=10⁴volts.

1. Comment doit s'effectuer une telle charge? Quelles types de pertes doit-on éviter?

2. Donner l'expression de l'énergie totale (mécanique et électrique) reçue par le système lors de cette opération.

3. On se propose de calculer la variation d'énergie interne du système pendant cette charge en supposant que les variations de volume du liquide restent très faibles.

a. Sachant que





= −





, calculer la variation de volume ∆V du liquide pendant la charge.

b. Calculer la quantité de chaleur reçue par le liquide sachant que





=





. c. En déduire la variation d'énergie interne du système.

Données numériques: T=293 K ; P=1 bar ; A=2,26 à 20 ° C ; C₀=0,442 nF.